Re:>>705 説明のために長くなったが一瞬だろう。
y=ax^2+bx+cとx軸との交点のx座標をα,β(α<β)とする。
ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)=a(x-α)(x-α-(β-α))=a((x-α)^2-(β-α)(x-α))より、
∫_{x=α}^{β}(ax^2+bx+c)dx=a∫_{x=α}^｛β｝((x-α)^2-(β-α)(x-α))}dx (ここまで頭の中で出来るだろう。)
=a*(1/3*(β-α)^3-(β-α)(β-α)^2/2)=-a/6*(β-α)^3
グラフを考えるとa>0のときα<x<βで常に正で、a<0のときα<x<βで常に負だから、
S=∫_{x=α}^{β}|ax^2+bx+c|dx=|∫_{x=α}^{β}(ax^2+bx+c)dx|=|a|/6*(β-α)^3.
非積分関数が2つの因数に分解できるという形であれば別にx軸とでなくても導ける。