すべての正の実数x,yに対し
　　√x + √y≦k√(2x+y)・・・☆
が成り立つような実数kの最小値を求めよ（答えは√6/2）

この問題について二冊の問題集の解答を見てみたのですが、
二乗して同次式、定数分離、コーシーシュワルツの3つの解き方しか書かれていませんでした。
最初に見たときに相加相乗を利用することを思いついたのですが、この問題ではつかっていいものなのでしょうか？
別解が多い問題集なのですが、一切触れられていないので不安です。
以下そのときの解き方をさらっと書いておきます。

√は正であるからkも正
0＜k≦1と仮定すると☆より、
√x + √y≦√(2x+y)
両辺正なので二乗して整理すると
2√(xy)≦x
y≧xのときこれは成り立たないので題意を満たさない

k＞1のとき、☆の両辺正なので二乗して整理して、
(2k^2-1)x+(k^2-1)y≧2√(xy)・・・◎
また、この左辺について、相加相乗より、
(2k^2-1)x+(k^2-1)y≧2√{(2k^2-1)(k^2-1)xy}
がすべての正の実数x,yに対し成り立つから、
(2k^2-1)(k^2-1)≧1であるとき、◎はすべての正の実数x,yに対し成り立つ
k＞1よりこれを解いて、k≧√6/2
よって求める最小値は√6/2