実数全体で定義された微分可能な関数f(x)が，次の条件(A)，(B)を満たしている。
(A)すべてのxについて，f(x)＞0である。
(B)すべてのx，yについて，f(x+y)＝f(x)f(y)e^(-xy)が成り立つ。
(1)f(0)＝1を示せ。
(2)g(x)＝log{f(x)}とするとき，g'(x)＝f'(0)-xが成り立つことを示せ。
(3)f'(0)＝2となるようなf(x)を求めよ。

(2)でf(x+y)＝f(x)f(y)e^(-xy)の両辺の対数をとるようなのですが，どうして
そういう発想が生まれるのでしょうか。
また，『g(x)＝log{f(x)}から，g(x+y)＝g(x)+g(y)-xy
ゆえに　g'(x)＝lim[h→0][{g(x+h)-g(x)}/h]＝lim[h→0][{g(h)/h}-x]』
と解答に書いてあるのですが，『ゆえに』以降の考え方がわかりません。
よろしくお願いします。