a[1] = 1, a[n] = (4 - a[n-1]) / (3 - a[n-1])

x = (4-x) / (3-x) の解は　x=2 (重解)
1 / (a[n] - 2) = -1 + 1 / (a[n-1] - 2)　←これが
よって
1 / (a[n] - 2) = -n　←何故こうなるのか分かりません
ゆえにa[n] = 2 - 1/n

…左辺は変わってないので、両方の右辺は等しいとして
-1 + 1 / (a[n-1] - 2) = -n
とすると、1 / (a[n-1] - 2)の部分が-n+1、つまり-(n+1)だと-nと等しくなりますよね。
1 / (a[n] - 2) = -1 + 1 / (a[n-1] - 2)
を
b[n] = -1 + b[n-1]
として
b[n] - b[n-1] = -1
= b[1] - Σ[k=1, n-1] f(n)
= 1 / (1 - 2) - Σ[k=1, n-1] 1
= -1 - (n-1)
= -1 - n + 1
= -n
あっ、解けました！m(__)m

…じゃあ、前から疑問に思っていた質問です。
x = (4-x) / (3-x) の解を求めてますけど
左辺は元々"a[n]"、右辺は元々"a[n-1]"で違うはずなのに
なんでx一つだけの変数で計算してるんですか？