自分で考えている問題なのですが、解どころか上手い近似にすら辿り着けず困っています。

問題：　(2n)!/n!k!　が最も１に近くなるようなｋをｎで表せ。ただしｋとｎは自然数。

スターリングの公式を使えば k!≒4^n×n! と分かるのですが、この近似を代入すると
　lim[n→∞]　(2n)!/4^n・(n!)^2　＝　＋∞
となってしまい、∞に発散するようではあまり良い結果ではないと考えています。

正直お手上げです。解析に詳しい方、解への道筋やアイディアなどご教授ください。
よろしくお願いします。