行列式を列に関して，線形性，交代性，正規性で定義するとき，次の諸性質を証明せよ。

1. ある列が0 のとき，行列式は0 である。
2. ある2 つの列が等しいとき，行列式は0 である。
3. ある列の定数倍を他の列に加えても，行列式は不変である。
4. 行列式は，問3 の変形で行列を三角行列にしたとき，その対角成分の積に等しい。
5. 行列A, B をそれぞれm, n 次の行列とするとき，
det
(
A C
O B
)
= detAdetB
を証明せよ。
6. 基本行列Eij(α) に対して，detEij(α)A = detA が成立つ。
7. 基本行列Ei(β) に対して，detEi(β)A = β detA が成立つ。
8. 基本行列Eij に対して，detEijA = −detA が成立つ。
9. 正則行列は，問3 の変形のみで，対角行列に変形できる。また非正則行列はある列が
0 とできることを証明せよ。
10. 問9 を利用して，detAB = detAdetB を証明せよ。
11. det tA = detA を証明せよ。
12. 行に関する線形性，交代性を証明せよ。
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