>>191
離散フーリエ変換がユニタリ変換であることを示せばそれでよい。
要するに、内積<x,y> = Σ[n=0,N-1]x(n)y^{*}(n) とすると(y^{*}は複素共役)、
<x,y> = Σ[n=0,N-1] x(n) ((1/N)Σ[k=0,N-1]Y(k) exp(2πnk/N))^{*}
= Σ[n=0,N-1] x(n) (1/N)Σ[k=0,N-1]Y^{*}(k) exp(-2πnk/N)
= (1/N)Σ[k=0,N-1] Y^{*}(k) (Σ[n=0,N-1]x(n) exp(-2πnk/N))
= (1/N)Σ[k=0,N-1] Y^{*}(k) X(k)
= (1/N) <X,Y>
が成り立つ。ここで、x=yとおけば、
Σ[n=0,N-1]|x(n)|^2 = (1/N)Σ[k=0,N-1]|X(k)|^2