高校生のための数学の質問スレPART215
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高校生のための数学の質問スレPAT214
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231074097/
数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は 名前(N)に 俺！#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・マルチ（マルチポスト）は放置されます。
・950くらいになったら次スレを立ててください。
0153１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 00:36:19ん？誰に言われたの？
＞3!は(i)、(ii)、(iii)に順列が存在するってことでいいんでしょうか
いまいち不明瞭な言い方だけど、まぁ、わかってるのかな？日本語が変だから判断できない。
0154１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 00:38:53とりあえず1≦x≦2なのでg(a)はf(2)かf(a)の-a^3＋2a^2-6ってことですか?
0155１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 00:40:48うん、そう。
0156１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 00:42:13わかってないに100万ジンバブエドル
>>154
ｘ=2とx=aではどちらで極小を取ってどちらで極大を取るかはわかるか？
0157156
2009/01/13(火) 00:43:110158１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 00:43:14なるほど、ありがとうございました！
さっき思いついた方法なんですが、
f(x)の原始関数をF(x)としたとき、
a[n+1]=F(a[n])-F(0)
平均値の定理より{F(a[n])-F(0)}/(a[n]-0)=f(c[n]) （0≦c[n]≦a[n])を満たす実数c[n]が存在。
よってa[n+1]=a[n]*f(c[n])で、0<a[n+1]<a[n]から0<f(c[n])<1。
a[n]=f(c[n-1])*f(c[n-2])*・・・*f(c[1])*a[1]で、f(c[i])(i=1,2,3・・・n-1)のうち最大のものをf(c[j])とすると、0<f(c[j])<1であるので、
0<a[n]<f(c[j])^(n-1)*a[1]から
lim(n→∞)a[n]=0
とできますか？
一般化してみたつもりなんですが・・・。
0159１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 00:43:33x=2は極値じゃないんだが。
0160１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 00:44:13ただし、aは実数の定数とする。
ax2の2は2乗の意味です。
0161１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 00:44:30判別式
0162１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 00:45:50ただしa≠0とa=0で場合分けを忘れるな。
0163１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 00:46:03あ、
a、b、cそれぞれに(i)、(ii)、(iii)を入れる？っていうかそんな感じです
0164１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 00:50:31なるほどね
アイデアは面白いと思った
ただしf(x)=1のときは明らかに問題成り立たないよね
そう思って俺は二次関数に着目したんだ
ところで{F(a[n])-F(0)}/(a[n]-0)=f(c[n])から
a[n+1]=a[n]*f(c[n])が導かれるのはなんでかにゃ？
f(x)=e^xとかあるよ
0165１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 00:51:33あ、ごめん最後の3行は無視して
よくみてなかったｗ
0166１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 00:53:510<f(c[n])<1がおかしいんだ
0≦f(c[n]≦１
だね
0≦f(x)<1だったら成り立つんだろうね
すばらしいです
0167１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 00:55:26c_jはnに依存するからn→0で0に収束するとは限らんぞ
たとえば(1-1/n)^n
0168１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 01:11:30定数じゃないとだめなんですか・・・。
じゃあやっぱり2次関数ってことを利用して>>147さんのようにやらなきゃだめですね。
ありがとうございました。
0169１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 01:24:39p/3+q/2+r<p+q+r≦1
これはどうやって示すんですか？
0170１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 01:26:54ありゃ、示せないね
間違ってたか
へたれ回答者ですまん
0171１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 01:32:23-1<p/3+q/2+r<1が示せそうです
ありがとうございました
0172１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 01:34:420173１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 02:07:13有難うございます。
解けました。
もう一つ質問ですが、
円x2+y2=a2(ただし、a>0)が、直線y=x+1から切り取る線分の長さが√14であるとき、aの値を求めよ。
(x2、y2、a2の2は2乗の意味です。)
0174１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 02:12:00切り取る長さが√14になるとき、円の中心と直線のキョリがいくつになればいいか考えるんだ。
あと次から質問するときは正しい表記を使うように.(x^2+y^2=a^2など)
0175１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 02:12:12ちゃんと>>2-3見て書き込んで
連立させて出した二つのx座標の差の絶対値割るcos(π/4)が切り取る長さ
なぜならば直線の傾き1=tan(π)だから
0176147
2009/01/13(火) 02:56:44絶対値とっても示せないと思う
そこで今頃だがひらめいた
0≦∫[0.1]f(x)dx≦1より
0≦p/3+q/2+r≦1だ
0177１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 03:01:03まず図を描く。弦の両端と中心を結び、さらに原点と弦の中点を結べば、
等辺aの二等辺三角形の中線の長さが1/√2、底辺が√14という
構図が見える。あとは三平方。
0178１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 03:17:41命題｢|xｰa|+|yｰa|≦aならばx^2+y^2＜5^3である｣が真であるような整数aのうち、最大のものを求めよ。
0179１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 03:18:530180１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 03:42:17| x - a | + | y - a | ≦ a ・・・(i)
x^2 + y^2 ＜ 5^3 ・・・(ii)
x-y平面上で、(i)の表す領域をＣ、(ii)の表す領域をＤとおくと
｢ | x - a | + | y - a | ≦ a ならば x^2 + y^2 ＜ 5^3 ｣
⇔｢ Ｃ ⊂ Ｄ ｣
ＣとＤの形を考える。
0181１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 10:51:13すいません、①②③はできました。
けど下の④はＥ＝１５
⑤はｘ＝１/2
となったのですが自信がないです。誰か解いてください
④ 地震の大きさはマグニチュードＭと地震のエネルギーＥ［Ｊ（ジュール）］は
log10E=4.8＋1.5M
の関係がある。２００４年に起きた新潟中越地震はＭ＝6.8であったそうです。
この地震のエネルギーを求めなさい。
広島に落とされた原爆の推定エネルギーは5.5×10^13[J]だったそうです
⑤2^(2x)-2^(x＋１）＋1=0を満たすｘ
お願いします
0182１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 11:01:55散々マルチしてたやつに答えたくないけど少しはといたみたいだから
4
とりあえず表記法は>>2-3みて書いて
まあ、俺も結構適当に書いてるけど
log[a]b=cのときb=a^c
5
2^x=yとした時2^(2x)=y^2,2^(x+1)=2y
0183１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 11:07:45x^5 +5x^4y +9x^3y^2 +9x^2y^3 +5xy^4 +y^5 でよろしいでしょうか？
文字を入れた計算はgoogleでやってくれないのでお願いします
0184１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 11:09:38真ん中の二つの項の係数が違う
ていうかx=y=1とか入れてみたら違うことわかるだろ
二項定理とか知らないの?
0185１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 11:15:01ありがとうございます。
では④は１５で合ってますよね？
⑤は・・・最初から分からないのですが、
何故２^（２ｘ）＝y^2
2^(x＋１)＝２ｙとなるのですか？
0186１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 11:17:56パスカルの三角形？は知っていたのですが、対応関係が分からなかったので……
間違いが分かりました。回答してくださりありがとうございました
0187１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 11:19:33４
指数はね
５
教科書嫁カス
値代入したら成り立つことぐらいわかるだろうが
少しは自分で考えろ
0188１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 11:23:50理解しました。
あの２^x=1ってでたんですけど、ｘ＝０で良いのですか？
あと２^(1/2)はなんぼになるのですか？
0189１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 11:26:17だからさ、答えでただったら代入してみりゃいいじゃん
2^(1/2)は、、、って教科書読めよ
{2^(1/2)}^2=2がヒント
0190１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 11:32:35ありがとうございます。
わかりました！色々と教えてもらってありがとうございました
0191１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 12:23:01どういたしまして。
0192１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 12:51:01ちょｗ
0193１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 14:45:38なんだよ？
0194１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 14:54:24log[10]E=15であって、E=15ではない。
0195１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 15:04:170196１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 15:08:20それくらい高校生ならやってもらわなくては困る
0197１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 15:09:37ax^2+2bx+c=0
x={-b±√(b^2-ac)}/a
0198１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 15:10:42ああ
今年は燃料電池がでるかもしらん
0199１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 15:11:42誤爆
0200１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 15:20:48Bは出発後1時間30分でAに追いつき、さらにその1時間後にCと同時にQ地点に到着した。
Aの速さは30km/h、B,Cもそれぞれ一定の速さで飛行したものとする。ただしA,B,CはP地点からQ地点までを最短距離で飛行したものとする。
次の問いに答えよ。
途中のある地点で、1機目のジェット機が通ってから2機目のジェット機が通るまでの時間と、
2機目のジェット機が通ってから3機目のジェット機が通るまでの時間が等しかったという。
このような地点は2つある。P地点とこれらの地点との距離をそれぞれ求めよ。
PQ間の距離はわかったんですけど、これからがわかりません。
教えてください。
0202１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 15:34:54マルチ
0203１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 15:51:43グラフはかいたか？
0204１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 16:16:520205１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 16:38:420206１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 16:41:04ジェット機だ馬鹿
質量だの衝突係数はm_a,m_b,m_c,e_1,e_2,e_3とすればよかろう
0207１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 17:43:150≦θ＜πのときf(θ)=2√3COSθSINθ-2SIN2乗θの最大最小を求めよ
詳しく解説お願いします
0208１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 18:00:300209１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 19:08:280210１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 19:10:56高さってどこの？
0211１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 19:15:410212１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 19:19:33ヘロンの公式で三角形の面積を出し、
求めたい底辺とその底辺の高さから三角形の面積についての方程式を作り、
高さを計算する。
0213数
2009/01/13(火) 19:29:36ＡＢとＣＤのそれぞれの延長線の交点をＥとするとき、ＡＥとＥＤを求めなさい。
ＡＣ＝２√７、ＡＤ＝２
sinＣ＝√２１／１４
↑は既に問で求めて出しました。
どなたかお願いします!
0214１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 19:30:24ですが、自分でやってみても解けなかったので、
底辺が４、ほかの二辺が３の場合、面積＆高さはどうなるか詳しく教えて下さい
お願いします！
0215１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 19:32:01>>213じゃなくて>>212さんでした
0216１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 19:34:42その三角形は二等辺三角形になるよな
ということは頂点から底辺4におろした垂線(この三角形の高さ)は底辺と垂直に交わり底辺の中点を通る
ちゅうことは三平方の定理が使える
垂線＾2 = 3＾2 － 2^2
0217１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 19:35:29頭いいなおまえ
0218１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 19:40:30申し訳ございませんが、三平方の定理を使わないで答えをだす場合の式を書いてくださったらうれしいです
0219１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 19:45:21x=-tとおくと、分子の有理化をして
√(t^2-t)-t
=-t/(√(t^2-t)+t)
=-1/(√(1-1/t)+1)
→1/2(t→∞)
となるのは分かるんですが、
置換をせずにやると
√(x^2+x)+x
=x/(√(x^2+x)-x)
=1/√(1+1/x)-1
→1/(0-0)=∞
となり、結果が違います。
どこがおかしいのですか？
お願いします。
0220１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 19:46:14f(θ)=2√3COSθSINθ-2SIN＾2θ
半角、倍角の公式を使って変形すると
f(θ)=（√3）sin2θ －（1－cos2θ） ＝ √3sin2θ + cos2θ －1
三角関数の合成で
f(θ)＝ √3sin2θ + cos2θ －1 = 2・sin（2θ＋π/6） －1
sin（2θ＋π/6）の取り得る範囲から最大と最小は簡単に1と－3と求まる
0221１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 19:47:420222１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 19:48:52>lim_[x→-∞] {√(x^2+x)+x} を求める問題で
> x=-tとおくと、分子の有理化をして
> √(t^2-t)-t
> =-t/(√(t^2-t)+t)
> =-1/(√(1-1/t)+1)
> →1/2(t→∞)
> となるのは分かるんですが、
> 置換をせずにやると
> √(x^2+x)+x
> =x/(√(x^2+x)-x)
> =1/(√(1+1/x)-1)
> →1/(1-1)=∞
> となり、結果が違います。
> どこがおかしいのですか？
> お願いします。
0223１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 19:48:59＞=x/(√(x^2+x)-x)
＞=1/√(1+1/x)-1
ここが違う。x＜0なんだから√(x^2+x)≠x√(1+1/x)
0224１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 19:52:01ありがとうございます
0225１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 19:53:36なんの計算だよ
与えられた式を関数と見て微分なのか、積分なのか
全然わからんわ
0226１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 19:56:20教科書にはＳe^xdxしか載ってないのでわかりません。
0227１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 19:59:25どうしろという。
0228１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 20:00:150229１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 20:01:07∫2^x dx = （2^x）/（log2） ＋C
A^xの微分を覚えてないと無理だよな
（A^x）’ = （A^x）・（logA）
0230１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 20:06:13＞ やむを得ず積分の式を書くときには，∫f（ｘ）dｘの形で立てようとするものです。それで必ず解けるのですが，区間を分割しなければならないときは，∫f（ｙ）dｙの形で書くと楽なことがあります。このことに関しては問題編の第２問で解説したいと思います。
この文章の意味が分かりません。教えて下さい。
0231１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 20:10:56（ｉ） ａ＞０，ｂ＞０，ｃ＞０が同時に成り立つためのｔについての必要十分条件を求めよ。
（ｉｉ） ａ＞ｂ＞０，ａ＞ｃ＞０が同時に成り立つためのｔについての必要十分条件を求めよ。
（ｉｉｉ） ａ，ｂ，ｃを３辺の長さとする三角形が存在するためのｔについての必要十分条件を求めよ。
（ｉｖ） ａ，ｂ，ｃを３辺の長さとする三角形の最大の角の大きさを求めよ。
（ｖ） ａ，ｂ，ｃを３辺の長さとする三角形が二等辺三角形となるためのｔについての必要十分条件を求めよ。
お願いします。
0232１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 20:13:07第2問の解説読めば？
0233１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 20:13:37テンプレ嫁
0234１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 20:19:050235１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 21:12:26(i)は簡単なので省略
(ii)は簡単なので省略
(iii)について
(i)は三角形ができるために必要。
(i)かつ十分となる条件を、(ii)の答えも参考にしつつ自分で考えること。
(iv)について
余弦定理を用いて、それぞれの角の余弦(cos)を求める。
どの角が最大となるかの評価は自分ですること。
(v)は(ii)が解けていれば簡単なので省略
0236１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 21:56:40Aをx軸の周りに一回転させた立体と、y軸の周りに一回転させた立体の体積が等しいとき、次の問に答えよ。
一、aとbの満たす関係式を求めよ
二、aが一で求めたような関係式を満たす最小の自然数である時、aおよびbの値を求めよ
・・・という問題なのですが、考え方はわかりました（プリント問題で、答えはついていませんが）。
疑問なのは次の点です。
「y軸周りの回転体の体積」は∫[0,b]π(x^2)dy・・・（イ）で求められると思うのですが、実際に計算すると負値となってしまいます。
ちなみに上の積分は、xをそのまま用いdy=-2axdxを利用して積分しました。
一方、（ア）式の逆関数y=√((b-x)/a)・・・（ウ）のy＞0となる領域Bを考えると、
Bのx軸周りの回転体の体積は、Aのy軸周りの回転体のそれと同じものです。
ということは、（イ）式は∫[0.b]π(y^2)dx・・・（エ）と実質同じものです。もちろんここでのyは（ウ）式のことです。
そして、こちらは積分しても負値とはなりません。
なぜ（イ）式を直接積分するのと、（ウ）→（エ）を経由しての積分ではこんな違いが出るんでしょうか？
（イ）式のまま矛盾なく解く方法はあるんでしょうか？
0237１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 22:04:26ってどうやって計算するんだっけ？
0238１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 22:17:26一般には一発で計算できない。
X回ちょうど成功する確率なら反復試行の定理（独立志向の定理）で計算できる
つまり
C[Y,X]*{(N/100)^X}*{(1-N/100)^(Y-X)}
この伝でX+1回、X+2回、…Y回（全回）成功について確率を求めて足すしかない。
数学の問題として、でなければ表計算ソフトで計算するのが多分楽。
Xが小さいなら、0回成功～X-1回成功 を計算して和をt作り、その和を
1から引いたほうが早い（余事象の確率）。
0239１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 22:17:45＞ちなみに上の積分は、xをそのまま用いdy=-2axdxを利用して積分しました
「ここで積分区間の変更の仕方を間違っている」に一票入れてやるからどう計算したか書きな。
実際どう計算したかを書かないとどこが間違ってるかなんてわからんよ。
0240１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 22:24:32あっ！おかげで今、意味がわかり矛盾なくできました
なぜ間違えていたのかもわかったのでこれ以上は省略します
どうもありがとうございます
0241１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 22:25:28>「y軸周りの回転体の体積」は∫[0,b]π(x^2)dy・・・（イ）で求められると思うのですが、
これは間違ってない
>実際に計算すると負値となってしまいます。
これは計算を間違えてる。
>ちなみに上の積分は、xをそのまま用いdy=-2axdxを利用して積分しました。
変数をｘに変換したなら、積分区間は[√（b/a）、0] となる。通常とことなり
正→0になることに注意。これを勝手に0→正にしてはいけない。
さらに、ｘに変数返還すること自体が筋が悪い。x^2=(b-y)/a なのだから
これを使ってｙでそのまま積分したほうが楽。
0242１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 22:32:26この微分はどうなるんでしょうか？
F'(0)=1としか書いてなくて…
F'(x)=e^(x^2)･(x^2)'
F'(0)=0となる気がするんですが
どなたかわかるかた、解説願います
0243１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 22:36:56ありがとう
0244１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 22:37:30どういたしまして。
0245１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 23:37:23わからなかった問題を載せておきます。
任意の実数ｘについて定義される関数f(x)について、f(x+y)=f(x)+f(y)が成り立っている。次の問いに答えよ。
(1)f(0)を求めよ。また、f(x)は x = 0 において連続であることを証明せよ。
(2)任意の実数ｘについてf(x)は連続であることを証明せよ。
(3)f'(0)が定義されることを証明せよ。
(4)任意の実数ｘについて、f'(x)が定義されることを証明し、f'(x)を求めよ。ただし、f'(0)= a(aは実数の定数)とする。
(5)題意を満たすf(x)を全て求めよ。
(1)は、x=0を代入してf(0)=0を示して、
(2)は、任意の実数aについてlim[h→+0]f(a+h)=lim[h→+0]{f(a)+f(h)}=f(a),lim[h→-0]f(a+h)=lim[h→-0]{f(a)+f(h)}=f(a)が成り立つから、としたのですが、ここまではいいんでしょうか？
この後はちんぷんかんぷんです。
(5)だけなら解けるんですが…。
0246１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 23:41:33次の式を簡単にせよ
1/{1-1/(1-1/a)}
わかりやすいかと思い括弧つけました
よろしくお願いします
0247１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 23:45:271/（A/B) = B/A だ。
1-1/a から計算して、このルールで必要に応じて分子分母ひっくりかえしていけばおけ。
0248１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 23:47:49(2)までは合ってるよ
(3)は微分可能の定義を考えればいい
f(x)がx=aで微分可能⇔極限値lim[h→0](f(a+h)-f(a))/h が存在する、だから
f(0+h)-f(0)=f(h)より
lim[h→0]f(h)/hが存在することを示せばいい。(1)からこれは明らかに極限値0。
(4)も同様。
0249１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 23:53:04lim[h→0]f(h)/hの値は定まるんですか？そうすると(4)のf'(0)=aというのがおかしくなると思うんですが…。
0250１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 23:55:28計算してみました
1/1-1/1-1/a = 1/1-1/a-1/a = 1/1-a/a-1 = 1/-1/a-1 = -a+1
になったのですが…
どうでしょう
0252１３２人目の素数さん
2009/01/13(火) 23:56:41あってるよ
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