>>279
「面積最大となる理由」の部分を真面目にやると、結構面倒だな。

いくつかの補題を示して、可能性を絞り込む。
以下、正三角形は長方形の内部（周を含む）に含まれるものとする。

１）正三角形の３つの頂点のうち２つ以上が長方形の周上にないとき、その正三角形は面積最大ではない。
→それより大きい正三角形の存在を示す

２）正三角形の３つの頂点のうち２つのみが長方形の周上にあり、その２つは長方形の同一の辺上にはなく、互いに向かい合う辺上にもないとき、その正三角形は面積最大ではない。
→平行移動すると、３頂点とも周上にない正三角形になる

３）正三角形の３つの頂点のうち２つのみが長方形の周上にあり、その２つは長方形の互いに向かい合う辺上にあり、さらにそのうち少なくとも１つは長方形の頂点と一致するとき、その正三角形は面積最大ではない。
→長方形の頂点と一致する頂点を軸に回転すると、２頂点が周上にない正三角形となる

４）正三角形の３つの頂点のうち２つのみが長方形の周上にあり、その２つが長方形の互いに向かい合う辺上にあるとき、その正三角形は面積最大ではない。
→平行移動すると、３）の状態に

５）正三角形の３つの頂点のうち２つのみが長方形の周上にあり、その２つは長方形の同一の辺上にあり、さらにその２つのうちの少なくとも１つは長方形の頂点と一致しないとき、その正三角形は面積最大ではない。
→それより大きい正三角形の存在を示す

６）正三角形の３つの頂点がいずれも長方形の周上にあり、なおかつ長方形の頂点とは一致せず、さらにそのうちどの２つをとっても長方形の同一の辺上にはないとき、その正三角形は面積最大ではない。
→平行移動すると、３）の状態に