中学生レベルの問題かもしれません。

　　1
-----
k(k+1)

　　1　　　　1
= --- - -----
　　k　　　K+1

というのは分かります。でも、

　　　　1
-----------
(2k-1)(2k+1)

　　1　(　　1　　　　　1　　)
= ---( ----- - ------ )
　　2　( 2k-1　　　2K+1　)

の1/2が何故付くのか理解できません。
これって公式がありますか？
(自分の参考書には多分載っていません)
例えば、1/3が付くようにするには上の式をどう変えればいいですか？