〔問題〕
　f(a[1],a[2],a[3]) = ∫_{0<x[i]<a[i]} {1/(x[1]^2 + x[2]^2 + x[3]^2 + 1)^2} dx[1]･dx[2]･dx[3]
とおく。
　a[1], a[2], a[3] のいずれかが 0 のとき f=0.
a,b,c,d >0 のとき
　f(a/d, b/d,c/d) + f(a/c,b/c,d/c) + f(a/b,c/b,d/b) + f(b/a,c/a,d/a) = (1/8)π^2,
を示して下さいです。。。

〔系〕
　f(∞, ∞, ∞) = (1/8)π^2,
　f(1,1,1) = (1/32)π^2,

本年も宜しくおながいします。　(エレガントな解答をきぼん)