ちょっと話がずれるけど、ε-δ論法は知ってる？
あれも、条件の順序が違うと話が全然違うので今回のことと近いと思うよ。

「任意のεに対して、あるδがあって」→各点連続
「あるδがあって、任意のεに対して」→一様連続

今回も一様に示せるアルゴリズムがあるかどうかって問題になると思うよ。