Ａ{1,3,9,…,3^n}
Ｂ{Ａの要素またはＡの要素のうちいくつかの異なる要素の和として得られる数全体}とする

Ａの要素は3進法表記で
{1,10,100,1000,…,10000…(0がn個)}だから

Ｂの要素は3進法表記で
{1,10,11,100,101,110,111,…,1111…111(1がn個)}

よってＢの要素の総数は各桁が0or1のn桁以下の数字の数と同じ(ただし0除く)

∴Ｂの要素2^n-1個

今Ｂから任意の異なる3つの要素P,Q,Rを選ぶ(ただしP＜Q＜R)

これらが等差数列をなすとすると

2Q=P+R

PQRは3進法表記で0と1のみで表されるから左辺は3進法表記で0と2のみで表される数

しかしP≠Rより3進法表記において右辺はそうならない、すなわちＢの要素のうちどの3つも等差数列をなさない

n=11とするとＢの要素は2^11-1=2047個＞2009個

このときＡの最大要素は3^11=59049で55万を超えない

よって示された