>何度やっても矛盾が生じませんでした。

ほんの一、二行で矛盾にたどり着くんだがな。

αを無理数、β=p/q をnon-zeroな有理数として、αβが有理数と仮定する。
αβは有理数だから、αβ= m/n と表せる(m,nは整数)。このときα＝・・・