＞　≧0 よりもっと条件厳しくしても成り立つんですよ、と
＞　教える方が有意義じゃん

いや、ちがう。逆。
ある命題については、その命題の前提条件を「弱く」した命題の方が、
より「強い」命題なんだよ。数学においては。
逆に条件を強くすると、命題としては弱くなる。

相加相乗だと「a,bが正」という条件よりも「a,bが非負」という条件で
示されている方が、より数学的に望ましい結果なんだよ。
後者は前者を自動的にカバーしている。