f'(x)=lim[h→0]∫(e^{-(x+h)^2(1+t^2)}-e^{-x^2(1+t^2)})/(h(1+t^2))dt
　　=lim[h→0]∫(e^{-(x^2)(1+t^2)})(e^{-(2xh+h^2)(1+t^2)}-1)/(h(1+t^2))dt
で、g(h)=e^{-(2xh+h^2)(1+t^2)}とおくと、
　　=lim[h→0]∫(e^{-(x^2)(1+t^2)}/(1+t^2)*{(g(h)-g(0))/h})dt
　　=∫(e^{-(x^2)(1+t^2)}/(1+t^2)*{g'(0)})dt
　　=∫(e^{-(x^2)(1+t^2)}/(1+t^2)*{-2x(1+t^2)})dt
　　=∫(-2xe^{-(x^2)(1+t^2)})dt
になった。
計算ミスしてたらすまん。