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(x-1)/-1 = (y+1)/5 = (z-4)/7 = tと置くとｔは任意の実数値を取れて、
x=-t+1 y=5t-1 z=7t+4
よってこの方程式を満たす動点Pの位置ベクトルをp↑とすれば、
p↑=(-t+1,5t-1,7t+4)=t(-1,5,7) + (1,-1,4)
これは定点(1,-1,4) を通り方向ベクトル(-1,5,7)の直線をあらわす。

p(x-x_0) + q(y-y_0) +r(z-z_0) = 0 という式を考える。この式は
2つのベクトル、(p,q,r) と （x-x_0、y-y_0、z-z_0）の内積がつねに0である、
という形をしている。
ここで定点Aの位置ベクトルa↑=(x_0、y_0、z_0)、
動点Pの位置ベクトルp↑=(x,y,z)、係数を取った(p,q,r)=ｈ↑とすると、
この式はh↑・（p↑-a↑）=0とかけることになり、
図形的に考えて
「点AからPに引いた直線がいつもｈ↑と垂直」
⇔「PはAを通りｈ↑と垂直な平面上を移動する」ことが分かる。
このｈ↑が法線ベクトル。

元の式に戻って、適切な数sを考えれば(x_0等は定数だから）
p(x-x_0) + q(y-y_0) +r(z-z_0) = 0 ⇔ px+qy+rz=s
と変形できる。このことから、x,y,zの1次式はその係数を並べたものを
法線ベクトルとする平面をあらわすことが分かる。