まあ俺は一回しか書き込んでないんだけど、勝手に俺が議論してることになってて悲しいのでちょっと書いとく。

たとえば、複素数ってあるだろ？
今だと現実世界にも役に立ってるけど、それは最近の話。
最初は「二乗して−1って意味わかんねー。そんなのありえないし」ってかんじだったはず。
3次方程式の解の公式とかの話で虚数が登場してしまうんだけど、カルダノは「現実ではありえないが、計算はできる」って言ってたそうだよ。
もちろん、現実の世界がまったく無関係かっていうとそうではなくて、複素数が市民権を得るには時間がかかった。
でも登場した背景は、実数を含むような代数閉体を考えると便利だからで、現実の世界でどうとかは関係なかったわけ。
負の数ってのも、自然数を半群から群に拡張する（平たく言えば任意の数で引き算できるようにする）っていう必要性からできた概念だろ。
負の数がなかった時代の自然数の概念ってのは「物の個数」っていう現実的な対象だったから、「−1個」っていう概念には当然抵抗があったはずなんだけどね。
このとき、和と両立した積をどう定義するかって考えれば、分配律をみたすようにするのが当然じゃないか。
そうすれば、自然数で成り立つ積に関する性質のほとんどが整数で成り立つことになるんだから。