>>700
いかにも頭のいい方法がありそうな形だが、地道に微分でやってみる。
f(x)=sinx･sin(1/x)と置く。f(x)を微分すると
f'(x)=cos(x)sin(1/x)-sin(x)cos(1/x)/x^2　となり、方程式f'(x)=0を考えると
それはg(x)=tan(x)/x　を用いて　g(x)=g(1/x)　と変形できる。
この形からx=1が解である事は明らか。1/π<x<πの範囲でこれが唯一の解である事を示す。
まず1/π<x<2/πとπ/2<x<πの範囲ではg(x)とg(1/x)の符合が異なるのでこの範囲内に解はない。
また0<x<π/2の範囲でg(x)は狭義単調増加なので、残る2/π<x<π/2の範囲で
g(x)は狭義単調増加、g(1/x)は狭義単調減少する。よってこの範囲でg(x)=g(1/x)は唯1つ解を持ち、
最初に述べたようにそれはx=1。以上から方程式f'(x)=0は1/π<x<πの範囲で
x=1を唯一つの解として持つことがわかったので、f(x)の極ははこの範囲でx=1のみ。
x=2/π,π/2などを代入してf'(x)の符号を確認すればx=1でf(x)は極大値f(1)=sin^2(1)を取るとわかる。
f(x)のグラフの概形を考えればこれが最大値であることもわかる。

誰か頭のいい方法を頼む。