>>6
君が考えてるのは直線2x+y=2ｎ上の格子点
今回の問題は領域2x+y≦2ｎ内の格子点

＞ｋ＝0，1，2，･･･，ｎ
と書かれているからkが整数の場合のみ考えればよい
直線x=kってのはグラフ上でy軸に平行な直線

たとえばk=0のときは(0,0),(0,1),,,(0,2n)
k=1　(1,0),(1,1),,,(1,2n-2)
...
k=n　(n,0)

このように各々のkに対して、
Dに含まれ直線x=k上にある格子点は、
(k,0)〜(k,2n-2k)の2n-2k+1(個)