オイラーの公式（exp(ix)=cosx+isinx）
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001１３２人目の素数さん
2008/11/13(木) 04:36:030002１３２人目の素数さん
2008/11/13(木) 07:34:2621世紀で最も美しいシャレ
0003１３２人目の素数さん
2008/11/13(木) 07:51:42ぶつよ
0004１３２人目の素数さん
2008/11/13(木) 09:00:56/ ! /.!
! .| ／/
.-―'| ├'＝=ｰ- ､_ ／ ／
￣＞ｰ=.〉_ノ⌒ブ^ヽ _ ／ ／ ／￣￣￣￣￣
( -―'三≧' /ﾉ (､,.ji _八. ／ |
ﾞー-､＿ -―彡'三 _｢/ ﾄ-｡-ｫ==ﾄ､ 爪 .| まて…
,.三 fkKヽ_｀三.( i^:ﾟ:ｦﾞ'个） | まてまて…
..-―= じ' il ト､.て､__,ﾑ__ , :ﾊ | >>１について語りたいのではないだろう……
-―彡'三 ∧ l |ﾞF:ｧｪｪｪ;ﾃァ/〈∧,, |
-‐'ブ´_.／,. ,.. ハ !|r‐ｲrrｪｧ /// ヾ) ＜. おぬし達
､__.／ ﾉ,:ｸ／〃ブ７オニ 彡ﾍ:／i iV /ﾆ/ ﾞ}/ '/ ,ﾉ | 古いスレを落としてくれようというのだな
,.=≡='" -=' ノ-='≦三≡==く ヽ i! i/ ﾞ''/=/ﾞ=/_,ｨﾉ |
,〃⌒ﾞ三‖／ ､ ヽ ﾞv'-‐―ァ ﾉ ﾉ | 単発質問スレ…
＿.／ ／ ⌒ヽ ＿／ ﾞｧ'ア~´ﾞﾗ" {. | 駄スレ…
_ ／ ~ヾ＝ / ,ゝ､" ....ﾆ/ k: ノ | 糞スレ…
／~ -=＝ ノ ヾﾍ. 〉 ,...{ ＼
/｀ l _} ''"〃`r‐r' "￣ iフ
,〃 ＞'~ ﾞV " ﾞi＿,...-‐く
_,.／ _八ﾞ ,;" ,.イ i |
／ "~ ﾆ:="ﾆ＞--‐' l | ! l
0005１３２人目の素数さん
2008/11/13(木) 09:16:19これもまた解析的に求めた物と幾何的に求めた物が一致する定理の一種だと考えられる
0006１３２人目の素数さん
2008/11/15(土) 22:20:250007１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 02:38:48読まれたかた、感想聞かせてください。
0008１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 05:32:460009１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 05:45:33中学高校で習うような数学を広範囲に渡って解説してるからな
解説は良いけどe^(iπ)=-1を理解するだけなら余計な物が多いと言える
もし微積分を結構理解してるなら、分かってると感じる説明を
延々と受けることになるかもしれない
それでも得るものは多いので、図書館で借りれるなら借りた方がいい
0011１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 12:38:140012１３２人目の素数さん
2008/12/03(水) 16:53:100013１３２人目の素数さん
2008/12/04(木) 21:08:480014１３２人目の素数さん
2009/01/11(日) 09:45:210015１３２人目の素数さん
2009/02/11(水) 17:27:320016１３２人目の素数さん
2009/04/20(月) 23:11:050017１３２人目の素数さん
2009/06/05(金) 12:09:15オイラーの定義じゃないの？
0018１３２人目の素数さん
2009/06/05(金) 23:03:39"オイラーの定理"は全然違う数論の定理だからな
間違いなく定義ではない
工学とかで証明無しで使うってのがそういう混乱の原因だろうね
0019１３２人目の素数さん
2009/07/10(金) 09:37:550020１３２人目の素数さん
2009/08/18(火) 11:20:520021１３２人目の素数さん
2009/09/30(水) 23:13:34オイラーの公式
0022１３２人目の素数さん
2009/10/03(土) 21:20:56d(exp(ix))/dx=d(exp(ix))/d(ix)*d(ix)/dx=iexp(ix)
d(cos(x)+isin(x))/dx=-sin(x)+icos(x)=i(cos(x)+isin(x))
しかもexp(0)=1そしてcos(0)+isin(0)=1
したがって微分方程式df(x)/dx=if(x)の
初期値問題の解の一意性から
exp(ix)=cos(x)+isin(x)
0023１３２人目の素数さん
2009/10/04(日) 16:51:00e^x=lim[n→∞](1+x/n)^n
の x に iθ を代入するのが分かりやすい
0024１３２人目の素数さん
2009/10/09(金) 00:38:56それ大丈夫なの？
複素数の微積分が必要だよ。
0025１３２人目の素数さん
2009/10/09(金) 23:28:21それがsin、cosで表現できるってやったほうがいいだろ。
0026１３２人目の素数さん
2009/10/10(土) 11:15:49＞それ大丈夫なの？
＞複素数の微積分が必要だよ。
そもそも複素関数の微積分が必要。
0027１３２人目の素数さん
2009/10/10(土) 17:11:55>e^x=lim[n→∞](1+x/n)^n
>の x に iθ を代入
e^(iθ)
＝lim[n→∞](1+iθ/n)^n
＝lim[n→∞](cosθ/n+isinθ/n)^n
＝cosθ＋ｉsinθ
ってことかい。
0028１３２人目の素数さん
2009/10/11(日) 01:07:23って個所で、更に幾何学に落とし込むと、グレーテストプルーフになるよ わらい
0029１３２人目の素数さん
2009/10/11(日) 04:39:370030１３２人目の素数さん
2009/10/12(月) 10:36:00>iθの代入で良い
exp(x)=lim[n→∞](1+x/n)^n
が関数expの定義であり、
xが実数の場合exp(x)=e^xである
と証明すれば問題ない。
0031１３２人目の素数さん
2009/10/12(月) 11:18:32２行目から３行目がよく分からない
0032１３２人目の素数さん
2009/10/12(月) 13:59:46その書き方するなら、定義式って割り切った方がいい。
そのやり方はお勧めしない。
0033１３２人目の素数さん
2009/10/12(月) 14:38:49lim[n→∞](cosθ/n+isinθ/n)
=lim[n→∞](1+iθ/n)
ということか
0034１３２人目の素数さん
2009/10/12(月) 14:45:220035１３２人目の素数さん
2009/10/12(月) 15:53:060036１３２人目の素数さん
2009/10/12(月) 16:07:48１０・１０外国人参政権断固反対！大阪デモ
http://www.youtube.com/user/Osaka1010Demo#p/a/f/2/v8SeULfOHGw
順番が良く分からないな・・
チョンが必死に邪魔してるのが笑える。
http://www.youtube.com/user/Osaka1010Demo#p/a/584185B9DEDAB207/0/k1Xro718CzU
各自で、拡散お願いします。
http://menu.2ch.net/bbstable.html
0037１３２人目の素数さん
2009/10/12(月) 16:28:46あくまでも視覚的にわかりやすい説明って感じかな
0038１３２人目の素数さん
2009/10/12(月) 16:45:33その定義域を複素数に拡大するのは
複素数の計算だけですむ点で
ラクチンだが面白みはない。
0039１３２人目の素数さん
2009/10/12(月) 16:52:02むしろe^xを複素数でちゃんと定義しようよと。
0040１３２人目の素数さん
2009/10/12(月) 16:54:50これをexpの虚数方向の関数として
exp(a+bi)=exp(a)*(cos(b)+isin(b))
とするのは、もっともらしい。
0041１３２人目の素数さん
2009/10/12(月) 17:08:58z=1+(θ/n)i
として
z,z^2,…,z^n
をガウス平面に図示するといかにも角度θの回転らしいのがわかる。
0042１３２人目の素数さん
2009/10/12(月) 17:19:25分かりやすいけど、でもなんかすっきりしないんだよね。
それってのは勝手に定義域拡大しちゃうからで。
さきにe^ixについて定義した方が初学者としてはありがたいと思う。
0043１３２人目の素数さん
2009/10/12(月) 17:27:20感覚が無いせいだろう。
勝手に拡大しても無いし、それが勝手ならe^(ix)を定義するのも勝手な定義だろ。
0044１３２人目の素数さん
2009/10/12(月) 17:36:40実際、複素数上でちゃんとe^zは定義されるんだから、
その定義を先にすればいいでしょ。
それを勝手な定義とは言わないよ。
e^xっていう実数での関数に虚数を突っ込んで、
さも前から定義してあったかのようにふるまうなら、
オイラーの公式は定義と割り切ったほうが分かりやすい。
というより、e^ixをテイラー展開で定義するなら、
そのあとはただの式変形であって、証明って言うほどのもんじゃないでしょ。
0045１３２人目の素数さん
2009/10/12(月) 17:56:05いや、e^zの定義をするならわかるがなぜe^(ix)なのかまったくわからん。
0047１３２人目の素数さん
2009/10/12(月) 18:00:50どうして無理矢理定義ということにしたいのかのほうがすっきりしないな。
0048１３２人目の素数さん
2009/10/12(月) 18:11:09ん？？
定義域を拡張してる実感がないってこと？？
ただの式変形を証明だって言い張りたいならいいけども、
どうせテイラー展開で定義したことにするんでしょ。
定義式でいいじゃない。
0049１３２人目の素数さん
2009/10/12(月) 18:26:06複素解析の知識の乏しいあなたは無理して議論に参加しないでもいいですよ。
0050１３２人目の素数さん
2009/10/12(月) 19:00:53もちろん、虚数乗なんてできないんだから
勝手じゃない定義なんかやりようがない。
その場合、e^xのどの性質を延長するかが重要。
例えばd(e^ax)/dx=ae^xとなるという性質に
注目してもいいだろう。
0051１３２人目の素数さん
2009/10/12(月) 19:20:45> 例えばd(e^ax)/dx=ae^xとなるという性質に
> 注目してもいいだろう。
というのは、解析性に注目しているという点でテーラー展開によるものと
本質的に同じだと思う。
0052１３２人目の素数さん
2009/10/12(月) 19:41:48さっきから言ってるように、
さも前から定義してあったかのようにふるまうから話がややこしいんだよ。
等式の証明っていうのは右辺と左辺が等しいことをもってして、行うんであって、
実数でしか定義されてない、e^xにixを放り込んで、
まるで平気なのがおかしんだよ。
e^ixをテイラー展開で定義するんだろ。
違うなら、e^ixをどう定義するんだよ？？
0053１３２人目の素数さん
2009/10/12(月) 19:49:05お前が一人だけ順番間違えて身悶えしてるだけだと思う
0054１３２人目の素数さん
2009/10/12(月) 19:57:46順番とは具体的に。
0055１３２人目の素数さん
2009/10/12(月) 20:22:07>解析函数については関数関係不変の法則があるから
>>50の時点では、解析関数なんて意識してないと思うが。
その意味で、
>解析性に注目しているという点で
>テーラー展開によるものと本質的に同じ
というコメントは全く見当違いかと思う。
0056１３２人目の素数さん
2009/10/12(月) 20:24:15それがテイラー展開で表せるというのは
定理であって、定義ではない。
0057１３２人目の素数さん
2009/10/12(月) 20:30:34微分方程式の解としての定義は解析性を意識してないなんて言わせねーぞ
0058１３２人目の素数さん
2009/10/12(月) 20:35:46なにムキになってんだか。
>>50の式のxって実数だろう。
0059１３２人目の素数さん
2009/10/12(月) 20:41:03なら、e^iをどう求めるのかって話なんだよね。
0060１３２人目の素数さん
2009/10/12(月) 20:41:32> >>50の式のxって実数だろう。
残念だが、微分方程式にそんな制約はないんだ。
0061１３２人目の素数さん
2009/10/12(月) 20:54:12アホ。
んなこと言い出したら、微分も積分も複素関数でできる。
0062１３２人目の素数さん
2009/10/12(月) 21:05:04実二変数函数が複素微分可能かどうかというような問題と
微分方程式の解がどのような空間に存在すると考えるのが妥当か
というような問題とはまったく性格が異なるでしょう。
アホはどっちですかね。
0063１３２人目の素数さん
2009/10/12(月) 21:13:28同じ繰り返しだと思うんだけども。
微分方程式っていってても、どうせiをいれちゃうんだろ。
どうせxに。
どうせ。
0064１３２人目の素数さん
2009/11/18(水) 02:39:47http://www9.plala.or.jp/kyushu/index6.htm
まず、ｅ＾θを考えます。これは数直線でも考えることが出来ます。ｘ＝ｅ＾ｔとしましょう。時間とともに指数関数的
に位置が変化します。速度も早くなります。
これを平面上を移動すると考えてみましょう。（ｘ、ｙ）＝ｅ＾ｉｔとはなんでしょうか？これは「長沼 伸一郎」先生の
本「物理数学の直観的方法」（http://www.amazon.co.jp/o/ASIN/4924460893/375-5413613-4520937?SubscriptionId=15JBHWP7TH9QYT1RMHG2）にありますが、円運動をする船です。速度が位置と９０°ずれること、原点からの距離が常に１
であることが理由です。
0065１３２人目の素数さん
2009/11/23(月) 19:31:34eという実数を虚数乗するというのは意味が解らないお。
0066１３２人目の素数さん
2009/11/23(月) 22:31:44という意味ではないから心配ないよ。
0067１３２人目の素数さん
2009/11/26(木) 02:29:19(1＋i π/N)^N
において、
Nをどんどん大きくしていくと、
(1＋i π/N)^Nの値が−１に近づいていくことを意味します。
説明すると、三角形の頂点が１＋iπ/Nにあるとします。
／｜
１／ ｜ π/N
／ ｜
／ ｜
／＿＿＿＿｜
１
（その三角形を円の一部と想定して）その弧であるπ/NをN個組み合わせると半円が作れます。
複素数の回転拡大の法則から、Nがどんどん大きくなっていくと、半円状の配置に近づいていきます。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿
／＼ ｜ ／＼
／ ＼ ｜ ／ ＼
／ ＼ ｜ ／ ＼
／＿＿＿＿＿＿＼｜／＿＿＿＿＿＿＼
（上記図は厳密ではない）
参照：邦訳『数の本』(J・H・コンウェイ)p275-276
0068１３２人目の素数さん
2009/12/23(水) 13:47:10ln（-1）＝πi この形のほうが 美しいと思う。
0069１３２人目の素数さん
2009/12/23(水) 16:35:160070１３２人目の素数さん
2009/12/23(水) 22:24:390071１３２人目の素数さん
2009/12/29(火) 19:59:28http://www.bme.com/scar/A80902/high/nskb-cuttinghyfrecator.jpg
http://www.bme.com/scar/A91217/high/jywu-math-scar.jpg
0072１３２人目の素数さん
2010/02/04(木) 18:58:010073１３２人目の素数さん
2010/03/10(水) 20:19:150074１３２人目の素数さん
2010/06/12(土) 05:27:55こいつダメだな。
解が存在しようが、
e^ixが定義されてない以上、
そんな反論しても無意味。
e^xが実数上でしか定義されていないって指摘は、
虚数でも大丈夫っていう反論しか受け付けないでしょ。
d(exp(ix))/dx...
で証明が始まってるんだから、iを受け付けますっていう前提を示さないとダメダメ。
0075１３２人目の素数さん
2010/06/12(土) 05:30:420076１３２人目の素数さん
2010/06/12(土) 11:36:480077１３２人目の素数さん
2010/06/12(土) 14:31:16ファイマンのはず
0078１３２人目の素数さん
2010/06/12(土) 21:02:42∫{z=cost+isint,t∈[0,x]}dz/z=log(exp(ix))=ixになる
dz/z=(-sint+icost)dt/(cost+isint)=(-sint+icost)(cost-isint)dt=idtだから
∫{z=cost+isint,t∈[0,x]}dz/z=∫{t=0,x}idt=ix
0079１３２人目の素数さん
2010/06/20(日) 16:40:580080１３２人目の素数さん
2010/06/27(日) 23:36:06その個別のテイロル級数は複素の範囲に於いても収束半径が∞であるから、
全ての複素数zに対して成り立つのである。sin や cos はもともと斜辺が１の
直角三角形の辺の長さに関して定義され、やや人為的な感じのする周期的な
延長により全ての実数に対して定義されたが、指数関数 exp のテイロル展開
に純虚数を代入した場合の実部及び虚部として定義される。…
0081１３２人目の素数さん
2010/06/28(月) 01:06:43http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245348881/
0082１３２人目の素数さん
2010/07/02(金) 07:19:170083１３２人目の素数さん
2010/07/04(日) 19:27:56確かに偉大ではあるわな。
全く別の分野のものと思われていたネイピア数、円周率、虚数と三角関数が
何故かひとつの簡潔な等式で結ばれる。
0084１３２人目の素数さん
2010/07/19(月) 05:48:00な。定義だろ？
0085１３２人目の素数さん
2010/07/21(水) 06:48:33■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています