>>84
x f(x) が有界なので，任意のε > 0に対して
|x| > K ならば |f(x)| < ε/2 となる K > 0 が存在．... (1)

また，有界閉集合上の連続関数は一様連続なので，
任意のε > 0に対して |x - y| < δ, |x|, |y| ≦ K+1 なる x, y に対して
|f(x) - f(y)| < ε となる δ > 0 が存在． ... (2)

以上を踏まえて，任意の ε > 0 に対して
(1) で保証される K > 0 と (2) の δ > 0 を取る．
δ < 1 としても一般性を失わない．
このとき，任意の |x - y| < δ なる x, y について，
　(1) |x|,|y| ≦ K+1
　(2) |x|,|y| > K
の少なくとも一方が成立する．
(1) の場合はδのとり方から |f(x) - f(y)| < ε，
(2) の場合はKのとり方から |f(x) - f(y)| ≦ |f(x)| + |f(y)| < ε
となって，いずれの場合も証明される．