対象性がなんとかかんとかって言ってるけど
4x4でやるんじゃなくて
1x16の横一辺の升目(1~16)にして、最初の状態を6白、7黒、10白、11黒と見て、
どこに何がくればどうなる、っていうそれぞれの升目の法則性を見つけ出す方法でやれば解決すると思う。