直線Lと、直線L上にない点Pがあるとき、
点Pを通り直線Lに垂直な線は１本だけであることを証明せよ。

という問題があるのですが、答えを見ると、
垂線が２本引けると仮定し、三角形の内角が180度より大きくなってしまうことで矛盾を導き証明を終わらせているのですが、
いくつか疑問が生じました。

・1本も引けない場合は考えなくてよいのか。

・三角形の内角の和＝180°の証明に、この仮定は矛盾しないか。
（垂線が多数引けるということは、平行線も多数引ける(?）ので、
普通平行線を使って証明される三角形の内角の和が成り立たなくなるのではないか)

・そもそも「直線Lとその上にない点Pを通る平行線は1本だけである」という公理が存在する(したはず？)なので、
これを応用したほうがスマートに導けるのではないか。


うまいこと説明できたか自信がないのですが、どなたかご教授願います。