>>144
まぁ分母の有理化うんぬんはさておき。
えーとまず日本語の確認な。Cは不定積分じゃなくて定数。（一般的には積分定数とか呼ばれるが、俺はこの呼び方は好きじゃない）
不定積分っつったらまさに∫x/{√(x+1)+1} dx この式そのまんまを指すわけで。

C=C-1とするのはおかしいな。そしたらつまりは0=-1になってしまって、等式じゃなくなる。
だから答案で書くときはC'=C-1とするように。
答案に慣れてる人なら、2/3 *(x+1)√(x+1) -(x+1) +C 　という式は省いてしまって、
いきなり　2/3 *(x+1)√(x+1) -x +C 書くだろうね。（Cに１を含むことぐらいわかれよ、的な意味で）