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36コメント10KB

背理法って結局対偶証明法のことだよね

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0001１３２人目の素数さん2008/10/01(水) 20:06:25
√２が無理数ならば√２＋１が無理数であることを証明せよ。

（証明）√２＋１が有理数と仮定すると
　　　　（√２＋１）−１＝√２も有理数となって
　　　　√２が無理数であることに矛盾する。
　　　　よって√２＋１は無理数である。
0002１３２人目の素数さん2008/10/01(水) 20:09:22
有理数ｹﾞｯﾄ
0003１３２人目の素数さん2008/10/01(水) 20:49:26
背理法が使えないと証明困難な数学的命題は膨大な数にのぼる。
そういう意味で、背理法は数学という学問において重要なウェイトを占める
証明法である。
などと凡庸なことを言いつつ3ゲット。
0004１３２人目の素数さん2008/10/01(水) 21:05:31
高校生以下はスレ建て禁止という法を作るべきだな。
0005１３２人目の素数さん2008/10/01(水) 23:15:58
Cinco
0006１３２人目の素数さん2008/10/02(木) 20:29:36
むしろ対偶証明法が背理法

集合の縫合関係で言うと（背理法）つ（対偶証明法）
0007１３２人目の素数さん2008/10/02(木) 20:58:40
背理法と対偶は全く別だろ?
0008１３２人目の素数さん2008/10/02(木) 21:08:09
命題の対偶の矛盾を示して証明する
0009１３２人目の素数さん2008/10/02(木) 21:27:53
黄チャートにも書いてあるわ
対偶は背理法の一種だって
0010１３２人目の素数さん2008/10/03(金) 20:27:37
どっちも「PならばQ」の形の命題を証明するのに使うけど、
背理法は「PならばQ」⇔「（PかつQでない）でない」、
対偶は「PならばQ」⇔「QでないならばPでない」
を根拠にしてるから直接に関係ないんじゃないか
0011１３２人目の素数さん2008/10/04(土) 03:42:24
(PかつQでない)じゃなくて（PかつQでないものが存在する）
じゃないかな。全焼命題と存在命題の区別
0012１３２人目の素数さん2008/10/04(土) 04:26:41
背理法と対偶はぜんぜん違うよ。
対偶はただの純然たる言い換えに過ぎない。そこに何の論理操作もない。
背理法はそこに本質的に新たな仮定を設けている。
0013１３２人目の素数さんNGNG?2BP(10)
対偶が同値だということと、
あと A と A → B から B を導出できるというmodus ponensがあれば
普通に背理法（ A → B と not B が判っているときに A を導出すること）
は出てくるけど。
0014１３２人目の素数さん2008/10/04(土) 13:54:30
>>13
0015１３２人目の素数さん2008/10/04(土) 19:15:01
>>4
激しく同意する
0016１３２人目の素数さん2008/10/05(日) 03:22:07
「数学が無矛盾ならばＰが成り立つ」の対偶「Ｐが成り立たないなら矛盾」を証明するのが背理法。

よって>>1は正しい
0017１３２人目の素数さん2008/10/05(日) 18:31:35
背理法とは「数学が無矛盾ならばＰが成り立つ」の
対偶「Ｐが成り立たないなら数学に矛盾がある」
を証明すること法。

よって>>1は正しい
0018１３２人目の素数さん2008/10/07(火) 04:26:48
>>1みたいのは背理法というより否定導入の推論規則と言いたい気分はある

背理法という時には

「Pでない を仮定して矛盾が出た」ならばPが成立する

の形であって欲しい
0019１３２人目の素数さん2008/10/07(火) 07:17:38
まあそれはある。
0020１３２人目の素数さん2008/10/07(火) 21:52:29
x>1ならばx>0であることを証明せよ。

（証明）x≦0と仮定すると
　　　　x>1とは矛盾する。
　　　　よってｘ＞０である。

これは？
0021１３２人目の素数さん2008/10/07(火) 22:23:18
無限降下法も背理法の一種ですか
0022１３２人目の素数さん2008/10/08(水) 05:43:13
フェルマーのn=3の場合なんかは否定導入だから背理法には入れたくない



っていうか、やはり帰納法と考える方が自然だよねえ。
0023１３２人目の素数さん2008/10/08(水) 19:30:17
ｘ＋ｙ＞０ならばｘ＞０またはｙ＞０である。
（証明）ｘ≦０かつｙ≦０と仮定すると
　　　　ｘ＋ｙ≦０
　　　　これはｘ＋ｙ＞０に矛盾する。
よって　命題は真である。

これは何よ？

　
0024１３２人目の素数さん2008/10/08(水) 20:21:46
>>23
最後に回り道してるね
0025１３２人目の素数さん2008/10/08(水) 21:56:30
>>23
背理法だね
0026１３２人目の素数さん2008/10/09(木) 06:43:54
はあ？

ただの対偶
0027１３２人目の素数さん2008/10/09(木) 09:12:06
>>26
対偶法は

¬Q⊃¬P

から

P⊃Q

を導くんだよ。

>>23はわざわざ

¬QとPを仮定して人(矛盾)を導いているから背理法で、対偶法ではない。
0028１３２人目の素数さん2008/10/09(木) 20:27:43
そんなこといったら
対偶は全部背理法にできるんじゃね
0029１３２人目の素数さん2008/10/09(木) 20:46:23
>>28
できるというならそうだろうが、>>23なら

x+y≦0

の時点で命題成立を主張すれば、普通に対偶法の証明になる。
0030１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 20:41:41
１　対偶であって背理法でない
２　背理法であって対偶ではない
３　対偶でも背理法でもある
４　対偶でも背理法でもない

の４つの部分にあてはまる証明をそれぞれ教えてください
0031１３２人目の素数さん2008/10/12(日) 04:34:07
>>30
不等式の推移律を前提に
x>1⊃x>0
を示す。

＞ １　対偶であって背理法でない
x≦0の時、0<1よりx≦1
よって、
x≦0⊃x≦1
が成立するから、対遇である
x>1⊃x>0
が成り立つ。

＞ ２　背理法であって対偶ではない
x>1の時に、x≦0であると仮定する。1<x,x≦0より、1<0。しかしこれは1≧0であることに反する。これは、x≦0と仮定したからである。よって、
x>1⊃x>0
が成立する。

＞ ３　対偶でも背理法でもある
x≦0の時に、x>1であると仮定する。1<x,x≦0より、1<0。しかしこれは1≧0であることに反する。これは、x>1と仮定したからである。よって、
x≦0⊃x≦1
が成立するから、対遇である
x>1⊃x>0
が成り立つ。

＞ ４　対偶でも背理法でもない
x>1,1>0よりx>0
よって、
x>1⊃x>0
0032１３２人目の素数さん2008/10/12(日) 22:21:39
ＧＪ
ようするに対偶も背理法も同じようなもんだってことね
0033１３２人目の素数さん2008/10/13(月) 01:07:33
道具なんだから使い方も様々。使わなくたっていい。必要に応じて便利に活用すればいい。
0034１３２人目の素数さん2008/10/13(月) 10:17:04
くだらねー、まだやってんのかよ。

背理法は A を証明するのに、それと同値な命題 ¬A⇒O (Oは矛盾命題）を示すもの。
対偶証明法は P⇒Q を証明するのに、それと同値な命題 ¬Q⇒¬P を示すもの。

特に、AがP⇒Q の形をしていれば、¬(P⇒Q)=P∧(¬Q) だから、
¬Q⇒¬P が示せたなら、(P∧(¬Q))⇒(P∧(¬P))が言えたことになり、後者は矛盾命題に他ならない。
だから、対偶で証明できれば、背理法でも証明できる。

逆に P⇒Q を示す時に、(¬(P⇒Q))⇒Oが示せたなら、 (P∧(¬Q))⇒Oということ。
だから、¬Qを仮定すれば、Pにはなりえないのだから、¬Pでなければならない。よって、¬Q⇒¬Pが成立する。
つまり、背理法で示せるなら対偶法でも示せる。

以上から、条件文の場合は対偶証明法も背理法も言い方の違いにしかならない。
どちらも P⇒Q と同値な命題なのだから、当たり前だ。
ただし、背中律(P∨¬Pが恒真；Pか「Pでない」かのどちらかは成立する）を認めたくない人には背理法は目の敵にされるようだ。
0035１３２人目の素数さん2008/10/13(月) 11:03:44
その場合対偶もだって
0036１３２人目の素数さん2008/10/13(月) 11:51:50
例えばLukasiewiczの公理系だと対偶法は公理とMPから直ぐ導かれるのに対して背理法の証明は面倒だから、対偶法の方が基本的と言える。
一方NKだと、推論規則の選び方に因るところはあるものの、むしろ背理法は否定導入とともに推論規則そのものと言える。しかし、対偶法は証明しなければならない。よって、NKでは背理法の方こそ基本的と言える。
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