f(z)=|Z|^2はz=0においてのみ微分可能である、すなわち、一般にz≠0では解析的ではないことを示すにはどうしたらよいのでしょうか？

微分の定義から
"f(z)がz=z0で微分可能"⇔"lim[⊿z→0] ((|z0+⊿z|^2-|z0|^2)/⊿z)=f'(z0)が存在する・・・(*)"
を考えて、さらに、

|z0+⊿z|^2
=(z0+⊿z)・((z0+⊿z)のバー)
=(z0+⊿z)・(z0バー+⊿zバー)
=z0(z0バー)+zo(⊿zバー)+⊿z(z0バー)+⊿z(⊿zバー)

となるので、代入して整理して
(*)=lim[⊿z→0]((z0(⊿zバー))/⊿z+(z0バー)+(⊿zバー))

となったところで先が見えなくなってしまったのですが、まずこの方針で正しいのでしょうか？
正しいとしたらこの先どうすればよいのかアドバイスください。よろしくお願いします。