>>804
理論的なことはさておき、実践的なことだけ言えば、
「右辺の形から解を推測して係数を定める」で解ける。

いまの場合、基本的には y = A e^x + B e^{4x}
とおいて、方程式を満たすように A, B を決定しにいく。

ところが、これを実際代入してみると
　6 B e^{4x} = 2 e^x + 3 e^{4x}
となって、どうしても e^x の係数が合わせられない。
これは、e^x が (左辺) = 0 を満たしてしまうから。

そこで e^x の変わりに x e^x を使って
　y = A x e^x + B e^{4x}
とおいて代入してみると
　2 A e^x + 6 B e^{4x} = 2 e^x + 3 e^{4x}
となり、A = 1、B = 1/2 で辻褄があう。
つまり、y = x e^x + 1/2 e^{4x} が基本解の一つ。