>>383
もう見てないかもしれないけど、もしかしたらこういうことかも。

f(x)=-cos(kx)とおく。ただしkは実数。
このとき(d/dk)f(x)=x sin(kx)なので、I(k)=∫dx(d/dk)f(x)とおくと求める積分はI(1)である。

さて、I(k)=(d/dk)∫dxf(x)とできることから（本当は証明したほうがいい）
I(k)=(d/dk){-sin(kx)/k}=sin(kx)-(kx)cos(kx)/k^2
したがって
I(1)=sinx-xcosx
とわかる。

積分定数とかは適当なとこにくっつけて。
こんな感じなら、直接部分積分はしなくても済みそうだなぁ、と今更思った。