>>962

中学生or高１or２的な考え方で、方向性を変えないまま突っ走って解こうとしてみた・・・けど、あとちょっと？で解けない。。。

与条件において、「a^k - b^k　が整数」⇔ 「b^k - a^k が整数」なので、
a,b の対称性と、与条件の a≠bにより、a > b のときについて、題意を示せば十分・・・（Ａ）

また、一般的に、相異なる整数同士の「和」は整数であり、相異なる整数同士の「差」は整数である。

そこで、x > y なる任意の整数x,yがあるとき、以下の事実がなりたつ。

x+y, x-y はともに整数である・・・（１）

∴ (x + y) + (x - y) = 2*x , (x + y) - (x - y) = 2*y はともに整数である・・・（１）
∴ 2*x + 2*y = 2*(x + y) , 2*x - 2*y = 2*(x - y)はともに整数である・・・（２）
∴ 2*(x + y) + 2*(x - y) = 4*x = 2*{2*x}, 2*(x + y) - 2*(x - y)=4*y=2*{2*y}はともに整数である・・・（３）
∴ 4*x + 4*y = 4*(x + y) = 2*{2*(x + y)}, 4*x - 4*y = 4*(x - y) = 2*{2*(x - y)}はともに整数である・・・（４）

以下同様に、帰納的に、
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任意の自然数 t について、
（１）、（３）により、2^t * x, 2^t * yはともに整数であり、
（２）、（４）により、2^t * (x + y), 2^t * (x - y)も、ともに整数である。
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・・・（Ｂ）

・・・つづく・・・