>>910
誘導無しで入試に出すのはきついと思う。

n^{2011}+n^{2009}+1　は　n^2+n+1 で割り切れるので、
n^{2011}+n^{2009}+1　が素数ならば、　n^2+n+1 = 1 または　n^2+n+1 = n^{2011}+n^{2009}+1 である。
n^2+n+1 = 1 は正整数解を持たず、n^2+n+1 = n^{2011}+n^{2009}+1 の正整数解は n = 1 だけ。
逆に n = 1 のとき n^{2011}+n^{2009}+1 = 3 は素数である。
以上より、条件を満たす正整数は n = 1 だけである。