一応できたつもりだが、何とも泥臭い(＾q＾)
とりあえず前半。合ってるかな？

(a＋bi)^nが実数になるようなa,b∈Z,n∈Nを全て求める。
先に結論を書くと、
nが偶数のとき：a＝±bまたはa＝0またはb＝0
nが奇数のとき：a＝0またはb＝0
となる。

STEP1：nが奇数のときにa＝0またはb＝0となることは後で証明することにし、
今はこれを認めて、nが偶数の場合のa,bを求める。
nが偶数なのにa≠±bかつa≠0かつb≠0であるようなa,bがあったとする。
n＝2mと表せば、(a＋bi)^n＝(a^2−b^2＋2abi)^mとなる。ここで、
A＝a^2−b^2, B＝2ab とおけば、A,Bもまた「A≠±BかつA≠0かつB≠0」を
満たす。実際、A≠0かつB≠0は明らかである。A≠±Bの方は、
A＝ B ⇔ a^2−b^2＝ 2ab ⇔ (a−b)^2＝2b^2 ⇔ a−b＝±b√2 ⇔ a−b＝0かつb＝0 矛盾
A＝-B ⇔ a^2−b^2＝-2ab ⇔ (a＋b)^2＝2b^2 ⇔ a＋b＝±b√2 ⇔ a＋b＝0かつb＝0 矛盾
より、成立。
以上より、(a＋bi)^n＝(a^2−b^2＋2abi)^m＝(A＋Bi)^mについて、mは奇数としてよい。
なぜなら、もしmが偶数のときは、m＝2m',A'＝A-2−B^2,B'＝2ABなどと置けば
上の議論を繰り返すことができ、いずれ奇数に辿り着くからである。
そして、奇数のときの解はA＝0またはB＝0に限られるのだから、これは矛盾する。