Ｌ＝ｎ／（２sin(π/ｎ))　か。

漏れは　局座標系を使って全部計算で解いた。
原点を正ｎ角形の中心点にとる。x1,x2,...,xN は、 (x_i,y_i)=(rcosθ,rsinθ), θ=2π/n*i, i=1,...,N
最小となる点が中心となることの証明も計算で・・・
原点と異なる点Ｐとx1,x2,...xNとの距離の和Ｌ(P)を計算する
点Ｐを(x,y)=(r_p cosθ_p, r_p sinθ_p)
Ｌ（Ｐ）＝ｎ（r^2＋r_p~2) - 2rr_p把osX_i, X_i=2π/n*i-θ_p
となるが把osX_i はゼロになることが敗inX=0と加法定理から導ける