>>296
各桁がすべて1の2009桁の整数をa=111...11
とおく。
nが題意を満たす条件は
a*10^k≦n<(a+1)*10^k
を満たす0以上の整数kが存在することである。

a*10^k≦n<(a+1)*10^k
⇔loga+k≦logn<log(a+1)+k　

数列x[n]=lognについて考えると
x[n]→∞で、x[n+1]-x[n]=log(1+1/n)→0なので
x[n]の階差はいくらでも小さくなる。区間[loga+k,log(a+1)+k)の長さはlog(a+1)-loga=log(1+1/a)は0より大きい定数だから
k,nが十分大きければ
x[n]=lognが区間[loga+k,log(a+1)+k)に属するような正の整数nが存在する。

よって題意は示された。