★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十六問
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0001１３２人目の素数さん
2008/08/31(日) 02:06:28解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログは>>2以降
0002１３２人目の素数さん
2008/08/31(日) 02:07:37★東大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134000000/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第七問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1148569109/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第八問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1166904000/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第九問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1188545067/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十一問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十二問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1194120000/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十三問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1199706844/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十四問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十五問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/
0003１３２人目の素数さん
2008/08/31(日) 02:26:23http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/lst?.dir=/b856
0004１３２人目の素数さん
2008/08/31(日) 02:49:01e/(2n+2)≦e-(1+1/n)^n≦e/(2n+1)
が成り立つことを示せ。
このスレで似たような問題出てたなかったっけ？
図書館で刷った大数の宿題で見つけたのだけど。
0005１３２人目の素数さん
2008/08/31(日) 02:50:090006１３２人目の素数さん
2008/08/31(日) 03:55:03不等式スレじゃろ。
0007１３２人目の素数さん
2008/08/31(日) 11:50:10鼻血出て眼鏡割れて前歯折れて「あがああ！まえば！おれた」て叫んでうざかったで
口に牛肉ねじこんだら「んごごごごご」とか呻いてたでオメガ便器に顔突っ込んだら
鼻血まみれで「ばぶう」とか言ってて超絶笑えたでとどめにしねバーカとか罵声あびしたったｗｗｗｗｗ
ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ>>1悲惨ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
0008１３２人目の素数さん
2008/08/31(日) 14:15:33が囲む面積をＳ(ａ)とする
Ｓ(ａ)の最大値を求めよ
0009１３２人目の素数さん
2008/08/31(日) 14:26:063次元空間内で次の不等式で表される多面体の体積を求めよ
|x+y+z| + |-x+y+z| + |x-y+z| + |x+y-z| ≦ 4,
0010１３２人目の素数さん
2008/08/31(日) 14:29:02(略解)
場合分けすると、左辺は
4|x|, 4|y|, 4|z|, 2|x+y+z|, 2|-x+y+z|, 2|x-y+z|, 2|x+y-z|,
となるので、14面体である。
6面が正方形、8面が正3角形である。（立方８面体と言うらしい.）
頂点は12個。 (x,y,z) = (±1,±1,0)、 (±1,0,±1)、 (0,±1,±1).
稜は24本で、長さは√2.
・正方形は、面積S=2、高さh=1, 体積 (1/3)Sh=2/3,
・正3角形は、面積S=(√3)/2、高さh=2/(√3), 体積 (1/3)Sh=1/3, (*)
よって、体積V = (2/3)*6 + (1/3) *8 = 20/3.
*) 正3角形の中心は (±2/3,±2/3,±2/3). よって高さh=2/(√3).
0011１３２人目の素数さん
2008/08/31(日) 15:15:07そうか、ありがとう。
数オリスレで話題になったことがあった富永(理Ⅲ→同大医学部卒→オウム)について調べようと、この年の大数をコピーしてきたけど、本当に宿題正解者の常連だった。
逆行列をもつ任意の２次の正方行列Aについてつぎの命題が真であることを証明せよ。
命題：任意の角θ(0<θ<π)についてp↑、q↑のなす角がθで、Ap↑とAq↑のなす角もθとなるような0↑でないp↑、q↑が存在する。
(86' 6月)
は富永の解答レポートが掲載されてた。暇な時間で適当に書き上げてtexで答えうｐしときます。
0012１３２人目の素数さん
2008/08/31(日) 17:17:49じゃあ質問
逆行列をもつ任意の２次の正方行列Aについてつぎの命題が真であることを証明せよ。
命題：任意の角θ(0<θ<π)についてp↑、q↑のなす角がθで、Ap↑とAq↑のなす角もθとなるような0↑でないp↑、q↑が存在する。
証明教えてくれ
0013１３２人目の素数さん
2008/08/31(日) 17:46:120014１３２人目の素数さん
2008/08/31(日) 18:06:30存在するわけねーじゃん
p↑とq↑のなす角は一意なんだから、任意のθになるわけがない
0015１３２人目の素数さん
2008/08/31(日) 19:22:05バカ？
0016１３２人目の素数さん
2008/08/31(日) 19:47:09は？どこが間違いか指摘してみろクズ
0017１３２人目の素数さん
2008/08/31(日) 21:02:000018１３２人目の素数さん
2008/08/31(日) 21:40:36任意のθについて～が成り立つようなベクトルp,qが必ず存在することを証明しろ
ってことだよな？
とくにおかしい点は無いと思うが
0019１３２人目の素数さん
2008/09/01(月) 02:52:03x-2進法で表せ。
0020１３２人目の素数さん
2008/09/01(月) 04:07:20もしかして、ただの組み立て除法？
0021１３２人目の素数さん
2008/09/01(月) 04:11:330022１３２人目の素数さん
2008/09/01(月) 07:41:080023１３２人目の素数さん
2008/09/01(月) 08:52:45成分計算すりゃいいんじゃないの？
0024１３２人目の素数さん
2008/09/01(月) 08:57:55エレガントに解いてお
0025１３２人目の素数さん
2008/09/01(月) 09:38:09また、実数列a[1],a[2],a[3],…はΣ[k＝1～n]a[k]≧b[n] (n＝1,2,3,…)を満たすとする。
このとき、次が成り立つ。
Σ[k＝1～n]a[k]^2≧Σ[k＝1～n](b[k]－b[k－1])^2 (n＝1,2,3,…)
また、この不等式において、a[n]＝b[n]－b[n－1] (n＝1,2,3,…)のときのみ等号が成り立つ。
0026１３２人目の素数さん
2008/09/01(月) 10:11:27ほうほう
それで？
0027１３２人目の素数さん
2008/09/01(月) 10:26:300028１３２人目の素数さん
2008/09/01(月) 10:27:55出題してんの？
0029１３２人目の素数さん
2008/09/01(月) 11:04:36そこに書かれているのは「定理」であり、逆に、
解く気がある奴にとっては、出題しようがしまいが、
そこに書かれているのは「問題」である。
出題か否かを問うのはナンセンス。
0030１３２人目の素数さん
2008/09/01(月) 16:11:00003111
2008/09/01(月) 22:05:04http://www36.atwiki.jp/pentomino?cmd=upload&act=open&pageid=1&file=%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E3%81%B8%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%AE%BF%E9%A1%8C+%2786.pdf
0032１３２人目の素数さん
2008/09/01(月) 22:15:22「立方８面体」は、立方体（稜の長さ2）から、頂点と3稜の中点を結んだ4面体（体積1/6)を除いたもの。
V = (2^3) - (1/6)*8 = 20/3.
0033７７４３
2008/09/01(月) 23:06:20明解な解答ですね。
対称性を利用して切断面を考えて積分でもできませんか？
0034１３２人目の素数さん
2008/09/05(金) 03:52:31を示せ
0035１３２人目の素数さん
2008/09/05(金) 16:19:21a[1]=2,a[2]=4,a[3]=13/3
n≧4でa[n]≦3^n/n!≦3^n/(3^(n-4)4!)=3^4/4!=27/8<13/3
0036１３２人目の素数さん
2008/09/05(金) 18:34:340037１３２人目の素数さん
2008/09/06(土) 01:03:070038１３２人目の素数さん
2008/09/10(水) 01:50:21二人で交互に一度ずつ石を取っていき、最後の石を取ったほうが負けとなる。
片方の山から石を取るか、或いは両方の山から同数ずつ石を取れる。
a = (-1 + √5)/2, [x]を実数 x の整数部分として、
(M, N) = (0,1),(2,2), ([na], [na] + n)のときに後手必勝、その他のとき先手必勝となることを示せ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/538-548
0039１３２人目の素数さん
2008/09/12(金) 00:50:04F5^n(x)=0の解をそれぞれ2・5^(n-1)乗したものの総和を求めよ。
ただし重解の有無についての証明は無視してよく、N重解はN個の解として扱うものとする。
はじめ、持ち点を1とする。n個中1個が当たりのくじ引きを引き、当たりなら持ち点を倍にして戻し、
はずれなら何もせず戻すという動作をn回繰り返し、試行後の持ち点の期待値をXとする。
また、上記のようにして、当たりの時にa倍していったときの期待値をX'とする。
n→∞としたとき、X'がXの倍以上になるための最小の自然数aを求めよ。
An＝(2008^x)/{(k^a)x+k^b}^(k^c) とし、F(x)＝A1*A2*A3*・・・*An とする。
lim[n→∞] F'(0)/F(0)・n^m ＝α が0<α<log2008 を満たすための、
整数a,b,cの関係式と実数mの値、またその時のαを求めよ。
正直小問つけたほうがいい気がするけど、その前に問題として成り立ってるかどうか怪しいのもあるから、
まぁまずお前らが解いてくれ。んで難易度調整とかしてみてくれ。
0040１３２人目の素数さん
2008/09/12(金) 23:50:460041１３２人目の素数さん
2008/09/16(火) 12:29:47そのとき∫[0→1](f(x)-ax-b)^2dxの値を最小にする実数aおよびbの値を求めよ。
0042１３２人目の素数さん
2008/09/16(火) 22:36:01PとCの交点をA,Bとする。
A(√(b/a), b) B(-√(b/a), b)
ここに b = {√(1+4a^4) -1}/(2a),
線分OAとPで囲まれた部分の面積は b^(3/2) / (6√a),
線分OBとPで囲まれた部分の面積は b^(3/2) / (6√a),
扇形OABの面積は (1/2)(a^2)(∠AOB) = (a^2)arccos(b/a),
S(a) = b^(3/2) / (3√a) + (a^2)arccos(b/a),
aが大きくなるとき発散の予感
0043１３２人目の素数さん
2008/09/16(火) 22:53:49I(a,b) = ∫[0→1] {f(x)-ax-b}^2 dx,
とおくと、
∂I/∂a = -2∫[0→1] {xf(x) -ax^2 -bx} dx -2{∫[0→1] xf(x)dx -a/3 -b/2},
∂I/∂b = -2∫[0→1] {f(x) -ax -b} dx -2{∫[0→1] f(x)dx -a/2 -b},
I(a,b) が最小になるのは ∂I/∂a =∂I/∂b = 0 のとき。
a=24, b=-10.
http://ja.wikipedia.org/wiki/最小二乗法
http://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFitting.html
0044１３２人目の素数さん
2008/09/25(木) 16:10:15整数a,b,c,dの必要十分条件を求めよ
0045１３２人目の素数さん
2008/09/25(木) 16:24:23辺ADを軸に立方体を回転させた体積V2、辺AEを軸に立方体を回転させた体積V3の
共通部分の体積をaを用いて表せ。
0046１３２人目の素数さん
2008/09/25(木) 19:18:31(x1+…+xn)^pをpで割った余りは
x1^p+…+xn^pをpで割った余りと等しいことを示せ
0047１３２人目の素数さん
2008/09/25(木) 19:41:50a^3になったけど違うよな
0048１３２人目の素数さん
2008/09/25(木) 19:55:03〔多項定理〕
(x1+…+xn)^p = Σ[r1+r2+…+rn=p] {p!/[r1!*r2!*･････*rn!]} (x1^r1) (x2^r2) ････ (xn^rn),
ところで、ri>0, rj>0 (i≠j) ならば {p!/[r1!*r2!*･････rn!]} は分母にpを含まないから、pの倍数。
∴ Σ[i=1,n] xi^p が残る。
0049１３２人目の素数さん
2008/09/25(木) 20:52:08a[n+1]はa[n]の各桁の10乗の和
とする。このとき同じ数字がでることを証明せよ。
0050１３２人目の素数さん
2008/09/25(木) 21:13:230051１３２人目の素数さん
2008/09/25(木) 21:16:040052１３２人目の素数さん
2008/09/25(木) 21:33:130053１３２人目の素数さん
2008/09/25(木) 21:43:200054１３２人目の素数さん
2008/09/25(木) 22:16:48a[n]は有界な整数列なので、鳩ノ巣原理より題意が従う
0055１３２人目の素数さん
2008/09/25(木) 22:27:140056１３２人目の素数さん
2008/09/25(木) 23:03:08a[n]って有界とは限らないでしょ
ある数より小さいa[n]が無限個あることはわかるけど
0057１３２人目の素数さん
2008/09/25(木) 23:44:060058１３２人目の素数さん
2008/09/26(金) 00:04:07各位の数の10乗 < 10^10であることから、数列の作り方より
a[1] < 10 : 1桁
a[2] < 1 * 10^10 = 10^10 : 11桁以下
a[3] < 11 * 10^10 = 10^12 : 13桁以下
a[4] < 13 * 10^10 < 10^12 : 13桁以下
となり、全ての項が13桁以下であることが分かる
自明だと思って説明を入れなかったスマン
0059１３２人目の素数さん
2008/09/26(金) 00:20:19俺の証明はこれを見たらウンコみたいなもんだわ
0060１３２人目の素数さん
2008/09/26(金) 00:22:33別証明が思いつかないから教えてくれ
>>49の問題じゃなかったらスマン
0061１３２人目の素数さん
2008/09/26(金) 03:41:44a[25374] = a[28338] = 19871647813
0062１３２人目の素数さん
2008/09/26(金) 05:00:350063１３２人目の素数さん
2008/09/26(金) 18:51:090064１３２人目の素数さん
2008/09/26(金) 21:49:41定義から
a[n+1]≦9^10*(1+loga[n])
であり
x>10^11だと
9^10*(1+logx)<x
であるからa[n]>10^11のとき
a[n+1]<a[n]
これより
少なくともa[n]<10^11までは減少数列になる
よって
a[n]<10^11となるnは無限個あるので
a[m]=a[n]となることがある
0065１３２人目の素数さん
2008/09/27(土) 22:34:37ある面とその面ととなりあう3つの面の数の積が奇数になる配置の仕方は何通りか。
また和が奇数になる配置の仕方は何通りか。
ただし使わない数があってもよいとし、回転して他のものと同じになる配置は考えない。
0066１３２人目の素数さん
2008/09/28(日) 00:58:59ある面ってなんだよ
0067１３２人目の素数さん
2008/09/28(日) 08:19:16普段はまじめなサラリーマンなんだけど、女装して近所の公園で野糞する趣味を持っているとか。
0068１３２人目の素数さん
2008/09/28(日) 17:14:40女装して近所の公園で糞証明する趣味？ （>>59 みたいに）
0069１３２人目の素数さん
2008/09/29(月) 04:31:49(a[1]^a[1])*…*(a[n]^a[n])≧(a[1]*…*a[n])^(a[1]+…+a[n])
が成り立つことを証明せよ
0070１３２人目の素数さん
2008/09/29(月) 04:34:38a[1],…,a[n]を正の実数としたとき
{(a[1]^a[1])*…*(a[n]^a[n])}^n≧(a[1]*…*a[n])^(a[1]+…+a[n])
が成り立つことを証明せよ
0071１３２人目の素数さん
2008/09/29(月) 06:40:47n=2,a_1=1/2,a_2=3/2 の時、成り立たないような気がする。
0072１３２人目の素数さん
2008/09/29(月) 10:31:29y=log(x) は単調増加ゆえ, Σ同順序積 ≧ Σ乱順序積 より
n{a[1]･log(a[1]) + a[2]･log(a[2]) + ････ + a[n]･log(a[n])}
≧ (a[1] + a[2] + ････ + a[n])･{log(a[1]) + log(a[2]) + ････ + log(a[n])},
両辺の真数をとる。
0073１３２人目の素数さん
2008/09/29(月) 21:01:27成り立ってるわ
0074１３２人目の素数さん
2008/09/29(月) 21:58:50,-─‐ ､
/ iiii i ヽ､､
／ゞ、i!llllliｉｉ川//ヽ、
/ミ〃 〃彡ヽ
lミミ 彡彡｝
lミﾐ,ｒ‐-､ ,,ｒ─､ 彡彡ll|
ｉﾐﾐ ｨｪx ,rｪt 彳彡!
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成 田 テ ル （７４）
0075１３２人目の素数さん
2008/09/29(月) 22:50:20x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0
が実数解を持つとき
a^2+b^2の最小値を求めよ
0076１３２人目の素数さん
2008/09/30(火) 00:39:550077１３２人目の素数さん
2008/09/30(火) 03:03:270078１３２人目の素数さん
2008/09/30(火) 05:45:200079１３２人目の素数さん
2008/09/30(火) 06:38:47このとき(a[k],a[k+1],…,a[k+10],a[k+11])は何種類あるでしょう.
0080１３２人目の素数さん
2008/09/30(火) 19:32:140081１３２人目の素数さん
2008/09/30(火) 20:57:480082１３２人目の素数さん
2008/09/30(火) 21:31:570083１３２人目の素数さん
2008/10/02(木) 00:36:110084１３２人目の素数さん
2008/10/02(木) 00:54:220085１３２人目の素数さん
2008/10/02(木) 01:04:300086１３２人目の素数さん
2008/10/02(木) 08:29:59大きさの違い、色づかいの違い、材質の違い等、何を差異とするかによるからなあ。
0087１３２人目の素数さん
2008/10/02(木) 09:09:550088１３２人目の素数さん
2008/10/02(木) 20:55:21>>85みたいな答えを書く人居るけど、こういうの採点に困るよね。
塾とかだとほぼ 0 点になることが多いし、たぶん実際の入試でもそうだと思う。
組合せの問題って日本語能力のテスト的な側面があるから良いよね。
0089１３２人目の素数さん
2008/10/02(木) 22:22:360090１３２人目の素数さん
2008/10/02(木) 22:40:07大学入試の採点をしたことがあるんかい……
本職も交じってるんだな
0091１３２人目の素数さん
2008/10/02(木) 23:29:00・既存問題の改良、拡張
・自分が疑問に思うことをそのまま問題にする
・適当な数学分野から題材をとってきて問題を作る
0092１３２人目の素数さん
2008/10/03(金) 01:40:020093１３２人目の素数さん
2008/10/03(金) 02:06:400094１３２人目の素数さん
2008/10/03(金) 02:07:29自然数からなる単調増加数列a[n],b[n]が存在することを示せ
0095１３２人目の素数さん
2008/10/03(金) 02:31:09このとき(a^3+b^3)/(c^3+d^3)がすべての有理数を表すことができることを示せ
0096１３２人目の素数さん
2008/10/03(金) 02:31:59有理数⇒正の有理数
0097１３２人目の素数さん
2008/10/03(金) 11:00:27ある正の有理数pをとり、p=n/mとする。
(p/2)^(1/3)＜q＜(2p)^(1/3)となるような有理数qが存在する。
q=y/xとおくと、
2my^3＞nx^3、2nx^3＞my^3
a=nx^3*y+my^4
b=2nx^3*y-my^4
c=mxy^3+nx^4
d=2mxy^3-nx^4
とすると、a,b,c,dはいずれも自然数。
代入して計算すると
(a^3+b^3)/(c^3+d^3) = n/m = p
0098１３２人目の素数さん
2008/10/03(金) 11:08:01>>95でa,b,c,dが自然数ではなく整数ならば、
>>97のqに関するくだりは不要で、x,yを全部なくしてしまえばおｋ
0099１３２人目の素数さん
2008/10/04(土) 10:33:160100１３２人目の素数さん
2008/10/04(土) 10:43:480101１３２人目の素数さん
2008/10/04(土) 10:57:56(a^3+b^3)/(c^3+d^3)
q=k/s (k,s)=1
c=sj,d=st
a=kj,b=kt
0102１３２人目の素数さん
2008/10/04(土) 12:00:15(ちょうど大学入試レベルでもありますし)ここに書きます。
nは2以上の整数です。
平面内に2n個の点があって、どの3点も同一直線上にないとする。
ここから、2点を選んで線分を何本か引く。(最大n(2n-1)本引けます)
n^2+1(nの二乗+1)本以上の線分を引けば、ある3点が存在して
その3点が互いに線分で結ばれていることを示して下さい。
解けた人はスプリンターズステークスの予想でもついでに書いといてください。
0103１３２人目の素数さん
2008/10/04(土) 12:27:110104１３２人目の素数さん
2008/10/04(土) 14:20:19卑怯って言われちまったｗ
えーと、最初は
(m+α)^3+(m-α)^3=2m(m^2+3α^2)
(n+β)^3+(n-β)^3=2n(n^2+3β^2)
という形を思いついたので、
m^2+3α^2=n^2+3β^2となるような整数の組α，βを作ることを考えたが、
3が邪魔だったので、
(3m+α)^3+(3m-α)^3=18m(3m^2+α^2)
(3n+β)^3+(3n-β)^3=18n(3n^2+β^2)
とおきなおし、
3(n^2-m^2)=α^2-β^2
3(n-m)(n+m)=(α-β)(α+β)
から、仮に
α+β=3(n-m)，α-β=n+m
と置くと、
α=2n-m，β=n-2mであり、
a=3n+β=4n-2m，b=3n-β=2n+2m
c=3m+α=2n+2m，d=3m-α=-2n+4m
とすれば、(a^3+b^3)/(c^3+d^3)=n/mとなることがわかった。
（実際には、a,b,c,dは半分にしても可）
ただし、このままでは4n-2mと-2n+4mが自然数となるには1/2<n/m<2の条件が
必要なので、n/m=(y^3*x^3*n)/(x^3*y^3*m)と考えて、
1/n<(x^3*n)/(y^3*m)<2となるようにし、
(x^3*n)/(y^3*m)=(a^3+b^3)/(c^3+d^3)なら
(y^3*x^3*n)/(x^3*y^3*m)=((ya)^3+(yb)^3)/((xc)^3+(xd)^3)になると考えた。
0105１３２人目の素数さん
2008/10/04(土) 14:23:07誤：1/n<(x^3*n)/(y^3*m)<2となるようにし、
正：1/2<(x^3*n)/(y^3*m)<2となるようにし、
0106１３２人目の素数さん
2008/10/04(土) 14:50:050107１３２人目の素数さん
2008/10/04(土) 15:46:07大学入試レベルの解答は思い付かないが、グラフ理論を使えば出来た。
2n個の頂点をもち条件(A)を満たす無向グラフG=(V,E)で、|E|が最大のものを求める。
(A)どの3点をとっても、辺で結ばれない2点が存在する
Gは2-連結(Gは連結で、Gから頂点を1つ取り除いても連結)としてよい。
なぜならGが非連結なら別の連結成分の間に辺を加えることにより、
Gから頂点vを除いたグラフが非連結なら、連結成分のどれかはvに隣接しない頂点を持つか、
さもなくばGはE={(v,w)|w∈V＼{v}}なる放射状のグラフ(|E|=n-1)だからである。
Gが2-連結ならば各頂点を1回ずつ通る閉路が存在するので、この閉路に沿って
頂点にV={v[1],...,v[2n]}, (v[i],v[i+1])∈E, v[2n+i]=v[i]となるよう番号を付ける。
各頂点v[i]について、(v[i],v[j])∈Eと(v[i],v[j+1])∈Eは同時には成り立たないから、
v[i]の次数(v[i]に接続する辺の数)は高々nであるから|E|≦n^2となる。
なお、各v[i]がv[i+1],v[i+3],...,v[i+2n-3],v[i+2n-1]と接続するようなグラフを
任意のnに対して作ることができて(正2n角形を描いてみよ)、このときE=n^2を達成できる。
0108１３２人目の素数さん
2008/10/04(土) 15:47:46○Gが非連結なら別の連結成分の間に辺を加えることが可能であり、
×さもなくばGはE={(v,w)|w∈V＼{v}}なる放射状のグラフ(|E|=n-1)だからである。
○さもなくばGはE={(v,w)|w∈V＼{v}}なる放射状のグラフ(|E|=2n-1)だからである。
0109１３２人目の素数さん
2008/10/04(土) 19:52:040110１３２人目の素数さん
2008/10/04(土) 21:11:56線がm本->点が2m個
線がn^2+1ー＞点が２n^2+２＞２n
ピジョンホール
0111１３２人目の素数さん
2008/10/04(土) 21:46:14操作１：点に線を足してその新しい端を白点にし、もとの点のいろを逆転(例：白ー＞黒）する。
操作２：線の中間に白点をたし、その両端の点の色を逆転させる。
G1を単独の白点とする
G1: 白
１、白ー白ー白
２、
白
｜
白ー白ー白
｜
白
３、
白
｜
白ー白ー白
｜
白ー白ー白
｜
白
｜
白
はG1から操作１、２を有限回やってできることを示しなさい。
0112１３２人目の素数さん
2008/10/04(土) 21:47:13白
｜
白ー白ー白
｜
白ー白ー白
｜
白
0113１３２人目の素数さん
2008/10/04(土) 21:53:36白
から
ｎ個の白の直線を作るとき、ｎはどんな数か。
白ー白ー・・・・ー白
５、
白からできるグラフのオイラー数を計算しなさい。
0114１３２人目の素数さん
2008/10/04(土) 22:48:36すっげーカッケー答っすね。もうビンビンです。
一応僕が用意していた答です。n=2の時はまあできたとします。
nの時成り立っているとします。(数学的帰納法を使います)
さて、頂点が2n+2コある時ですが、少なくとも(n+1)^2+1本線分を引くわけですから
当然ある二点が存在してその二点は線分で結ばれています。
わかりやすいように、その2点をa1,a2とでもおいて、
残りの2n個の点をb1,b2…,b(2n)とおくことにします。
0115１３２人目の素数さん
2008/10/04(土) 23:05:30b(i)どおしでn^2+1本線分を引くと仮定により線分で結ばれた3点が存在さますので
b(i)どおしでは多くてもn^2本しか線分を引いていないとします。
a1とa2は線分で結んでいますので少なくとも残り(n+1)^2+1-n^2-1=2n+1本線分を引かないといけません。
これはa(i)とb(i)を結ぶ線分ですので、あるb(i)が存在して
a1とa2とb(i)は線分で結ばれてしまいます。
明日はキセキ産駒がワンツースリーを決めて
アグネスタキオンファンを黙らせて欲しいですね(^o^)/
0116１３２人目の素数さん
2008/10/04(土) 23:05:33追加のボール１個といっしょにすぐ壺に戻す。
このとき、Nを無限にしたとき、壺のなかの各色のボールの数の分布を計算しなさい。
0117１３２人目の素数さん
2008/10/04(土) 23:31:49割合は始めと変わらないという答えであってますか？
0118１３２人目の素数さん
2008/10/05(日) 09:06:32IRA: Interactive Real Analysis
Interactive Real Analysis is an online, interactive textbook for Real Analysis or Advanced Calculus in one real variable. It deals with sets, sequences, ...
web01.shu.edu/projects/reals/ - 3k - Cached - Similar pages
#
0119１３２人目の素数さん
2008/10/06(月) 00:17:020120１３２人目の素数さん
2008/10/06(月) 21:20:35* There exists a simple function s such that
∫ E | f - s | dx < ε
* There exists a step function s such that
∫ E | f - s | dx <ε
* There exists a continuous function s such that
∫ E | f - s | dx <ε
0121１３２人目の素数さん
2008/10/06(月) 21:22:51over the Cantor middle-third set.
# Show that the restriction of a bounded continuous function to a measurable set is Lebesgue
integrable.
0122１３２人目の素数さん
2008/10/06(月) 21:23:45* Is the function f(x) = x2 Lebesgue integrable over the rational numbers inside [0, 2]? If so, find the integral.
* Is the Dirichlet function restricted to [0, 1] Lebesgue integrable? If so, find the integral.
* Is every bounded function Lebesgue integrable?
0123１３２人目の素数さん
2008/10/06(月) 22:15:0913 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2008/09/19(金) 18:11:05 ID:sWdchyr40
Fラン私大工学部での微積分の授業のテストらしいが、金朋はこういうの解けるのだろうか？
・101次方程式 51 x^{101} - 2323 x^{100} - 45 x + 1035 = 0が区間[45^{1/100},46]の中に少なくとも一つ実数解を持つことを、Rolleの定理を使って証明せよ。
・不定積分 \int (x^{30} + x^{20} + x^{10}) (2x^{20} + 3x^{10} + 6)^{1/10} dx を求めよ。
・定積分 \int^{2}_{0} dx (2x+1)/ \sqrt{x^2+4} を求めよ。
0124１３２人目の素数さん
2008/10/06(月) 22:44:50(中)
(被積分函数) = (x^29 + x^19 + x^9)*(2*x^30 + 3*x^20 + 6*x^10)^(1/10) = (1/60)f '(x)*f(x)^(1/10),
これを積分すると
(1/66)*f(x)^(11/10) + c，
(下)
∫ x/√(x^2 +4) dx = √(x^2 +4) -2,
∫ 1/√(x^2 +4) dx = log(x+√(x^2 +4)) - log(2),
∴ 4(√2 -1) + log(1+√2),
0125１３２人目の素数さん
2008/10/06(月) 23:33:53ぬこでもわかるルベグ積分
0126１３２人目の素数さん
2008/10/07(火) 01:14:47まあ工学部っても学科によって全然違うし。
0127１３２人目の素数さん
2008/10/08(水) 12:08:05このとき、長方形Dで、Dのfによる像がDと相似になるものが存在することを示せ。
0128１３２人目の素数さん
2008/10/08(水) 21:08:05>>31により，直交する２つの単位ベクトル↑p,↑qで，A↑pとA↑qも直交するものが存在する。
A↑p, A↑q それぞれの長さをa, b(>0)とおき，k=√(a/b) とおく。
D={ ↑p + t↑q | 0≦t≦k } とおくと，Dは２辺の長さが 1 と k の長方形である。
このとき，f(D)={ A↑p + t A↑q | 0≦t≦k } も長方形であり，２辺の長さは a と bk である。
a : bk = a : √(ab) = √(a/b) : 1 = k : 1 であるので，f(D) は D と相似である。■
0129１３２人目の素数さん
2008/10/09(木) 19:31:202008/10/09(木) 08:33:37 ID:AQ7gcWuF0
>>186
あほ！！
そりゃあ、おれが、別のスレッドに書いた
解答だ。
君自身で、独創的な問題を作れるのかと
きいているのだ。
190:Zeus（ゼウス）[]
2008/10/09(木) 09:01:29 ID:AQ7gcWuF0
>>189
中学生の脳みそで解く問題だぞ。
難しいに決まっているだろうが。
191:Zeus（ゼウス）[]
2008/10/09(木) 09:05:38 ID:AQ7gcWuF0
高校生用には、こういう問題を
用意してある。
「２球面の交わりによってできる円に関する問題を作り、解け」
「連立方程式と線形性に関する論証問題を作り、数式を使わず論証せよ」
★★★★★茨城の高校★★★★★ part18
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/ojyuken/1219237794/
0130１３２人目の素数さん
2008/10/09(木) 19:37:09ﾜﾗﾀ
0131１３２人目の素数さん
2008/10/10(金) 03:34:180132１３２人目の素数さん
2008/10/12(日) 00:12:440133１３２人目の素数さん
2008/10/12(日) 01:11:580134１３２人目の素数さん
2008/10/25(土) 02:59:40さっさとアフリカいけやｗ
0135１３２人目の素数さん
2008/10/25(土) 05:11:58(2) Σ[n=1,∞) 1/(n^4 －a^4)
(3) Σ[n=1,∞) 1/(n^2 ＋a^2)
の極限値を求めたいのですが、どうしたら良いでしょうか? a≠整数 です。
0136１３２人目の素数さん
2008/10/25(土) 10:00:00解析概論。
0137135
2008/10/26(日) 14:01:17(5) Σ[n=1,∞) 1/(n^2 + a^2) * (-1)^(n-1),
の極限値を求めたいのですが、どうしたら良いでしょうか? a≠整数 です。
>>136
高木:「解析概論」改訂第3版, 岩波書店(1962) 第5章,§64 ?
0138１３２人目の素数さん
2008/10/30(木) 21:39:17log_{10} 2の小数第3位が1であることを証明せよ。
0139138
2008/10/30(木) 21:59:570.3<log_{10} 2 < 0.302を示せというのがありました。
http://www.j3e.info/ojyuken/math/php_q.php?name=tokyo&year=1968&num=1
0140１３２人目の素数さん
2008/10/30(木) 22:34:01めよ．
0141１３２人目の素数さん
2008/10/30(木) 22:34:48めよ．
0142１３２人目の素数さん
2008/10/30(木) 22:59:29(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=0
c=-a-b
ab-(a+b)^2=n
ab(a+b)=1
ab-(ab)^-2=n
0143１３２人目の素数さん
2008/10/30(木) 23:01:11ab(a+b)=1
ab-(ab)^-2=-n
0144１３２人目の素数さん
2008/10/30(木) 23:28:260145１３２人目の素数さん
2008/10/31(金) 00:19:030146１３２人目の素数さん
2008/10/31(金) 01:34:380147１３２人目の素数さん
2008/10/31(金) 01:42:380148１３２人目の素数さん
2008/10/31(金) 01:43:310149１３２人目の素数さん
2008/10/31(金) 06:29:48これは大昔の大学への数学の「模試」の転載ですか？
0150１３２人目の素数さん
2008/10/31(金) 08:29:480151１３２人目の素数さん
2008/10/31(金) 20:49:51a,bがマイナスなら解梨じゃないの？
0152１３２人目の素数さん
2008/10/31(金) 20:59:38ｎが整数であることの証明は？
0153１３２人目の素数さん
2008/11/01(土) 17:30:47赤の車両が隣り合わないような塗り方は何通りあるか。
0154１３２人目の素数さん
2008/11/01(土) 17:39:310155１３２人目の素数さん
2008/11/01(土) 18:17:200156１３２人目の素数さん
2008/11/01(土) 21:08:520157１３２人目の素数さん
2008/11/01(土) 21:12:360158１３２人目の素数さん
2008/11/01(土) 21:22:000159１３２人目の素数さん
2008/11/01(土) 22:20:080160１３２人目の素数さん
2008/11/01(土) 23:59:07数セミのパクリ
0161１３２人目の素数さん
2008/11/02(日) 07:35:14>>153は俺だが、数セミなんか参考にしてません。
あくまでも京大の2色の問題を3色に改変してみただけです。隣接３項間漸化式を立てられるかどうかの問題。
コツさえ知っていれば誰でも簡単に立てられるんだけどね。
0162１３２人目の素数さん
2008/11/02(日) 08:04:390163１３２人目の素数さん
2008/11/02(日) 09:50:57htttp://www.surprise002.co.nr
ソフトの確認もできたし、低価格でいいよ
ソフトの確認はネットカフェで一度インストール試したら
いいと思う、正常なら自分のPCに
0164１３２人目の素数さん
2008/11/02(日) 17:03:58それを数セミの出題者の先生と京大の先生が二人とも
元ネタにした、とかそんな感じだと思うぞ。
というか数セミの出題者は京大関係者じゃないんだよね？
0165１３２人目の素数さん
2008/11/02(日) 18:51:570166１３２人目の素数さん
2008/11/03(月) 20:17:28(1-a^n)^(1/n) が無理数であることを示せ
0167１３２人目の素数さん
2008/11/03(月) 21:08:31(1-a^n)^(1/n) =b とおくと
a^n + b^n =1,
a∈Q, 0<a<1, n∈N, n≧3,
bが有理数ならば、フェルマーの最終定理(A.Wiles)と矛盾する。
0168１３２人目の素数さん
2008/11/04(火) 12:19:280169１３２人目の素数さん
2008/11/04(火) 13:46:26面積はどれくらいか？
0170１３２人目の素数さん
2008/11/04(火) 14:54:22ああ、じゃあ数セミのは京大の改変だね。
0171１３２人目の素数さん
2008/11/05(水) 20:01:520172１３２人目の素数さん
2008/11/05(水) 21:52:490173１３２人目の素数さん
2008/11/09(日) 16:06:23結び目の大きさは考慮しなくていいのか？
あと、紐はどれぐらい曲げられるの？ 硬い紐だと意外と曲がらないよ
0174１３２人目の素数さん
2008/11/09(日) 17:55:53a_(n+3) = -a_(n+2) + 2a_(n+1) + 8a_n
a_1 = a_2 = a_3 = 1
この時a_nのすべての項は平方数であることを証明せよ。
0175１３２人目の素数さん
2008/11/09(日) 17:57:100176１３２人目の素数さん
2008/11/09(日) 21:26:23数列{b_n}を
b_(n+2) = b_(n+1) -2*b_n,
b_1 = b_2 = 1, b_3 =-1,
で定義すると b_n は明らかに整数で、a_n = (b_n)^2.
注) b_n = (2/√7)･2^(n/2)･sin(nβ), ここに β = arcsin(√(7/8)).
0177１３２人目の素数さん
2008/11/10(月) 03:10:45おお！どうなってのか教えて！
0178１３２人目の素数さん
2008/11/11(火) 11:50:53何回も見たことある
新作問題キボンヌ
0179１３２人目の素数さん
2008/11/11(火) 14:45:560180１３２人目の素数さん
2008/11/12(水) 01:06:14誰も解いてくれないから>>39解いてくれ
0181１３２人目の素数さん
2008/11/12(水) 01:23:09やってみるお
0182１３２人目の素数さん
2008/11/14(金) 08:49:56・ a(1)=1
・ a(n+2)=a(n+1)+a(n)
・ 1≦i＜jならばa(i)＜a(j)
・ 任意の整数mに対して、ある整数nが存在し、a(n)はmの倍数
を満たす。
このとき、写像aを求めよ
0183１３２人目の素数さん
2008/11/15(土) 00:00:520184１３２人目の素数さん
2008/11/15(土) 02:22:520185１３２人目の素数さん
2008/11/15(土) 19:00:170186１３２人目の素数さん
2008/11/16(日) 02:26:230187１３２人目の素数さん
2008/11/16(日) 11:34:230188１３２人目の素数さん
2008/11/16(日) 15:29:22N→Nじゃなくて
Z→Zでいいの？
0190１３２人目の素数さん
2008/11/17(月) 00:43:080191１３２人目の素数さん
2008/11/17(月) 01:04:460192１３２人目の素数さん
2008/11/17(月) 21:20:000193１３２人目の素数さん
2008/11/17(月) 22:52:58それの証明が重要なんじゃないのか？
0194１３２人目の素数さん
2008/11/17(月) 22:55:36例） a(111)=2、a(232)=0、a(1234)=0、a(2345)=2
納k=1,n] a(2^k)/2^k (n→∞)
の極限値を求めよ
0195１３２人目の素数さん
2008/11/17(月) 23:00:36フィボナッチ数列を一個ずらした数列を考えれば良い
最後の性質は、フィボナッチの場合を示せばよい（良く知られた証明）
全く以って入試に不向きな問題だな
0196１３２人目の素数さん
2008/11/17(月) 23:02:49いやだから、フィボナッチ数列しかないことを証明しろってことなんじゃないの？
0197１３２人目の素数さん
2008/11/17(月) 23:04:17○フィボナッチ数列をずらした数列しか
a(1)=1で、a(2)=2ならフィボナッチで、条件を満たすけど
a(1)=1、a(2)=3ならリュカで条件を満たさない。条件をみたすaが、a(2)=2のみに限ることを言わないと証明じゃないのでは……
0198１３２人目の素数さん
2008/11/17(月) 23:08:10具体的に写像aを求めろって問題だろ
一意性を示せとはどこにも書いてないと思うが
0199１３２人目の素数さん
2008/11/17(月) 23:10:43んで、あくまでもおれの予想としてフィボナッチをずらしたものしかなさそうなので、メインは一意性の証明かなぁと。
単に求めろだから、やっぱ「全部」じゃね？
0200１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 00:30:000201１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 00:45:300202１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 06:17:14|sin1|+|sin2|+|sin3|+･･･+|sin(2n)|＞ 4n/5
を証明せよ。
ただしπ=3,1...sin1=0.84...,cos1=0,54...sin2=0.90...cos2=-0.41...
は証明なしで使ってもよいものとする。
0203修正
2008/11/18(火) 13:11:13・ a(1)=1
・ a(n+2)=a(n+1)+a(n)
・ 1≦i＜jならばa(i)＜a(j)
・ 任意の正整数mに対して、ある整数nが存在し、a(n)はmの倍数
を満たす。
このとき、写像aを全て求めよ
0204１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 13:56:580205１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 13:58:250206１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 22:40:20ｎ回目までの出た目の和が素数である確率を求めよ。
0207１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 23:06:040208１３２人目の素数さん
2008/11/19(水) 00:00:34とりあえず>>39と>>182あたりが解かれてないのか
0209１３２人目の素数さん
2008/11/19(水) 00:03:56http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/653
不等式スレ３
の式に a=1, m=2n を代入すると、
(左辺) > n + (1/4) - 1/(4sin(1)) > n -0.0471
0210１３２人目の素数さん
2008/11/19(水) 00:07:03自作問題が解かれてないからって気を落とすなよ
お前が作ってないなら、糞問なんだからスルーしてやれよ
0211１３２人目の素数さん
2008/11/19(水) 00:20:370212１３２人目の素数さん
2008/11/19(水) 00:21:09a(2)≧3のとき条件を満たさないことを示す
まずa(k)とa(k+1)は互いに素なのはユークリッドの互除法的に明らか
次にa(2)=tとするとa(k)+(t^2-2t)a(k+1)は常にt^2-t-1の倍数となる
したがって、a(k)がt^2-t-1の倍数だとa(k+1)もt^2-t-1になるがこれは矛盾
a(2)=2はフィボナッチの性質から解ける感じ
ということでa(2)=2となるときだけ
>>39はスルーされて当然だったな
一個目:-1
煮込め:X=e,X'=e^(a-1)よりa=3
三個目:対数微分とか使わせるにしてもあまりに糞問
0213１３２人目の素数さん
2008/11/19(水) 01:22:19多分39の一個目違う
0214１３２人目の素数さん
2008/11/19(水) 08:02:11(1)a,bはともに奇数であるか、ともに偶数であることを示せ。
(2)(a,b)としてありうるものをすべて求めよ。
0215１３２人目の素数さん
2008/11/19(水) 17:07:25どうやって気づいたのかｋｗｓｋ
0216212
2008/11/19(水) 18:04:06実はその部分は敢えてどう解いたのかばれないような表記にしてました
実際の思考の順序は
・おそらくa(2)≧3だとある数を法としたときに0を含まない循環にできるはず
・漸化式の形から、pa(k)+qa(k+1)が常に何かを法として不変になるはず
・その「何か」と上の「ある数」を自分で作ればよいはず
・a(1)=1,a(2)=tのとき、p=t,q=-1とすればta(1)-a(2)=0で何かよさそう。このときta(2)-a(3)=t^2-t-1
・t^2-t-1が上の「何か」になるはず、実験して確認・あとはp=1,q＞0になるように工作
みたいな感じでした
0217１３２人目の素数さん
2008/11/19(水) 18:38:54勉強になります
0218１３２人目の素数さん
2008/11/20(木) 21:46:10解きました。キーワードは「pi_315」
http://www1.axfc.net/uploader/He/so/160906
0219１３２人目の素数さん
2008/11/20(木) 21:58:51なるほどぉ！
0220１３２人目の素数さん
2008/11/20(木) 22:35:350221１３２人目の素数さん
2008/11/20(木) 22:45:21(a,b)=(4,2).
0222１３２人目の素数さん
2008/11/20(木) 22:46:22F(n)=納k=1,n]f(k) が完全な関数になる完全な関数fをすべて求めよ
0223１３２人目の素数さん
2008/11/20(木) 23:04:17t^2－t－1＝0はフィボナッチ数列の特性方程式だから、
こう考えた方が本質的な気がする。↓
a(n＋2)＝a(n＋1)＋a(n)の特性方程式はx^2－x－1＝0だから、
a(1)＝1，a(2)＝tとするとき、m：＝t^2－t－1を法とすれば
a(n)≡t^n (mod m) とキレイに解ける。もしa(n)がmの倍数
であるようなnが存在するならば、t^n≡0 (mod m)となるが、
gcd(t,m)＝1であるから、m≧2のときは矛盾が起きる。
m≧2 ⇔ t≧3だから、結局、t≧3のときは矛盾が起きる。
一般化するならこうなるか。
a(n＋k)＝c(k－1)a(n＋k－1)＋…＋c(1)a(n＋1)＋c(0)a(n) (各c(i)は整数でc(0)＝±1)
a(0)＝1，a(1)＝t，a(2)＝t^2，…，a(k－1)＝t^(k－1)
という漸化式を考える。tが十分大きな自然数ならば、
(tごとに)ある正整数mが存在して、a(n)とmは互いに素(n＝0,1,2,…)である。
0224１３２人目の素数さん
2008/11/21(金) 00:11:231) Pは頂点を以外のある内点からスタートし、三角形の辺にぶつかるまでまっすぐ進む。
2) 辺にぶつかったら跳ね返る。入射角と反射角は等しいものとする。
3) 1,2を繰り返して、途中で三角形の頂点にぶつかる軌道は考えないものとする。
4) 1,2を繰り返して、途中から軌道が周期的になるもののみを考える。
三角形Tの周の長さを 1 とし、上記の軌道からなる集合をL(T)とする。
また、Tを固定したとき、L(T)に含まれる軌道の長さの最小値をm(T)とおく。
Tを変化させたとき、m(T)の最大値は存在するか？
0225１３２人目の素数さん
2008/11/21(金) 00:52:11F(n)＝n，f(n)＝1 (n＝1,2,3,…)となることを示す。
与えられた条件からn＝1,2,…,9のときを地道に調べることで、
n＝1,2,…,9のときはF(n)＝n，f(n)＝1が成り立つことが言える。
以下、k≧10として、n＜kのときF(n)＝n，f(n)＝1が成り立つすると、
n＝kのときは以下の議論によってF(k)＝k，f(k)＝1となるので、
数学的帰納法より成立。
kが素数のとき：k≧10だからkは奇素数であり、よってk＋1は合成数である。
k＋1＝Πpi^ei と素因数分解すると、各iに対してpi＜kとなることに注意して
F(k＋1)＝ΠF(pi)^ei＝Πpi^ei＝k＋1となる。一方、F(k＋1)＝Σ[j＝1～k＋1]f(j)
であり、j＜kのときは帰納法の仮定からf(j)＝1なのでF(k＋1)＝k－1＋f(k)＋f(k＋1)
となる。また、f(k＋1)＝Πf(pi)^ei＝Π1^ei＝1となるから、結局F(k＋1)＝k＋f(k)
であり、これにF(k＋1)＝k＋1を代入してf(k)＝1となる。このとき
F(k)＝Σ[j＝1～k]f(j)＝kとなる。よってF(k)＝k，f(k)＝1となる。
kが合成数のとき：k＝Πpi^ei と素因数分解して、F(k)の値を上と同様にして計算する。
上の議論よりも簡単にF(k)＝k，f(k)＝1が出る。
0226１３２人目の素数さん
2008/11/21(金) 04:28:010227１３２人目の素数さん
2008/11/21(金) 05:04:370228１３２人目の素数さん
2008/11/21(金) 08:06:290229１３２人目の素数さん
2008/11/21(金) 09:31:58力技すぎワロタ
0230１３２人目の素数さん
2008/11/21(金) 18:40:33なんという力技ｗｗｗ
0231１３２人目の素数さん
2008/11/21(金) 18:47:500232１３２人目の素数さん
2008/11/21(金) 18:49:44そういう回答になっちまうのもしかたないのかもな
0233232
2008/11/21(金) 18:51:210234１３２人目の素数さん
2008/11/21(金) 19:02:30(1)f(x)のすべての係数の絶対値は1である。
(2)方程式,f(x)=0の解はすべて実数である。
0235232
2008/11/21(金) 19:27:29創価相乗より
cosθ+cosθ+(1/cosθ)^2≧3 (0≦θ<π/2)
両辺0からπ/12までθで積分して、
2sin(π/12)+tan(π/12)>3*(π/12)
sin(π/12)=(√6-√2)/4、tan(π/12)=2-√3 を代入して整理
π<2√6-4√3-2√2+8<2*2.45-4*1.732-2*1.414+8=3.144<3.15
(∵√6<2.45、√3>1.732、√2>1.414）
218よりは計算量少なめ
0236１３２人目の素数さん
2008/11/21(金) 19:46:06x±1、x^2-1
0237１３２人目の素数さん
2008/11/21(金) 19:59:59＞x^2-1
条件(1)を満たしていない
0238１３２人目の素数さん
2008/11/21(金) 20:54:31a^2+ab+b^2=p
となる整数a,bが存在することを示せ
0239１３２人目の素数さん
2008/11/21(金) 21:54:372sinθ + tnaθ > 3θ, 0<θ<π/2 .
を Snell の式とか言うらしいよ。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000//591 , 565
不等式スレ３
0240１３２人目の素数さん
2008/11/21(金) 22:12:14平方根の近似値使わなくてもできる
>>235 から
4(2sin(π/12) + tan(π/12)) ＞ π …(1)
また、
22/7 - 4(2sin(π/12) + tan(π/12))
= (2/7) (-17 + 7√2 + 14√3 - 7√6)
= (2/7) (√2-1)^3 (2-√3)^2 (3√6-7)
= (2/7) (√2-1)^3 (2-√3)^2 (√54-√49)
＞ 0
∴ 22/7 ＞ 4(2sin(π/12) + tan(π/12)) …(2)
3.15 ＞ 22/7 …(3)
は明らか
(1)(2)(3) より π＜3.15
ところで、いきなり相加相乗使ってるけど、
そのやりかた有名なの？
0241１３２人目の素数さん
2008/11/22(土) 08:23:27なるほど・・・
22/7が割と正確な円周率の近似であることをうまく利用するんですね
この方法は>>239にあるとおり、光の屈折に関するsnellの法則で有名なWillebrord Snellが
円周率の値を評価するときに使った方法です
3sinθ/(2+cosθ)<θ<(2sinθ+tanθ)/3の右側ですね
0242１３２人目の素数さん
2008/11/22(土) 19:48:191 - {(1-cos(x))/(2+cos(x))}^2 < 1 < {cos(x) + cos(x) + 1/(cos(x)^2)}/3,
を [0,θ] で積分する････
0243１３２人目の素数さん
2008/11/22(土) 22:53:55これって、2008年度の京大乙6番のように三角関数表が与えられたら、こういう解答も成り立つ。
正45角形ならばS_45 = 45 tan 4°だが、0.0699 < tan 4° < 0.0700より、
\pi < S_45 < 45*0.0700=3.15より、円周率は3.15未満。
0.0697 < sin 4°< 0.0698より、\pi > s_90 = 45*sin 4°>45*0.0697=3.1365>3.1
http://hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/08/k01-23p/3.html
但し、三角関数表自体は切り捨てか切り上げか明言していないので、使うべき角度には注意が必要。
角度が小さ過ぎても、円周率には躙り寄れるが今度は誤差が大きいので問題あり。
0244１３２人目の素数さん
2008/11/22(土) 23:39:370245１３２人目の素数さん
2008/11/23(日) 00:13:39四面体OPQRの体積が正四面体OABCの1/3になるように動く。
このとき三角形PQRの周および内部が通過する領域の体積を求めよ。
0246１３２人目の素数さん
2008/11/23(日) 00:28:560247１３２人目の素数さん
2008/11/23(日) 04:33:12サンクス
不等式スレも見てるのに見落としてた…
0248１３２人目の素数さん
2008/11/23(日) 15:11:272α、4α、8α、16α、32α…（2^nα）
6α、12α、24α、48α、96α…（3*2^nα）
を考える。
このとき、いかなるαを考えたとしても、
これらの数の中に必ず、小数部分が1/4より大きくなるものがあることを示せ。
また、上記命題において1/4が最良であることも示せ
0249１３２人目の素数さん
2008/11/23(日) 16:21:042進法で考えて、α の小数点以下(n+1)桁目が 1 だったら、
2^n*α は小数点以下1桁目が 1 だから、小数部分は 1/2 以上
だから、1/4 が最良ってのは変じゃないか？
0250248
2008/11/23(日) 16:30:450251249
2008/11/23(日) 19:14:140252１３２人目の素数さん
2008/11/24(月) 01:07:35f(x,x)=x
f(x,y)=f(y,x)
(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y)
0253１３２人目の素数さん
2008/11/24(月) 01:17:20αの2進小数表示を考える。
小数部分の数字の中に 1 が連続している場所が在れば
その部分 11 が小数点のすぐ右に来たときに2^n・αの
小数部分が3/4より大きく）になる。
また連続した場所が無ければ、小数点の右に 010が来たときに
3・2^nαの小数部分が3/4より大きくなる。
2進小数で
0.00.........（0がn桁）.........00100.........（0がn+1桁）.........00100.........（0がn+2桁）.........00100（0が三桁）
というような数を考えると、nが大きいとき、>>248の系列の最大値は3/4に充分近い。
0254１３２人目の素数さん
2008/11/25(火) 05:23:29mx^2-ny^2=1
が解をもつとき、この方程式は無数に多くの解を持つことを証明せよ。
0255１３２人目の素数さん
2008/11/25(火) 07:00:36(x,y)=((√m)/cost,tant/(√n))
0256254
2008/11/25(火) 07:02:16m,nは正の整数とする。x,yの方程式
mx^2-ny^2=1
が整数解をもつとき、この方程式は無数に多くの整数解を持つことを証明せよ。
0257１３２人目の素数さん
2008/11/25(火) 20:44:240258１３２人目の素数さん
2008/11/25(火) 20:49:060259１３２人目の素数さん
2008/11/25(火) 21:06:14f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y)
g(x+y)=g(x)f(y)+f(x)g(y)
を満たすとき、f,gを求めよ。
0260１３２人目の素数さん
2008/11/25(火) 21:13:48f(x)=cosx
g(x)=sinx
0261259修正
2008/11/25(火) 21:39:00f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y)
g(x+y)=g(x)f(y)+f(x)g(y)
を満たすとき、f,gを『すべて』求めよ。
いや、っていうか何の条件もなかったら普通「すべて」だよね……
そう思ってた、俺がバカなのか……orz
だから、唯一性の証明がだなぁｒｙ
0262１３２人目の素数さん
2008/11/25(火) 21:39:49あと、それだけじゃないよ。唯一性とは言ったが、答えは無限にあるので……
と言ってもｒｙ
0263１３２人目の素数さん
2008/11/25(火) 21:46:070264１３２人目の素数さん
2008/11/25(火) 23:06:260265１３２人目の素数さん
2008/11/25(火) 23:17:120266１３２人目の素数さん
2008/11/26(水) 00:59:25これFラン用？Eランク大学の俺様には簡単すぎて欠伸が出るんだけど。
くらいの意味だと思っといたほうがｗ
>>263
微分可能って条件があるのだったら見たことあるけど、
それが無い奴はそんなに有名でも無いと思うけど。
まあ定義に従って微分を求めたら求められた気もしたけど。
0267１３２人目の素数さん
2008/11/26(水) 10:36:03f(f(f(x)))-3f(f(x))+6f(x)= 4x+3
を満たすとする。
(1)実数a,bに対してf(a)=f(b)が成立するときa=bであることを示せ。
(2)f(x)は単調増加であることを示せ.
(3)f(x)を求めよ.
0268１３２人目の素数さん
2008/11/26(水) 13:30:21お願いだからギャグと言ってくれ
0269１３２人目の素数さん
2008/11/26(水) 14:14:000.01011x11=1.00001.
0270260
2008/11/26(水) 14:22:360271１３２人目の素数さん
2008/11/26(水) 15:03:01これ本当に解けるか？
0272１３２人目の素数さん
2008/11/26(水) 18:08:340273１３２人目の素数さん
2008/11/26(水) 18:40:21方程式：d^3+x+y^2=dxy
を満たすx,yをすべて求めよ。
0274１３２人目の素数さん
2008/11/26(水) 20:25:58できた。
ttp://www.csync.net/service/file/view.cgi?id=1227698744
0275１３２人目の素数さん
2008/11/26(水) 21:00:10なんかミスってた＆ヘタクソなことしてた(´・ω・｀)
ttp://www.csync.net/service/file/view.cgi?id=1227700775
0276１３２人目の素数さん
2008/11/26(水) 21:18:36第 一 問（文理共通）
sin2009°の小数第一位から少数第五位までのそれぞれの数を，
a，b，c，d，eとして，このとき，
f(x) = ax^3+bx^2+cx+d
とする．
(1) sin2009°とsin1877°の大小を比較せよ．
(1) a，b，c，d，e，f(e)のそれぞれの値を求めよ．
(2) f(x)の極大値と極小値を求めよ．
(1)は東大の易化にあわせたつもりだが簡単すぎる．
ちなみに1877年は東大設立の年．
sin1877°＞ sin2009°になることはどうみても明らかだけども，
懐古的な（といっても1877年だと古すぎるが）教授なら，
2009年よりも1877年のほうが東大は輝いていたに違いない―，なんて言うかもしれないと思って．
0277１３２人目の素数さん
2008/11/26(水) 21:39:44sin 29°の値なんて手計算させてどうすんの？
sin 2010°なら意味分かるけども。
三倍角の公式を使って三乗根の値を概算、なんてやってたら
（最近の学生はゆとり教育の結果計算力がなくなっているとかそういうことではなくて）
三十分じゃ全然時間が足りないと思うけど。
0278１３２人目の素数さん
2008/11/26(水) 22:17:29電卓があれば解ける問題って……いくらなんでもあり得ないのでは？
0279１３２人目の素数さん
2008/11/26(水) 22:27:19Fラン用？
f(x) = cos(ax),
g(x) = sin(ax),
0280１３２人目の素数さん
2008/11/26(水) 22:50:110281１３２人目の素数さん
2008/11/27(木) 02:45:44一生懸命タイプして完成して嬉しい気持ちでうｐしたんだろうなと思ったら萌えた
0282１３２人目の素数さん
2008/11/27(木) 18:33:560283１３２人目の素数さん
2008/11/27(木) 20:16:192009 = 1800+180+29 より sin2009゜= -sin29゜
符号を見て分かる通り、sin1877゜ > sin2009゜
････ダメ？
0284１３２人目の素数さん
2008/11/27(木) 20:26:54(1)f(a)=f(b)のときf(f(a))=f(f(b)),f(f(f(a)))=f(f(f(b)))なので
4a+3=4b+3
ゆえにa=b
(2)(1)よりf(x)は単射の連続関数なので
単調増加または単調減少
単調減少と仮定すると
f(f(x))は単調増加、f(f(f(x)))は単調減少なので
f(f(f(x)))-3f(f(x))+6f(x)は単調減少
だが右辺の4x+3は単調増加で矛盾する。
0285１３２人目の素数さん
2008/11/27(木) 22:33:03elegant
0286１３２人目の素数さん
2008/11/28(金) 02:12:300287１３２人目の素数さん
2008/11/28(金) 03:10:33１つの整数解を (x_1, y_1) とし、
α = x_1･√m - y_1･√n,
β = x_1･√m + y_1･√n,
とおくと
αβ = m(x_1)^2 - n(y_1)^2 = 1,
また、α、βは奇数乗しても
α^(2k+1) = x_(2k+1)･√m - y_(2k+1)･√n,
β^(2k+1) = x_(2k+1)･√m + y_(2k+1)･√n,
の形を保つ。 そして漸化式
x_(2k+1) = {m(x_1)^2 + n(y_1)^2}x_(2k-1) + {2n(x_1)(y_1)}y_(2k-1),
y_(2k+1) = {2m(x_1)(y_1)}x_(2k-1) + {m(x_1)^2 + n(y_1)^2}y_(2k-1),
から、 x_( ), y_( ) はすべて整数となる。
0288１３２人目の素数さん
2008/11/28(金) 11:15:15cを任意の実数とし数列x[n]を漸化式x[1]=c, x[n+1]=f(x[n])で定める。
与方程式から
x[n+3]-3x[n+2]+6x[n+1]=4x[n]+3 (n=1,2,...)となる。
階差数列をy[n]=x[n+1]-x[n]とおけば
y[n+3]-1=-8(y[n]-1) となるので
y[3n+1]=(-8)^n*(y[1]-1)+1
を得る。ゆえにy[1]≠1と仮定すると十分大きなnに対してy[u]>0,y[v]<0となるような番号u,vが
それぞれ存在する。
ゆえにf(x[u])>u,f(x[v])<vとなるような実数x[u],x[v]が存在するが、f(x)は連続なので
中間値の定理からf(w)=wとなる実数xが存在する。
これを与方程式に代入すればw-3w+6w=4w+3⇔0=3となり矛盾する。
従ってy[1]-1=0でなければならず、すなわちx[2]=x[1]+1,つまりf(c)=c+1である。
cは任意であったから任意の実数xに対して
f(x)=x+1でなければならない。
逆にこれは与えられた条件を満たす。ゆえにf(x)=x+1
0289１３２人目の素数さん
2008/11/28(金) 15:42:04ネイピア数e = lim{n->∞}{(1 + 1/n)^n}(表記の参考までに）
0290１３２人目の素数さん
2008/11/28(金) 22:02:48F(2a) + F(2b) = 2F(a+b)F(a-b)
を満たし、かつ定数関数ではない関数F(x)がある。
F(p)=F(q)を満たす実数p, qに対して、F(p+q) と F(p-q)の少なくとも一方は1に等しいことを示せ。
0291１３２人目の素数さん
2008/11/28(金) 22:28:20a=b=0とすると
f(0)+f(0)=2f(0)^2⇔f(0)=0,1となるがf(0)=0と仮定すると
b=aとして,f(2a)=0が任意のaで成立し仮定に矛盾するからf(0)=1
さらにb=0としてf(2a)+1=2f(a)^2 ∀a ･･･(1)
a=(p+q)/2,b=(p-q)/2として
f(p+q)+f(p-q)=2f(p)f(q) …(2)
a=p,qとして
2f(p+q)f(p-q)=f(2p)+f(2q) ･･･(3)
(1)よりf(p)=f(q)のときf(2p)=f(2q) ･･･(4)
ゆえに(2)(3))(4)より
(1-f(p+q))(1-f(p-q))
=1-f(p+q)-f(p-q)+f(p+q)f(p-q)
=1-2f(p)f(q)+{f(2p)+f(2q)}/2
=1-2f(p)^2+f(2p)=0 (∵(1))
よって示せた。
0292１３２人目の素数さん
2008/11/29(土) 04:25:44b=a を代入すると、2F(2a){1-F(0)} = 0,
題意により F(2a)≡0 ではないから、F(0) = 1.
|F(1)| < 1 のとき F(x) = cos(ax), ただし a = arccos{F(1)},
F(1) > 1 のとき F(x) = cosh(a'x), ただし a' = arccosh{F(1)} = log{F(1)+√[F(1)^2 -1]},
0293１３２人目の素数さん
2008/11/29(土) 16:21:57πに1/mπ(m:0以外の実数)なる数以外の数を掛けたとき、その値が0でない有理数となることはあるか。
0294１３２人目の素数さん
2008/11/29(土) 16:50:44これ以外の実数はない。
よってない。
0295１３２人目の素数さん
2008/11/29(土) 18:06:26n(n-1) = N とおくと
N→∞, (n→∞)
(与式) = { (1 + 1/N)^N }^(1/(n-1)) → e^0 = 1. (n→∞)
0296１３２人目の素数さん
2008/11/29(土) 20:10:030297１３２人目の素数さん
2008/12/01(月) 01:40:470298１３２人目の素数さん
2008/12/01(月) 01:47:39そんなベータ関数の有名問題が出ると思ってんの？バカなの？
0299１３２人目の素数さん
2008/12/02(火) 12:44:50各桁がすべて1の2009桁の整数をa=111...11
とおく。
nが題意を満たす条件は
a*10^k≦n<(a+1)*10^k
を満たす0以上の整数kが存在することである。
a*10^k≦n<(a+1)*10^k
⇔loga+k≦logn<log(a+1)+k
数列x[n]=lognについて考えると
x[n]→∞で、x[n+1]-x[n]=log(1+1/n)→0なので
x[n]の階差はいくらでも小さくなる。区間[loga+k,log(a+1)+k)の長さはlog(a+1)-loga=log(1+1/a)は0より大きい定数だから
k,nが十分大きければ
x[n]=lognが区間[loga+k,log(a+1)+k)に属するような正の整数nが存在する。
よって題意は示された。
0300１３２人目の素数さん
2008/12/02(火) 17:31:16nじゃなくてn^2009なんだが
0301１３２人目の素数さん
2008/12/02(火) 23:18:35において
x=costと置換すると
積分区間は[x=1,1]となるが
これが０にならないとことを示せ
0302１３２人目の素数さん
2008/12/02(火) 23:22:40そりゃ、ルートがついたもん積分したら、中々０にゃならんだろ
0303１３２人目の素数さん
2008/12/02(火) 23:45:15＞積分区間は[x=1,1]となるが
こういう間の抜けたことは東大入試の問題文には書かないかと
0304１３２人目の素数さん
2008/12/02(火) 23:47:11狙いは分かるが．．．
0305１３２人目の素数さん
2008/12/02(火) 23:50:06うまく問題の中に潜ませるのがうまい問題だな。
突きたいポイントをずばり問題にしてしまったのでは駄作。
ま、俺には作れんが。
0306１３２人目の素数さん
2008/12/03(水) 00:28:07京都大学入試作問者になったつもりのスレ①
の308で∫[x=0,1]√(2-2cos(2πx))dxが出てくる悪寒
・・・でもそんな置換はしないか
0307１３２人目の素数さん
2008/12/03(水) 00:31:27f(n)が全て非素数になるa,bの組を一つ求めよ。存在しないのならその事を示せ
0308１３２人目の素数さん
2008/12/03(水) 00:41:09いかなるa,bを選んでも、f(n)が合成数になるような無数に多くのnが存在することを示せ
0309１３２人目の素数さん
2008/12/03(水) 01:26:56mod2で考えれば 000… または …110110… だから，偶数の項は無限に存在する。
f(n)は単調増加だから4以上の偶数が無限に存在することになる。
0310１３２人目の素数さん
2008/12/03(水) 21:37:11変数変換したら被積分関数が閉区間[1,1]で存在しないことを
証明すればいいんだろ
0311１３２人目の素数さん
2008/12/03(水) 22:03:410312１３２人目の素数さん
2008/12/03(水) 23:07:08半角の公式
0313１３２人目の素数さん
2008/12/15(月) 04:36:01出たカードの数字をX_1とする。さらに、カードをもとに戻して再び1枚を引き、
出たカードの数字をX_2とする。X_1, X_2のうち、小さくない方をXとする。次の問いに答えよ。
(1) Xの期待値Eを求めよ。
(2) kを自然数として、X≧kとなる確率をp_k、X≦kとなる確率をq_kとおく。
p_k≧1/2かつq_k≧1/2となるようなkの値をmとするとき、n=100に対するmの値を求めよ。
(3) lim[n→∞]E/mを求めよ。
0314１３２人目の素数さん
2008/12/15(月) 04:44:24この自然数を「均衡数」と呼ぶことにする。
たとえば、1634は1+6=3+4により均衡数であるが、123401は1+2+3≠ 4+0+1により均衡数ではない。
(1) 0, 1, 2, 3, 4の5個の数字を用いて作られる4桁の均衡数の総数は70個であることを示せ。
(2) kを9以下の自然数として、0からkまでのk+1個の数字を用いて作られる4桁の均衡数の総数をkで表せ。
0315１３２人目の素数さん
2008/12/15(月) 04:50:25(2) ∫[0, π/2](sin 2x)/(1+sin^2 x)dx と ∫[0, π/2](sin x)/(1+sin^2 x)dxの大小を比較せよ。
0316１３２人目の素数さん
2008/12/15(月) 07:14:48ひとつの頂点に集まる頂角の合計は３６０度未満である。
オイラーの定理Ｖ－Ｅ＋Ｆ＝２が成り立つ。
多面体の以上の性質を利用して、正多面体は正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の５種類しかないことを示せ。
0317１３２人目の素数さん
2008/12/15(月) 21:38:140318１３２人目の素数さん
2008/12/17(水) 00:26:56問題がおかしくありませんか？(1+sqrt{2})^5 = 82.01...くらいだと思いますが。
0319１３２人目の素数さん
2008/12/17(水) 00:53:24ほんとだorz
書き間違えてました。
(1+√2)^5＜99を示せ。
でした。ごめんなさい。
0320１３２人目の素数さん
2008/12/17(水) 10:07:18π + 0sinθ + 0cosθ
π(sin^2θ + cos^2θ)
0321１３２人目の素数さん
2008/12/17(水) 12:05:060322１３２人目の素数さん
2008/12/17(水) 12:12:15π使ってるやんｗｗｗｗｗｗ
0323１３２人目の素数さん
2008/12/17(水) 18:26:38ただし θ は度数法
0324１３２人目の素数さん
2008/12/18(木) 02:31:502 > 1.96 = 1.4^2,
a_n = (1+√2)^n + (1-√2)^n,
とおくと
a_n = 2*a_(n-1) + a_(n-2), a_0 = a_1 = 2,
a_n - 1 < (1+√2)^n < a_n + 1,
を満たす。
a_5 = 82 ゆえ、81 < (1+√2)^5 < 83,
>>315 (2)
∫[0,π/2] sin(2x)/{1+sin(x)^2} dx = ∫[0,π/2] 2sin(x)cos(x)/{1+sin(x)^2} dx
= [ log{1+sin(x)^2} ](x=0,π/2)
= log(2)
= 0.69314718055994530941723212145818
cos(x) = z とおくと、
∫[0,π/2] sin(x)/{1+sin(x)^2} dx = ∫[0,1] 1/(2-z^2) dz
= (1/√8)∫[0,1] {1/(√2 -z) + 1/(√2 +z)} dz
= (1/√8) [ log{(√2 +z)/(√2 -z)} ](z=0,1)
= (1/√2) log(√2 +1)/(√2 -1)
= 0.62322524014023051339402008025057
>>316
各面は正ｍ角形、
１つの頂点に集まる面の数をｎ≧3,
とすると、
mF = 2E = nV より V-E+F= (2/n -1 +2/m)E,
{(m-2)/m}π*n < 2π より 2/m -1 +2/n > 0.
0325１３２人目の素数さん
2008/12/19(金) 00:56:44簡単かな。
0326１３２人目の素数さん
2008/12/19(金) 01:48:310327１３２人目の素数さん
2008/12/19(金) 02:01:310328１３２人目の素数さん
2008/12/19(金) 02:18:260329１３２人目の素数さん
2008/12/19(金) 02:26:540330１３２人目の素数さん
2008/12/19(金) 02:29:390331１３２人目の素数さん
2008/12/19(金) 02:46:50またはn=2^(4k-2)、n+1=5^jの形になるもの（k、jは正整数）
酔った頭じゃこれ以上簡単にできない
0332１３２人目の素数さん
2008/12/19(金) 19:12:24n=10k+4
どうだろう
0333１３２人目の素数さん
2008/12/19(金) 20:31:292の冪と5の冪で隣り合うようなものの組を全て求めよっていう問題だよね。
0334１３２人目の素数さん
2008/12/19(金) 20:54:58(1) をつかって、(2) を示すんじゃないの？
0335１３２人目の素数さん
2008/12/19(金) 21:39:10⇔（ある自然数 N 、 k を用いて） 1/n = N/10^k と表わせる
⇔ nN = 2^k・5^k と表わせる
⇔ n の素因数は 2 か 5 のみ
よって n と n + 1 がともに 2 か 5 のみとなるような組を求めれば良いが、
片方が 2・5 = 10 の倍数ならば不適となることが直ぐに分かるので
2 の冪と 5 の冪で差 1 になるようなものの組 (2^n, 5^m) を求めれば良い。
a^n - b^n は a - b で割り切れ、また n が奇数のとき a^n + b^n は a + b で割り切れることに注意。
2^n = 5^m + 1 かつ m ≧ 1 のとき、
mod. 5 で両辺を比較して n が 4 の倍数となることが分かる。文字をおきなおして
2^(4n) - 1 = 5^m つまり 16^n - 1 = 5^m となれば良いが、左辺は 15 の倍数なので
この式を満たす n, m は存在しない。
2^n = 5^m - 1 のとき、
右辺が 24 = 5^2 - 1 で割り切れてはいけないので m は奇数。(*)
2^n + 1 が 2 + 1 で割り切れてはいけないので n は偶数。
2^(2k) = 4^k = 5^m - 1 = 4(1 + 5 + 5^2 + ......... + 5^(m-1))
つまり 4^(k-1) = 1 + 5 + 5^2 + ......... + 5^(m-1) となる。
mod. 4 で両辺を比較すると k ＞ 1 のとき
0 ≡ m (mod. 4 )となる。従って m は 4 の倍数。
これは(*)に反するので k = 1、m = 1 が分かる。
したがって>>325の解は n = 4、n + 1 = 5 のみ。
0336１３２人目の素数さん
2008/12/19(金) 21:41:37よって n と n + 1 【の素因数】がともに 2 か 5 のみとなるような組を求めれば良いが、
それから 2^n = 5^m + 1 かつ m = 0 の場合忘れてた。
(n , n + 1) = (1, 2)も解で、この二つか。
0337１３２人目の素数さん
2008/12/19(金) 23:05:190338１３２人目の素数さん
2008/12/20(土) 00:50:33>>313-315の出題者ですけど、
当然、そういう意図の問題です。
0339１３２人目の素数さん
2008/12/20(土) 13:24:480340324
2008/12/21(日) 02:45:27(1) から
(1+√2)^5 < 89.6 = 64*1.4 < 64√2 = 2^6.5
1+√2 < 2^1.3
よって
(1/√2)log(√2 +1) < (1.3/√2)log(2) < (1.3/1.4)log(2)
かな？
0341１３２人目の素数さん
2008/12/23(火) 13:39:50それぞれからある形をつくる。その形の条件として、紐をＡ、Ｂとすると。
どちらかは円でなければならない、またもう片方は多角形でなければならない。
この多角形と円を組み合わせてエンブレムをつくるわけだが、どちらかが
片方に内接または外接してないといけない。このときエンブレムを構成する
円と多角形の面積の和の最大値を求めよ。
友達の東大生・東工生正答率３０人中１人。
0342１３２人目の素数さん
2008/12/23(火) 16:02:47ただし a0，a1，a2，．．．，an は実定数で an≠0 とする．
また M＝max[0≦k≦n] | ak | ( | a0 |，| a1 |，| a2 | ，．．．，| an | の最大値) とする．
このとき，次の性質が成立する 定数 R の例を１つ M を使って表せ．
| x | ≧ R を満たすすべての実数 x に対して f(x) ≠ 0
0343１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 12:50:310344１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 13:20:39f(x)=xとする。
M=1
|x|>1、つまり-1<x<1の範囲でf(x)≠0であることを示せばよいが
x=0のときf(0)=0よりアウト
f(x)=x^2+x+a0とする
M=1
f(x)=0とおくと、解は(-1±√(1-4a0))/2
これが-1<x<1の外側にあればよい
そのとき|x|≧Rを満たすすべてのｘについてf(x)≠0が成り立つ
0345１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 13:21:35間違えた
M=a0だね。
0346１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 13:40:58ギャグで言ってる？
0347１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 16:21:14じゃあ別の解法で
|x|≧Rを満たすｘの一つをφとする。つまり-R≦φ≦R
f(φ）=0であると仮定する
このφは同時にM=φを満たすから適当な数Hn(0≦Hn≦φ)を用いて
f(x)=Σ[n,k=0](φ-Hn)x^nとかける。ただし1つ以上xの項の係数はφである。
しかし、φ-Hn=0がありうることより、問題のanについてan=0が起こりうる。
これはan≠0の条件に反する。仮定が誤っていたことを意味する。
よってどんなφであっても|φ|≧Ｒを満たすφに対してf(φ)≠0は成立する。
(Q.E.D)
0348１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 16:32:47この時点で矛盾している。
＞f(φ）=0であると仮定する
＞このφは同時にM=φを満たすから
満たすとは限らない。
＞適当な数Hn(0≦Hn≦φ)を用いて
いつの間にかφ≧0であることが仮定されている。意味不明。
＞f(x)=Σ[n,k=0](φ-Hn)x^nとかける。
書けない。Σの中身にkが無いから、f(x)＝(n＋1)(φ－Hn)x^nになってしまう。
＞ただし1つ以上xの項の係数はφである。
日本語になっていない。
＞よってどんなφであっても|φ|≧Ｒを満たすφに対してf(φ)≠0は成立する。
問題の要求に答えていない。「｜φ｜≧Rを満たすφに対してf(φ)≠0が成り立つ」
ようなRを、Mを用いて構成せよと聞かれているのに、それをしていない。
0349１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 16:35:270350１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 17:26:490351１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 19:02:42頭悪すぎてひいてしまった
0352１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 19:30:130353１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 19:56:48書き間違いじゃない？
f(x) = εx^n + M のとき
f(x) = 0 の解 x に対して
|x| = (M/ε)^(1/n) → ∞ (ε→ 0 )
特に (M/ε^)(1/n) ＞ R(M) ⇔ M/R(M)^n ＞ ε だから
>>342のような性質が成立するような M の関数 R(M) は存在しない。
0354１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 22:00:07確かに。
多分、an＝1 もしくは M＝max[0≦k≦n] ( | ak | /| an | ) の間違いでしょうな。
もしそうなら、R＝2M とかが答。
0355１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 23:20:53平面をｎ本の直線でα個の領域に分けることを考える。
直線はどの2本を選んでも完全に重なることはないとする。
αのとりうる最大・最小の値をそれぞれ求めよ。
0356１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 23:36:23理由はめんどいから書かないけど。
0357１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 23:40:42お前が一番頭悪そうw
0358１３２人目の素数さん
2008/12/24(水) 23:47:28なんで最大の領域の数が分数になるんだよｗｗｗ
領域の数は普通整数だろうが
n(n+1)/2が整数になるときって条件つけとけ
0359１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 00:38:27君、面白いね
0360１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 00:49:52ありがとう
0361１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 01:58:48これの解法だれか教えて
最大の数がわからん
0362カツオ
2008/12/25(木) 01:59:170363１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 02:01:300364１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 02:12:06n(n+1)が2で割れるとしたらn(n+1)=2kとおける
展開してn^2+n-2k=0
n=(-1±√（1+8ｋ））/2っていう風になるから割り切れなくね？
0365１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 02:19:29nC2だってn(n-1)/2なのに鈍すぎバカすぎ。
しかも>>364ではn(n+1)/2=kとしてn(n+1)/2が全整数を取るかのような妄想までしてて悲惨
0366１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 02:28:31よくわかんない・・・
nC2は整数なの？
0367１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 02:39:24kは特殊な値しか取らない。具体的には、(-1＋√（1+8ｋ））/2が
整数になるような値しか取らない。
お馬鹿の366のための解説：
nが偶数ならn＝2mと表せてn(n＋1)2/＝m(2m＋1)
nが奇数ならn＝2m＋1と表せてn(n＋1)/2＝(2m＋1)(m＋1)
よって必ずn(n＋1)/2は整数。
0368１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 02:41:11n個のおかしから2個を選ぶ組み合わせの総数は？
n個のうんちから2個を選ぶ組み合わせの総数は？
0369１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 02:42:15nが整数ならばn(n+1)は偶数
これがどうしても分からないなら、nが偶数のときと奇数のときで場合分けしてみて
君の発言が釣りであることを祈るよ
0370カツオ
2008/12/25(木) 02:48:320371１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 02:52:44「nが整数のときn(n+1)/2は全ての整数をとるわけじゃない」
y=x(x+1)/2だとxy平面上で放物線をなし、xの値に応じてyは全実数をとれる。
君は県立高校の1年生とかそんなところかな。よく他人の書き込みを自信満々にバカにできたね……
0372( °┌･･ °) ﾎｼﾞﾎｼﾞ
2008/12/25(木) 02:55:52f(x)=納k=1,n]a[k]coskx
としたとき
常にf(x)≧-1
となるような実数a[k]が任意の自然数nに対して存在することを示せ
0373１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 02:58:340374１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 03:03:080375カツオ
2008/12/25(木) 03:05:130376１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 03:05:54勘違いだ、ごめん。358と間違えたんだ。
0377カツオ
2008/12/25(木) 03:08:530378１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 03:14:09これｎが偶数のときの説明がおかしい
m=1/2としたらそのときｎ=mになるけどm(2m+1)は分数だもの。
よって命題は成り立たない
0379１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 03:16:19しません
0380１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 03:19:09ｍには制約ないでしょ
てかそのときｎはそもそも整数じゃなくなるからn=2m自体が成り立たないよ。
仮定がおかしい
0381１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 03:22:21あります
>てかそのときｎはそもそも整数じゃなくなる
そのときの想定は無用です
>仮定がおかしい
おかしくありません。n本の線を引くとあるのだから、nが自然数 or 0だと想定できます
0382１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 03:22:520383１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 03:28:30数学能力０
他者罵倒力 ∞ - 計測不能
傲岸不遜力 ∞ - 計測不能
0384１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 12:10:050385１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 12:36:490386１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 12:42:160387１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 12:59:210388１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 13:01:370389１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 13:02:22東北医ですｻｰｾﾝｗｗｗｗｗｗｗ
0390１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 13:32:480391１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 13:55:21基地外が乱入してたのね
0392１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 17:20:54ほんとに東北医なの？
fusianasanって名前欄に入れて書き込んでみなよ
0393１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 17:31:090394１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 17:39:37>>372とかさ
0395１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 17:46:43フーリエ級数みたいだね
0396１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 18:06:21納k=1,n]a[k]=n
これってa[k]=1にしかならないと思うんだが・・・
0397１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 18:11:09cosx+cos2x≧-1
とか常には成り立たないだろ
もしかしてa[k]を自然数と勘違いしてるのか？
0398１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 20:57:36nを固定して考えれ。
n=2 の場合
(左辺) + 1 = a[1]cos(x) + a[2]cos(2x) +1 = 2a[2]cos(x)^2 +a[1]cos(x) + (1-a[2]),
判別式は
D = a[1]^2 -8a[2](1-a[2]) = a[1]^2 + 8(a[2] -1/2)^2 -2,
D=0 は楕円で、原点でa[1]軸に接し、(4/3, 2/3) で a[1} + a[2] = 2 に接する。
∴ a[1]=4/3, a[2]=2/3,
このとき
(左辺) = (4/3)cos(x) + (2/3)cos(2x) = (1/3){2cos(x) +1}^2 -1 ≧ -1,
0399１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 21:06:51nを固定して考えれ。
n=2 の場合
f(x) + 1 = a[1]cos(x) + a[2]cos(2x) +1 = 2a[2]cos(x)^2 +a[1]cos(x) + (1-a[2]),
= 2a[2]{cos(x) + a[1]/4a[2]}^2 - D/(8a[2]),
これが常に非負となるから、D≦0,
D = a[1]^2 -8a[2](1-a[2]) = a[1]^2 + 8(a[2] -1/2)^2 -2,
D=0 は楕円で、原点でa[1]軸に接し、(4/3, 2/3) で a[1} + a[2] = 2 に接する。
∴ a[1]=4/3, a[2]=2/3,
このとき
f(x) = (4/3)cos(x) + (2/3)cos(2x) = (1/3){2cos(x) +1}^2 -1 ≧ -1,
0400１３２人目の素数さん
2008/12/25(木) 22:39:03n=3 のときは
a[1]=3/2, a[2]=1, a[3]=1/2,
f(x) = (3/2)cos(x) + cos(2x) + (1/2)cos(3x) = 2{1+cos(x)}cos(x)^2 -1 ≧ -1.
かな。
0401１３２人目の素数さん
2008/12/26(金) 00:07:30n=2なら偶然見つけられたけどn=3以上になると全然見つけられない
0402１３２人目の素数さん
2008/12/26(金) 00:55:490403１３２人目の素数さん
2008/12/26(金) 10:17:31任意の実数α(≧0)ついて、
納k=1,n]a[k]=α f(x)≧-α/n
を満たすa[k]があることを帰納法で示す。
n=1は省略
0404403
2008/12/26(金) 10:20:570405１３２人目の素数さん
2008/12/26(金) 10:29:310406１３２人目の素数さん
2008/12/26(金) 15:18:34n＜m^2＜(2009/2008)*n
となるような整数mが存在するような正の整数kのうち最小のものを求めよ。
0407１３２人目の素数さん
2008/12/28(日) 08:55:360408１３２人目の素数さん
2008/12/28(日) 09:08:46(2009/2008)*n-n>1
a^x-x>1
f=e^xloga-x
df/dx=logae^xloga-1=0
e^xloga=1/loga
xloga=-logloga
x=-logloga/loga=n=16.950
0409１３２人目の素数さん
2008/12/28(日) 09:25:07っており、その出典はユーリがロシア（当時はソ連）のモスクワ大学助教授時代に国内で行わ
れていた「オリンピヤード（数学コンテスト）」や大学入試の問題、難解でひねりの利いたク
イズなどです。ちなみに題名の「ミンスク」はベラルーシ共和国（旧ソ連白ロシア共和国）の
首都です。」という本です。
「ペレリマン，ヤコフ・イシドロヴィチ〈Перелъман，Яков Исидорович〉」
0410１３２人目の素数さん
2008/12/28(日) 09:26:15ペレリマン 『数のはなし』(金光不二夫訳)東京図書(1987) Ya.I.Perel’man
ペレリマン 『代数のはなし』(山崎昇訳)東京図書(1987) Ya.I.Perel’man
ペレリマン 『幾何のはなし』(金光不二夫訳)東京図書(1987) Ya.I.Perel’man
ペレリマン 『数学のはなし』(三橋重男訳)東京図書(1987) Ya.I.Perel’man「生きた数学」「おもしろい数学」などのタイトルで出版されていたもの
0411１３２人目の素数さん
2008/12/28(日) 09:27:370412１３２人目の素数さん
2008/12/28(日) 09:37:22春休みとかに
No10131 ソ連教育科学アカデミー版 基礎数学（全６巻揃）、東京図書、1966-1967年、15,750円
１、数と集合１ 第１部：記数法の起源／第２部：集合、群、環、体、数の体系 バシュマーコヴァ・ユシケーヴィチ／プロスクリャーコフ 1967 4刷
２、数と集合２ 第３部：数論／第４部：暗算と筆算、計算の補助手段 ヒンチン／ブラジス 1966 2刷
３、代数１ 第１部：ベクトル空間と一次変換／第２部：方程式の数値解法と図式解法 ウスコフ／ドモリヤード 1966 2刷
４、代数２ 第３部：多項式環と有理式体 オクニヨーク 1966 2刷
５、解析１ 第１部：実変数の初等函数、数列と函数の極限、函数の一般概念 ゴンチャロフ 1966 2刷
６、解析２ 第２部：微分、積分、級数／第３部：複素変数の初等函数 ナタンソン／ゴンチャロフ 1966 2刷
0413１３２人目の素数さん
2008/12/28(日) 09:39:130414１３２人目の素数さん
2008/12/28(日) 09:39:21スミルノフ高等数学教程
著者名 ： スミルノフ，B．I．著 福原満洲雄・彌永昌吉他監
出版社 ： 共立出版
発行年度 ： 昭和36年
販売価格 ： \14,000
0415１３２人目の素数さん
2008/12/28(日) 10:48:510416１３２人目の素数さん
2008/12/28(日) 14:25:52最初のほうの巻しか無理。
0417１３２人目の素数さん
2008/12/28(日) 17:48:54一部の天才を除いて数学って実際にペンを取って理解をつけてくものだもの
0418１３２人目の素数さん
2008/12/31(水) 19:59:23a[k] = 2(n+1-k)/(n+1), (k=1,2,･･･,n)
f(x) = (1/(n+1)){1-cos((n+1)x)}/{1-cos(x)} -1,
等号成立は cos((n+1)x) =1 (ただし cos(x)≠1) のときで、
x= 2π/(n+1), 4π/(n+1), ･････, 2nπ/(n+1).
0419１３２人目の素数さん
2009/01/01(木) 17:47:520420１３２人目の素数さん
2009/01/01(木) 20:08:51f(x) = (1/(n+1))Σ[k=1,n] (n+1-k)*2cos(kx),
に
2cos(kx) = {2cos(kx) - 2cos(kx)cos(x)}/{1-cos(x)}
= {2cos(kx) - cos((k-1)x) - cos((k+1)x)}/{1-cos(x)},
を代入したな･･･
0421１３２人目の素数さん
2009/01/07(水) 22:21:42７．Problems の 10番
10. Determine the maximal real number ａ for which the inequality
(x_1)^2 + (x_2)^n + ･････ + (x_n)^2 ≧ ａ{x_1･x_2 + x_2･x_3 + ･････ +x_(n-1)･x_n},
holds for any ｎ real numbers x_1, x_2, ･････, x_n.
答は ａ = 1／cos(π/(n+1)) らしいんですけど、どうやって解くんでつか？
0422１３２人目の素数さん
2009/01/07(水) 22:54:59２次形式の行列が半正定値であればよい。
この行列の固有多項式は第２種チェビシェフ多項式を使って表せるから固有値が簡単に求まる。
0423１３２人目の素数さん
2009/01/08(木) 02:58:30対角化すると････
(左辺) - (右辺) = (a/2)納k=1,n-1] s_k･s_(k+1) {x_k/s_k - x_(k+1)/s_(k+1)}^2,
等号成立は x_k = s_k (の定数倍) のとき。
ここに s_k = sin(kπ/(n+1)),
0424１３２人目の素数さん
2009/01/08(木) 23:45:49(左辺) - (右辺) = ｘＦｘ†
とおくと、
det|Ｆ-λＩ| = (a/2)^n U_n((1-λ)/a),
U_n の零点は cos(kπ/(n+1)), (k=1,2,････,n) だから、
Ｆの固有値は λ_k = 1 - a･cos(kπ/(n+1)), (k=1,2,････,n)
最小の固有値は λ_1
Ｆが半正値 ⇔ λ_1 =0 ⇔ ａ=1／cos(π/(n+1)).
0425１３２人目の素数さん
2009/01/09(金) 23:32:50nを超える最小の平方数を f(n) とおく。
f(n) = M ⇔ (M-1)^2 ≦ n < M^2,
上記の2M-1個のnについて題意が成り立つためには、n=(M-1)^2 について成り立てばよい。
M^2 < (2009/2008)*(M-1)^2,
√(2009/2008) < 1 - 1/M,
M > 2009 + √(2008*2009) = 2009 + 2008.5 -ε = 2017.5 - ε,
M ≧ 2018 のとき、すべてのnについて題意が成り立つ。
M=2017 のときは n ≧ 2016^2 +1 について成り立つが、 n = 2016^2 については成り立たない。
これが最大の反例だから、k= 2016^2 +1.
0426425
2009/01/10(土) 01:21:39M^2 < (2009/2008)*(M-1)^2,
√(2008/2009) < 1 - 1/M,
M > 2009 + √(2008*2009) = 2009 + 2008.5 -ε = 4017.5 -ε, (ε<<1)
M ≧ 4018 のとき、上記のすべてのnについて題意が成り立つ。
M=4017 のときは n ≧ 4016^2 +1 について成り立つが、 n = 4016^2 については成り立たない。
これが最大の反例だから、k= 4016^2 +1.
0427１３２人目の素数さん
2009/01/10(土) 05:45:29http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1219648297/666
4016^2 +1 = 16128257
K大入試作問者スレ(1)
0428１３２人目の素数さん
2009/01/11(日) 15:46:130429１３２人目の素数さん
2009/01/11(日) 20:56:23a'=sin(A/2), b'=sin(B/2), c'=sin(C/2) とおく.
(1) a'/(a'+b'+c') + b'/(b'+c'+a') + c'/(c'+a'+b') = 1,
(2) a'/(a'+b'c') + b'/(b'+c'a') + c'/(c'+a'b') = 2,
(3) 1/{tan(A)tan(B)} + 1/{tan(B)tan(C)} + 1/{tan(C)tan(A)} = 1,
(4) tan(A/2)tan(B/2) + tan(B/2)tan(C/2) + tan(C/2)tan(A/2) = 1,
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1230393194/40
おながいします。
0430１３２人目の素数さん
2009/01/11(日) 21:10:270431１３２人目の素数さん
2009/01/12(月) 08:59:36L=x1P+x2P+…xnP とするとき､Lの最小値を求めよ｡
0432１３２人目の素数さん
2009/01/16(金) 02:01:35(1) は明らか。
(2) a' + b'c' = a' + (1/2)cos((B-C)/2) - (1/2)cos((B+C)/2)
= a' + (1/2)cos((B-C)/2) - (1/2)sin(A/2)
= (1/2)cos((B-C)/2) + (1/2)sin(A/2)
= (1/2)cos((B-C)/2) + (1/2)cos((B+C)/2)
= cos(B/2)cos(C/2),
(左辺) = {sin(A)+sin(B)+sin(C)}/{2cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)} = 2,
(3) tan(C) = tan(π-A-B) = -tan(A+B) = -{tan(B)+tan(C)}/{1-tan(B)tan(C)},
(4) tan(C/2) = tan((π-A-B)/2} = 1／tan((B+C)/2) = {1-tan(B/2)tan(C/2)}/{tan(B/2)+tan(C/2)},
0433432
2009/01/16(金) 04:07:22やってしまった････ 訂正すまそ。
(3) tan(A) = tan(π-B-C) = -tan(B+C) = -{tan(B)+tan(C)}/{1-tan(B)tan(C)},
(4) tan(A/2) = tan((π-B-C)/2} = 1／tan((B+C)/2) = {1-tan(B/2)tan(C/2)}/{tan(B/2)+tan(C/2)},
0434１３２人目の素数さん
2009/01/18(日) 20:19:41http://hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/02/t01.html
もしあったなら、この翌年の「\pi > 3.05を示せ」よりずっとエグいと思いますが。
円に外接する正12,24角形ではアウトなので、正36角形を持ち出すか、あるいは>>235のようなトリックが必要です。
もちろん三角関数表はない状況での話です。
0435１３２人目の素数さん
2009/01/18(日) 23:49:21Min_L(N) = N / √[2*{1-cos(2π/N)}]
0437１３２人目の素数さん
2009/01/20(火) 02:10:23ただし時計の針は３本とも等速円運動をしているとする。
0438１３２人目の素数さん
2009/01/20(火) 04:39:46レベル的には中学入試か？
0439１３２人目の素数さん
2009/01/20(火) 05:19:33普通に一致するだろ
例えば12:00:00から3600/59秒=61,01...秒後
0440１３２人目の素数さん
2009/01/20(火) 05:25:463600/59分後だな
0441１３２人目の素数さん
2009/01/20(火) 09:13:47全然話にならないくらいにボケてる
0442１３２人目の素数さん
2009/01/20(火) 09:35:480443１３２人目の素数さん
2009/01/20(火) 10:00:28どこが？
0444１３２人目の素数さん
2009/01/20(火) 11:05:24とりあえず、3600/59 分間に
長針は 366.10・・・度
短針は 30.50・・・度
それぞれ回転する。明らかにその差は360度の整数倍ではない。
0445１３２人目の素数さん
2009/01/20(火) 11:20:17本気で言ってる？
だとしたら相当頭悪い
0446１３２人目の素数さん
2009/01/20(火) 11:22:47自分のこと、か？
0447１３２人目の素数さん
2009/01/20(火) 11:24:05訂正するならしていいよ
0448１３２人目の素数さん
2009/01/20(火) 11:26:043600/59 は大体61。12時ちょうどの61分後は1時1分。そのときに長針と短針が重なるのか、お前の星の時計だと。
0449１３２人目の素数さん
2009/01/20(火) 11:33:40いい加減すれ違いだからやめれ。
0450１３２人目の素数さん
2009/01/20(火) 12:33:520451１３２人目の素数さん
2009/01/20(火) 13:47:010452１３２人目の素数さん
2009/01/20(火) 14:04:35ヒント：長針は12時間で一周する
0453１３２人目の素数さん
2009/01/20(火) 14:05:14これって実質Pが正多角形の中心であることを示せってことでしょ？俺の解答見てくれ。
xy座標を取り、多角形の中心が原点になり、y軸対称になるように置く。
このとき、P0をy軸上に、P1をその他の場所におく。（ただしP0とP1のy座標は同じ）
（続く）
0454１３２人目の素数さん
2009/01/20(火) 14:11:25ｵｲｵｲw
0455１３２人目の素数さん
2009/01/20(火) 14:14:36L(P0)<L(P1)をまず下に示す。
x1～xnまでのn個をy座標の値でグループ分けする。
（１）１グループに一つ点がある場合（n:oddに限る）
その点をAとする
このときAP0<AP1
（２）１グループに二つ点がある場合。（つまりほとんどの場合）
その２点をB、Cとする
このときBP0+CP0<BP1+CP1となる。（図を書いて楕円の性質を考えれば明らか。）
x1からxnまでnこの点を前述の通りグループ分けすれば、任意のグループについて（１）、（２）が成り立つ。
従ってL(P0)<L(P1)
（続く）
0456１３２人目の素数さん
2009/01/20(火) 14:22:05「L(P)を最小とするPは必ずその直線上にある」という事が成り立つということである。
任意の直線Sの上にある点は、多角形の中心のみである。
よってminL(P)=N*(2sin(π/2n))^(-1)
従ってPは多角形の中心。
0457１３２人目の素数さん
2009/01/20(火) 14:22:55最後の２文の順番が逆。
0458１３２人目の素数さん
2009/01/20(火) 14:26:11(n:oddにかぎる)は必要ない。
あとB,Cのy座標が0の時は
BP0+CP0≦BP1+CP1
0459１３２人目の素数さん
2009/01/20(火) 14:39:17お前の星だと、長針と短針は一分当たり(あるいは一時間当たり)それぞれ何度回るのか言ってくれ。
0460１３２人目の素数さん
2009/01/20(火) 20:54:18三角不等式つかいまくるだけなんじゃ？
その式で 正４角形を計算すると２√２にならんのだが・・・
漏れは 局座標系を使って全部計算で解いた。
原点を正ｎ角形の中心点にとる。x1,x2,...,xN は、 (x_i,y_i)=(rcosθ,rsinθ), θ=2π/n*i, i=1,...,N
最小となる点が中心となることの証明も計算で・・・
原点と異なる点Ｐとx1,x2,...xNとの距離の和Ｌ(P)を計算する
点Ｐを(x,y)=(r_p cosθ_p, r_p sinθ_p)
Ｌ（Ｐ）＝ｎ（r^2＋r_p~2) - 2rr_p把osX_i, X_i=2π/n*i-θ_p
となるが把osX_i はゼロになることが敗inX=0と加法定理から導ける
どのような楕円の性質を考えたらいいのか 教えてもらえないか？
論理の飛躍があるような気がするんだけど・・・
＞L(P0)<L(P1)が意味する事は、正多角形についてそれを対称に分割する直線（直線Sと呼ぶ）を引いた場合、
＞「L(P)を最小とするPは必ずその直線上にある」という事が成り立つということである。
確かにＹが同じなら 対称に分割する直線上の点が最小になるわけだけど
じゃぁ その直線上では どこが最小になるのか 言えてるのか？
0468456
2009/01/20(火) 23:54:042chでは図が使えないから説明しにくいけど頑張る。
B,Cを焦点とし、P0を通る楕円を書いてください。その曲線状の任意の点Gについて
BG+CG=BP0+CP0がなりたちます（これが楕円の性質というか定義というか）
P1についても同様に楕円を書いてくれれば、後はその図で分かると思う。
0469456
2009/01/20(火) 23:58:54＞じゃぁ その直線上では どこが最小になるのか 言えてるのか？
まず、その直線上にPが存在することは必要条件。次に、多角形を回転し、別の対象に分割する線をY軸に一致させる。
この場合でもPはY軸上に存在するのが必要。
こうなると二つの線の交点は原点の一箇所しかないからPはそこになる。
ところで最後の最後にくだらない計算ミスしてすいません。
0470456
2009/01/21(水) 00:00:20別の対象に分割する線を→別の「対称に分割する線」を
距離計算するのにル～トとるの忘れてたわ
けど、不等式つくって r_p＝0のとき最小になると示せる
使った不等式は 嚢_i ≧ √(嚢_i^2)
0473１３２人目の素数さん
2009/01/21(水) 19:32:31ただし ∫(dx/x) は未知とする。
0474１３２人目の素数さん
2009/01/21(水) 20:34:46P，Q，R ∈ A として三角形PQRをつくるとき，
三角形PQRの最大値は存在しない事を示せ．
0475１３２人目の素数さん
2009/01/21(水) 21:49:42未知とすると言われても・・・
(d/dx)log|x|=1/xを証明させたいんかな
0476１３２人目の素数さん
2009/01/21(水) 22:20:26三角形ＰＱＲの最大値って何？面積の最大値ってこと？
0477１３２人目の素数さん
2009/01/21(水) 23:37:32有理式を微分しても1/xにはならないって事
0478狂介
2009/01/22(木) 10:54:03まず、⊿PQRが正三角形でないことを示す。
（証明）
有理ベクトルOPについて、R(120°)OPは有理ベクトルじゃない。
ただしR(θ)はθ回転の行列
（証明終わり）
0479狂介
2009/01/22(木) 10:59:20（証明）
pは有理数
(x,y)=(1,p)と(x,y)=(-1,0)を結ぶ直線と円の交点（のうち(-1,0)でない方）は有理点になる
また、いかなる二つの数に対しても、その間に有理数pは存在する
（証明終わり）
0480狂介
2009/01/22(木) 11:05:55いかなる⊿PQRについても、それより面積が大きいものがあることを示す。
⊿PQRは上述の通り正三角形でないので、PQ≠PRとする。
QRに垂直二等分線を引き、それと円弧の交点のうち、QRに対してPと同じ側にある点を、Hとする。
上述の通り、HとPとの間には、必ず有理点があり、そのうち一つをP'と呼ぶ。
このとき面積は、⊿PQRより⊿P'QRの方が大きい。
以上より、三角形PQRの最大値は存在しない。
正ｎ角形の中心を原点とし、Ｙ軸上に頂点x1を置く。
各頂点の角度θはＸ軸を基準にするとθ=2π/n*i+π/2ただし(i=0,1,..,n-1)となる。
このとき把os(θ)=0である。なぜなら各頂点はＹ軸に対して対称で
対称な頂点ではcos(θ)の値は符号が逆で大きさは同じ為。一方で、
把os(θ)=把os(2π/n*i+π/2)=倍cos(2π/n*i)cos(π/2)-sin(2π/n*i)sin(π/2)}
=倍cos(2π/n*i)*0-sin(2π/n*i)*1}=-1*敗in(2π/n*i)=0
すなわち敗in(2π/n*i)=0となる
X_i=2π/n*iと置くと
敗in(X_i)=0, 把os(X_i)=0
敗in(X_i+β)=倍sin(X_i)cos(β)+cos(X_i)sin(β)}
=cos(β)敗in(X_i)+sin(β)把os(X_i)
=0
同様に
把os(X_i+β)=0
把os(X_i)=0 は
敗in(θ)=敗in(2π/n*i+π/2)=倍sin(2π/n*i)cos(π/2)+cos(2π/n*i)sin(π/2)}
=倍sin(2π/n*i)*0+cos(2π/n*i)*1}=把os(2π/n*i)=0
と導ける
>>469で、対称線上にL(P)があるのは確かだが
いきなり交点がL(P)と断言するのは飛躍してると思う。
対称軸Y1上の点Py1を、別の対称軸Y2を基準に評価すると
楕円の方法論で、Py1からY2軸に垂直に交わる点Py2をとると
原点からの距離は、Py2<Py1となり
L(Py2)<L(Py1)となり、これを繰り返すと
最終的に対称軸の交点が最小となることを
示した方がいいと思う。
実は交点じゃなくて 端っこの点の方が最小で最小点はｎ個というケ～スもあると思う。
あるいは どの点でもＬ(Py)の値は同じかもしれんし
まぁ もれの頭が足りないだけなのかもしれんが ｏｒｚ
0484狂介(=472)
2009/01/23(金) 11:41:10＞>>469で、対称線上にL(P)があるのは確かだが
＞いきなり交点がL(P)と断言するのは飛躍してると思う。
対称軸にY1,Y2,Y3…と名前をつけます。
このとき、L(P)に最小値を与えるPならば、「そのPはY1上にある」ということが必要条件です。
同様に、「PはY2上にある」「PはY3上にある」も、すべて必要条件です。これらすべての必要条件を満たすのは唯一多角形の中心なので僕の考えはあってるかと。
0485狂介
2009/01/23(金) 11:45:00＞対称軸Y1上の点Py1を、別の対称軸Y2を基準に評価すると
＞楕円の方法論で、Py1からY2軸に垂直に交わる点Py2をとると
＞原点からの距離は、Py2<Py1となり
＞L(Py2)<L(Py1)となり、これを繰り返すと
＞最終的に対称軸の交点が最小となることを
＞示した方がいいと思う。
その操作を繰り返して、Py1,Py2,Py3…と作っていってもPynが多角形の中心になることはないと思う。（極限値は収束するけど）
だからその場合は中心について議論したことにならない希ガス。
0486１３２人目の素数さん
2009/01/24(土) 07:53:360487１３２人目の素数さん
2009/01/24(土) 12:22:30君が示したのはL(P0)＜L(P1)のみ。これが意味するのは、
「対称軸上にない点は最小値になりえない」ということだけ。
よって、
(1)もし最小値が存在するならば
L(P)が最小になる点は原点しかありえないということになり、
証明は終わる。ところが、
(2)もし最小値が存在しないならば
もともと最小値が無いのだから、君が示したことは意味が無い。
君が示すべきは(1)。「そんな必要ないだろ」と思うかもしれないが、
これは絶対に必要。君がやっているロジックは、以下の議論と同じなのだ。
・自然数の最大値は1である。
証明：n≠1のときは、nより大きな自然数が存在する。これは、
1でない自然数は 自然数の最大値になりえないことを意味する。
よって、n＝1が最大値である。
0488１３２人目の素数さん
2009/01/24(土) 12:47:14＞使った不等式は 嚢_i ≧ √(嚢_i^2)
これは間違い。Σ｜X_i｜≧√(嚢_i^2)が正解。
長さに負は存在しないから X_i>0 （書くの省略してました）
この問題用に その場で証明して使っただけなんで・・・
0491狂介
2009/01/24(土) 16:08:09おっしゃるとおり、僕の解答には不備があるようです。「Pが原点以外のとき、最小値をとりえない。」
これが僕の示したところとなりますね。
＞もともと最小値が無いのだから、…
これについては何かおかしいかと。何とかして最小値があることを示せば僕の解答は正しいことになるし、最小値は存在すると思いますが、いかがでしょう？
0493１３２人目の素数さん
2009/01/24(土) 16:15:14その不等式を使っては示せないと思うが。
0494１３２人目の素数さん
2009/01/24(土) 16:15:37「もし(2)だったら、もともと最小値が無いことになって、意味が無い」
ということ。何もおかしくない。文脈上は
なぜ(1)を示さなければいけないのか？ → もし(2)だったら意味が無いから
こういう流れで書いている。
ｏｒｚ
0497１３２人目の素数さん
2009/01/24(土) 18:37:27nの最大値を求めよ
不等式使うの辞めた。「嚢_iが最小 ⇔ (嚢_i)^2が最小」 を使うことにした。
内点Ｐと各頂点の距離をR_iとし、X_i=2π/n*iとする
(燃_i)^2を展開すると
結局、把os(X_i+β)=0だし、積和公式使うと把os(X_i+β)cos(X_j+β)=0となるので
(燃_i)^2=r^2+r_p^2
となり、これが最小なのは r_pを0とした時となる
ただし
各頂点(x,y)=(r*cosX_i,r*sinX_i)
内点Ｐを(x,y)=(r_p*cosβ,r_p*sinβ)
とした
あぅ また早とちりしてた ｏｒｚ
0500１３２人目の素数さん
2009/01/24(土) 19:45:25L(P)を、極座標の動径ｒで微分するとr>0で正
ｒ→０のlimで０になるからｒ＝０のとき最小
じゃダメ？
定義されてる。
ちょっと、また勘違いしてて、別の計算の途中でｒ＝０だと困るという勘違いしてた
内点Ｐの座標は(x,y)=(rcos(θ_p), rsin(θ_p))
L(P)=煤縵r^2+r_p^2-2*r*r_p*cos(2π/n*i-θ_p)}
=煤綣{r_p-r*cos(2π/n*i-θ_p)}^2+{r*sin(2π/n*i-θ_p)}^2]
a_i=r_p-r*cos(2π/n*i-θ_p)
b_i=r*sin(2π/n*i-θ_p)
とおくと、L(P)=煤(a_i^2+b_i^2)
L(P)を動径r_pで微分すると
d{L(P)}/dr_p = d{煤(a_i^2+b_i^2)}/dr_p
=倍a_i/√(a_i^2+b_i^2)}
=納i≠k]{a_i/√(a_i^2+b_i^2)} ただし r_p≠0 また 存在するならばkのときa_k=0
=納i≠k]{1/√(1+(b_i/a_i)^2)}
>0
r_p=0のとき
d{L(P)}/dr_p = 納(-1*r*cos(2π/n*i-θ_p))/√{(r*cos(2π/n*i-θ_p))^2+(r*sin(2π/n*i-θ_p))^2}]
=納(-1*r*cos(2π/n*i-θ_p))/√(r^2)]
=-1*把os(2π/n*i-θ_p)
=0
以上から、L(P)はr_p=0のときL(P)が最小でr_p>0のとき増加
どうでしょう？
内点Ｐの座標は(x,y)=(r_p*cos(θ_p), r_p*sin(θ_p))
0507１３２人目の素数さん
2009/01/25(日) 22:43:01f(x)=P(x)+Q(x)/R(x)とおく。ただしP,Q,Rは整式でQはn-1次以下、Rはn次とする。
f'(x)=P'(x)+(Q'(x)R(x)-Q(x)R'(x))/(R(x))^2
第2項の分子は2n-2次以下、分母は2n次だからf'(x)≠1/x
0508１３２人目の素数さん
2009/01/26(月) 00:13:09r=1/(2sin(π/n))とする。√は凹関数だから
L/n＝(1/n)Σ[k=0,n-1]√(x^2+y^2+r^2-2r(xcos(2πk/n)+ysin(2πk/n)))
≧√((1/n)Σ[k=0,n-1](x^2+y^2+r^2-2r(xcos(2πk/n)+ysin(2πk/n))))
＝√(x^2+y^2+r^2)≧r
x=y=0のとき実際にL/n=rを達成できるからLの最小値はn/(2sin(π/n))
凸不等式使うところはシュワルツの不等式でも行ける。
0509１３２人目の素数さん
2009/01/26(月) 00:22:08その式は間違ってる。不等号の向きが逆(√xは上に凸だから)。
0510１３２人目の素数さん
2009/01/26(月) 01:01:33n本の対称軸によって、R^2は2n個の領域に分割される。それらの領域を
D1,D2,…,D2nと置く。x＝x1∈R^2－{o}を任意に取るとき、x1∈Dkを満たす
kが少なくとも1つ存在する。Dkの境界は2本の対称軸(の一部分)であるから、
x1からそれらの対称軸のどちらかに垂線を下ろし、交わった点をx2とおく。
以下、図のようにしてx3,x4,…を作っていくと、xi→o in R^2である。
ttp://www.csync.net/service/file/view.cgi?id=1232899080
L：R^2→[0,∞)は連続であることに注意すると、L(xi)→L(o)が成り立つ。
また、>>455-456の議論から、L(x1)＞L(x2)＞L(x3)＞… が成り立つ。
つまり、L(xi)はiの数列として狭義単調減少である。これとL(xi)→L(o)から、
L(x1)＞L(o)が成り立つ。以上をまとめると、
x1∈R^2－{o} ⇒ L(x1)＞L(o)
ということである。これは、原点oが最小値であることを意味する。
0511１３２人目の素数さん
2009/01/26(月) 01:07:12↑図がいい加減で分かりにくいかもしれないが、要するに、垂線を下ろす操作を繰り返す。
0512１３２人目の素数さん
2009/01/26(月) 01:12:17あー俺もう駄目かも
0513１３２人目の素数さん
2009/01/26(月) 01:31:22高校の範囲を少し超えるけどな。
まず、L：R^2→(0,∞)は明らかに連続である。また、簡単な評価によって
lim[|P|→∞]L(P)＝∞ となることが分かる。よって、あるM＞0が存在して、
「|P|＞MならばL(P)＞L(o)」…(*)が成り立つようにできる。
このMに対して、原点中心、半径Mの閉円盤Dを考え、LをD上に制限する。
DはR^2の有界閉集合だから、LはD上で最小値を持つ。その値をmとすると、
o∈Dだからm≦L(o)である。実は、mはR^2上におけるLの最小値にもなっている。
実際、P∈R^2－Dのときは、(*)によってL(P)＞L(o)≧mとなるので。
よって(1)は成り立つ。つまり、LはR^2上で最小値を持つ。
0514１３２人目の素数さん
2009/01/26(月) 01:48:35その面積が最大になるのはどのような場合か、
というような問題も似たような話だよね
0516１３２人目の素数さん
2009/01/26(月) 12:27:560517１３２人目の素数さん
2009/01/26(月) 13:40:08http://www.hotdocs.jp/file/90845
このサイトで東大数学の古い過去問を見つけたんですが回答がなくて困ってます
誰か回答もってないですか？
っていうか解いてくｒ いや、くださいｗｗｗ
0519１３２人目の素数さん
2009/01/27(火) 22:12:49この本を買えば載っていますよ。
http://www.amazon.co.jp/dp/4792210410/
あと、文系の問題は載っていませんがここは解答も充実しています。
http://www.j3e.info/ojyuken/math/
0520１３２人目の素数さん
2009/01/28(水) 13:02:26Ｘ=abcとする
①Ｘが奇数になる確率を求めよ
②Ｘ=12になる確率を求めよ
③y=ax＾２+bx＋cがｘ軸からきりとる線分の長さが1/2以上になる確率を求めよ
おねがいしまあす
0521１３２人目の素数さん
2009/01/28(水) 13:49:15マルチ
0522１３２人目の素数さん
2009/01/28(水) 22:02:440523KingGold ◆3waIuSKark
2009/01/28(水) 22:03:590524１３２人目の素数さん
2009/01/28(水) 22:09:540525１３２人目の素数さん
2009/01/28(水) 22:22:14a[1],…,a[n]を相異なる代数的数としたとき、
e^a[1],…,e^a[n]は代数的数体上線型独立である。
この定理を使う。
代数的数α≠0(cosα≠0)に対して、tanαが代数的数であるとすると
tanα=sinα/cosα=(e^(iα)-e^(-iα))/((e^(iα)+e^(-iα))i)より
(itanα-1)e^(iα)+(itanα+1)e^(-iα)=0
itanα±1は代数的数で同時に0とはならない。
これはリンデマンの定理から矛盾する結果である。
したがってtanαは超越数。
特にα=1は代数的数だからtan1は超越数。したがって、tan1は無理数。
0526KingGold ◆3waIkAJWrg
2009/01/28(水) 22:39:400527１３２人目の素数さん
2009/01/28(水) 23:33:46tanの加法公式から、
tan(nθ) = F(tanθ) / G(tanθ),
と書ける。F と G は n-1次とn次の整係数多項式。
n=45, θ=1ﾟ とおくと、
F(tan(1ﾟ))/G(tan(1ﾟ)) = 1,
となるから、tan(1ﾟ) は 45次の整係数方程式の根、よって代数的数。
0528１３２人目の素数さん
2009/01/29(木) 02:30:54丁寧にありがとうございます。
いいサイトですねｗｗ
背伸びして頑張ってみます。
0529１３２人目の素数さん
2009/01/29(木) 03:10:360530１３２人目の素数さん
2009/01/29(木) 05:35:12http://en.wikipedia.org/wiki/Thue%E2%80%93Siegel%E2%80%93Roth_theorem
0531１３２人目の素数さん
2009/01/31(土) 15:35:25http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1232536981/722
722 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2009/01/26(月) 20:35:36
時針、分針、秒針すべての長さが等しい時計がある。
針の先端がつくる三角形の面積が最大になる時刻はいつか。
0532１３２人目の素数さん
2009/01/31(土) 16:46:57平面上に9個の相異なる点があり、これらのうち少なくとも3点をとおる直線がn本ある。
nの最大値を求めよ
0533１３２人目の素数さん
2009/01/31(土) 21:50:11おいこれ昔俺が益田んとこに書いたレスじゃねえかよ
0534１３２人目の素数さん
2009/02/03(火) 23:24:05あいつ突然いなくなったけどめんどくさくなったんかな
0535１３２人目の素数さん
2009/02/04(水) 00:25:330536１３２人目の素数さん
2009/02/04(水) 00:26:500537１３２人目の素数さん
2009/02/04(水) 01:57:38>>536に限らず、本来の意味からどんどん離れてる気がする
スレ違いでごめん
0538１３２人目の素数さん
2009/02/04(水) 05:31:34どれか1つは必ず2の倍数であることを示せ
これはできそうでできない難問
0539１３２人目の素数さん
2009/02/04(水) 05:39:48全て奇数と仮定して合同式はmod 4とすると(奇数)*(奇数)≡1, (偶数)*(偶数)≡0であり、
(左辺)≡2, (右辺)≡0により成立しないので、背理法により証明された。
0540１３２人目の素数さん
2009/02/04(水) 06:34:31大筋はいいとしても
途中で間違ってるぞ
0542１３２人目の素数さん
2009/02/04(水) 13:42:13おい、顔真っ赤だぞ
0544１３２人目の素数さん
2009/02/04(水) 18:36:410545１３２人目の素数さん
2009/02/05(木) 01:35:16(右辺)≡1だった
0546538
2009/02/05(木) 01:42:59出直してきます
0547１３２人目の素数さん
2009/02/05(木) 01:51:560548１３２人目の素数さん
2009/02/05(木) 02:24:08問題文がそれを如実に伝えているのである
> どれか1つは必ず2の倍数
の部分は
少なくとも1つは偶数
でいいからである
0549１３２人目の素数さん
2009/02/05(木) 22:53:250550１３２人目の素数さん
2009/02/07(土) 15:01:42まあ彼には難しいんだろうけどｗｗ
0551１３２人目の素数さん
2009/02/07(土) 16:06:41このスレ痛いやつばっかだな
0552１３２人目の素数さん
2009/02/07(土) 16:38:32心配しなくても黙ってれば終わるよ
出題者（笑）
0553１３２人目の素数さん
2009/02/07(土) 16:41:02何個か
0554１３２人目の素数さん
2009/02/08(日) 01:54:070555１３２人目の素数さん
2009/02/09(月) 03:31:380557１３２人目の素数さん
2009/02/09(月) 19:07:35以前わからない問題スレにあった
2^555の桁数は168で最高位が1である
このとき2^n（n＝1､2､3....555）の中で最高位が4の数は何個あるか
のほうがおもしろいね。
0558１３２人目の素数さん
2009/02/10(火) 00:04:10さすがに優秀な入試問題は練ってあるよね。
ちなみに早稲田教育の問題やね。しかも小問集合。鬼だｗ
0559狂介
2009/02/10(火) 21:05:28数学は遊びだって人でも運が良くないと無理そう。
0560１３２人目の素数さん
2009/02/12(木) 00:38:210561１３２人目の素数さん
2009/02/12(木) 18:51:550≦x,y＜2πを満たす解はただ1組存在することを示せ｡
sinx+cosx=sinycosy
sinxcosx=siny+cosy
0562１３２人目の素数さん
2009/02/13(金) 06:38:060563１３２人目の素数さん
2009/02/14(土) 14:01:50それは偽だぞ。x'=x+π/4,y'=y+π/4とおくと
(1) sin(x')=-(1/2√2)cos(2y')
(2) sin(y')=-(1/2√2)cos(2x')
だからx'をπ-x'(あるいは3π-x')に置換しても同じ方程式になってしまう。
解がちょうど4つあることは次のように示すことができる。
(2)をsin(y')=(1/2√2)(2sin^2(x')-1)と思って(1)を代入すると、
(3) sin^4(y')-sin^2(y')-2√2sin(y')-3/4=0
という方程式になり、t^4-t-2^2-2√2t-3/4=0は[-1,1]の範囲に唯一の解を持つ。
この解は実は(-1,0)の範囲に含まれていてy'は2通りある。
(1)(2)と(1)(3)は連立方程式として同値だから、
sin(y')=tのもとで(1)の解の個数を調べればよいが、
sin(x')=-(1/2√2)(1-2t^2)は2解を持つので(x',y')の組は4通りある。
0564１３２人目の素数さん
2009/02/15(日) 13:00:01ｃｏｓ（ｘ）ｓｉｎ（ｘ）＝ｃｏｓ（ｙ）＋ｓｉｎ（ｙ）＝ｂ。
ａ＾２＝１＋２ｂ。
ｂ＾２＝１＋２ａ。
（ａ＾２－１）＾２＝４（２ａ＋１）。
ａ＾４－２ａ＾２－８ａ－３＝０。
（ａ＾２＋２ａ＋３）（ａ＾２－２ａ－１）＝０。
ａ＝１－√（２）。
ｂ＝１－√（２）。
（ｃｏｓ（ｘ）－ｓｉｎ（ｘ））＾２＝２√（２）－１。
0565１３２人目の素数さん
2009/02/15(日) 16:27:350≦x､y≦π に訂正を｡
0566１３２人目の素数さん
2009/02/15(日) 20:34:59を差積とか Vandermonde 行列式とか 言うらしい。
〔問題〕
a,b,c≧0 のとき |⊿| ≦ (2/√3)(t/s)(s^2 -3t),
ここに、s=a+b+c, t=ab+bc+ca, u=abc.
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/737 , 739
不等式スレ３
0567１３２人目の素数さん
2009/02/22(日) 04:36:56題意より 168 ≦ n･log(2) < 168 + log(2),
最上桁が '1'
[ n･log(2) ] = 76 個,
最上桁が '2' か '3'
[ (n-1)log(2) ] +1 = 77個,
最上桁が '5'～'9'
[ (n+1)log(2) ] = 77個,
最上桁が '4'
n - (76+77+77) = 25個, (← 題意より n=255)
0568１３２人目の素数さん
2009/02/22(日) 06:26:20全然違うぞ
0569１３２人目の素数さん
2009/02/22(日) 06:27:57F(t) = 45t -14190t^3 +1221759t^5 -45379620t^7 +886163135t^9 -10150595910t^11
+73006209045t^13 -344867425584t^15 +1103068603890t^17 -2438362177020t^19 +3773655750150t^21
-4116715363800t^23 +3169870830126t^25 -1715884494940t^27 +646626422970t^29 -166871334960t^31
+28760021745t^33 -3190187286t^35 +215553195t^37 -8145060t^39 +148995t^41 -990t^43 +t^45,
G(t) = 1 -990t^2 +148995t^4 -8145060t^6 +215553195t^8 -3190187286t^10
+28760021745t^12 -166871334960t^14 +646626422970t^16 -1715884494940t^18 +3169870830126t^20
-4116715363800t^22 +3773655750150t^24 -2438362177020t^26 +1103068603890t^28 -344867425584t^30
+73006209045t^32 -10150595910t^34 +886163135t^36 -45379620t^38 +1221759t^40
-14190t^42 +45t^44,
0570１３２人目の素数さん
2009/02/22(日) 06:40:58蛇足だが
F(t) = Σ[k=0,[(n-1)/2]] (-1)^k Ｃ[n,2k+1] t^(2k+1),
G(t) = Σ[j=0,[n/2]] (-1)^j Ｃ[n,2j] t^(2j),
(略解)
複素数を使う。√(-1) =i とおく。
1+it ∝ cosθ + i･sinθ = exp(iθ), (← t=tanθ)
cos(nθ) + i･sin(nθ) = exp(inθ) = {exp(iθ)}^n,
より
G(t) + i･F(t) = (1+it)^n = {Σ[j=0,[n/2]] (-1)^j Ｃ[n,2j] t^(2j)} +iΣ[k=0,[(n-1)/2]] (-1)^k Ｃ[n,2k+1] t^(2k+1)},
F(t) = Σ[k=0,[(n-1)/2]] (-1)^k Ｃ[n,2k+1] t^(2k+1),
G(t) = Σ[j=0,[n/2]] (-1)^j Ｃ[n,2j] t^(2j),
n=45 のときは >>569
0571１３２人目の素数さん
2009/02/22(日) 16:23:09その理論、nが小さい時に試してみたら？
0573１３２人目の素数さん
2009/02/24(火) 10:43:35・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
・任意のFの元aについて a*e = e*a であり、これはFに属する。
・e*e=e
・-e * -e =e という等式が成り立つ。
・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
元、e,iを求めよ。
0574１３２人目の素数さん
2009/02/24(火) 10:49:22久しぶりだね
0575１３２人目の素数さん
2009/02/24(火) 11:01:27この引き算は行列としての引き算じゃ無いの？
だとしたら問題文でわざわざ断るのは不自然。
（いや何でこんなこと書いたのかは分かるんだけどね）
2×2行列としての構造を無視するなら、
ただの濃度が |R| の集合に過ぎないんだから何も求めようがなくなる
0576１３２人目の素数さん
2009/02/24(火) 12:02:31以前、ここか京大スレかのどこかで
lim[n→∞]a[n]=0 ⇒ lim[n→∞]Π[k=1,n]a[k]=0
は成り立つか？みたいな雰囲気の問題を見た覚えがあるんですけど、
（本物はこんなに簡単じゃなくて、アイディアが必要な問題でした・・・）
誰か詳細をご存じないでしょうか。過去ログ調べたんですが見つかりませんでした。
（ちなみに>>3の過去ログ倉庫はぶっ壊れたんでしょうか・・・）
何か情報をお持ちの方は、ご教示下さい。
0577１３２人目の素数さん
2009/02/24(火) 12:36:05＞ （ちなみに>>3の過去ログ倉庫はぶっ壊れたんでしょうか・・・）
会員登録すれば誰でも使えたYahoo!ブリーフケースが、有料会員専用に変更された
0578１３２人目の素数さん
2009/02/24(火) 23:37:23過去ログ倉庫の避難所を用意しました。
http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
0579１３２人目の素数さん
2009/02/25(水) 00:33:57例示してるのと大差ない気がするけどこれ?
813 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/10/26(日) 14:27:34
じゃぁ要望にこたえて、某有名、大学入試問題集から一問
次の命題の真偽を調べ、真ならば証明し、偽ならば反例を示せ。
「すべての非負整数 n について、0<a(n)<1 ならば、
lim[n→∞]a(1)a(2)a(3)****a(n)=0 」
0581１３２人目の素数さん
2009/02/25(水) 21:55:13んんっ・・・あっ・・・
エッチぃのは嫌いです＞＜
0582１３２人目の素数さん
2009/02/26(木) 00:07:33当然偽だね。
logをとって考えれば，結局「負の数を無限個足せば-∞に発散する」という主張をしていることになるが，
もちろんそんなことは成り立たない。-1/2^n とかを考えれば明らか。
0583１３２人目の素数さん
2009/02/26(木) 22:27:58判例
a[k] = {k/(k+1)}*{(k+2)/(k+1)},
a(1)a(2)･････a(n) = {1/(n+1)}*{(n+2)/2} → 1/2. (n→∞)
13 24 35 46
---------------------
22 33 44 55
0584１３２人目の素数さん
2009/02/27(金) 00:05:35凡例
0<b<1 として, bに収束させる。
a[k] = {(k-1+2b)/(k+2b)}*{(k+2)/(k+1)},
a(1)a(2)･････a(n) = {2b/(n+2b)}*{(n+2)/2} → b. (n→∞)
0585１３２人目の素数さん
2009/02/28(土) 00:37:590586１３２人目の素数さん
2009/02/28(土) 00:47:480<b<1 とすると、(sinθ)/θ = b となるθが(0,π) にある。
a[k] = cos(θ/(2^k)) = sin(θ/{2^(k-1)})／2sin(θ/(2^k)),
a(1)a(2)･････a(n) = sinθ/{(2^n)sin(θ/(2^n))} → sinθ/θ = sinc(θ) =b, (n→∞)
0587１３２人目の素数さん
2009/02/28(土) 00:56:31有界単調減少ー＞収束
limΠa(i)=c>0
c*.9<c
になるので
c>0は矛盾ー＞ c=0
0588１３２人目の素数さん
2009/02/28(土) 02:42:350589１３２人目の素数さん
2009/02/28(土) 07:17:48「すべての非負整数 n について、-1<a(n)<1 ならば、
lim[n→∞]a(1)a(2)a(3)****a(n)=0 」
0590１３２人目の素数さん
2009/02/28(土) 08:20:25-1/2^n の数列を無限個足していったら0になってしまわないかしら
0591１３２人目の素数さん
2009/02/28(土) 08:39:350592１３２人目の素数さん
2009/02/28(土) 08:51:520593１３２人目の素数さん
2009/02/28(土) 12:45:00他にもっとこれやれって本はあったりするのかしら
0594１３２人目の素数さん
2009/02/28(土) 12:58:250<b<1 とする。
a(k) = b^{(1/2)^k},
a(1)a(2)･････a(n) = b^{1 - (1/2)^n} → b (n→∞)
0595１３２人目の素数さん
2009/02/28(土) 13:40:08なにこれ？
0596１３２人目の素数さん
2009/02/28(土) 14:37:08ここら辺↓に解凍････
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1043045905/312-314
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1043045905/421-422
0597596
2009/02/28(土) 14:48:11http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1073918716/421-422
定理スレ
0598１３２人目の素数さん
2009/03/01(日) 01:08:48以下の試行によりカードを並び替える。ただしp,qはnの約数とする。
①山を上から順にp等分する。それぞれの山をA1、A2、・・・、Apとする。
②A1,A2・・・Apと順に一番上のカードを取っていく。Apのカードを取ったらA1に戻り山がなくなるまで繰り返す。
③先に取ったカードをが上になるように一つの山を作る。
この試行をZ(p)とする。
（１）順序MからZ(p)をm回繰り返した。このとき順序Mとなっている条件を求めよ。
（２）n≧pqとする。このとき、順序MからZ(p)をq回行った山のカードの順序と、順序MからZ(pq)を１回行った山のカードの順序が等しいことを示せ。
（３）順序MからZ(p)をa回行った後、その状態からZ(q)をb回行った。このとき順序Mとなっている条件を求めよ。
0599１３２人目の素数さん
2009/03/01(日) 09:00:05（２）順序MからZ(p)をq回行った山のカードの順序→順序MからZ(p)を行った後Z(q)を行った山のカードの順序
0600１３２人目の素数さん
2009/03/01(日) 20:52:42B(0) = 1,
B(n) は単調減少
Lim[n→∞] B(n) = b,
を満たす数列 B(n) に対して
a(n) = B(n) / B(n-1),
0601１３２人目の素数さん
2009/03/03(火) 12:14:39まあ入試なら差が付くだろうし，昔東大にも似たようなのあったからいいか。
2009^2009の各位の和を計算し，更にその各位の和を計算し…
と出てきた数の各位の和の計算をくり返していくとき，
最後に残る一桁の数字を求めよ。
0602１３２人目の素数さん
2009/03/03(火) 12:54:150603１３２人目の素数さん
2009/03/03(火) 14:21:37答え 5
9で割った余りを求めればよい。2009~2009=2^2009=2^{6*334+5}=2^5=5 (mod 9)
0604１３２人目の素数さん
2009/03/03(火) 14:36:100605１３２人目の素数さん
2009/03/04(水) 23:49:360606１３２人目の素数さん
2009/03/05(木) 01:11:47まず π^2/6 = 2 - 1/(1^2*1*3) - 1/(2^2*3*5) - 1/(3^2*5*7) - … を導く。
1/(1^2*1*3) + 1/(2^2*3*5) + 1/(3^2*5*7) + …
=(1/1^2)(4/(1*3)-1) + (1/2^2)(16/(3*5)-1) + (1/3^2)(36/(5*7)-1) + …
=(4/(1*3)-1/1^2) + (4/(3*5)-1/2^2) + (4/(5*7)-1/3^2) + …
=(2/1-2/3-1/1^2) + (2/3-2/5-1/2^2) + (2/5-2/7-1/3^2) + …
=2 - π^2/6
従って
π^2 = 6{ 2 - 1/(1^2*1*3) - 1/(2^2*3*5) - 1/(3^2*5*7) - … }
= 12 - 2 - 1/10 - 2/105 - 1/168 - …
両辺の2乗は
(√2+√3)^2 = 5+2√6 = 10-(5-2√6) = 10-(√25-√24)
π^2 = 10 - (1/10+2/105+1/168+…) = 10-(5/42+1/168+…)
10から引かれる値の大小関係は
√25-√24 = 1/(√25+√24) < 1/(5+√16) = 5/45 < 5/42 < 5/42+1/168+…
従って (√2+√3)^2 > π^2 つまり √2+√3 > π
0608１３２人目の素数さん
2009/03/06(金) 14:28:59>>607が用意した解答が>>606と同じならむずくねえかこれ？高校レベルなの？
>>606は5行目から6行目を導くためには和の順序交換をしなければならないが
無限級数の和の順序交換は一般にはできないため、絶対収束性の確認がいる
明らかに高校レベルを超えていると思われる
>>606にちょっと意見するならば
5行目が絶対収束することを示すには結局4行目に戻らなければならないので
（5行目で絶対値級数をとると∞発散してしまう）
4行目が絶対収束することを示して、和の順序交換ができることに言及した上で
4行目=(4/(1*3)+4/(3*5)+4/(5*7)+・・・)+(1/1^2+1/2^2+1/3^2+・・・)
と和の順序交換ができて、=6行目とするべきだと思う
0609１３２人目の素数さん
2009/03/06(金) 17:44:210610１３２人目の素数さん
2009/03/07(土) 13:30:37>606しか解答がないわけか？
ちなみに俺は、正6*2^n角形でπの値を評価していく明らかに現実的じゃない方法しか思いつかないんだが。
0611１３２人目の素数さん
2009/03/07(土) 13:51:32π<2√6-4√3-2√2+8<2*2.45-4*1.732-2*1.414+8=3.144<1.732+1.414<√3+√2
0612１３２人目の素数さん
2009/03/07(土) 13:52:590613１３２人目の素数さん
2009/03/07(土) 14:11:57という方針を試してみたが、うまくいかなかった
誰か高校レベルでの解法を頼む
0614605
2009/03/07(土) 23:28:22正48角形を考えれば大丈夫。基本的には(もう消えているが)>>218と同様の方針。
p=\tan \pi/48とすると示すべきはp<(\sqrt{3}+\sqrt{2})/48
加法定理より 2p/(1-p^2)=1/(\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}+2)
よりpは二次方程式p^2 +2p(\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}+2) -1=0の正の解。
(\sqrt{3}+\sqrt{2})の形になっているから、>>218よりは簡単にいくと思われる。
というのと>>235のようにやるのが、一応想定した解答。
0615１３２人目の素数さん
2009/03/08(日) 07:58:530616１３２人目の素数さん
2009/03/08(日) 08:58:540617１３２人目の素数さん
2009/03/08(日) 18:52:582007年度はBとCレベルばかりなのに、大学への数学からは>>288に書いてあるように
難しすぎる、難易度の調節が出来ないなら入試を作るのを止めろとまで罵られたらしい。
他の予備校はそこまでの極端な難化とは見ていないのに。
極端な例かも知れないが、例えばこんな問題を
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1220115988/605
何の誘導も無しに出すのが京大。懇切丁寧に誘導を付けて出すのが阪大。
0618617
2009/03/08(日) 18:54:390619１３２人目の素数さん
2009/03/08(日) 18:56:050620１３２人目の素数さん
2009/03/08(日) 19:40:320621１３２人目の素数さん
2009/03/08(日) 20:08:110622１３２人目の素数さん
2009/03/08(日) 23:17:36六問中一問が解けてもう一問で部分点を貰えれば
どこの科類でも目指せた時代なので。
0623１３２人目の素数さん
2009/03/08(日) 23:28:340624１３２人目の素数さん
2009/03/09(月) 00:08:02まぁうかったけど。
0625１３２人目の素数さん
2009/03/10(火) 00:55:38不等式への招待 第３章
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/451
(これ以降にも関連レス)
「√２＋√３＞πの証明」
ttp://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/toukou2/toukou56.html
0626１３２人目の素数さん
2009/03/10(火) 02:37:23∫[0→1]x^4(1-x)^4/(1+x^2)dx=22/7-π>0 より
√2＋√3>1.414+1.732=3.146>22/7>π
0627１３２人目の素数さん
2009/03/10(火) 02:41:540628１３２人目の素数さん
2009/03/10(火) 02:54:080629１３２人目の素数さん
2009/03/10(火) 02:57:380630１３２人目の素数さん
2009/03/10(火) 03:44:470631１３２人目の素数さん
2009/03/10(火) 03:51:28去年の数検の問題
ttp://www.suken.net/img/2008-07dani.pdf
数値計算をせずに
π^4 + π^5 ＜ e^6
であることを理論的に証明しなさい。
0632１３２人目の素数さん
2009/03/10(火) 04:02:240633１３２人目の素数さん
2009/03/10(火) 04:06:14感動がかなり大きいんだが
0634１３２人目の素数さん
2009/03/10(火) 08:58:130635１３２人目の素数さん
2009/03/10(火) 09:53:29むしろ左辺の積分がどこから振ってきたのか
0636１３２人目の素数さん
2009/03/10(火) 10:48:11これはすごい
0637１３２人目の素数さん
2009/03/10(火) 10:57:110638１３２人目の素数さん
2009/03/10(火) 14:27:59不可能だと思うよ。
0639１３２人目の素数さん
2009/03/10(火) 14:34:570640639
2009/03/10(火) 14:38:020641１３２人目の素数さん
2009/03/10(火) 14:51:218乗したらもう少し良い評価になるのかな
0642１３２人目の素数さん
2009/03/10(火) 15:22:430643１３２人目の素数さん
2009/03/10(火) 15:27:090644１３２人目の素数さん
2009/03/10(火) 16:55:17難しいな
ちょっと考えただけじゃ想像つかない
リンクの問題見てみたが、やる気が起きない問題ばっかだな
0645１３２人目の素数さん
2009/03/10(火) 18:11:490646１３２人目の素数さん
2009/03/10(火) 18:28:060647１３２人目の素数さん
2009/03/10(火) 20:58:280648１３２人目の素数さん
2009/03/10(火) 22:38:52スレ違いかも知れないが、数検段位で本当に難しいのは共通問題。
誰でも何かしらは答が書けるかもしれないが、数検側の眼鏡にかなった
答案を書くのは超至難の技。しかも配点は共通問題のほうが大きいらしい。
初段[1]は簡単。[2]は一見簡単そうで難しい。
2段[1]は今年の東大の問題5に似ているタイプで、今年の東大[5]より計算がやや易しい。
3段[1]は一松信氏の本で紹介されていたが、
http://www.amazon.co.jp/dp/4535609020/
証明は書いていなかった。
0649１３２人目の素数さん
2009/03/10(火) 22:42:59普段えらそうにしてる割にはいざとなると役に立たないんだな
その問題は興味がわきません（笑）
0650１３２人目の素数さん
2009/03/10(火) 22:45:050652１３２人目の素数さん
2009/03/10(火) 23:58:19被積分函数は x^4･(1-x)^4 /(1+x^2) = x^6 -4x^5 +5x^4 -4x^2 +4 -4/(1+x^2),
(左辺) = [ (1/7)x^7 -(2/3)x^6 +x^5 -(4/3)x^3 +4x -4arctan(x) ](x=0,1)
= (1/7) -(2/3) +1 -(4/3) +4 -π
= (22/7) - π,
0653１３２人目の素数さん
2009/03/11(水) 00:03:30それはわざわざ書いてもらうほどの事ではないな。
4乗を8乗に代えたたものがみてみたいのだ。
0654１３２人目の素数さん
2009/03/11(水) 00:37:24お前分かってないな
主張や結果が興味深かったり、それを導く過程が楽しかったりするから解くんだろうが
その点>>650の言うように数オリの方が勝る
0655１３２人目の素数さん
2009/03/11(水) 00:52:48xmaximaにやらせてみたところ
∫[0→1]x^8(1-x)^8/(1+x^2)dx=4π-188684/15015 (>0)
∴π>47171/15015=3.14159174…
今度は下から評価できた。
0656１３２人目の素数さん
2009/03/11(水) 01:02:42かなり正確な評価で驚いた
だが計算量を考えれば妥当なところなのかな
0657１３２人目の素数さん
2009/03/11(水) 01:04:580658１３２人目の素数さん
2009/03/11(水) 01:13:32有名問題を証明させる、みたいな感じの問題が結構多いんだよね。
まあJMOとかでも既出の問題が出題されることとかは以前はあったんだけど。
例の問題は（どっかのスレでも長々と書いたけど）
適当に積分の式を評価すれば解けるんじゃないの？
「数値計算をせずに」というのが何を意味するのか知らんが、
分数や小数の手計算くらいはしないと無理だと思う。
数値計算をせずに 3.1415926535＜π＜3.1415926536を示しなさい、と同程度に無理。
問題文を読んだ感じでは「プログラム組んで計算してみました」
的な解答でなく、手計算で求めれば良い、という意味かと。
しかし
＞ガウス平面（R^1-I^1 数空間）を手懸りにしながら， R^2数空間とI^2数空間の
＞関係について，あなたの見解を論述しなさい。
とかマトモな人が問題出してるのかと不安になるんだが大丈夫なのかね。
残りの共通問題も、出題者の主観を押し付けて立論させるような問題しかないし
0659641
2009/03/11(水) 03:11:45(i^m)(1-i)^nが正なら下から、負なら上から評価されるね
(m,n)=(6,8)で
π<3+25513/180180 =3.1415972…
(m,n)=(10,8)で
π<3+173483/1225224 =3.1415928…
0660１３２人目の素数さん
2009/03/11(水) 06:28:19∫[0→1]x^4*(1-x)^2/(1+x^2) dx = -ln(2) + 0.7
0661１３２人目の素数さん
2009/03/11(水) 06:31:370662１３２人目の素数さん
2009/03/11(水) 06:55:56でも、ln2の評価なら、分母は1+xでもいいんだし、やっぱり626の積分は\piの評価にこそふさわしいと思う。
0663１３２人目の素数さん
2009/03/11(水) 11:00:51本当は証明できないんじゃねぇの
そもそも誤差か小さすぎだし
0664１３２人目の素数さん
2009/03/11(水) 11:00:55本当は証明できないんじゃねぇの
そもそも誤差か小さすぎだし
0665１３２人目の素数さん
2009/03/11(水) 11:17:400666１３２人目の素数さん
2009/03/11(水) 17:11:59x=3.142での値挟むのは既出だろうな
0667１３２人目の素数さん
2009/03/11(水) 17:17:410668１３２人目の素数さん
2009/03/11(水) 21:35:05数値計算をしないというのは
e>2.718281828
π<3.14159266
を証明して
π^4+π^5<e^6
が成り立つことがわかってもダメってこと？
理論的というのがイマイチわからん
0669１３２人目の素数さん
2009/03/11(水) 21:38:16(蛇足だが･･･)
I_n = {1/4^(n-1)}∫_[0,1] {x(1-x)}^(4n) /(1+x^2) dx
とおくと
I_1 = (22/7) - π
= 3.14285714285714… - π
= 1.26448926734961868021375957764e-4,
I_2 = π - 47171/(3*5*7*11*13) =
= π - 3.14159174159174…
= 9.1199805164672105164168776129246e-7,
I_3 = 5606935373/(16*3*5*7*11*13*17*19*23) - π
= 3.1415926543282176611023023729983 - π
= 7.3842442263965898971879150324784e-10
より
|I_n| ～ 2*c^{n*[1-(n-1)/111.87]},
ここに c = (1/2)I_1,
0671１３２人目の素数さん
2009/03/11(水) 23:16:0247171/(3*5*7*11*13) < π < 5606935373/(16*3*5*7*11*13*17*19*23) < 355/113 < 22/7 < √2 + √3,
(略解)
47171/(3*5*7*11*13) = 3.14159174159174159174･･･
π = 3.1415926535897932384626433832795
5606935373/(16*3*5*7*11*13*17*19*23) = 3.1415926543282176611023023729983
355/113 = 3.1415929203539823008849557522124
22/7 = 3.1428571428571428571428571428571
√2 + √3 = 3.1462643699419723423291350657156
0672１３２人目の素数さん
2009/03/11(水) 23:51:440673１３２人目の素数さん
2009/03/12(木) 00:41:050674１３２人目の素数さん
2009/03/12(木) 00:43:040675１３２人目の素数さん
2009/03/12(木) 00:44:01手計算では>>668の評価はできるけどかなり大変
0676１３２人目の素数さん
2009/03/12(木) 00:48:34いや、こんなのがすぐに思い浮かぶ問題だったら、難易度低すぎて数学検定にならない事を考えると方向性違ってるかな？
0677１３２人目の素数さん
2009/03/12(木) 00:53:10いい加減な計算だと評価できないっぽい値だ
0678１３２人目の素数さん
2009/03/12(木) 00:59:52なるほど……
0679１３２人目の素数さん
2009/03/12(木) 11:06:49ニュートンの公式
π/6 = 1/2 + 1!!/(2!!*3*2^3) + 3!!/(4!!*5*2^5) + 5!!/(6!!*7*2^7) + …
で、10項目以下を
17!!/(18!!*19*2^19) + 19!!/(20!!*21*2^21) + …
＜ 17!!/(18!!*19*2^19) * (1 + 1/2^2 + 1/2^4 + …)
= 17!!/(18!!*19*2^19) * (4/3)
と押さえて評価すると
π ＜ 13087828316373115/(2^32*3*7*11*13*17*19)
e は級数展開
e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + …
で 1/11! の項までで打ち切ると
e ＞ 13563139/(2^5*3^4*5^2*7*11)
この評価を緩めて少し簡単な分数にすると
p = 5*19*5989/(2^4*3*7^3*11) として
π ＜ p
p+1 = 750059/(2^4*3*7^3*11)
x = 5*19*20543/(2^2*3^2*7^2*11*37) として
e ＞ x
π^4(π+1)/e^6 ＜ p^4(p+1)/x^6
= 3^7 * 11 * 37^6 * 5989^4 * 750059 / (2^8 * 5^2 * 7^3 * 19^2 * 20543^6)
＜ 1
(最後の計算も少し工夫できるけど、せこ過ぎるから割愛)
0680１３２人目の素数さん
2009/03/12(木) 13:38:072.718281828の6乗とか3.14159266の5乗が手計算できない
0681１３２人目の素数さん
2009/03/12(木) 17:03:100682１３２人目の素数さん
2009/03/12(木) 23:41:23∫_[0,1] {x(1-x)}^m /(1+x^2) dx ～ {1/√(2m)}(1/4)^m,
なので n>>1 のとき
I_n ～ {4/√(8n)}(c^n),
c = (1/4)^5 = (1/2)^10,
0683１３２人目の素数さん
2009/03/13(金) 20:37:38総合問題Ⅱが後期の数学ね（文系・理系共通）
0684１３２人目の素数さん
2009/03/13(金) 20:58:37手計算でできるやつをやってみると色々面白い。
>>660と併せて 2/3＜ln(2)<0.7 か
0685１３２人目の素数さん
2009/03/13(金) 22:54:45∫_[0,1] {x(1-x)}^m dx ～ {1／√[1+(4/π)m]}(1/4)^m,
4/π ≒ 1.273239544････
∫_[0,1] {x(1-x)}^m /(1+x^2) dx ～ {(π/4)／√(1+1.22675m)}(1/4)^m,
0686１３２人目の素数さん
2009/03/19(木) 01:10:59＞ なお、2桁の自然数の中で60,84,90,96と並び、もっとも多くの約数を持つ数字であるが、
＞ 千早はその数字に割り切れない思いを抱いているようだ。
これを見て思いついた問題。今回は逆に巨乳・三浦あずさ(88cm)をねたにします。
(1) 自然数nについて、f(n)=(nの約数の個数)/nとする。
たとえば、f(1)=1, f(100)=9/100である。
このとき、任意の自然数nと素数pについて、f(pn)≦f(n)であることを示せ。
また、等号が成立するのはどのような場合か。
(2) 末広がりで縁起の良い数とされる、88はちょうど8個の約数
(1,2,4,8,11,22,44,88)を持つが、11nの約数の個数がn個となるような
自然数nはn=8以外には存在しないことを示せ。
0687１３２人目の素数さん
2009/03/20(金) 00:30:23(×) n=8以外には存在しない
(○) n=8,12以外には存在しない
のように読み替えお願いします。
0688１３２人目の素数さん
2009/03/27(金) 22:48:310689１３２人目の素数さん
2009/03/28(土) 10:07:14実数じゃない
0690東大入試作問者になったつもりのスレ の241
2009/03/30(月) 21:32:53> 242 名前： 240 投稿日： 01/10/10 02:25
>
> >>241
> こちらが想定したとおりの解法です。全部◎
> 解いてみた感想を聞かせて。
小問の誘導が適切で解きやすかったです。いい問題だと思いマスタ。
0691１３２人目の素数さん
2009/03/31(火) 02:59:27任意の自然数nについて(84753+228i)^nが実数でないこと、
もっと一般に(a+bi)^n (a,bは整数でa≠0,b≠0,a≠±b)が実数でないことを
証明したかったのですが挫折しました。
(84753+228i)^87が実数でないことは以下のようにわかります。
数列a(n),b(n)を次の漸化式で定めると、(84753+228i)^87=a(87)+b(87)iである。
a(1)=84753,b(1)=228,a(n+1)=84753a(n)-228b(n), b(n+1)=84753b(n)+228a(n)
以下合同式はmod(5)であるものとすると、
a(1)≡3, b(1)≡3, a(n+1)≡3a(n)-3b(n), b(n+1)≡3a(n)+3b(n)であるから、
a(2)≡0,b(2)≡3
a(3)≡1,b(3)≡4
a(4)≡1,b(4)≡0
a(5)≡3,b(5)≡3
以降周期4の繰り返しであるから、b(87)≡b(3)≡4よりb(87)≠0,
よってa(87)+b(87)iすなわち(84753+228i)^87は実数とはならない。
0692１３２人目の素数さん
2009/03/31(火) 10:50:32ちょっと遅いってレベルじゃねーぞ！ｗｗ
0693１３２人目の素数さん
2009/03/31(火) 12:49:100694１３２人目の素数さん
2009/03/31(火) 18:23:14じゃなくて、πが無理数であることを
最初に証明した人について知るところを述べよ。
（５０点）
0695１３２人目の素数さん
2009/03/31(火) 20:09:390696１３２人目の素数さん
2009/03/31(火) 21:46:55とりあえず前半。合ってるかな？
(a＋bi)^nが実数になるようなa,b∈Z,n∈Nを全て求める。
先に結論を書くと、
nが偶数のとき：a＝±bまたはa＝0またはb＝0
nが奇数のとき：a＝0またはb＝0
となる。
STEP1：nが奇数のときにa＝0またはb＝0となることは後で証明することにし、
今はこれを認めて、nが偶数の場合のa,bを求める。
nが偶数なのにa≠±bかつa≠0かつb≠0であるようなa,bがあったとする。
n＝2mと表せば、(a＋bi)^n＝(a^2－b^2＋2abi)^mとなる。ここで、
A＝a^2－b^2, B＝2ab とおけば、A,Bもまた「A≠±BかつA≠0かつB≠0」を
満たす。実際、A≠0かつB≠0は明らかである。A≠±Bの方は、
A＝ B ⇔ a^2－b^2＝ 2ab ⇔ (a－b)^2＝2b^2 ⇔ a－b＝±b√2 ⇔ a－b＝0かつb＝0 矛盾
A＝-B ⇔ a^2－b^2＝-2ab ⇔ (a＋b)^2＝2b^2 ⇔ a＋b＝±b√2 ⇔ a＋b＝0かつb＝0 矛盾
より、成立。
以上より、(a＋bi)^n＝(a^2－b^2＋2abi)^m＝(A＋Bi)^mについて、mは奇数としてよい。
なぜなら、もしmが偶数のときは、m＝2m',A'＝A-2－B^2,B'＝2ABなどと置けば
上の議論を繰り返すことができ、いずれ奇数に辿り着くからである。
そして、奇数のときの解はA＝0またはB＝0に限られるのだから、これは矛盾する。
0697１３２人目の素数さん
2009/03/31(火) 22:08:09遅すぎるんだTYO！
一応過去ログから問題と解答を再掲してやろう。
240 名前： 名無し 投稿日： 01/10/10 00:21
有名問題ですが，誘導付きにしてみました。これなら文科の問題としても
使えるか？理科には易しすぎ？解いたことのない人は解いてみて。
誘導も含めて講評して。
nを2以上の自然数とする。
(1) 2^k≦n<2^(k+1)となる自然数kを考える。1,2,・・・，nの中に2^kの倍数は何個あるか。
(2) 1,2,・・・,nの最小公倍数をSとする。S,S/2,S/3,・・・,S/n の中に奇数は何個あるか。
(3) 1+1/2+1/3+・・・+1/n は整数とならないことを示せ。
241 名前： 理Ⅰ志望 投稿日： 01/10/10 01:37
>>240
(1) 2^(k+1)＝2*2^k なので、2^k以上2^(k+1)未満の整数のなかで
2^kの倍数は2^k自身しかない。
2^k未満の自然数のなかに2^kの倍数はないので、
よって答は1個。
(2) (1)のkをもちいると、Ｓは、
Ｓ＝(2^k)*(奇素数の積)
とあらわされる。よって、1≦m≦nを満たす自然数mに対して、
Ｓ/m が奇数 ⇔ m が2^kの倍数
となるが、(1)の結果からこのようなmは1つだけ。
∴答は1個。
(3) 与式の分母をＳで通分すると、分子は
Ｓ+Ｓ/2+Ｓ/3+･･･+Ｓ/n であり、(2)からこれは奇数となる。
一方Ｓは偶数なので、ＳはＳ+Ｓ/2+Ｓ/3+･･･+Ｓ/n の約数ではない。
ゆえに与式は整数にはならない。（証終）
0698１３２人目の素数さん
2009/03/31(火) 22:27:05当時の俺はこうやって解いたぞ。
n≧2のときSn＝奇/偶 となることを、数学的帰納法で証明する。n＝2,3のときは
明らかに成り立つ。n≦2k のとき成り立つとすると、n＝2k＋1のときは、
Sn＝{1＋1/2＋…＋1/(2k)}＋1/(2k＋1)＝(奇/偶)＋1/(2k＋1)＝(奇/偶)＋(1/奇)
＝(奇・奇＋偶)/(偶・奇)＝奇/偶 となり、成立。また、n≦2k＋1のとき成り立つと
すると、n＝2k＋2のときは、
Sn＝{1＋1/2＋…＋1/(2k＋1)}＋1/(2k＋2)
＝{1＋1/3＋1/5＋…＋1/(2k＋1)}＋{1/2＋1/4＋…＋1/(2k＋2)} (この分け方がミソ)
＝(整/奇)＋(1/2)*{1＋1/2＋…＋1/(k＋1)}
＝(整/奇)＋(1/2)*(奇/偶)
＝(整/奇)＋(奇/偶)
＝(整・偶＋奇・奇)/(偶・奇)
＝奇/偶
となり、やはり成立。
0699１３２人目の素数さん
2009/04/01(水) 00:21:070700１３２人目の素数さん
2009/04/01(水) 14:06:18nを自然数とする。整数係数多項式Tn(x)は、任意のx∈Rに対して
Tn(cosx)＝cos(nx)を満たすとする(チェビシェフの多項式)。
Tn(x)の最高次の係数は2^(n－1)である。また、nが奇数のときは
Tn(0)＝0だから、Tn(x)＝xfn(x)なる整数係数多項式f(x)が取れる。…(*)
(f(x)とは書いたが、これはnに依存して決まるので、本来はfn(x)と
書いた方がよい。)
STEP2：nが奇数のときのa,bを求める。
a＋bi＝re^{ix}と極座標表示すれば、cosx＝a/√(a^2＋b^2)だから、cos(2x)＝2cos^2x－1
＝2a^2/(a^2＋b^2)－1となり、cos(2x)は有理数となる。
(a＋bi)^nが実数になるための必要十分条件は、x＝kπ/n となるk∈Zが存在することである。
このようなkに対して、Tn(cos(2x))＝cos(2nx)＝cos(2kπ)＝1 だから、c＝cos(2x)とおけば
Tn(c)＝1である。これと(*)より、cf(c)＝1を得る。
cは有理数だったから、c＝q/p (p,qは互いに素な整数)とおけて(q/p)f(q/p)＝1を得る。
f(x)の次数をm≧0とすれば、r：＝f(q/p)*p^mは整数になり、q*r＝p^(m＋1)となる。
この式からq｜p^(m＋1)となるから、pとqが互いに素であることより、q＝±1となるしかない。
よってc＝1/p となり(本当は±1/pだが、マイナスがつくときは－pを改めてpと置く)、
(1/p)f(1/p)＝1となる。ここで、f(x)＝Σ[i＝0～m]ai*x^iと表し、(1/p)f(1/p)＝1の分母を
払って整理するとΣ[i＝0～m]ai*p^(m－i)＝p^(m＋1) となる。両辺をmod pで考えると
am≡0 (mod p)となる。すなわちp｜amとなる。チェビシェフ多項式の最高次の係数は2のベキ乗
だったから、amは2のベキ乗であり、これとp｜amより、pもまた2のベキ乗である。
つまり、あるk≧0に対してc＝±1/2^k となる。
0701１３２人目の素数さん
2009/04/01(水) 14:15:37これとc＝1/2^kより、式を整理して(2^k－1)a^2＝(1＋2^k)b^2…(**)となる。この式から
(2^k＋1)｜(2^k－1)a^2が分かるが、(2^k＋1)と(2^k－1)は互いに素だから、(2^k＋1)｜a^2となる。
よってa^2＝(1＋2^k)sなる整数sが取れる。これを(**)に代入してb^2＝(2^k－1)s となる。よって、
(ab)^2＝(4^k－1)s^2となり、ab＝±s√(4^k－1) となる。もしk≧1なら、4^k－1は平方数に
ならないから(***)、√(4^k－1)は無理数となり、よってab＝0かつs＝0となり、よって特に
「a＝0またはb＝0」を得る。k＝0のときはab＝±s√0＝0となり、やはり「a＝0またはb＝0」を得る。
(***)：4^k－1が平方数だとすると、4^k－1＝y^2なる整数yが取れるはずだが、両辺をmod 4で考えて
－1≡y^2 (mod 4)となる(k≧1なので)。一方、y^2≡0,1 (mod 4)にしかならないので、矛盾。
あとはc＝－1/2^kの場合を考える。上と同様にして、適当な整数sに対してa^2＝(2^k－1)s,
b^2＝(2^k＋1)sとなるから、(ab)^2＝(4^k－1)s^2となり、同様にしてa＝0またはb＝0に辿り着く。■
0702691
2009/04/02(木) 00:04:40凄い。cosで考えるのが突破口だったとは。
tanθ=b/aとして、例の「tan1°は有理数か」と同じようにtanの加法定理と
数学的帰納法でいけないだろうかと考えていました。
0703696
2009/04/02(木) 02:29:42× nが奇数のとき：a＝0またはb＝0
○ nが奇数のとき：b＝0
証明には ほとんど影響は無いと思う。
>>702
693が気になって調べてみたんだが、確かに京大に出ていた。
「pを素数、a, b を互いに素な正の整数とするとき、(a+bi)^pは実数ではないことを示せ。」
ttp://www.kyoto-math.jp/2000-4.html
で、リンク先の解答だと、チェビシェフの多項式なんて出てなくて、もっと初等的に解いている。
この結果を元にすると、「nが奇数のとき：b＝0」となることが696みたいなやり方で証明できて、
nが偶数のときは696自身を使えばよくて、結局、チェビシェフの多項式を使わずに解けるという・・・
0704696
2009/04/02(木) 03:05:18× nが偶数のとき：a＝±bまたはa＝0またはb＝0
○ nが偶数だが4の倍数ではないとき：a＝0またはb＝0
nが4の倍数のとき：a＝±bまたはa＝0またはb＝0
証明は、>696の方に影響が出てしまうが、ちょっと修正すればすぐに直る。
0705１３２人目の素数さん
2009/04/05(日) 14:37:500706１３２人目の素数さん
2009/04/06(月) 23:57:46但し、0.3010 <log_{10} 2 < 0.3011、0.4771 < log_{10} 3 < 0.4772、0.8450 < log_{10} 7 < 0.8451とする。
0708１３２人目の素数さん
2009/04/07(火) 02:42:550709１３２人目の素数さん
2009/04/07(火) 03:22:21その第百項の対数をとるだけだろう
0710KingGold ◆3waIkAJWrg
2009/04/07(火) 04:40:44Reply:>>709 黄金比が出てくるが、それはどうするか。
0711１３２人目の素数さん
2009/04/09(木) 18:26:33φ=(1+sqrt(5))/2 とすると、この数列(フィボナッチ数列の一般項)は
a(n)={φ^n-(-φ)^(-n)}/sqrt(5) である。
nが大きいとき(-φ)^(-n)→0だから、まずb(n)=φ^n/sqrt(5)の桁数を評価する。
底の10は省略。
1.6＜φ＜1.62だから、
4log2-1＜logφ＜log2+4log3-2
0.2040＜logφ＜0.2099
log b(100)=100logφ-(1-log2)/2だから、
20.0505＜log b(100)＜20.64055
よって、b(100)は整数部分が21桁の数である。
一方、
a(100)=b(100)-(1/sqrt(5))(1/φ)^100＞b(100)-1 であるが、
10^0.0505 ＞2^(1/6)＞1.1 (∵0.0505*6=0.303＞log2、1.1^6=1.771561)
だからb(100)＞1.1*10^20であり、高々1を引いても桁数は下がらない。
∴ a(100)は21桁の整数 (答)
0713１３２人目の素数さん
2009/04/10(金) 02:21:17後半(a(100)とb(100)の桁数が同じことを示す)は必要ですか？
以前、4^n+3の桁数についての問題を見たことがあって、
4^nの1の位は4,6の繰り返しだから3を加えても絶対繰り上がらない
→4^nと4^n+3は桁数が同じ、というところを厳密にやっていたので。
0714１３２人目の素数さん
2009/04/10(金) 06:59:15必要だと思います。まあほとんど自明ですが。
0715１３２人目の素数さん
2009/04/10(金) 14:37:09今の場合は0 < (-\phi)^{-100}/\sqrt{5} < 1で、a_{100}が整数だから、
\phi^{100}/\sqrt{5}の整数部分がa_{100}と論じてもっと簡単に
話を済ますことはできそうですね。
0716１３２人目の素数さん
2009/04/16(木) 19:15:560717１３２人目の素数さん
2009/04/16(木) 22:07:17f(x)=100をみたすxの整数部分の桁数を求めよ。
ただし、log10 2=0.301とする。
0718１３２人目の素数さん
2009/04/16(木) 22:50:1710=7+3だからn=7のとき素数じゃないな。
0719１３２人目の素数さん
2009/04/16(木) 22:51:399997/13=769
0720１３２人目の素数さん
2009/04/16(木) 23:43:54確率１／１００の宝くじを１０回引いたときの当たる確率はいくつ？
0721１３２人目の素数さん
2009/04/16(木) 23:49:14こういう問の書き方を見ると、1/100はなんの確率なのか、とまず訊いてみたくなる。
0722１３２人目の素数さん
2009/04/17(金) 07:29:550723１３２人目の素数さん
2009/04/17(金) 10:56:19血液型分布は
近親婚がない、
且つ、ランダムに婚姻する、
という条件において、
最初の分布比率が保たれ
世代の更新により
変化しないことを証明しなさい。
生物屋のいうには変わらないらしい。
0724１３２人目の素数さん
2009/04/17(金) 12:24:20馬鹿なの？
0725１３２人目の素数さん
2009/04/17(金) 18:32:20最初A型とB型しかいない場合は、途中でAB型が生まれてくるから、分布が変わるんだけど
0726１３２人目の素数さん
2009/04/17(金) 22:19:38その法則は Hardy の名前が付いている。
0727１３２人目の素数さん
2009/04/17(金) 22:45:16血液型の分布にはあてはまらないんだが……
遺伝子と表現型を混同してないか？
0728１３２人目の素数さん
2009/04/17(金) 22:55:37そうね。MN 型の話だった。
0729１３２人目の素数さん
2009/04/17(金) 23:14:25遺伝子頻度から遺伝子型の頻度が説明できるという話じゃないの。
0730１３２人目の素数さん
2009/04/17(金) 23:33:56何言ってるのかよく分からんけど、遺伝子の頻度は変わらなくても、
血液型の頻度は変わり得るでしょってことなんだけど
0731１３２人目の素数さん
2009/04/18(土) 01:43:58おいおいｗ
と思ったが、何事においてもある事柄のルールを知らない人間だと
その事柄の注目すべきレベルがわかんないのは当然か…
確かに数学的でもないし、前提が説明不足だわな
0732１３２人目の素数さん
2009/04/18(土) 01:49:06>>723がもし成り立つのなら別にこの仮定いらなそうな希ガス
自分以外を近親としないとしたときとかもね
なんとなくだけど
0733１３２人目の素数さん
2009/04/18(土) 02:58:120734１３２人目の素数さん
2009/04/18(土) 14:13:00n=1+6m, n=4+6m, n=11+16m, n=5+18m (m≧0) など。
(略証)
10^6 = (10^3 -1)(10^3 +1) +1 = (10^3 -1)･7･11･13 +1 ≡ 1 (mod 7･13)
10^16 = (10^8 -1)(10^8 +1) +1 = (10^8 -1)･17･5882353 + 1 ≡ 1 (mod 17)
10^18 = (10^9 -1)(10^9 +1) +1 = (10^9 -1)･19･52631579 + 1 ≡ 1 (mod 19)
より
10^(1+6m) -3 ≡ 10^1 -3 = 7 ≡ 0 (mod 7)
10^(4+6m) -3 ≡ 10^4 -3 = 13･769 ≡ 0 (mod 13)
10^(11+16m) -3 ≡ 10^11 -3 = 17･5882352941 ≡ 0 (mod 17)
10^(5+18m) -3 ≡ 10^5 -3 = (19^2)･277 ≡ 0 (mod 19)
0735１３２人目の素数さん
2009/04/18(土) 14:55:29そういう意味にしか読めんわな
0736１３２人目の素数さん
2009/04/20(月) 15:09:47このような球面Ｓは何種類あるか。その半径として考えられるものをすべて求めよ。
ただし、球面Ｓは格子点を少なくとも1つ通るとする。
0737１３２人目の素数さん
2009/04/20(月) 19:18:10n!=m^2
となるn,mの組は存在しないことを示せ。
正直、きれいな証明じゃないので微妙。
ちなみに、これはベルトラン予想の限定。
実際は2以上のすべての自然数nにおいて上の式が成り立ちます。
0738１３２人目の素数さん
2009/04/20(月) 21:40:43(x-1/2)^2 + y^2 + z^2 = 1/4, 半径 1/2,
(x-1/2)^2 + (y-1/2)^2 + z^2 = 1/2, 半径 (√2)/2,
(x-1/2)^2 + (y-1/2)^2 + (z-1/2)^2 = 3/4 or 11/4, 半径 (√3)/2 or (√11)/2,
x^2 + y^2 + z^2 = 1, 半径1,
0739１３２人目の素数さん
2009/04/20(月) 23:47:40n!=m^2について
pを素数として
p!の素因数のうち最大の素数はpである。
p^2までにpより大きい素数が含まれていることが示せれば最大の素数の次数が1であり、平方数にならないことが示される。
またこの時pの次に大きい素数をqとして、p≦n＜qである自然数nについても最大の素数はpである。…①
p=2ならp^2=4までに3がある
同様に
3(9)→7
7(49)→47
47(47^2)→101
(5は7,11～43は47,53～97は101が対応する)
よってp!が平方数になることはない。(1＜p＜100)
また、これと①より1＜n＜100についても示される。
0740737
2009/04/21(火) 03:48:45大体あってるけど、
＞p^2までにpより大きい素数が含まれていることが示せれば最大の素数の次数が1であり、平方数にならないことが示される。
p^2じゃなくて2p。
なので、実際は
2 3 5 7 13 23 43 83 というステップになる。
0741１３２人目の素数さん
2009/04/24(金) 01:46:23・ 納n=1～∞]n^(-3) > 6/5 を示せ
0742１３２人目の素数さん
2009/04/24(金) 08:31:10aを実数とする
xの方程式
x＾5-x＾4＋ax＾3＋ax＾2‐x＋1＝0
の5つの解のうち、少なくとも2つの解が一致する。
このとき、aの値及び、一致する解を求めよ。
0743１３２人目の素数さん
2009/04/24(金) 08:44:17だな。
ついでに問題の書き方がおかしいな。
>少なくとも2つの解が一致する
って実際そうなるか解答者側から見ればまだ分からないことジャン。
出すんだったら保証させることも含めろよ。
0744１３２人目の素数さん
2009/04/24(金) 10:44:04・・・2つの解が一致するとき、aの値及び・・・
でいいですか？
文章おかしくてスマソ
0745１３２人目の素数さん
2009/04/24(金) 17:16:27「方程式
x＾5-x＾4＋ax＾3＋ax＾2‐x＋1＝0
の5つの解のうち、少なくとも2つの解が一致する」
ような実数aはあるのか、ということも含めて出題する
(これはa=0とすれば問題ないことだが)。
そして、どうせやるなら、「もしあれば」、2つの解が一致するようなaの値と
そのときの一致する解だけでなく「他のすべての解」を、それぞれすべて求めさせる。
こうした方がいい。
0746１３２人目の素数さん
2009/04/24(金) 17:23:360747１３２人目の素数さん
2009/04/24(金) 19:04:10成程、確かにその方が親切ですね。
≫746
今の自分なら解けますが、高校時代なら最後までは
解けないな～、って感じたので出題してみました。
0748１３２人目の素数さん
2009/04/24(金) 21:12:11p・q=|p||q|cosθ
0749749
2009/04/24(金) 23:54:020750１３２人目の素数さん
2009/04/25(土) 00:38:26なんで「重解をもつとき」ってしないの？
0751１３２人目の素数さん
2009/04/25(土) 10:09:21問題文より自明ですが、解く過程で重解となることを認識させたいので。
0752１３２人目の素数さん
2009/04/25(土) 13:55:080753１３２人目の素数さん
2009/04/25(土) 16:12:02ふーん、重解の定義って、なんか小難しいわけ？
0754１３２人目の素数さん
2009/04/26(日) 11:40:31ここの住人は厳しいですね(^o^;
自分としては高次方程式を題材に、重解条件を考えさせたく
以下の2点をポイントとして出題してみました。
①式の特徴に着目して、解の候補を考える
②より低次の方程式に帰着させる
問題文が不完全なのは認めますので、これくらいで
ご勘弁をm(__)m
ちなみに誰か解答お願いします。
0755742
2009/04/26(日) 12:03:41これも同じような問題です。
a、bを実数として
f(x)=x＾2+ax+b、g(x)=f(f(x))とおく。
①方程式g(x)-x=0が重解をもつとき、a、bの関係式を求めよ。
②a、bをa＞bをみたす整数とする。
方程式g(x)-x=0の重解も含めた4つの解のうち、
2つは整数で残りの2つが虚数となるとき、a、bの値を求むよ。
0756１３２人目の素数さん
2009/04/26(日) 18:12:29>>742 の解答
(左辺) = (x+1){(x^2 +1)(x-1)^2 +a･x^2},
a=0 のとき 1(重根), -1, ±i, (左辺) = (x+1)(x^2 +1)(x-1)^2,
a=-8 のとき -1(3重根), 2±√3, (左辺) = (x+1)^3 (x^2 -4x+1),
かな？
0757１３２人目の素数さん
2009/04/26(日) 22:22:04Σ[n=1,∞) 1/(n^3) = 1 + (1/8) + (1/27) + (1/64) + (1/125) + (1/216) + (1/343) + Σ[n=8,∞) 1/(n^3)
> 1 + (1/8) + (1/27) + (1/64) + (1/125) + (1/216) + (1/343) + Σ[n=8,∞) 1/n(n+1)(n+2)
= 1 + 3･4771443/(N^3) + Σ[n=8,∞) {1/[2n(n+1)] - 1/[2(n+1)(n+2)]}
= 1 + 3･4771443/(N^3) + 1/(2･8･9)
= 1 + 3･4942943/(N^3)
= 1 + (1/5) + 3･3743/(N^3)
> 1 + (1/5),
ここに N = 3･4･5･7 = 420 とおいた。
0758１３２人目の素数さん
2009/04/27(月) 00:00:24そこまでは正解です。
ここで、g(x)=(x＾2+1)(x-1)＾2+ax＾2と置き
g(x)=0の4つの解のうち、少なくとも2つの解が一致する
場合を考えなければなりません。
0759１３２人目の素数さん
2009/04/27(月) 01:00:310760１３２人目の素数さん
2009/04/27(月) 21:34:39g(x) = (x^2 +1)^2 -2x(x^2 +1) + ax^2 = (x^2 -x+1)^2 + (a-1)x^2,
a=1 のとき (1±i√3)/2 (重根), -1. (左辺) = (x^2 -x+1)^2,
0761１３２人目の素数さん
2009/04/27(月) 23:18:04y=1/(x^3) は 下に凸なので、台形公式
(1/2){1/(k^3) + 1/(k+1)^3} > ∫[k,k+1] 1/(x^3) dx,
Σ[n=1,∞) 1/(n^3) > 1 + 1/(2^3) + 1/(3^3) + 0.5/(4^3) + ∫[4,∞) 1/(x^3) dx
= 4043/(128*27) + [ - 1/(2x^2) ](x=4,∞)
= 1.169849537037････ + 1/32
= 1.201099537037････
0762１３２人目の素数さん
2009/04/28(火) 02:21:50f_{n+1}(x)=xf_{n}(x)-e^{x}g_{x}, g_{n+1}(x)=f_{n}(x)-(logx)g_{n}(x)
によってx>0に対して定義する。
このとき、f_1(x) ,g_1(x)の共通解が存在しないとすると、任意の自然数nに対してf_{n}(x),g_{n}(x)の
共通解も存在しないことを示せ。
0763762
2009/04/28(火) 02:29:070764１３２人目の素数さん
2009/04/28(火) 02:30:27関数の共通解とは？
ま、共通零点、のことかな、とは思うが。
0765１３２人目の素数さん
2009/04/28(火) 02:32:09わざわざ訂正するなら、４行目の後半もしておかないと。
0766762
2009/04/28(火) 02:40:42f_{n+1}(x)=xf_{n}(x)-e^{x}g_{n}(x)→f_{n+1}(x)=xf_{n}(x)-g_{n}(x)
f_{n}(x),g_{n}(x)の共通解→f_{n}(x)=0,g_{n}(x)=0の共通解
>>762のままじゃ全然面白くないです。
0767１３２人目の素数さん
2009/04/29(水) 10:11:40正解です。
自分の用意した答えはまとめると
a＝8、0、1 で各場合の一致する解はそれぞれ
x=-1、1、(1±√3i)/2ですやっぱり簡単過ぎた様です。
0768だいすけ@31.com
2009/04/29(水) 14:59:35それはともかく・・・なんとなく問題つくってみたけど、自分で解けてない...
直線Ｌと半径１の球Ｓがあり、直線Ｌと、球Ｓとの最短距離は１である。
直線Ｌを軸として球Ｓが１週したときの、球Ｓの軌跡をＭとする。（いわゆる円環）
また、Ｍと、Ｍの内側の空白を合体させた領域をＮとする。
（１）動点Ａ、ＢがＭに含まれるとき、線文ＡＢの最大長を求めよ。
（２）動点Ａ、ＢがＮに含まれるとき、線文ＡＢの最大長を求めよ。
（３）正四面体ＦがＮに含まれるとき、正四面体Ｆの１辺の最大長を求めよ。
（数学久し振りにやったので、言葉を忘れてしまって文章が分かりづらくてすみませんＳはいわゆる円環（ドーナツ）、Ｔは、ドーナツ＋ドーナツの穴の領域です）
てか、高校数学（今の高校数学の履修範囲をわかってないです）で解けないかも
0769１３２人目の素数さん
2009/04/29(水) 16:16:03自分でどういう工夫をすべきかすら把握できてないのに出しても意味無いだろ
問題を（１）（２）に分けたのはどういう状態を想定したんだ？そしてこんなシンプルな問題がなぜ解けない？
それに自分が使ってる文字すら把握できてないぞ
＞Ｓはいわゆる円環（ドーナツ）、Ｔは、ドーナツ＋ドーナツの穴の領域です）
0770１３２人目の素数さん
2009/04/29(水) 17:18:490771１３２人目の素数さん
2009/04/29(水) 17:29:11細かいことだけど、誤字脱字が多いな
0772１３２人目の素数さん
2009/04/29(水) 17:55:36下手したら中学数学でも解けるんじゃね？
0773１３２人目の素数さん
2009/04/29(水) 23:03:49平面上に、｜x↑|=|y↑|＝1の２つベクトルx↑、y↑があり
x↑、y↑のなす角θに対して、tanθ/2は無理数である。
整数m、nに対してp↑=mx↑+ny↑で表される点の集合をSとする。
Sから4点を選び4角形をつくるとき、正方形は作れない
ことを証明せよ。
どっちかと言うと京大好みかも。
0774１３２人目の素数さん
2009/04/29(水) 23:20:47どのように選んでも、とするのが京大流。
京大の問題文はくどい。
0775１３２人目の素数さん
2009/04/30(木) 10:51:11tanθ/2ではtan(θ/2)の意味か(tanθ)/2の意味か分かりません
0776１３２人目の素数さん
2009/04/30(木) 12:03:54tan(θ/2)です。
0777１３２人目の素数さん
2009/04/30(木) 14:55:41カス市ね
0778１３２人目の素数さん
2009/04/30(木) 16:28:43テラキモんだ？今週なんだ？今週のサザエさんはこんがるか？っつーの
すでに運知思想だろーがっつーの
今から思うと、1969年のアポロがターニングポイントだったね
神国日本の威厳を体現するのは私のお稲荷さんであるということです
クラフトワークがテクノの元祖ということですッチんチン
こんな糞スレで、森尾由美好きが多数派の勝ち組であり、
ロリコンは少数派の負け組という事実が判明するとはな。
ネットの力はおそろしい。
無駄な抵抗はよせ
貴様の包囲網はジワジワと、こんなスレッドにまで迫っているぞ。
0779１３２人目の素数さん
2009/05/03(日) 22:54:070780１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 03:11:57・Lのy切片が整数
・放物線とLで囲まれる部分の面積が整数
・Lが円から切り取られる弦の長さが整数
の３つが成り立つとき、直線Lの方程式を求めよ。
東大文系の標準～やや難 を想定し作問。
最後まで解ければ文系数学2完半か3完レベルかなぁ
0781１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 09:10:53ただし以下３つの条件を前提とする。
（Ａ）この立方体において、頂点を選択するとき、各頂点とも選ぶ確率は等しいものとする。
（Ｂ 選択する頂点は何点でも重複してもかまわないものとする。
（Ｃ）長さ（問１の場合）、面積（問２の場合）、体積（問３、４、５）の値が、
正なる値を持たない場合、上記の長さ／面積／体積を０とみなす。
（１）頂点を２つ選ぶ。これらを端店とする線分の長さの期待値を求めよ。
（２）頂点を３つ選ぶ。これらを頂点とする３角形の面積の期待値をもとめよ。
（３）頂点を４つ選ぶ。これらを頂点とする立体の面積の期待値をもとめよ。
（４）頂点を５つ選ぶ。これらを頂点とする立体の体積の期待値をもとめよ。
（５）頂点を６つ選ぶ。これらを頂点とする立体の体積の期待値をもとめよ。
0782781
2009/05/04(月) 09:27:14（３）、（４）、（５）で「立体」と書いてあるところを、それぞれ、
四面体、五面体、六面体 に変えてください。
∵たとえば（４）で、２点だけ重複すると、
（問題の文章を読むと）立体が四面体と見なすことができるかもしれいから、
0783１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 10:23:28しかも自分で吟味もせずに出題するのはやめようぜ。
センターレベル以下じゃん
＞（３）、（４）、（５）で「立体」と書いてあるところを、それぞれ、
＞四面体、五面体、六面体 に変えてください。
変える意図がわからん
どういう出題意図なのか知りたい（あるのなら）
しかも、
そこまで考えずに頂点重複を避けさせようとして
頂点の数と面の数は一致するわけじゃないことに気付かず
勘違いしてるっぽい浅はかさを感じる
0784１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 12:04:47よく分からんが……頂点６の六面体ってどんなの？
五角錐しか思い浮かばん。
0785１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 12:29:48>>782が検討してない証拠だろう
＞（Ｂ 選択する頂点は何点でも重複してもかまわないものとする。
を踏まえれば、立方体のうちの頂点５つで６面体にはできるが
６面体限定にせよ，６頂点限定にせよ
＞体積（問３、４、５）の値が、正なる値を持たない場合、上記の長さ／面積／体積を０とみなす。
わざわざこんな条件つけてまで期待値の問題にしてる意味がなくなるんだよね。
いろんな意味でお粗末
0786781
2009/05/04(月) 12:35:18>>783
＞（３）、（４）、（５）で「立体」と書いてあるところを、それぞれ、
＞四面体、五面体、六面体 に変えてください。
===
＞そこまで考えずに頂点重複を避けさせようとして
そじゃなくて、逆。頂点重複もＯＫとする。
三角形の場合、３点が、Ａ、Ａ，Ｂなら、面積は０という次第。
出題意図は、簡単にいうと、「確率」と「面積/体積」が融合すると、
＞ただ労力をかければすむようなひねりのない問題
でなく、労力かけずにスマートに解ける問題、ってこと。
＞頂点の数と面の数は一致するわけじゃないことに気付かず
もちろん気づいてた。そこでひかっかるかなと思ったが簡単？
>>784
やっぱ、頂点が重複すると、六面体の体積は正なる値にならない。
（小学生レベルの言い方すると、「頂点が重複すると、六面体にはなりえない」）
だから、「頂点６の六面体ってどんなの？」って、題意の立方体そのもの鹿「あり得ない。
まあ、（１）と（５）は、ネタ的問題で、即効解ける。
0787781
2009/05/04(月) 12:42:44>>782 勘違いしてた。
「頂点が重複しない条件のもとでの立体」
って意味のつもりだったんだけど、>>782 の書き方だと意味が異なる。ミスった。
0788１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 12:45:190789１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 12:49:16やっぱいろんな意味で浅はかだな。
＞そじゃなくて、逆。頂点重複もＯＫとする。
だったら
＞（問題の文章を読むと）立体が四面体と見なすことができるかもしれいから、
こんなことを書く理由がないんだよね。
＞やっぱ、頂点が重複すると、六面体の体積は正なる値にならない。
最低限確認はしようよ。>>785にも挙げてあるんだしさ。
そもそも「正なる値」ってのがまずおかしい。よほど数学になじみがない人ですかねえ。
で、堂々と間違いを晒しておいて
＞もちろん気づいてた。そこでひかっかるかなと思ったが簡単？
この負け惜しみ開き直りはすごいね。
0790１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 12:50:170791１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 13:06:49===
ナベアツ君は、数字を言ったとき、その数字が、
３の倍数または３の付く数字のときだけアホになる。
１から初め、10^n まで数字を数えて言うとき、アホになる回数を求めよ。
※ただし、連続してアホになる場合、１つの数字ごとにアホ回数をカウントする
（30、31、32・・・39 のとき、ずっとアホだからｗ）
===
っていうか、既出？
でも解き方が数通りあると思われ。
0792１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 13:07:29中学内容の空間図形や確率の初歩がわかってないようだから
（１）立方体の８つの頂点のうち異なる５つを選んでできる多面体は何通りあるか求めよ
（合同な立体は１通りと見なす）
（２）異なる５つの頂点をランダムに選ぶとき、できる多面体が六面体になる確率を求めよ
0793１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 13:09:060794１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 13:10:11融合(笑)
確率論は測度論であって、測度論は「面積/体積」(及びその一般化)を扱う理論。
つまり、確率論は最初から面積や体積も普通に相手にしている(融合でも何でもない)。
無知すぎる。
0795781
2009/05/04(月) 13:12:49「頂点を４つ選んだとき、４点全てが平面上に存在する場合は体積を０とみなす」
と書こうとしたけど、難しくしようとして、「正なる値」って言ってみたorz
数学じゃなくて国語を勉強します・・・
0796１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 13:16:10ほとんど整数問題だな
0797１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 13:28:15あぁ……少しずつ分かりかけてきたかも知れん。
あれかな、凸包をイメージすればいいのかな？
確率バージョンにすると、こんな感じか？ でも簡単すぎる気がするんだが……
----
空間上に立方体Sがあり、Sの８頂点のうち、いくつかの頂点をランダムで選ぶ。
ただし以下の条件を前提とする。
（Ａ）この立方体において、頂点を選択するとき、各頂点とも選ぶ確率は等しいものとする。
（Ｂ）選択する頂点は何点でも重複してもかまわないものとする。
（１）頂点を２つ選ぶ。これらの凸包が線分になる確率を求めよ。
（２）頂点を３つ選ぶ。これらの凸包が三角形になる確率を求めよ。
（３）頂点を４つ選ぶ。これらの凸包が四面体になる確率を求めよ。
（４）頂点を５つ選ぶ。これらの凸包が５面体になる確率を求めよ。
（５）頂点を６つ選ぶ。これらの凸包が６面体になる確率を求めよ。
0798１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 13:28:37ｶﾞﾝｶﾞﾚ
数学の言葉使いは国語の力のせいとは限らないよ
数学の問題に親しんでないとどんなに国語力つけてもボロが出る
テクニカルタームみたいなもんだし
まずは>>792が目標か
0799１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 13:43:48これは…
>>781以上に数学の苦手な人か？
背伸びして用語だけ調べたのか？
0800１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 13:45:47自分でも言ってることがおかしいと思うんだが、>>781がよく分からなくてね
0802１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 13:47:13＞だから、「頂点６の六面体ってどんなの？」って、題意の立方体そのもの鹿「あり得ない。
ってのは、どういう意味なの？
立方体は頂点が８個あると思うんだけど……
0803１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 13:50:26ちなみに、お前は何がおかしいと思ってるの？
0804797
2009/05/04(月) 14:14:11一応、どこら辺が数学苦手だと感じたのか説明してほしい。
ちなみに、言うまでもなく>>797の目的は>>781の俺的意訳であって、出題じゃないんでね。
それを踏まえたうえで説明してほしい。一応>>781本人は>>801で正しいといっているので、
俺の解釈に誤りはなかったわけだが……以上２点繰り返すと
・ 出題や解答が目的ではなく、あくまで>>781の翻訳が目的
・ >>801にて、>>781本人が正解であると言っている。
これらを踏まえて、どこら辺がおかしいと感じたか説明してもらえると助かる。
一応、目的から逆算すれば、ある意味完全正解だったわけだけど……（>>801）
0806１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 14:40:240807781
2009/05/04(月) 15:04:11英語も、中学レベルの単語のスペル忘れるし・・・脳細胞死にまくり・・・
0808１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 15:18:33期待値の問題だったのに
期待値のカケラもない
これこそまさに>>801が言ってるね
0809１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 15:27:50期待値の問題を自分でシンプルにしすぎておいて
「簡単すぎる気がする」はさすがにないと思うな
翻訳が目的なら問題の勘所を曲げるのはおかしいからね
もっとも>>781自身が出題意図を明確に持ってないから仕方ないといえば仕方ないが
それにしても>>781と同じくらい数学に対する感覚が鈍くない限り
ちょっとありえないと思う
0810１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 15:36:550811１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 15:45:57ただ、出題者が出題意図もろくに持ってない投げっぱなしの上
指摘されてもどこがおかしいか気付けないようじゃ
あきれられたり見下されるのは仕方ないんじゃないかねえ。
>>786がなければここまで呆れ果てることはなかったと思うんだけど。
0812１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 15:49:33807だって失敗だったと認めてるんだし
他人がズルズルとスレ違いの話題をひきのばして傷口を広げることはないでしょ
0813１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 15:51:150814１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 15:56:16===========================================
x が偶数であれば、x/2 を求める。
x が奇数であれば、(3x+1)/2 を求める。
===========================================
上記動作において、求めた数をxに置き換える。
そして、上記動作を永遠に繰り返す。
最初のxがいかなる自然数であっても、
上記動作を繰り返すと必ず、いつかは、x が1となることを示せ。
0815１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 15:57:58ヒントをくださいｗ
0816１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 15:58:50まずは出題者の意図を理解することが目的なのに……
自分でズレたことを言ってる自覚はないのか？
0817１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 16:01:23＞Lが円から切り取られる弦の長さが整数
「円から切り取られる弦」は２つあるんだけど、どっちの長さが整数？どっちでもいいの？
0818１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 16:04:09本人かな？
何がズレてるのかわからない人にとっては
何をズレてるといわれてるのか自覚できないってやつだね。
平行線かなぁコレ。
では出題者>>801の意図とはなんですか？
理解していますか？
0819１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 16:05:29気はたしかですか？
0821１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 16:08:430822817
2009/05/04(月) 16:08:530823797
2009/05/04(月) 16:10:11理解していない。
俺が>>797を書いた時点や、今の段階では情報が少ないため、断定できないが正しい。
ゆえに>>797を書いて、理解の助けにしようと考えた。
お前さんがもし>>809なら、逆になぜ、勘所がどーこーと分かったのか聞きたいところだ。
極端な話をすれば、出題時点では、781本人が書き間違いなどのミスをしている恐れすらありえるんだぞ。
その状態で、何が勘所かを判断する十分なソースがそろっていると判断したことのほうが不思議で仕方ない。
と書いているうちに、本人から>>820で出てきたな。
お前こそ、理解してたか？
0825１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 16:16:53y^2 + [x]^2 = 2009
を満たす実数x,yを全て求めよ。
0826１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 16:17:15直線の式をy=ax+m(m∈Z)とおく。
放物線とLで囲まれる面積S∈Nはこれらの交点の二つx座標α,βを用いて
S=1/6*(β-α)^3=1/6*((α+β)^2-4αβ)^(3/2)
=1/6*(a^2+4m-20)^(3/2)
⇔6S=(a^2+4m-20)^(3/2)(*)
a^2+4m-20> 0が放物線とLが異なる2点で交わる条件であることに注意しておく。
円で切り取られる弦の長さをl∈Nとする。
原点とLの距離が|m|/√(a^2+1)だから
(l/2)^2=2-m^2/(a^2+1)⇔a^2=4m^2/(8-l^2)-1(**)
ここで0<l<円の直径=2√2<3なのでl=1,2なので二通りに場合分けして考える。
1)l=1のとき
(**)よりa^2=4m^2/7-1 これを(*)に代入すると
6S=(4m^2/7+4m-21)^(3/2)
⇒36S^2=(4m^2/7+4m-21)^3
左辺は整数なので右辺も整数で右辺の()内も整数（∵整数でない有理数のベキもまた整数でない）
よって4m^2/7は整数でGCD(4,7)=1なので整数Mを用いてm=7Mとかけ、
36S^2=(28M^2+28M-21)^3 となるが左辺は偶数、右辺は奇数で不合理である。
2)l=2のとき
(**)からa^2=m^2-1 これを(*)に代入し
6S=(m^2+4m-21)√(m^2+4m-21)
ゆえに√(m^2+4m-21)は有理数、つまりm^2+4m-21は有理数の二乗である整数であるから、これは平方数である。
正の整数kを用いてm^2+4m-21=k^2⇔(m+2)^2-25=k^2⇔(m+2-k)(m+2+k)=25
これより容易に(m+2-k,m+2+k)=(1,25)⇔(m,k)=(11,12)だけ適することがわかる。
このときa^2=m^2-1=120からa=±2√30
以上からy=±(2√30)x+11が求める直線の式である。
0827797
2009/05/04(月) 16:18:10>>797で簡単すぎると書いたのは、期待値バージョンでも簡単だと書いたのよ
念のためね
ま、かきまちがえたのはすまんかった
0828１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 16:20:17コラッツ予想だっけ？数論の超難問だよ。
0829１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 16:25:00けど、灯台レベルじゃ出てるのを見たことがない。
0831１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 16:27:050832１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 16:27:15何を理解しろというの？
結局わかったのは>>823が出題失敗してたってことだけでしょ。
最初から指摘してたけど。
＞逆になぜ、勘所がどーこーと分かったのか聞きたいところだ。
ここってどういうスレでしたっけ？
数学の問題って、どういうコトをさせたくてそういう問題にしたかという
背景やストーリーや意図がちゃんとあるもんだと思うんだけどね。
そういうこと気にする意識すらないの？
（なさそうだから>>799のように感じたわけだけど）
あれば出題者が失敗してるのくらい誰でもわかるところじゃないかなあ。
よほど数学に疎いか、まだその単元になじんでなくて出題意図まで考えるところまで気が回らない人でない限り。
ミスでどうこうなる類の失敗じゃないでしょ。
でも失敗かどうか判断もできないから意訳などという無意味な>>797を書き込んでしまったんだろうし
いまだに>>823みたいなこと言ってると。
つーか>>820がいやがってるのにまだスレ違いの内容続けたいの？
ここは>>797を啓蒙するスレじゃないんだけど。
0833814
2009/05/04(月) 16:28:42あれ、そうだっけ。
だとしたら、
>>829
で言ってる＜少しもじるだけで高校生でも解ける問題に変わるのでたまに出題されてる。＞
ってのを前に見たかもしれない。
0834１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 16:40:12このとき間にちょうど1000人の人(男女どちらでもよい)が座っているような2人の女子の組が存在することを示せ。
0835１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 16:42:59正解。やるね～。難易度どうだた？
ちなみに作るとき、円の半径をいくつにするかとか放物線をどうするかとかかなり手探りして、
それなりに解ける問題としてまとまったときは嬉しかった
「図形と方程式」「整数問題」の融合でした。
0836１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 16:50:11放物線や円の方程式がシンプル(大きな数字を使っていない)なわりに
答えが本質的に一通りに定まったから個人的にはかなり良問だと思った。
難易度的にも東大入試としてちょうどいいと思う。
作問のアイディアはいくつか出てきても解ける問題にしようと思ったら見た目が汚くなったりして
なかなかキレイな問題を作るのは難しいよね。
0837１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 16:50:274017と1000が互いに素で
あとは鳩の巣だな
0838１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 16:51:15手探りｗ
0839780
2009/05/04(月) 17:09:51良問と言ってくれると嬉しいぜw
まあ俺東大落ちwww和田政経(数学受験)wwwだから大したことないけどwwww
またなんか思いついたら来るﾉｼ
0840１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 17:11:031000？互いに素？
>>834
2009年の問題にしたいのか知らんが
女子を何人まで減らせるかとかいう問題くらいにしないとつまらんでしょ
0841１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 17:37:56yx^2 + zy^2 + xz^2 がxyzで割り切れるとき、ある整数a,b,cが存在しx=ab^2、y=bc^2、z=ca^2とあらわせることを示せ。
0842１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 17:52:35x,y,zのいずれかが0だとxyzで割るが定義されないのでどれも0でないとする。
xyz|yx^2+zy^2+xz^2
より
x|yx^2+zy^2+xz^2⇒x|zy^2
GCD(x,zy^2)=1よりx=±1でなければならない
同様にしてy=±1,z=±1
逆にこのとき条件は満たされる。
いずれの場合も
a=x
b=y
c=z
とa,b,cを定めればx=ab^2、y=bc^2、z=ca^2とあらわされるので示された。
0843１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 18:15:39｜
と
GCD
っってどういう意味？
0844１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 18:18:04普通、整数a,bに対して
a|bでaがbを割り切ること
GCD(a,b)でaとbの最大公約数(Greatest Common Divisor)を表す。
0845１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 19:05:37立方体の頂点をABCD-EFGHとする。(1)(2)(3)では点Aを選ぶ、(4)(5)では点Aを選ばないとして一般性を失わない。
(1) AB,AD,AEの長さ1が3通り、AC,AF,AHの長さ\sqrt{2}が3通り、AGの長さ\sqrt{3}が1通りなので期待値は
(3+3\sqrt{2}+\sqrt{3})/7
0846１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 19:09:19x=1,y=4,z=2の時
xyz = 8
yx^2 + zy^2 + xz^2 = 4*1^2 + 2*4^2 + 1*2^2 = 4 + 32 + 4 = 40
0847１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 19:12:54「どの2つをとっても互いに異なる」
を
「どの2つをとっても互いに素」
って読み間違えてた。もっかいやってみます。
0848845
2009/05/04(月) 19:14:32(2) ABCタイプは9通りで面積1/2、ACEタイプは面積\sqrt{2}/2で9通り、ACHタイプは面積\sqrt{3}/2で3通り。
(一辺aの正三角形の面積は\sqrt{3}a^2/4なので)
期待値は (3+3\sqrt{2}+\sqrt{3})/14
(3) 4点が同一平面上にあるとき、ABCDタイプは3通り、ABGHタイプは3通りで何れも体積0。
ACFHタイプは体積1/3で1通り、ABCEタイプは体積1/6で27通り、ACHGタイプは体積1/6で1通り。
期待値は(1/6*27+1/3*1+1/6*1)/35=1/7
(4) 選ばない点がABCタイプのとき、底面がAFGH、高さ1の錐体なので体積は1/3。場合の数は9通り。
ACEタイプのとき。FGH-BDは錐体を成さないので体積0。これは9通り。
ACHタイプも同様に錐体を成さず、3通りである。
期待値は(9*(1/3))/21=1/7
(5) 選ばない2点が立方体の辺AB,AD,AEのとき、体積は元の立方体の半分なので1/2である。
それ以外は錐体を成さないので体積0。従って期待値は(3*(1/2))/7=3/14
(3)の出典はは益田塾の阪大模試ですね。
http://88.xmbs.jp/ch.php?ID=checkmath3&c_num=96513
0849１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 19:17:360850１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 19:42:07条件：A(n+2) は A(n)をA(n+1)で割ったあまりである。（0＜A(n+2)＜A(n+1)）
ただし、A(n)がA(n+1)で割り切れる場合、A(n+2)は定義されないものとし、
このとき、「有限項の数列Aは長さがn+1である」と言うものとする。
0＜A(1)＜100、かつ、0＜A(2)＜100を満たすとき、数列Aの長さの最大値と、そのときのA(1)、A(2)の値を求めよ。
例）
A(1)=６０、 A(2)=36としたとき、
A(3)=24、A(4)=12となり、数列Aの長さは4である。
0851１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 21:00:00間違い。
同じ点を選んでもいいと設問にある。以下もだが。
>>848
（２）も０を無視していて期待値になっていない
（３）は０を無視せずカウントしている
一貫性がなくない？
（４）（５）錐体を成してない立体をカウントしないなら０もカウントしてはいけない
これは問題の不備だが。
0852１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 21:06:20-R≦x、y、z≦R （ただし、R＞0）
この立方体の中に含まれていて、かつ、(x + y + z)/3 ≧ (xyz)^(1/3)を満たす領域の体積をV(R)とおく。
このとき、lim[R->∞]V(R)/(8*R^3) を求めよ。
0853１３２人目の素数さん
2009/05/04(月) 22:07:280854１３２人目の素数さん
2009/05/05(火) 00:19:31x^(1/3) + y^(1/3) + z^(1/3) ≧ 0,
だが･･･
0855１３２人目の素数さん
2009/05/05(火) 03:06:36？
0856１３２人目の素数さん
2009/05/05(火) 14:31:450857１３２人目の素数さん
2009/05/05(火) 20:04:11たとえば、Π[p≦x、pは素数]pはx以下の素数を全てかけたものであり、Π[p≦5、pは素数]=2*3*5=30となる。
このとき、x＞0に対し
3^x ＞ (Π[p≦x、pは素数]p)*(Π[p≦√x、pは素数]p)*(Π[p≦x^(1/3)、pは素数]p)*(Π[p≦x^(1/4)、pは素数]p)*……
を示せ。
0858１３２人目の素数さん
2009/05/05(火) 21:21:02例） P(16)=2、 P(120)=5など。
このとき、２より大きい任意の自然数kに対し、ある互いに素な自然数a,d（d＞1）が存在し、
P( a*(a + d)*(a + 2d)*……*(a + (k-1)d) ) ≦ k
を満たすことを示せ。
例） k=3の時、a=2、d=7が条件を満たす。
0859１３２人目の素数さん
2009/05/05(火) 23:01:16１マンコ２マンコ３マンコと私は順調にマンコを数えていった。
そしてそれがある数に達したとき突然異変は起こった。
それは、９９９７マンコ…９９９８マンコ…９９９９マンコ…と数えた後である。
９９９９マンコのあと、次の数を数えようとしたところ、なんと１マンコに戻ってしまったではないか！
不思議に思い、また最初から数えなおしたのだがまたしても９９９９マンコの次で最初に戻ってしまった。
その後数回繰り返し実験してみたが、結果は同様であった。
試しにチンポを１から数えてみたところ、そのような現象は起こらなかった。
この発見を次の学会で発表するつもりである。
0860１３２人目の素数さん
2009/05/06(水) 00:23:490861１３２人目の素数さん
2009/05/06(水) 03:32:22理系らしさがあまりかんじられないな、ここ。
0862１３２人目の素数さん
2009/05/06(水) 04:30:31問題に不備が多い
0863１３２人目の素数さん
2009/05/06(水) 12:06:10(x,y,z) が 与式を満たす。 ⇔ (-x,-y,-z) は与式を満たさない。
なので、対称性より
V(R)/(8R^3) = 1/2.
857
素数pを1つ固定する。
{1,2,3,････,x} の中に、 p^kで割り切れるものはあるが p^(k+1) で割り切れるものはない
とすると、
与式の右辺は pをk回含む。
∴ 与式の右辺はLCM(1,2,3,････,x)
0864１３２人目の素数さん
2009/05/06(水) 18:16:39上
略すならもっと略す
書くならもうすこし書く
略し方がありえない
下
論外
0865１３２人目の素数さん
2009/05/06(水) 19:45:51＞略し方がありえない
そうでもない
0866１３２人目の素数さん
2009/05/06(水) 19:53:450867１３２人目の素数さん
2009/05/06(水) 22:35:08同じことだが････
素数p に対して整数 k_p を
p^k ≦ x < p^(k+1)
で定めると
(右辺) = Π[p≦x, pは素数] e^k = LCM(1,2,3,････, x)
0868１３２人目の素数さん
2009/05/07(木) 00:26:540869１３２人目の素数さん
2009/05/07(木) 01:30:370でない整数x,y,zはどの2つをとっても互いに異なり、x,y,zの最大公約数は１である。
yx^2 + zy^2 + xz^2 がxyzで割り切れるとき、以下の問いに答えよ。
なお、以下では記号 | を 整数mが整数nを割り切るとき、m|nという意味で用いるものとする。
（１）
ある素数pが存在し、p|xであると仮定するとき、p|yzを示せ。
（２）
ある素数pが存在し、p|xかつp|yを満たす。
このとき、自然数q,rが存在して、 p^q|x かつ p^r|y かつ p^(q+1) はxを割り切らず、 p^(r+1)はyを割り切らないとするとき、
q,rの関係式を求めよ。
（３）
ある整数a,b,cが存在しx=ab^2、y=bc^2、z=ca^2とあらわせることを示せ。
0870１３２人目の素数さん
2009/05/07(木) 01:37:08普通こんな言い方はしない。
0でない相異なる整数x,y,zとかく。
0871１３２人目の素数さん
2009/05/07(木) 01:41:12すまん
0でない相異なる整数x,y,zの最大公約数は１である。
yx^2 + zy^2 + xz^2 がxyzで割り切れるとき、以下の問いに答えよ。
なお、以下では整数mが整数nを割り切るとき、記号 | を用いて、m|nと記す。
（１）
ある素数pが存在し、p|xであると仮定するとき、p|yzを示せ。
（２）
ある素数pが存在し、p|xかつp|yを満たす。
このとき、自然数q,rが存在して、 p^q|x かつ p^r|y かつ p^(q+1) はxを割り切らず、 p^(r+1)はyを割り切らないとするとき、
q,rの関係式を求めよ。
（３）
ある整数a,b,cが存在しx=ab^2、y=bc^2、z=ca^2とあらわせることを示せ。
0872１３２人目の素数さん
2009/05/07(木) 01:43:53>>870
すまん
0でない相異なる整数x,y,zの最大公約数は１である。
yx^2 + zy^2 + xz^2 がxyzで割り切れるとき、以下の問いに答えよ。
なお、以下では整数mが整数nを割り切るとき、記号 | を用いて、m|nと記す。
（１）
ある素数pが存在し、p|xであると仮定するとき、p|yzを示せ。
（２）
ある素数pが存在し、p|xかつp|yを満たす。
qを、p^n|xを満たす自然数ｎの最大値、rをp^n|yを満たす自然数nの最大値とする時、
q,rの関係式を求めよ。
（３）
ある整数a,b,cが存在しx=ab^2、y=bc^2、z=ca^2とあらわせることを示せ。
0873１３２人目の素数さん
2009/05/07(木) 02:12:490874１３２人目の素数さん
2009/05/07(木) 14:24:010875１３２人目の素数さん
2009/05/08(金) 02:47:210876１３２人目の素数さん
2009/05/08(金) 02:52:300877１３２人目の素数さん
2009/05/08(金) 21:29:45(1) 「3」のつかない数は 9^n 個、
a が3の倍数 ⇔ aの各桁の数字の和が3の倍数。ところで、
0,6,9 ≡ 0 (mod 3),
1,4,7 ≡ 1 (mod 3),
2,5,8 ≡ 2 (mod 3),
う～む、和が3の倍数となる頻度は、どう考えても1/3 だろうなぁ。という訳で、
(1/3)(9^n)
(2) 「3」の付く数は 10^n - 9^n 個、
合計すると、
10^n - (2/3)(9^n) ････ 答。
0878１３２人目の素数さん
2009/05/08(金) 23:31:18特に最近ここに投下される問題は文章に洗練さが感じられんな
てか問題文がきもい
しょうがないから俺が>>872の文を改善してやる
0でない相異なる整数x,y,zは最大公約数が1で、
xyz|yx^2 + zy^2 + xz^2である。
ただし、整数m,nに対し、mがnを割り切るとき、m|nと書く。
次の各問に答えよ。
（1） p|xなる素数pに対して、p|yzであることを示せ。
（2） p|x,p|yなる素数をpとする。
p^n|x, p^m|yを満たす自然数n,mのうち最大のものをそれぞれq,rとするとき、
q,rの満たす関係式を求めよ。
（3） x=ab^2、y=bc^2、z=ca^2を満たす整数a,b,cが存在することを示せ。
これでだいぶましになっただろ
0879１３２人目の素数さん
2009/05/08(金) 23:37:47肝心の答えは？
0880１３２人目の素数さん
2009/05/08(金) 23:38:33x→∞ のとき、π(x)log(x)/x → 1, (素数定理)
∴ x>N ⇒ log(3) > π(x)log(x)/x,
3^x = exp(log(3)x) > exp(π(x)log(x)) = x^π(x) = Π[p≦x, pは素数] x > Π[p≦x, pは素数] p^k = LCM(1,2,3,････,x).
x≦N のときは確認の必要が････orz
0881１３２人目の素数さん
2009/05/08(金) 23:57:03お前が答えれば？
0882１３２人目の素数さん
2009/05/09(土) 00:02:430883１３２人目の素数さん
2009/05/09(土) 00:37:080884１３２人目の素数さん
2009/05/09(土) 03:24:10文だけの問題でもないけどな
そんなもん何を言おうとしてるかが分かればいいわけだから
よほど違和感のある使い方でない限りどうでもいい
というかそこまで要求するのは贅沢だろう、ここでは
それより、そういう言葉使いとか、記号の使い方とかの目先にばっかとらわれてて
内容がほとんどないところが理系らしくない
0885１３２人目の素数さん
2009/05/09(土) 10:29:59どういう意味？ 内容がないってのは、何に対して、どういう理由で言ってるんだ？
0886１３２人目の素数さん
2009/05/09(土) 11:10:35誘導なしなら良かったと思うんだが……少なくとも>>847は解けなかったみたいだし
0887１３２人目の素数さん
2009/05/10(日) 00:24:09理系ならわかるんじゃないか？
スレタイ見て期待した理系が解いた甲斐あったと思うような問題ってここにはほとんど無いよ。
「こういう発想を問う」「こういう工夫を求める」という部分が明確じゃない、
というか存在してないのが多い
数学センスのない人間が、とにかく自分にとっての難易度だけ上げてみたとか、
どっかにある良問を、その問題のポイントを踏まえずにただ数値などをいじってみた
（結果、ポイントがわかってないのに変えてしまって良問である所以が失われた）
解けるかどうかも分からず、でたらめに作ってただ投げっぱなしてみた
というような感じのが多い
0888１３２人目の素数さん
2009/05/10(日) 00:40:18>>886
0889１３２人目の素数さん
2009/05/10(日) 00:47:12なるほど文系スレだわ
0890１３２人目の素数さん
2009/05/10(日) 00:47:55自分の感覚だけで語るところが特にね
0891１３２人目の素数さん
2009/05/10(日) 00:50:070892１３２人目の素数さん
2009/05/10(日) 01:25:482 * a(1) = x、 2 * a(2) = {a(1)}^2 + 1、…、2 * a(n+1) = {a(n)}^2 + 1、 …
のように数列 a(n) を定めるとき
(1) x≠2ならば、a(1)＜a(2)＜…＜a(n)＜…となることを証明せよ。
(2) x＜2ならば、a(n)＜1となることを証明せよ。このとき、正数εを1-(x/2)より小となるようにとって、
a(1)、a(2)、…、a(n)までが1-ε以下になったとすれば、個数nについて次の不等式が成り立つことを
証明せよ
2 - x ＞ nε^2
0893１３２人目の素数さん
2009/05/10(日) 01:40:23∫[0→1] f(x)dx = 2、 ∫[0→1] xf(x)dx = 3
となるとする。そのとき、
∫[0→1] { f(x) - ax - b }^2dx
の値を最小にする実数aおよびbの値を求めよ。
0894１３２人目の素数さん
2009/05/10(日) 07:43:37f (f '(x))=f '(f(x))
をみたすものをすべて求めよ。
（見にくいから一応補足するとg(x)=df/dxとおいたときf(g(x))=g(f(x))ということ。）
0895１３２人目の素数さん
2009/05/10(日) 07:52:29a/(1+2b)+b/(1+2c)+c/(1+2a)≧1
が成立することを示せ。
0896１３２人目の素数さん
2009/05/10(日) 11:08:531+2a=x,1+2b=y,1+2c=zと置くと、
a/(1+2b)+b/(1+2c)+c/(1+2a)
=(x-1)/(2y)+(y-1)/(2z)+(z-1)/(2x)
=(1/2)*(x/y+y/z+z/x)-(1/2)(1/x+1/y+1/z)
≧(3/2)*((x/y)*(y/z)*(z/x))^(1/3)-(1/2)*9/(x+y+z)=1 （∵相加相乗調和平均の関係、x,y,z>0、x+y+z=9）
等号はx=y=z、つまりa=b=cのとき成立
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ
0897１３２人目の素数さん
2009/05/10(日) 12:19:55もっと良い言い回しはないかとかもうちょっと短くできないかとか
より良い表現を目指して考えないの？
意味が伝わればいいと上の方で誰か言ってたが
このスレはただの問題投稿スレではなく
入試作問者になったつもりのスレなんだから
そこまで意識してもらいたい
>>894-895はよし
0898１３２人目の素数さん
2009/05/10(日) 12:49:30確認するが、>>892,>>893はダメか？
0899892=893
2009/05/10(日) 12:51:45問題文と内容、難易度などについて評価してもらえればうれしい。
そんなわけでよろしく頼む
0900１３２人目の素数さん
2009/05/10(日) 13:12:09とりあえず理由は良いから、問題文、難易度の２つについて５段階評価ぐらいで評価してくれ。頼む892と893ね
0901１３２人目の素数さん
2009/05/10(日) 14:12:390902１３２人目の素数さん
2009/05/10(日) 17:53:05>>892は自分は一番最後の部分だけ解くのに手間取ってしまったけど、頻出問題だと思うし
大数のＢ評価の問題でもこれより難しい問題はあると思う
>>893は自分は難度Ａ評価で、解いてみたあとの感じが難度Ａの問題と変わらなかった
0903１３２人目の素数さん
2009/05/10(日) 17:59:2771年東大の第二問そのまま。
0904１３２人目の素数さん
2009/05/10(日) 18:03:09これも71年東大の第三問そのままだね。
東大の過去問以外で出題してくれると嬉しいんだけど。
0905１３２人目の素数さん
2009/05/10(日) 18:46:15> =(1/2)*(x/y+y/z+z/x)-(1/2)(1/x+1/y+1/z)
> ≧(3/2)*((x/y)*(y/z)*(z/x))^(1/3)-(1/2)*9/(x+y+z)
最初の項にAMGM使ってるのはわかるけど後の項の
-(1/x+1/y+1/z)≧-9/(x+y+z)
はどうやってるの？
0906１３２人目の素数さん
2009/05/10(日) 18:52:55問題文に違和感があると少しだが解く気を滅入らせられる。
まぁ解きたい人が解けばいいし、問題文の表現なんかより問題の本質のが大事だから
俺は別に「変えてくれ」、なんて言わないけどね。
0907１３２人目の素数さん
2009/05/10(日) 19:06:08最高次数の項を a[0]x^n とおいて，両辺の次数を比較してn=1．
f(x)=ax+(a-a^2) (aは実数)となる，でいいのかな．
0908１３２人目の素数さん
2009/05/10(日) 19:17:03＞両辺の次数を比較してn=1
fが何次でも両辺の次数は等しくなると思うが・・・(degf=n>1ならdegff=degf'f=n(n-1))
0909１３２人目の素数さん
2009/05/10(日) 19:54:36解いてみた。あってるかわからんが。
http://www1.axfc.net/uploader/He/so/225293
0910１３２人目の素数さん
2009/05/10(日) 22:42:460911１３２人目の素数さん
2009/05/10(日) 22:57:33誘導無しで入試に出すのはきついと思う。
n^{2011}+n^{2009}+1 は n^2+n+1 で割り切れるので、
n^{2011}+n^{2009}+1 が素数ならば、 n^2+n+1 = 1 または n^2+n+1 = n^{2011}+n^{2009}+1 である。
n^2+n+1 = 1 は正整数解を持たず、n^2+n+1 = n^{2011}+n^{2009}+1 の正整数解は n = 1 だけ。
逆に n = 1 のとき n^{2011}+n^{2009}+1 = 3 は素数である。
以上より、条件を満たす正整数は n = 1 だけである。
0912１３２人目の素数さん
2009/05/10(日) 23:04:55f(x) = (1/2)x^2 +b, (bは実数)
0913１３２人目の素数さん
2009/05/10(日) 23:12:26お見事
>>912
整数係数。
でも実数係数だったら解は求まるのかな？
0914１３２人目の素数さん
2009/05/10(日) 23:43:45何で割り切れるの？
0915１３２人目の素数さん
2009/05/10(日) 23:57:22n^2009(n^2+n+1)- (n^3)^670+1
0916１３２人目の素数さん
2009/05/11(月) 00:00:15「入試作問者になったつもりのスレ」だから体裁のほうを優先的に気にして
中身は換骨奪胎や失敗作でも気にしない出題が多いと。
で、そこが気にならない人種だけが淘汰を免れて残ってると。
0917１３２人目の素数さん
2009/05/11(月) 00:33:350918１３２人目の素数さん
2009/05/11(月) 00:34:59高１なら誘導なしは難しいかもな
0919１３２人目の素数さん
2009/05/11(月) 00:36:370920１３２人目の素数さん
2009/05/11(月) 02:32:370921１３２人目の素数さん
2009/05/11(月) 02:41:17(2)自然数n、mについて n^(3m+1) + n^(3m-1) + 1 は n^2 + n + 1 でわりきれることをしめせ。
うーむ、イマイチ。こういうのも難しいな。
0922１３２人目の素数さん
2009/05/11(月) 02:47:56ベキ数の大きさからも因数分解できるのだろうと見当をつけられるはず・・
0923１３２人目の素数さん
2009/05/11(月) 03:04:51(2)n^{2011}+n^{2009}+1が素数になるような正の整数nをすべて求めよ。
こういうのはどう？
0924１３２人目の素数さん
2009/05/11(月) 12:55:48条件：xはSの他の要素全てと互いに素である。
0925１３２人目の素数さん
2009/05/11(月) 13:34:08大嘘
0926924
2009/05/11(月) 14:38:300927１３２人目の素数さん
2009/05/11(月) 15:04:25>>925
じゃあ、
＝＝＝
k(≧2)個の連続する自然数の集合Sには、次の条件を満たすxは存在しないことを示せ。
条件：xはSの他の要素すべてと互いに素である。
＝＝＝
だとどうとくの？
0928１３２人目の素数さん
2009/05/11(月) 15:15:03（１）これおれ計算間違いか勘違いしてんのかなあ。。。
f(x)=x^3 - 1とおくと、f(1)=0
よって、
f(x) = (x-1)(x-α)(x-β）とおける。
計算すると、x^3 + { -(α＋β）-1} * x^2 + {αβ＋(α＋β）)} *x + αβ
ところでx^3 - 1 なので、{ -(α＋β）-1} ＝ {αβ＋(α＋β）)} ＝０、αβ=1
これを満たす実数α、βは存在しない。よって因数分解できない。
==============---
てか、グラフからあきらか？？？
0929１３２人目の素数さん
2009/05/11(月) 15:17:55それも誤り。
0930１３２人目の素数さん
2009/05/11(月) 15:19:27否定文の作り方がおかしい。924の否定は
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
あるk≧2について、
次の条件を満たすxが存在しないような、
k(≧2)個の連続する自然数の集合Sが存在する。
条件：xはSの他の要素すべてと互いに素である。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
だぞ。
0931１３２人目の素数さん
2009/05/11(月) 15:23:490932１３２人目の素数さん
2009/05/11(月) 15:29:29某所の問題に似ているなk=16で固定なら、そこと同じだ。
0933１３２人目の素数さん
2009/05/11(月) 15:44:36>>931
具体的にはk=17で題意のxが存在しないようなSを構成できる。
S={a_1,a_2,...,a_17}とおいたとき
a_1≡0 (mod 2, mod 5 mod 11)
a_2≡0 (mod 3)⇔a_1≡-1(mod 3)
a_3≡0 (mod 7)⇔a_1≡-2 (mod 7)
a_4≡0 (mod 13)⇔a_1≡-3 (mod 13)
となるようにa_1を設定できれば十分だが、中国剰余定理からこれを満たすa_1は存在する。
0934１３２人目の素数さん
2009/05/11(月) 16:06:060935１３２人目の素数さん
2009/05/11(月) 16:18:040936１３２人目の素数さん
2009/05/11(月) 16:21:000937１３２人目の素数さん
2009/05/11(月) 16:23:120938１３２人目の素数さん
2009/05/11(月) 16:25:090939１３２人目の素数さん
2009/05/11(月) 16:32:13昔は群論って高校でやってたって聞いたことあるし。その時代は普通に出てただろ
0940１３２人目の素数さん
2009/05/11(月) 19:58:36(1) x^3 -1 = (x-1)(x^2 +x+1),
(2) x^m -1 = (x-1){x^(m-1) + x^(m-2) + ････ + x +1},
x=n^3 とおくと、
n^(3m) -1 = (n^3 -1){n^(3m-3) + (n^(3m-6) + ････ + n^3 + 1}
= (n^2 +n+1)(n-1){n^(3m-3) + n^(3m-6) + ････ + n^3 + 1},
与式 = (n^2 +n+1)n^(3m-1) - {n^(3m) -1}
= (n^2 +n+1){n^(3m-1) - (n-1)[n^(3m-3) + ････ + n^3 +1]},
うーむ、どこが難しい？？
0941１３２人目の素数さん
2009/05/11(月) 21:32:58いや、難しいといっているのは、>>910へよい誘導をつけること。
(1)文字nの整式n^3-1を因数分解せよ。
(2)n^{2011}+n^{2009}+1が素数になるような正の整数nをすべて求めよ。
>>922さんの言うとおりいらんのかもね。
0942１３２人目の素数さん
2009/05/11(月) 21:51:05共通１次が始まるまえ、東大が自前の１次試験をしていた頃の一次試験の数学に
群論の「ぐ」の字もでてこないが、こんなような問題がでたことはある。
この通りの問題がでた、ということではない。もう少し凝っていたような気がする。
6個のxの関数 f_0(x)=x, f_1(x)=1/x, f_2(x)=1-x, f_3(x)=x/(x-1), f_4(x)(x-1)/x, f_5(x)=1/(1-x)
がある。
□の中に適当な数字(0,1,2,・・・,5)を入れよ
f_1(f_1(x))=f_i(x) のとき、 i は □ である。
f_2(f_3(x))=f_j(x) のとき、 j は □ である。
f_4(f_k(x))=f_5(x) のとき、 k は □ である。
f_m(f_5(x))=f_3(x) のとき、 m は □ である。
0943１３２人目の素数さん
2009/05/11(月) 22:52:33(2)n^{2011}+n^{2009}+1が素数になるような自然数nをすべて求めよ。
0944１３２人目の素数さん
2009/05/11(月) 23:01:45(x-1)(x^2+x+1)と因数分解できる
そこまで因数分解するつもりなら複素数まで含めて因数分解してもいいと思うがなｗ
0945928
2009/05/12(火) 02:16:24おいら、あほだったｗ
高校数学課程に複素数が存在したころのニンゲンなもんで、
反射神経的に、(x-1)(x-α)(x-β)としてしまったｗ
0946１３２人目の素数さん
2009/05/12(火) 02:27:05実係数の範囲か複素係数の範囲のどっちで因数分解するか指定されてないか？
0947１３２人目の素数さん
2009/05/12(火) 02:30:590948１３２人目の素数さん
2009/05/12(火) 02:37:14f(x) = 1/(1+2x),
は単調減少かつ下に凸。よって Jensenより
(左辺) = a･f(b) + b･f(c) + c･f(a) ≧ (a+b+c)f((ab+bc+ca)/(a+b+c)) ≧ 3･f(1) = 1,
∵ (ab+bc+ca)/(a+b+c) ≦ (a+b+c)/3 = 1,
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/891-893
不等式への招待３
0949１３２人目の素数さん
2009/05/12(火) 03:11:060950１３２人目の素数さん
2009/05/12(火) 03:19:21ちゃんとした手続きは踏んだのか？
ここでぼやいてるだけで訂正されるほど世の中おめでたくないぞ
0951１３２人目の素数さん
2009/05/12(火) 04:58:52メールで協会に指摘したり、それに対し向こうが開き直ったりの経過報告もされていたよ。
で、結局下にいくら言っても話にならんからと仁さんに直訴になった。
それで直さなきゃマスコミ使うかなんて話も出てた。
0952１３２人目の素数さん
2009/05/12(火) 05:11:37（１）を無視して、以下のように解こうとしたけど、解けそうで解けなかった・・・。
無謀でしょうか？ by もと文系。
f(n,m) = n^(3m+1) + n^(3m-1) + 1 , g(n,m) = n^2 + n + 1 とする。
（１）n=1,m=1のとき、n^(3m+1) + n^(3m-1) + 1 = 3、n^2 + n + 1 = 3 よって題意は成り立つ。
（２）n=p,m=qのとき、題意が成立すると仮定する。（p.qは自然数）
この仮定のもとで、下記（２－Ａ），（２－Ｂ）がともに成り立つ
（２－Ａ）f(p,q+1) は g(p,q+1)で割り切れる。
（２－Ｂ）f(p+1,q) は g(p+1,q)で割り切れる。
よって、数学的帰納法により題意は示された。
===
高校生のとき、このやり方で何回か模擬試験を解いた。
0953１３２人目の素数さん
2009/05/12(火) 07:49:44プラスにした場合は明らかに……
0954１３２人目の素数さん
2009/05/12(火) 07:56:50a=2,b=-1
0955１３２人目の素数さん
2009/05/12(火) 09:40:340956１３２人目の素数さん
2009/05/12(火) 13:51:470957１３２人目の素数さん
2009/05/12(火) 15:19:540958１３２人目の素数さん
2009/05/12(火) 19:05:46a^k - b^k は正の整数とかにしなきゃ問題にならんだろ
0959１３２人目の素数さん
2009/05/12(火) 19:39:05>>943 (1)のようにすれば一発です。
0960１３２人目の素数さん
2009/05/12(火) 20:48:53a,bは何
0961961
2009/05/12(火) 22:20:130962１３２人目の素数さん
2009/05/13(水) 00:52:29a,bを異なる実数とする。
任意の自然数kに対し、a^k - b^k が整数になるとき、a,bも整数であることを示せ。
0963１３２人目の素数さん
2009/05/13(水) 07:17:500964１３２人目の素数さん
2009/05/13(水) 07:30:380965１３２人目の素数さん
2009/05/13(水) 07:43:26普通は指定されてない場合は実数の範囲で行う
複素数は極形式表示を考えると一意に定まらないからじゃないかな．a+biのように表示すると一意だが．
>>963-９64
kは「任意」じゃないの？ｗ
0966１３２人目の素数さん
2009/05/13(水) 08:35:28a＝(px＋r)/p,b＝(py＋r)/p (p,x,y∈Z,gcd(p,r)＝1,p＞0,0≦r＜p)
という表示を得る。
任意の自然数mについてa^m－b^m∈Zだから、
a^m－b^m＝{(px＋r)^m－(py＋r)^m}/p^m∈Zとなり、
よってp^m｜{(px＋r)^m－(py＋r)^m} を得る。
｜の右側＝Σ[k＝1～m]mCkp^kr^(m－k)(x^k－y^k)
＝(x－y){p^m(x^m－y^m)/(x－y)＋Σ[k＝1～m－1]mCkp^kr^(m－k)(x^k－y^k)/(x－y)}
であるから、結局 p^m｜(x－y)Σ[k＝1～m－1]mCkp^kr^(m－k)(x^k－y^k)/(x－y)
となる。少し変形して
p^(m－1)｜(x－y)Σ[k＝1～m－1]mCkp^(k－1)r^(m－k)(x^k－y^k)/(x－y) …(*)
となる。ここで、s｜pなる素数sを任意に取るとき、
g ：＝gcd(s,Σ[k＝1～m－1]mCkp^(k－1)r^(m－k)(x^k－y^k)/(x－y))＝gcd(s,mr^(m－1))＝gcd(s,m)
となる(∵gcd(p,r)＝1よりgcd(s,r)＝1)。よって、gcd(p,m)＝1なる自然数mを取れば、
そのときgcd(s,m)＝1となるので、g＝1となる。これはs｜pなる任意の素数sで成り立つ。
よって、gcd(p,Σ[k＝1～m－1]mCkp^(k－1)r^(m－k)(x^k－y^k)/(x－y))＝1
となり、これと(*)より、p^(m－1)｜(x－y) となる。これがgcd(p,m)＝1なる任意の自然数mに
ついて成り立つから、x－y＝0あるいはp＝1でなければならない。x－y＝0のときはa≠bに
矛盾するので、p＝1となり、このときa＝x＋r,b＝y＋rとなって、a,bともに整数である。
0968１３２人目の素数さん
2009/05/13(水) 15:48:110969１３２人目の素数さん
2009/05/13(水) 18:57:15何で割り切れる という事がすぐ分かるの？
0970１３２人目の素数さん
2009/05/13(水) 19:24:37>>943
0971１３２人目の素数さん
2009/05/13(水) 19:37:23すぐに分かるというわけではない
数字が大きいのと，素数という条件から因数分解出来ると考えるのが自然で試しに
(n±1)(nの2010次式)と因数分解することを試みる．(以下整数係数で考える)
数定理よりn=±1で与式は0となるはずだがならないので却下．
次に次数の低い2次式を考えると
n^{2011}+n^{2009}+1＝(n^2+an±1)(nの2009次式)
という形となる．これがどのnでも成り立つ整数aを見つければよい．
試しに＋側を取り，n=±1を代入すると
3＝(2+a)(整数),-1＝(2-a)(整数)
となることからa=1と取れ，結局与式は(n^2+n+1)(nの2009次式)と因数分解出来る．
>>943は(x-a)と(x-b)で割り切れる→(x-a)(x-b)＝x^2＋x＋1 で割り切れるって方針だね
>>910のままだと旧帝向けだな(なんか九州大学とか名古屋大学が好きそう)
0972１３２人目の素数さん
2009/05/13(水) 19:38:09>数定理よりn=±1で与式は0となるはずだがならないので却下．
因数定理より～ね
0973１３２人目の素数さん
2009/05/13(水) 19:59:32x^2011＝x^(1＋670*3)＝x
x^2009＝x^(2＋669*3)＝x^2
となってx^2011＋x^2009＋1＝x＋x^2＋1＝0となる。
0974１３２人目の素数さん
2009/05/13(水) 21:42:23ω^3=1,ω^2+ω+1=0から
ω^{2011}+ω^{2009}+1
=(ω^3)^{670}*ω+(ω)^{669}*ω^2+1
=ω+ω^2+1=0となって
n^{2011}+n^{2009}+1が(n-ω)(n-~ω)=n^2+n+1で割り切れると見抜けるでしょう。
0975１３２人目の素数さん
2009/05/13(水) 21:46:19まとりあえず x^2009(x^2+1)+1 と括って何か(裏が)あるなと思えるようになって欲しいが
0976１３２人目の素数さん
2009/05/13(水) 22:40:43中学生or高１or２的な考え方で、方向性を変えないまま突っ走って解こうとしてみた・・・けど、あとちょっと？で解けない。。。
与条件において、「a^k - b^k が整数」⇔ 「b^k - a^k が整数」なので、
a,b の対称性と、与条件の a≠bにより、a > b のときについて、題意を示せば十分・・・（Ａ）
また、一般的に、相異なる整数同士の「和」は整数であり、相異なる整数同士の「差」は整数である。
そこで、x > y なる任意の整数x,yがあるとき、以下の事実がなりたつ。
x+y, x-y はともに整数である・・・（１）
∴ (x + y) + (x - y) = 2*x , (x + y) - (x - y) = 2*y はともに整数である・・・（１）
∴ 2*x + 2*y = 2*(x + y) , 2*x - 2*y = 2*(x - y)はともに整数である・・・（２）
∴ 2*(x + y) + 2*(x - y) = 4*x = 2*{2*x}, 2*(x + y) - 2*(x - y)=4*y=2*{2*y}はともに整数である・・・（３）
∴ 4*x + 4*y = 4*(x + y) = 2*{2*(x + y)}, 4*x - 4*y = 4*(x - y) = 2*{2*(x - y)}はともに整数である・・・（４）
以下同様に、帰納的に、
--------------------
任意の自然数 t について、
（１）、（３）により、2^t * x, 2^t * yはともに整数であり、
（２）、（４）により、2^t * (x + y), 2^t * (x - y)も、ともに整数である。
--------------------
・・・（Ｂ）
・・・つづく・・・
0977976
2009/05/13(水) 22:42:49さて、f(k) = a^k - b^k (kは整数)とおくと、予条件により、任意の自然数において、f(k) は整数。
すると、k>=2なる任意の自然数において
----------------------------------------------------------------------
f(k + 1) + f(k - 1) = a^(k - 1) * (k^2 + 1) - b^(k - 1) * (b^2 + 1) は整数である・・・（４）
f(k + 1) - f(k - 1) = a^(k - 1) * (k^2 - 1) - b^(k - 1) * (b^2 - 1) は整数である・・・（５）
----------------------------------------------------------------------
が成立する。
再度、整数同士の和は整数であり、整数同士の差も整数なので、（４）、（５）より、
----------------------------------------------------
2 * { a^(k + 1) - b^(k + 1) } は整数・・・（６）
2 * { a^(k - 1) - b^(k - 1) } は整数・・・（７）
----------------------------------------------------
以下同様に、加算、減算を繰り返し行うと、（Ｂ）により・・・
k>=2なる任意の自然数において
----------------------------------------------------
2^t * { a^(k + 1) - b^(k + 1) } は整数
2^t * { a^(k - 1) - b^(k - 1) } は整数
2^t * {( a^2 + 1) - ( b^2 + 1)} は整数
2^t * {( a^2 - 1) - ( b^2 - 1)} は整数 （tは任意の自然数）
----------------------------------------------------
が成立する。・・・（Ｃ）
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
ここから先、解けそうでとけない・・・。
（Ｃ）において、
t = 1 のときを考え、
2 * { a^(k + 1) - b^(k + 1) }は整数（kは2以上の任意の整数）
2 * { a^(k - 1) - b^(k - 1) }は整数（kは2以上の任意の整数）
2 * {(a^2 + 1) - ( b^2 + 1)}は整数
2 * {(a^2 - 1) - ( b^2 - 1)}は整数
このあと、t やk に適当な数字を入れて、そいつを因数分解してみたり、剰余を考えたりしたけど、解けそうで解けない・・・。
0978１３２人目の素数さん
2009/05/14(木) 00:04:06>>966
0979１３２人目の素数さん
2009/05/14(木) 00:05:39>>973に全く同じことが書いてある。
0980１３２人目の素数さん
2009/05/14(木) 02:06:330981１３２人目の素数さん
2009/05/14(木) 05:08:52さしずめ「高校への数学」スレってとこだな
0982１３２人目の素数さん
2009/05/14(木) 14:25:37本当は偏差値もこの順になるように分けてます。
文科の場合は実際に１，２，３と大幅に易しくなっていくしとてもわかりやすいですよね・・・
理科の場合、論理的な思考が出来る知能の高い人が物理系研究者養成のための理一、そうでない人が生物系研究者養成のための理二・三，
その中でも末端のサービス業者養成のための理科三類が一番易しくなるように並べてあります。
また、三権に関わる文系を理系より先に置いて優越性を表示しています。
裁判官になれる人なら３日も勉強すれば医師国家試験で合格点取れます。
簡単なマルチョイで論述試験がある司法試験と比べたら屁のようなもの。
あの程度の試験に受かったくらいで他人を素人呼ばわりするのは傲慢ではないですか。
駒場の学生証番号は文一が１で始まり、文二は２，文三は３・・・理三は６で始まり、学生証番号もこの順になっています。私は１でしたけど。
何故か、偏差値が理三＞他科類なのでみんな勘違いしているけど、東大の創設者は社会的地位の順番に科類を並べました。
ただ、最近は医師の質も落ちていて本当に理三が一番易しくなると思います。昨年度の足切りは400点で全科類中最低。
本当は価値の低い医学部医学科を騙されて高い値段（偏差値）で買ったことにはご愁傷様としか言いようがないです。
ネットオークションでとんでもない落札価格になってることがありますが、あれと同じですね。でも、自分でお手付きしてしまったのだから文句言う資格無し。
今後の人生では貧乏くじを引かないように気を付けて下さい。そして自分の職能をしっかり果たして下さい。
0983１３２人目の素数さん
2009/05/14(木) 14:53:350984１３２人目の素数さん
2009/05/14(木) 15:23:23ググッたらいっぱいでてきた。
有名なコピペなのか？
0985１３２人目の素数さん
2009/05/14(木) 15:37:28なんか感じ悪い奴増えたなぁ……
0986１３２人目の素数さん
2009/05/14(木) 21:40:38東大の医学部は東大よりも歴史が古いのにｗｗｗ
とコピペにレスっとく
>>985
ほっとけ
0987１３２人目の素数さん
2009/05/14(木) 21:47:07入学偏差値と大学の能力が釣り合わない所は確かに存在する。
しかし、東大理三は間違っても、そんな所ではない。
でも、確かにそんな所はある。でも、どこかは言わない……って、普通に調べてりゃ分かるわな
0988１３２人目の素数さん
2009/05/14(木) 23:56:44「高校への数学」甘く見ちゃダメだろ。
ああいうのを楽しんでる数学マニアの中学生と
非マニアの理系受験生だと
基礎知識は後者の方が安定してるかもしれないが
こういう場所では
>>981がけなし言葉になるほど前者が劣ってはいないだろ
0989１３２人目の素数さん
2009/05/14(木) 23:58:18「レベル的に中学向け」は明かにけなし言葉だな
0990１３２人目の素数さん
2009/05/15(金) 02:06:280991１３２人目の素数さん
2009/05/15(金) 08:11:37n*(n+1)*(n+2)が7以上の素因数を持たないとき、nの値を全て求めよ
0992１３２人目の素数さん
2009/05/15(金) 11:06:450993１３２人目の素数さん
2009/05/15(金) 11:07:590994１３２人目の素数さん
2009/05/15(金) 15:57:32n=2kのとき。
1≦k∧n+2=2(k+1)≦6より1≦k≦2
したがってn=2,4
n=2k-1のとき
1≦ｋ∧n+2=2k+1≦6より1≦ｋ≦2
したがってn=1,3
よってn=1,2,3,4
0995１３２人目の素数さん
2009/05/15(金) 16:19:18正気ですか
0996１３２人目の素数さん
2009/05/15(金) 16:58:340997１３２人目の素数さん
2009/05/15(金) 17:00:060998１３２人目の素数さん
2009/05/15(金) 17:01:170999１３２人目の素数さん
2009/05/15(金) 17:03:261000１３２人目の素数さん
2009/05/15(金) 17:04:141001１００１
Over 1000Threadもう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。