>>702

大まかな方針。
y'=-3x^2+12x-9。
仮定によりxの3次方程式
(-x^3+6x^2-9x+4)-k=y'(x-0)=(-3x^2+12x-9)x、
即ち2x^3-6x^2+4-k=0　　　　　　…1
は異なる3つの実数解をもつ。
方程式1の判別式をDとすれば
D=-27*2^2*(4-k)^2-4*(-6)^3*(4-k)>0、
両辺を整理して(k+4)(k-4)<0。
よって求める実数kの範囲は-4<k<4。

3次方程式ax^3+bx^2+cx+d=0の判別式をDとすれば
D=-4ac^3-27a^2d^2+18abcd+b^2c^2-4b^3d。
D>0⇔3次方程式ax^3+bx^2+cx+d=0は異なる3つの実数解を持つ。