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おはようございます。
証明の方針：
nは自然数と仮定して良い。
ステップ1：
0＜x≦πのとき、cosx＜(sinx)/x＜1となることに注意する。
これを用いて
∫[1/n→(π-1/n)](sinx)/xdx＜∫[1→π-1](sinx)/xdx
　　　　　　　　　　　　　＜∫[1→π-1]dx＝π-2＜1+π/2
を示す。
ステップ2：
0＜x≦π/2のとき、cosx＜(sinx)/x＜1となることに注意して
∫[1/n→(π/2-1/n)](sinx)/xdx＞∫[1/n→(π/2-1/n)]cosxdx
　　　　　　　　　　　　　　≧∫[1/n→(π/2-1/n)]cos^2xdx＝(1/2)∫[1/n→(π/2-1/n)](1+cos2x)dx
　　　　　　　　　　　　　　＝π/4+(1/2n)
を示す。
ステップ3：
π/2-1/n＜x≦πのとき、(sinx)/π≦(sinx)/xであることに注意して
∫[π/2-1/n→(π-1/n)](sinx)/xdx≧∫[π/2-1/n→(π-1/n)](sinx)/πdx
　　　　　　　　　　　　　　　　＝(1/π)(cos(1/n)-sin(1/n))
を示す。