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京都大学入試作問者になったつもりのスレ①

レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
0001１３２人目の素数さん2008/08/25(月) 16:11:37
理系でベネッセの数学偏差値８０の人が、
１時間かけてなんとかとけるような難問（良問）
を作ってください。
東大に類似スレがあるので、対抗してたてました。
0002１３２人目の素数さん2008/08/25(月) 17:02:49
フランスパン
0003１３２人目の素数さん2008/08/25(月) 17:05:53
うんこ
0004１３２人目の素数さん2008/08/25(月) 17:13:32
類似スレがあることを知っているのになんでわざわざスレ立てたの？
馬鹿なの？
0005１３２人目の素数さん2008/08/25(月) 17:14:11
　　　　　 {},i!-i!,{}　
　　　　 　i __　__.i　 き
　　　　　 |´ﾟﾞiiﾞﾟ｀|
　　　　　キ ﾞTﾞ キ　り
　　　　　 ヽ ≡./
　　　　　　 }｀'´{　　ん
　　　　　　ﾉ:∴ヽ、
　　　　 ／∴∵∴ヽ.
　　　,.=i∴∵∴∵∴'、
　　 ,;'´{ _ r――‐､ r､ヽ､
　　.iii　i i'､ヽ　　　 ヽヽヽ）
　　.!!!　} } > ）　　　////
　　　　////　　　 ////
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0006１３２人目の素数さん2008/08/25(月) 17:15:07
　_)　　　　　　　　 /:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::ヽ
　 ）　　　　　　 　,'::::::::::::::::::::/￣￣ ` ' ｰ─- ､;::::::::',
＜　　 馬　う　　l:::::::::::::::::::/　　　＿,,　　　　　　`ヽ;l
　 )　　鹿 .す　　!::::::::::::::::::| ヽ二二,､　　　　ヾ､、　l!
＜　　　!!　ら　　';:::::/^ヽ;::| ミr_(;oﾟ;;〕　　　　 ＿ ヽ l
　ﾉ　　　　　　　　';:::ｉ 入 ;ﾘ　　　　　　　　 (イ;;oﾟ)彡l
　￣`､　, ─､　,-' ';:ｌ レ `　　　　　　　　　 ヽ￣　　ｈ
. 　 　 V　 　 `'　 　' ,　　　　　　　 　 　 　 / 　 　 ,リ
　　　　　　　　　　　 ヽ　　　　　　 ｉ` ｰ---ｧ　　　/
　　　　　　　　　　　　　>、　　　　 ｌ,,─､／　　　/
　　　　　　　 ┌─'T／　　　　　　 ` -'"　　　／
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　　　　　　　　　 ＼　　 ＼ ／) , ' )ス"￣
　　　　　　　　　 　 ＼　　/ /／／7　ヽ＿＿
　　　　　　　　　　　　ヽ／　"∠ -'ｰ､　|　　　`ヽ
　　　　　　　　　 　 　 /　　　　　'二ヽ ﾉ　　　　 ｉ
0007１３２人目の素数さん2008/08/25(月) 17:22:38

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0008１３２人目の素数さん2008/08/25(月) 22:40:25
不定積分はいつでも計算で求まるか.
0009１３２人目の素数さん2008/08/25(月) 22:44:05
問題の定義の仕方も知らん奴は帰れ
0010１３２人目の素数さん2008/08/25(月) 23:18:45
>難問（良問）を作ってください。

難問はおうおうにして悪問になりがち。
良問は難易度が平凡なことが多い。
0011１３２人目の素数さん2008/08/25(月) 23:41:15
東大作問スレの問題のほとんどすべてが京大的問題なので、
スレ分ける必要性なし。
0012１３２人目の素数さん2008/08/25(月) 23:53:13
東大作問スレの問題もおよそ京大に出そうもない問題ばかりだ。
東大や京大にあった問題を演習したければＺ会の即応コースをやるしかなかろう。
２ｃｈのようなところでカネを払わずに東大・京大対策ができるなんて考えるのは
およそ見当違いだ。
0013１３２人目の素数さん2008/08/26(火) 00:36:05
sin1°が無理数であることを示せ。
0014１３２人目の素数さん2008/08/26(火) 02:32:56
>>12
＞東大や京大にあった問題を演習したければＺ会の即応コースをやるしかなかろう。
＞２ｃｈのようなところでカネを払わずに東大・京大対策ができるなんて考えるのは
＞およそ見当違いだ。

そんなこと目的にスレ見てる奴いないと思う・・・
0015１３２人目の素数さん2008/08/26(火) 05:52:01
>>4
やはり、東大とはちがう、京大の独創性が出た
問題を作ってほしいからです。
明確に違う、京大独特の問題を作ってほしい。
0016１３２人目の素数さん2008/08/26(火) 06:09:55
それは２ｃｈ住民に頼まずに京大に頼んだら？
0017１３２人目の素数さん2008/08/26(火) 06:23:54
>>16
「東大入試作問者になったつもりのスレ」だってあるのですから、
２ちゃんねるの住民にもやってほしい。
0018１３２人目の素数さん2008/08/26(火) 06:28:50
じゃあ東大作問スレでお願いしたら？
0019１３２人目の素数さん2008/08/26(火) 06:33:39
才能は必要だが、もっと必要なのは経験だ
そしてもっと必要なのは目の前の患者の命を救うことだ
0020１３２人目の素数さん2008/08/26(火) 06:44:15
1:１３２人目の素数さん[]
2008/08/25(月) 16:11:37
理系でベネッセの数学偏差値８０の人が、
１時間かけてなんとかとけるような難問（良問）
を作ってください。
東大に類似スレがあるので、対抗してたてました。

とりあえず、進研模試の難易度では測れません
あと、東大作問スレは傾向とかあまり意識とかしてないと思うが？
ここで>>1が過去問解いて、解答を打ち込んでいったほうが良スレになるんじゃない？

参考ページ
東大過去問(1970～の過去問が網羅)
http://hw001.gate01.com/akiyoshi/index.html

東大・京大・東工大の過去問(未掲載分あり)
http://www.j3e.info/ojyuken/math/
0021１３２人目の素数さん2008/08/26(火) 10:26:41
論証を作問すればいいのでFA？
0022１３２人目の素数さん2008/08/26(火) 13:42:41
age
0023１３２人目の素数さん2008/08/26(火) 23:15:27
>>13

sinθ = s とおくと
sin(3θ) = 3s - 4s^3,
sin(5θ) = 5s -20s^3 +16s^5,
sin(45ﾟ) = (1/2)√2 は sin(1ﾟ) の多項式。
sin(1ﾟ) は有理数と仮定すると、sin(45ﾟ) = 1/√2 も有理数となって矛盾。
0024１３２人目の素数さん2008/08/27(水) 00:09:43
>>14

わからん奴やな。
京大対策になるような良問（新作）ただでこのスレに書き込むバカはおらんということ。
受験産業に売ればいい稼ぎになるという話。
0025１３２人目の素数さん2008/08/27(水) 08:52:22
>>24
受験産業は、素人から問題を買ったりしません。
0026１３２人目の素数さん2008/08/27(水) 11:57:01
>>24
お前馬鹿だな
0027１３２人目の素数さん2008/08/27(水) 13:50:25
>>25

自分は受験産業に問題を買ってもらっておるからプロということになるな。

>>26

オマエあほやろ。
0028１３２人目の素数さん2008/08/27(水) 13:53:24
それにしてもよくまあこんなしょうもないスレが乱立するものだな。
東大や京大の出題担当の先生がご覧になれば的外れな問題ばかりで
苦笑しておられるだろうな。
0029１３２人目の素数さん2008/08/27(水) 14:06:56
競馬の必勝法を答えなさい。
0030１３２人目の素数さん2008/08/27(水) 15:16:29
>>25
買ったりしますよ。あなたが知らないだけ。
0031１３２人目の素数さん2008/08/27(水) 16:21:45
作問者に“なったつもり”のスレなんだから
ごちゃごちゃ言わずに好き放題書けばいい
0032１３２人目の素数さん2008/08/27(水) 21:22:08
そして俺らがﾆﾖﾆﾖしながら眺める、と
0033１３２人目の素数さん2008/08/28(木) 01:12:46
１．
直線y=px+qが関数y=logxのグラフと共有点を持たないためにpとqが満たすべき必要十分条
件を求めよ．

２．
正四面体ABCDを考える．点Pは時刻0では頂点Aに位置し，1秒ごとにある頂点から他の
3頂点のいずれかに，等しい確率で動くとする．このとき，時刻0から時刻nまでの間に，
4頂点A，B，C，Dのすべてに点Pが現れる確率を求めよ．ただしnは1以上の整数とする．

３．
空間の1点Oを通る4直線で，どの3直線も同一平面上にないようなものを考える．このと
き，4直線のいずれともO以外の点で交わる平面で，
4つの交点が平行四辺形の頂点にな
るようなものが存在することを示せ．

４．
定数aは実数である．関数y=|x^2-2|とy=|2x^2+ax-1|のグラフの共有点はいくつあるか．
aの値によって分類せよ．
0034１３２人目の素数さん2008/08/28(木) 01:15:04
漸化式
a[1]=0
a[2]=1
a[3]=5
a[4]=9
a[n+4]=a[n+3]+2a[n+1]+4a[n]
で定まる数列a[n]において、a[2n]は平方数であることを示せ。
0035１３２人目の素数さん2008/08/28(木) 04:29:47
nが奇数
a[n]=(8N+1)(N-1)/9
ここでN=(-2)^{(n-1)/2}

nが偶数
a[n]=[{2･(-2)^(n/2)+1}/3]^2

絶対方向性違うよな
0036１３２人目の素数さん2008/08/28(木) 06:05:54
>>34
自作？
0037１３２人目の素数さん2008/08/28(木) 11:28:10
>>36
自作かどうか知って、なんか意味あんの？
0038１３２人目の素数さん2008/08/28(木) 13:31:56
パクリか
0039１３２人目の素数さん2008/08/28(木) 18:14:36
>>38
パクリかどうかなんて関係あんの？
0040１３２人目の素数さん2008/08/28(木) 19:45:33
パクリだな
見たことある
0041１３２人目の素数さん2008/08/28(木) 19:47:06
問題を作ってないな
てかもうこのスレいらね
0042１３２人目の素数さん2008/08/28(木) 20:10:12
>>40
どこで見た？
0043１３２人目の素数さん2008/08/28(木) 20:57:07
数オリスレでこういうの見たことがある。3項間漸化式で、各項が平方数に
なっていることを証明する問題。
0044１３２人目の素数さん2008/08/28(木) 21:07:57
>>34
場合の数に帰着したら簡単に解けるな
0045１３２人目の素数さん2008/08/28(木) 21:08:43
数学セミナーでも同じようなのあったな
0046１３２人目の素数さん2008/08/28(木) 21:10:58
益田塾にあったけな
0047１３２人目の素数さん2008/08/28(木) 21:36:21
>>13
　
第2種チェビシェフ多項式
　U_15(x) = -1 +112x^2 -2016x^4 +13440x^6 -42240x^8 +67584x^10 -53248x^12 +16384x^14,
より
　sinθ =s とおくと
　sin(15θ) = s･U_15(√(1-s^2)) = 15s -560s^3 +6048s^5 -28800s^7 +70400s^9 -92160s^11 +61440s^13 -16384s^15,
一方、
　sin(15ﾟ) = √{(1-cos(30ﾟ))/2} = √{(1-(√3)/2)/2},

>>34-35
特性多項式
　t^4 -t^3 -2t-4 = (t+1)(t-2)(t^2 +2),
から特性根
　t= 2, -1, ±(√2)i
したがって
　a[n] = (2/3)･2^n +(1/3)･(-1)^n -2a[n-2],

絶対方向性違う･･･
0048１３２人目の素数さん2008/08/31(日) 02:41:06
>>34
解答希望
0049１３２人目の素数さん2008/08/31(日) 03:44:29
a[2n]=[{2^(n+1)-(-1)^(n+1)}/3]^2
0050１３２人目の素数さん2008/08/31(日) 04:17:04
以下の漸化式で定まる数列{a[n]},{b[n]}がある。

a[1]=0
a[2]=1
a[3]=5
a[4]=9
a[n+4]=a[n+3]+2a[n+1]+4a[n]

b[1]=0
b[2]=1
b[3]=5
b[4]=9
b[5]=11
b[n+5]=b[n+4]+2b[n+2]+4b[n]

n≠1,2,3のときa[2n]=b[n+1]^2を示せ。
0051１３２人目の素数さん2008/08/31(日) 04:28:44
∠A=90°,AB＞ACの直角三角形ABCがあり、AからBCに下ろした垂線の足をHとする。
AB=√p，AC=√q，AH=√rとおくとp,q,rはみな自然数で、それらの最大公約数は1となった。
BCの長さは自然数であることを示せ。
0052１３２人目の素数さん2008/08/31(日) 11:01:11
数列{a[n]}を a[0]=0, a[1]=1, a[n]=a[n-1]+(1/2)a[n-2] で定める。
n≧9のとき a[n] は整数ではないことを証明せよ。
0053１３２人目の素数さん2008/08/31(日) 11:39:16
Nを自然数とする。xy平面上の正方形領域0＜x≦N,0＜y≦N内の格子点(x,y)で
xとyが互いに素なものの個数をS(N)とおく。lim[N→∞]S(N)/N^2を求めよ。
0054１３２人目の素数さん2008/09/01(月) 09:56:11
>>49
正解っす

>>50-53も誰か解いてちょ
0055１３２人目の素数さん2008/09/01(月) 17:31:57
>>53
N=50000で
S(N)=1519848527
S(N)/N^2=0.60793941
0056１３２人目の素数さん2008/09/01(月) 18:51:11
6/(π^2)
0057１３２人目の素数さん2008/09/01(月) 23:01:47
>>56
正解やで
0058１３２人目の素数さん2008/09/01(月) 23:32:33
ゼータ2
0059１３２人目の素数さん2008/09/01(月) 23:34:54
俺は>>55だが
分からなかったから自力で5万までは計算したが
そのあとの労力はなかった
どうやったら6/π^2が出るのか教えてくれ>>57
0060１３２人目の素数さん2008/09/02(火) 00:01:42
二つの自然数を無作為に選び、それらが互いに素である確率は6/π＾2
0061１３２人目の素数さん2008/09/02(火) 00:40:23
n個の自然数を任意に選んだ時
それらが互いに素である確率は
1/ζ(n)
0062１３２人目の素数さん2008/09/02(火) 01:30:41
>>61
お前どっかのスレに誤爆してなかった？
0063１３２人目の素数さん2008/09/02(火) 01:44:29
>>51
BC=p+q(自然数)　
で終わり
0064１３２人目の素数さん2008/09/02(火) 01:46:13
(^ω^)嘘でした
0065１３２人目の素数さん2008/09/02(火) 02:12:10
>>51
BC=√(p+q)　

S=√{(p+q)r}/2=√(pq)/2
(p+q)r=pq
pq-(p+q)r=0
(p-r)(q-r)=r^2

…のあとが証明すべきことはわかるんだけど文章がまとまらない。
(p-r)と(q-r)はrの素因数の積で表せるのだけれど、
p,q,rの最大公約数が1であることを使うと

BC=√(p+q)=r+1
になります。
0066１３２人目の素数さん2008/09/02(火) 02:32:22
>>52は三項間での漸化式を立てればいいのかな
0067１３２人目の素数さん2008/09/02(火) 02:38:18
dを正の整数としたとき3つの整数
2d+1,5d+4,13d+12
が全て平方数になることはないことを証明せよ
0068１３２人目の素数さん2008/09/02(火) 02:58:32
ごめん>>65は最後間違い
0069１３２人目の素数さん2008/09/02(火) 15:40:35
>>53
こんなん高校の範囲で解けんの？
0070１３２人目の素数さん2008/09/02(火) 17:45:01
俺も高校の範囲では解けないと思う
0071１３２人目の素数さん2008/09/02(火) 20:32:10
高校範囲内でのζ(2)=π^2/6の導出方法を知っていれば、高校の範囲で解ける。
0072１３２人目の素数さん2008/09/02(火) 21:27:54
どうやったらあの問題がζ(2)とつながるのか分からないので解説よろ
0073１３２人目の素数さん2008/09/02(火) 21:57:46
x,yが互いに素であるには
(1)x,yのどちらか一方は2の倍数でない
(2)x,yのどちらか一方は3の倍数でない
(3)x,yのどちらか一方は5の倍数でない
･･･
を全ての素数p_iについてについて満たす必要がある。
で、素数p_iについてxがp_iの倍数である確率は
1/p_iであると考えられるので、上の議論からx,yが互いに素である確率は
(1-1/2^2)*(1-1/3^2)*(1-1/5^2)…=Π[i=1,∞]{1-1/(p_i)^2}=1/ζ(2)
になる。この大雑把過ぎる議論に厳密性を持ち込もうとすると
>>53のような形になる。

ζ(2)の求め方とか無限和型ζをオイラー積に直すとかは
知っていれば高校レベルでも可能だとおもうが、
>>53がオイラー積になるというのは厄介な気がする。
0074１３２人目の素数さん2008/09/02(火) 22:23:14
ζ(2)=π^2/6って大学入試に出たような…。
たしかどこかの女子大だったはず。
解説には誰かさんの論文からぱくったんだろうみたいなことが書いてあった記憶が…。
0075１３２人目の素数さん2008/09/02(火) 22:36:38
>>52
特性多項式は　t^2 -t -(1/2),
特性根は　p = (1-√3)/2, q = (1+√3)/2

　a[n] = (q^n - p^n)/√3 = {Σ[k=0,m] C[n,2k+1] 3^k }/{2^(n-1)},
ここに　m=[(n-1)/2],

あとは任せた。
0076１３２人目の素数さん2008/09/02(火) 23:17:38
>>74
2004 日本女子大・自己推薦
0077１３２人目の素数さん2008/09/02(火) 23:22:36
はさみうちの誘導付きで札幌医大で出てたような。
青チャートに乗ってたはず。
0078１３２人目の素数さん2008/09/03(水) 00:22:17
>>77
それはもしかして
1-1/3+1/5-1/7+・・・=π/4
のことですかい？
これは頻出過ぎて語るに値しない。
1-1/2+1/3-1/4+・・・=log2
も合わせて頻出。

ζ(2)=π^2/6の証明は上記の日本女子大の問題しか見たことない。
富山医科薬科大でζ(2)≦π^2/6が出たことがあるが。
0079１３２人目の素数さん2008/09/03(水) 00:37:32
日本女子大のやつをググッて見たらひっかかったので眺めてみたが
こういうやり方ははじめて見た。興味深いな。

手順の簡単さでいえばたまに見かけるド・モアブルの定理と
解と係数の関係を用いるやつのほうが楽な気がするが、
今はド・モアブルの定理はアウトなんだっけ?

それ以外にもないことはないし、アプローチの仕方は多そうだが、
受験問題にするにはかなり頑張って誘導しないとつらそうだ。
0080１３２人目の素数さん2008/09/03(水) 00:40:23
>>78 あーそれだったわ＾＾；
0081１３２人目の素数さん2008/09/03(水) 00:43:21
ググってみたけど思いっきりガッチガチの誘導付きじゃん。
やはり先の問題は不適切だな。　
0082１３２人目の素数さん2008/09/03(水) 09:38:57
日本女子大のが どういう方法を使っているのかは知らんが、それは
ttp://homepage.univie.ac.at/Josef.Hofbauer/02amm.pdf
これと同じ方法か？
0083１３２人目の素数さん2008/09/03(水) 11:08:50
>>82
いいえ。
ウォリスの公式のような，(2n-1)!!/(2n)!!を利用してはさみうちする方法です。
0084１３２人目の素数さん2008/09/03(水) 11:14:45
sinx=a_[0]*x*(x^2-π^2)*(x^2-(2π)^2)*(x^2-(3π)^2)*･･･

sinx=x-1/3!*x^3+･･･

(-1/3!)/1=-{(2π)^2*(3π)^2*･･･+(π^2)*(3π)^2*･･･+(π^2)*(2π^2)*･･･+･･･/{(π^2)*(2π^2)*(3π)^2･･･}
=-(1/1^2+1/2^2+1/3^2+･･･)/π^2

1/1^2+1/2^2+1/3^2+･･･=π^2/6
0085１３２人目の素数さん2008/09/03(水) 11:54:30
>>84
それはオイラーの原証明だね。
無限積の定義や展開の可能性が厳密に基礎づけられたのはもっと後生だけど。
0086１３２人目の素数さん2008/09/03(水) 12:36:11
恐るべき直観力
0087１３２人目の素数さん2008/09/03(水) 17:07:27
xyz座標空間の|x|≦1，|y|≦1，|z|≦1をみたす領域に点A(a,b,c)，B(p,q,r)があり，
ab+bc+ca，pq+qr+rpの少なくとも一方が0である．
AB=1をみたすように線分ABが動くとき，通過領域の体積を求めよ．
0088１３２人目の素数さん2008/09/05(金) 11:40:39
age
0089１３２人目の素数さん2008/09/08(月) 14:57:20
age
0090１３２人目の素数さん2008/09/09(火) 21:20:32
>>51
p^2=(p-r)(p+q)
q^2=(q-r)(p+q)
r^2=(p-r)(q-r)になる。今,p+q=(平方数)を示せばよい.

(1) 「(p-r)と(p+q)が互いに素」or「(q-r)と(p+q)が互いに素」のとき
　　上か真ん中の式から(p+q)は平方数

(2) 「(p-r)と(p+q)が互いに素ではない」and 「(q-r)と(p+q)が互いに素ではない」のとき
　　p-r=k*a …A
　　p+q=k*b …B
q-r=l*c …C
　　p+q=l*d …D
gcd(a.b)=gcd(c,d)=1.特に,gcd(k,l)=1 (なぜならgcd(p,q,r)=1)

A,Bからp^2=k^2*a*bで(a,b)=(a'^2,b'^2)とかける　(なぜならgcd(a.b)=1)
同様に(c,d)=(c'^2,d'^2)置きなおした後でA,Cを使っていちばん上の式に代入すると
　　
p^2=k*l*a'^2*d'^2

だから(k,l)=(k'^2,l'^2)とかけて結局Bなどから(p+q)は平方数
0091１３２人目の素数さん2008/09/13(土) 13:14:39
あげ
0092天照大神2008/09/15(月) 23:51:49
サンドイッチマン
0093１３２人目の素数さん2008/09/19(金) 13:57:14
king ≤ うんこ
0094KingMind ◆KWqQaULLTg 2008/09/20(土) 08:44:08
Reply:>>93 何をしている。
0095１３２人目の素数さん2008/09/20(土) 17:00:27
>>69-71
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1208196395/316
0096１３２人目の素数さん2008/09/26(金) 14:27:32
実数係数の2008次式f(x)に対して、以下の2つの方程式(1),(2)を考える。
f(x)=x　　…(1)
f(f(x))=x　　…(2)
方程式(1)が実数解を持たないならば、方程式(2)も実数解を持たないことを示せ。
0097１３２人目の素数さん2008/09/26(金) 15:00:33
確率の問題

２枚のカードがある。一枚は片面が赤でもう片面が青。もう一枚は両面が赤。
この二枚のカードを中が見えない袋に入れて、一枚を片面しか見えないように
取り出したところ、赤い面だった。

さて、このカードの裏面が青である確率は？
0098１３２人目の素数さん2008/09/26(金) 15:16:51
1/3
0099１３２人目の素数さん2008/09/26(金) 16:55:37
整方程式 f(x)＝0 が重複解を持つための条件は、
f(x)＝0 、 f'(x)＝0 が共通解を持つことであるということを示せ
0100１３２人目の素数さん2008/09/26(金) 19:15:52
↑くそツマラン問題を出すな
0101１３２人目の素数さん2008/09/26(金) 22:06:17
もうこのスレもうダメだ
0102１３２人目の素数さん2008/09/28(日) 16:48:54
>>101
結論を出すのはまだ早い。
さすがに、東大にはかてないかもしれないが、
「さすが京大」と思わせられるような問題を
作って欲しい。
0103１３２人目の素数さん2008/10/01(水) 14:16:35
真面目に

>京都大学入試作問者になったつもり

になったら難しい問題は出さんだろうに
最近の京大の問題は標準的なレベルの問題ばかりだし
0104１３２人目の素数さん2008/10/01(水) 23:13:03
>>96 念のため。

f(x) - x = g(x) とおくと (1) は
　g(x) = 0,
題意により、g はすべての実数xで連続。もし
　g(a) ≦ 0 ≦ g(b),
なる a,b があったと仮定すれば、中間値の定理により、(1)は実数解をもつ。
これは 題意に反する。
∴　g(x) は定符号。

ところで (2) は
　g(f(x)) + g(x) = 0,
だから、実数解をもたない。(終)
0105１３２人目の素数さん2008/10/02(木) 09:44:47
A,Bは二次正方行列で、ともに逆行列を持つとする。また、Eは二次単位行列とする。
　A^5=E, ABA^(-1)=B^2, A≠E, B≠E
であるとき、B^n=Eをみたす自然数nが存在することを示し、その値を求めよ。
0106１３２人目の素数さん2008/10/02(木) 09:51:13
次の二つの条件をみたす数列{a[n]}(n=1,2,…)の一般項を求めよ。
・ 任意の自然数nに対してa[n]は自然数
・ 任意の自然数nに対してa[a[n]]＜a[n+1]
0107１３２人目の素数さん2008/10/02(木) 09:58:05
最高次の係数が1である多項式f(x)で、任意の整数nに対してf(n)が常に
2009で割り切れるようなもののうち、次数が最低のものを求めよ。
0108１３２人目の素数さん2008/10/02(木) 12:11:08
>>106
５秒で解けた
a[n]=n
0109１３２人目の素数さん2008/10/02(木) 15:10:30
答えは分かるけどそれを他人に伝わるようにいかに説明するのかが主眼という意味では
伝統的な京大らしさのある問題。
0110１３２人目の素数さん2008/10/02(木) 16:42:28
まあ106は糞問だわな
0111１３２人目の素数さん2008/10/02(木) 18:15:42
まあ105と107もだけどな
0112１３２人目の素数さん2008/10/02(木) 18:18:38
109は悔しくてなんかほざいてるみたいだけど106はあたえられた不等式使うだけの糞問
0113１３２人目の素数さん2008/10/02(木) 18:31:19
問題１　次の京大入試問題を解いたのち論評せよ。
http://hw001.gate01.com/akiyoshi/archives.html
0114１３２人目の素数さん2008/10/02(木) 19:03:24
糞ガキが一匹紛れ込んでるなｗ
0115１３２人目の素数さん2008/10/02(木) 20:30:02
>>108>>110-112
じゃぁ答案書いてみて
0116１３２人目の素数さん2008/10/02(木) 21:42:27
>>106
まず、任意の自然数 n に対して、a[n] < a[n+1] を、示す。
仮に、a[n+1]≦a[n] とすると、a[n+1]≦a[a[n]]< a[n+1]となり、矛盾。
したがって、n についての帰納法で、n≦a[n] が、なり立つ。
今、a[a[n]]< a[n+1] だから、{a[n]}(n=1,2,..) の、単調増加性より、
a[n]<n+1。
したがって、a[n]=n
0117１３２人目の素数さん2008/10/02(木) 22:19:50
＞仮に、a[n+1]≦a[n] とすると、a[n+1]≦a[a[n]]< a[n+1]となり、矛盾。
a[n+1]≦a[n]という式だけではa[n+1]≦a[a[n]]< a[n+1]という式は出ない。最初の不等号

a[n+1]≦a[a[n]]

はどうやって示すのか？2番目の不等号a[a[n]]< a[n+1]は問題の仮定から明らかだがな。
0118１３２人目の素数さん2008/10/02(木) 22:33:03
>>99
十分性は
　f(x) = p(x)(x-a)^2 + f '(a)(x-a) + f(a),
と書けるから。
必要性は明らか。

>>96 >>104
題意より f(0) ≠ 0,
f(0) < 0 のとき g(x) <0,
　x > f(x) > f(f(x)) > f(f(f(x))) > …
f(0) > 0 のとき g(x) >0,
　x < f(x) < f(f(x)) < f(f(f(x))) < …

>>107
　2009 = 7*7*41,
よって 41次式
　f(x) = (x-a)(x-a+1)(x-a+2)…(x-a+40),　aは任意の整数。
0119１３２人目の素数さん2008/10/02(木) 23:03:33
東大スレで数オリ並みの難しい問題ばっかりやってたら京大スレの問題がスラスラ解ける(*'∀'*)
0120１３２人目の素数さん2008/10/03(金) 03:12:47
あのスレの住人は天才ばっかりだから凡人は行っちゃダメだよ
凡人はここで平凡な問題を出したり解いたりしよう
0121１３２人目の素数さん2008/10/03(金) 08:32:03
a,b,cは0より大きく1/2以下の実数でa+b+c=1を満たすとする。
このとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
(7a-1)/(a-a^2)+(7b-1)/(b-b^2)+(7c-1)/(c-c^2)≦18
0122１３２人目の素数さん2008/10/03(金) 08:34:48
次の和を計算して、nの式で表せ。
nC2-nC6+nC10-nC14+…
0123１３２人目の素数さん2008/10/03(金) 08:39:16
xy座標平面上において、内部に2009個の格子点を含むような円を描くことが出来るだろうか？
0124１３２人目の素数さん2008/10/03(金) 08:44:41
xの二次方程式x^2+px+q=0の２つの解が直角三角形の２つの鋭角の
正弦になるためのp,qに関する必要十分条件を求めよ。
01251162008/10/03(金) 08:45:19
>>117
ご指摘どうも。
意外と、難しいんだね。
>>116 は、不完全な答案につき、スルーでお願い。
0126１３２人目の素数さん2008/10/03(金) 08:47:11
面積と周長がともに1となる凸四角形は存在するか？
0127１３２人目の素数さん2008/10/03(金) 08:48:37
>>125
m9（＾Д＾）ﾌﾟｷﾞｬ-
0128１３２人目の素数さん2008/10/03(金) 08:51:59
>>119
君はスラスラと解いてなどいない
0129１３２人目の素数さん2008/10/04(土) 20:24:07
>>122
　i = √(-1),　ω = exp(iπ/4) = (1+i)/√2　とおくと,
　(nＣr の係数) = cos(rπ/2) * sin(rπ/4)
　　　　= {1+(-1)^r}/2 * {ω^r -(iω)^r}/(2i)
　　　　= {ω^r +(-ω)^r - (iω)^r - (-iω)^r }/(4i),
∴　(与式) = {(1+ω)^n + (1-ω)^n - (1+iω)^n - (1-iω)^n}/(4i),

>>123
　たとえば、(e,π) を中心とする円を書く。
　半径rを増加させると格子点は1個づつ増えるから、いつか2009個になるだろう。

>>124
　直角3角形の鋭角をα, 90ﾟ-α とする。(0<α<90ﾟ)
　根と係数の関係より　-p = sinα + sin(90ﾟ-α) = (√2)sin(α+45ﾟ),　q = (sinα)sin(90-α),
∴　p^2 -2q = (sinα)^2 + sin(90-α)^2 = 1,
　0 < α < 90ﾟ で sin(α+45ﾟ) は 上に凸だから 1 < -p ≦ √2,

>>126
　３つの頂点および周長(1)を固定して考える。
　このとき（底辺が固定されるから）面積が最大になるのは高さが最大のとき、すなわち2等辺3角形のとき。
　これはどの頂点についても言えるから、等辺4角形すなわち菱形となる。
　また、頂角について考えると、正方形のとき面積が最大となる。
　周長が1のとき、面積は (1/4)^2 = 1/16 を超えられない。　　　(凹4角形まで含めても)

ハｧハｧ
0130１３２人目の素数さん2008/10/05(日) 01:41:44
>>106
(P[k]): n≦kに対しa[n]=n, n≧k+1に対しa[n]≧k+1
という命題を考える。(P[0])は明らか。(P[k-1])を仮定し(P[k])を導く。
a[k],a[k+1],...のうち最小のものをa[m]とすると、
a[a[m-1]]＜a[m]よりa[m-1]≦k-1
仮にm≧k+1とすると(P[k-1])からa[m-1]≧kとなり矛盾するから、
m=k+1, a[k]＜a[n] (n=k+1,k+2,...)
またa[k+1],a[k+2],...のうち最小のものをa[m']とすると、
a[a[m'-1]]＜a[m']よりa[m'-1]≦k
仮にm'≧k+2とすると(P[k-1])からa[m'-1]＞a[k]≧kとなり矛盾するから、
m'=k+1, a[k]=k これで(A[k])が示された。
0131１３２人目の素数さん2008/10/05(日) 11:32:16
>>129
>　半径rを増加すると格子点は1個ずつ増える。
同じ円周上に2つ以上の異なる点がなければ十分。

P,Q を相異なる素数とし、(√P, √Q) を中心とする円を描く。
同じ円周（半径r）上に2つの格子点 (X1,Y1), (X2,Y2) があったとすると、
　(X1-√P)^2 + (Y1-√Q)^2 = r^2 = (X2-√P)^2 + (Y2-√Q)^2,
　X1^2 + Y1^2 -X2^2 -xY2^2 = 2(X1-X2)√P + 2(Y1-Y2)√Q,
補題↓により
　X1-X2 = Y1-Y2 = 0.
　(X1,Y1) = (X2,Y2)

〔補題〕
a,b,cは有理数、P, Qは相異なる素数のとき、
　a + b√P + c√Q = 0　⇒　a=b=c=0.
(略証)
与式を通分する。a,b,c (0を除く) の分母の最小公倍数L を両辺に掛けると
　A + B√P + C√Q = 0,　　　　････ (1)
ここに　A=aL, B=bL, C=cL は整数。 A=B=C=0 を以下に示そう。
(1)より
　A^2 = (B√P + C√Q)^2 = (B^2)P + (C^2)Q +2BC√(PQ),
　{A^2 - (B^2)P - (C^2)Q}^2 = (2BC)^2･PQ,
両辺における 素数P,Qの次数を比べて 2BC = 0,

・B=0 のとき　(1)から
　A^2 = (C^2)Q,
両辺における 素数Qの次数を比べて A=C=0,

・C=0 のとき　(1)から
　A^2 = (B^2)P,
両辺における 素数Pの次数を比べて A=B=0, (終)
0132１３２人目の素数さん2008/10/07(火) 20:16:25
xy座標平面上において、内部に2009個の格子点を含むような円を描くことが出来るだろうか？

ちょうど・・っていれなくていいの？

これって面積問題だろ

ルベッグつかえよ
0133１３２人目の素数さん2008/10/07(火) 20:19:26
>>131
＞両辺における 素数P,Qの次数を比べて 2BC = 0,

意味不明
0点
0134１３２人目の素数さん2008/10/07(火) 21:13:31
∫x^2dxを３の倍数の整数で積分しなさい。
01351312008/10/07(火) 23:32:59
>>133
　両辺が0でないとして素因数分解し、PまたはQの次数を比べる。
　左辺は偶数次（0次も含む）、右辺は奇数次となって、矛盾する。
∴　両辺は0である。
∴　2BC = 0.
0136１３２人目の素数さん2008/10/09(木) 21:56:44
>>121
ここら辺↓に解答････

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/576-577 , 394, 373-374
不等式スレ３
0137アインシュタイン2008/10/10(金) 05:43:59
京都大学からノーベル物理学賞受賞者が
でるような、斬新な問題を作ってくれ。
0138１３２人目の素数さん2008/10/10(金) 18:59:22
京大の入試問題は、完璧な時間配分でできているんだよ？
40分かかる難問があれば、10分で解ける易問できちんと帳尻を合わせている。
一問だけ適当なとこからパクってきて、京大の作問者になったつもりなんて、馬鹿丸出しだよ。
0139１３２人目の素数さん2008/10/10(金) 19:06:48
>>138
最近の問題は時間が余るだろ
0140１３２人目の素数さん2008/10/10(金) 19:38:36
素数が無限にあることを証明せよ。
0141１３２人目の素数さん2008/10/10(金) 19:43:39
>>140
まず出ないだろうなー

4で割って1余る素数が無数にあることを証明せよ。

だったら少しは可能性は・・・ないか。
0142１３２人目の素数さん2008/10/10(金) 19:47:41
　xy平面で通る点が
(－n,0)(n、0)(0、n)(0、－n)※n=整数の円がある。この
円の内部に存在して、格子点が全て整数であるような正方形
の数はいくらか。正し格子点は円のそれとは接触して良い。
0143１３２人目の素数さん2008/10/10(金) 19:52:54
素数、合成数、素数、合成数と数が順に来る場合が無限にあることを
証明せよ
0144１３２人目の素数さん2008/10/10(金) 20:05:56
ある素数Nの２乗は合成数Mであるが、Nからその合成数まで素数Nを含めて
素数がN個以上存在することはできない理由を証明せよ。
0145１３２人目の素数さん2008/10/10(金) 20:05:58
>>143
それ証明したらフィールズ賞もらえるかも
0146１３２人目の素数さん2008/10/10(金) 20:17:00
>>142
＞格子点が全て整数であるような

日本語でおｋ
0147１３２人目の素数さん2008/10/10(金) 20:38:44
>>144
N=5
N^2=25

5,7,11,13,19,23

5個以上存在
0148１３２人目の素数さん2008/10/10(金) 22:06:56
ラムゼーの定理を証明しなさい　15点
0149１３２人目の素数さん2008/10/10(金) 22:08:01
ラムゼーの定理をつかってワイエルシュトラスーボルザノの定理を証明しなさい　15点
0150１３２人目の素数さん2008/10/10(金) 22:34:30
>>146
(x,y)の成分が整数
0151１３２人目の素数さん2008/10/10(金) 23:29:41
>>150
意味不明
0152１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 05:53:55
(－n,0)(n、0)(0、n)(0、－n)
r=n
x^2+y^2=n^2
0153１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 05:56:09
半径nの球に入る体積１の立方体はいくつ？
0154１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 08:42:03
>>153
[√(6n)/3]^3個？
0155１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 09:16:01
りーまんすちぇるちぇすの下側を計算するか、根性でパッキング問題を解くか？
0156１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 09:18:01
有界だけどばりえーしょが発散する関数を一個つくりなさい？
0157１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 12:00:25
格子点を聞いているのはパッキング問題じゃなくスチェルチェス問題
格子点がないときはパッキング問題でややこしや
0158１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 15:27:36
>>140

〔補題〕4で割って3余る素数は、無限に存在する。

(略証) 背理法による。
4で割って3余る素数はn個しかない、と仮定する。
これらを p1,p2,･･･,pn とおく。
　N = 4*p1*p2*････*pn + 3,
は 4で割ると3余る。ゆえにNは 4で割ると3余る素因数 をもつ。
一方 N は p1,p2,････,pn のいずれでも割り切れない。
よって p1,p2,･･･,pn 以外に 4で割って3余る素数 p_(n+1) が存在する。
これは仮定と矛盾する。(終)

〔系〕素数は無限に存在する。
0159１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 15:53:56
>>158
？
0160１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 19:45:54
>>142の問題難し過ぎるだろ。
0161１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 20:08:43
問題文がD#レベル
0162１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 20:20:53
円周率が3.1以上3.2以下であることを証明せよ。
0163１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 20:24:44
素数が有限だとする
最大素数をpとする
p!+1はpまでのどの素数でも割り切れない。

しってりゃぬこでもかける
0164１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 20:33:18
ぬこは鉛筆もてないから無理
0165１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 20:36:26
>>160 じゃあ４点からなる正方形内部
0166１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 20:44:12
πが循環小数にならないことを証明して
0167１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 20:44:46
それは阪大がやってただろ
0168１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 20:54:33
どんな０以外の実数aでもπ^aが循環小数にならないことを証明して
0169１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 20:55:55
は？
π^a = 100を満たす実数aが存在しないとでもいうつもりか？
0170１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 20:57:20
どんな０以外の有理数aでもπ^aが循環小数にならないことを証明して
0171１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 21:09:22
糞スレになってるな
0172１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 21:20:05
京大っぽい問題ってこだわるほうがちょっと・・・
空間認識、数的処理、トポロジさわり・・・
0173KingMind ◆KWqQaULLTg 2008/10/11(土) 21:22:59
Reply:>>164 爪にインクをつけて書く。
0174１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 21:25:35
kingﾜﾛｽ
0175１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 21:25:35
素数の逆数の和を求めよ
0176KingMind ◆KWqQaULLTg 2008/10/11(土) 21:27:35
Reply:>>174 和ろ紙。
0177１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 21:32:42
問題は２種類しかない
１　誰でも簡単に理解できるけど、回答を出すのが難しい。
２　理解するのが難解だけど、回答はわりとすぐに出せる。
それいがいはクソ問
0178１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 21:58:30
1からnまでの数字が書かれたｶｰﾄﾞが1枚ずつある．
そのｶｰﾄﾞを左右1列に並べるとき，
全ての左からk枚目がkの数字にならない並べ方を a(n) とする．
a(n) を求めるか，それが無理であれば a(n) が満たすべき漸化式を求めよ．
0179１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 22:00:07
>>145
双子素数が無限にあると証明するだけでフィールズ賞か、お買い得だな
0180１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 22:01:10
モンモール数なんて京大で出ないだろ
0181１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 22:01:44
>>178
簡単過ぎる
0182１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 22:02:26
>>179
数論の中でも有数の未解決問題だからな
0183１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 22:04:43
双子素数の問題は紀元前から知られてる。
多分解決不能だよ
0184１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 22:06:57
タオでも無理かな
0185１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 22:09:18
>>178
a_n=(n-1){a_(n-1)+a_(n-2)}

0186１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 22:48:48
f(n)=1 if p<n<q, q-p=2
=0 otherwise
Sf(n)dn=0
0187１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 23:36:59
はーい、皆さん　過疎っているみたいなので超難問いきますよ

(1)次の命題の真偽を述べよ　
　　『0.999999･･･････＝1』

(2)微積を思い付いた人は？

(3)kingの正体は？

0188１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 23:42:15
(3)が、特に難しいな。
0189１３２人目の素数さん2008/10/11(土) 23:56:51
（４）　リーマンのフルネームを現地語で書きなさい。
（５）　∞のスペルは？
（６）　アレフはヘブライ語の何番目の文字
（７）　オイラーが生まれたときの日本の総理大臣は？
0190１３２人目の素数さん2008/10/12(日) 00:06:55
Riemann Hypothesis
0191１３２人目の素数さん2008/10/12(日) 00:20:03
>>187
俺は中学生の時、微積を思いついて、フレッシュ微分の着想も得た、
収束の部分で少し甘かったけど、証明もほぼ正しい道順だったと思う。
そういう意味では、微積を思いついた人なんて数万人はいるだろう。
0192１３２人目の素数さん2008/10/12(日) 00:47:54
>>158
　N = 4*p1*p2*････*pn - 1,
の方がいいと思うよ。
　p1 = 3
だから…
0193１３２人目の素数さん2008/10/12(日) 00:51:17
微積思いつけるって天才だろｗｗｗ微積思いつけたら、なし崩しで
思いつける。
0194１３２人目の素数さん2008/10/12(日) 00:55:03
http://en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_derivative
0195１３２人目の素数さん2008/10/12(日) 04:52:20
>>122
　(1/2)sin(nπ/8)*β^n - (1/2)sin(3nπ/8)*α^n,
ここに　β = 2cos(π/8) = √(2+√2),
　　　　α = 2sin(π/8) = √(2-√2),
0196１３２人目の素数さん2008/10/12(日) 05:23:05
>>122
　{2^(n/4)*sinh(γn) - cos(nπ/4)*α^n}sin(nπ/8),
ここに γ = log(β) - (1/4)log(2) = (1/4)log(2) - log(α) = 0.4406867935097710････,
0197１３２人目の素数さん2008/10/12(日) 09:51:15
7^t+2(k=1→n)nCk・(17^k+11^k)(-1)^(k-1)が３の倍数であることを
証明せよ。ただしtは自然数とする。
0198１３２人目の素数さん2008/10/12(日) 10:00:16
>>147
ワロタｗｗｗ
0199１３２人目の素数さん2008/10/12(日) 10:25:40
>>195-196と>>129どっちが正しいんだ？
0200１３２人目の素数さん2008/10/12(日) 10:27:09
x,y,z座標上で、原点Oを中心として半径がn(自然数)の球がある。
この球の内側(球表面を含む)の座標(X,Y,Z)の成分が整数であるような
点は全部で何点あるか。京大生でもとけいないだろうな。
0201１３２人目の素数さん2008/10/12(日) 10:36:45
切り口みたいなことかな？
平面でまず考えて、積分の要領で球の場合を数える？
0202１３２人目の素数さん2008/10/12(日) 10:37:50
>>197
さっぱりわからん。大学分野だろ。
0203１３２人目の素数さん2008/10/12(日) 10:44:44
nの関数で表すことが出来たけど、ここに書くのは面倒
0204１３２人目の素数さん2008/10/12(日) 10:49:33
整数問題が解けないやつは数学得意じゃない。
0205１３２人目の素数さん2008/10/12(日) 11:05:41
幾何もだな
0206１３２人目の素数さん2008/10/12(日) 11:20:25
本当にオリジナルなの？
0207１３２人目の素数さん2008/10/12(日) 11:25:06
7^t+2(k=1→n)nCk・(17^k+11^k)(-1)^(k-1) mod 3
1-(k=1→n)nCk・(2^2k) mod 3
1-(k=1→n)nCk mod 3
1-2^n-1 mod 3
1+2^n mod 3
n=2m+1->1+2=0 mod 3
n=2m->1+1=2 mod 3
0208１３２人目の素数さん2008/10/12(日) 11:26:46
>>197
って適当だろ？
0209１３２人目の素数さん2008/10/12(日) 12:37:00
>>199
>>129 は虚数ｉを使った表現。
　>>195-196 は実数だけを使う表示。
0210１３２人目の素数さん2008/10/12(日) 13:15:18
Test your mathematical muscles with this quiz designed by Robert Kaplan.

1. Can you divide by zero? Why, or why not?

2. What is 13 raised to the 0 power? What is 0 raised to the 0?

3. If you add up 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 and so on, will you ever get to 1?

4. Why does zero matter in solving equations?

5. How do zero and calculus combine to tell us when the waves in our affairs crest or crash?

Extra Credit Question:
Are there more counting numbers (1, 2, 3...) or more even numbers (2, 4, 6...)?
HINT: there are different degrees of infinity.
0211１３２人目の素数さん2008/10/12(日) 13:23:55
>>204
是非、未解決問題解いてくれ
0212１３２人目の素数さん2008/10/12(日) 14:46:04
http://www.msebeida.net/images/naca0012_vorgrid_s__wh23.gif
0213１３２人目の素数さん2008/10/12(日) 14:53:04
164 ：無党派さん：2008/10/12(日) 12:38:10 ID:SG3tpNif

小泉純一郎さん（元衆議院議員　享年６６歳）

アメリカ大統領の前で尻振り踊りをしたことで
有名。実はカナダではリアル土下座もしていた。
赤坂プリンスホテルの最高級スイートルームに
一年中宿泊しつづけた資金源は謎である。本人
は、消えた年金問題に絡み、厚生大臣を歴任し
た時代の給与返還など金がないからできないと
主張していた。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　 ＿＿＿＿
|小泉純一郎　殺人　　　　　　　　　　｜｜ 検 索 ｜
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣　 ￣￣￣￣
「小泉純一郎　レイプ」でググった結果　　　２３３，０００件
「小泉純一郎　殺人」でググった結果　　　　３７６，０００件
「小泉純一郎　小はん」でググった結果　　　　 ９，１００件　
「小泉純一郎　奥貫浩美」でググった結果　　　２，３４０件
「小泉純一郎　稲川会」でググった結果　 　　９４，９００件
「小泉純一郎　精神病院」でググった結果　１８９，０００件

（市井の声（横須賀市民））
特定郵便局長の世襲を批判して票を得ていたくせに、
自分は引退して馬鹿息子（偏差値４０）ｗに選挙地盤
を譲って世襲すると発表した小泉純一郎って、部下に
特攻を強制しておきながら、自分はさっさと飛行機で
台湾に敵前逃亡して生き延びた富永恭次や、連合艦
隊参謀長のくせに捕虜になって作戦命令書を奪われ
たのに、おめおめとゲリラとの取引で帰ってきて生き
延びた福留繁と、同じぐらい卑怯、卑劣だよな！！！
0214１３２人目の素数さん2008/10/12(日) 15:14:59
>>197
３の倍数にならない。
0215１３２人目の素数さん2008/10/12(日) 15:25:27
http://www.mpg.de/bilderBerichteDokumente/multimedial/bilderWissenschaft/2005/11/Wicht0502/Web_Zoom.jpeg
0216１３２人目の素数さん2008/10/12(日) 15:32:57
http://www.physicalgeography.net/fundamentals/images/globalairmasses.jpg
http://homeboyastronomy.com/wp-content/uploads/2007/10/jetstream2.jpg
http://www.allstar.fiu.edu/aero/images/jetstream.gif
http://www.dkimages.com/discover/previews/834/976510.JPG
http://www.weatherquestions.com/jet_stream.jpg
http://www.crystalinks.com/jetstream.gif
http://www.eduspace.esa.int/Background/images/jet.gif
0217１３２人目の素数さん2008/10/12(日) 16:12:01
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/3/3e/Jetcrosssection.jpg
0218１３２人目の素数さん2008/10/13(月) 03:06:45
>>199
　ω = exp( πi/4) = (1+i)/√2,
　ω~= exp(-πi/4) = (1-i)/√2 = -iω,
より
　(nＣr の係数) = cos(rπ/2)^2 * sin(rπ/4)
　　　　= {1 + (-1)^r}/2 * {ω^r -(ω~)^r}/(2i)
　　　　= {ω^r - (ω~)^r + (-ω)^r - (-ω~)^r }/(4i),
∴　(与式) = {(1+ω)^n - (1+ω~)^n + (1-ω)^n - (1-ω~)^n}/(4i),　　>>129
一方
　|1+ω| = 2cos(π/8) = √(2+√2) = β,
　|1-ω| = 2sin(π/8) = √(2-√2) = α,
より、
　1+ω　= exp( πi/8)β,
　1+ω~ = exp(-πi/8)β,
　1-ω　= exp(-3πi/8)α,
　1-ω~ = exp(3πi/8)α,
よって
　(1+ω)^n - (1+ω~)^n = {exp(nπi/8) - exp(-nπi/8)}β^n = (2i)sin(nπ/8)β^n,
　(1-ω)^n - (1-ω~)^n = {exp(-3nπi/8) - exp(3nπi/8)}α^n = (-2i)sin(3nπ/8)α^n,
これを >>129 に代入すると
　(与式) = (1/2)sin(nπ/8)β^n - (1/2)sin(3nπ/8)α^n,　　　　>>195
0219Zeus2008/10/18(土) 16:50:28
次の値が正の整数となる、正の整数の組（ａ，ｂ）を全て求めよ。
a^2／2ab^2-b^3+1
0220１３２人目の素数さん2008/10/18(土) 16:51:43
a^2／2ab^2 って a で約分できるような気がするんだけど。
0221１３２人目の素数さん2008/10/18(土) 16:57:32
>>219
数オリの2003年の問題じゃん
パクるなよカス
0222１３２人目の素数さん2008/10/18(土) 22:42:59
R=2^N人の人が一対一のじゃんけんで勝敗を決める時、特定の人物が
できる必然の最大連勝数はいくらか？ただしN→∞とはしてはいけない。
最大連勝数R(max)をNを用い表せ
0223１３２人目の素数さん2008/10/18(土) 23:02:11
どうせトーナメント表組むんだろう
糞問乙
0224１３２人目の素数さん2008/10/19(日) 00:03:05
というか問題が何を言いたいのかが良く分からん
0225１３２人目の素数さん2008/10/19(日) 00:17:28
＞必然の最大連勝数
脳内定義乙
02262232008/10/19(日) 00:26:02
高校生すれ荒れてるからこっちに書く

例えば、N=2のとき、（この4人をA,B,C,Dとする）
Aが順番にB,C,Dと勝負すれば最高3連勝が可能だが、最低で１連勝だ
（Aが全敗でも、B,C,Dが勝ってるから）
そこで、トーナメント組むと、４人のうち最低でも一人は２連勝してるやつがいるから（ｒｙ

つまり、「大じゃんけん大会を開いたとき、少なくとも一人r連勝するやつがいる
rの最大値と、そのときの対戦相手の組み方を言え」

・・・とエスパーした
説明し辛い
0227１３２人目の素数さん2008/10/19(日) 04:34:59
こんな問題文で入試に出したら抗議殺到だろうな
0228１３２人目の素数さん2008/10/19(日) 10:00:55
>>224
例えば３人でじゃんけんをするとする。Ａ，Ｂ、Ｃ。
まずＡとＢがやると必ずどっちかが勝つからそれを
Ａとする。するとＢは振り出し。ＢとＣがやると
かならずどっちかが勝つからそれをＢ。一勝ずつの
ＡとＢがやると必ずどっちかが２連勝する。つまり
最大連勝数は２。こういう具合です。
0229１３２人目の素数さん2008/10/19(日) 10:19:09
2^N人でじゃんけん大会を開き少なくとも一人がＮ回連続勝つ確率が1で
あるような場合の時、Nの最大値を求めよ。
0230１３２人目の素数さん2008/10/19(日) 10:24:42
結構むずいな。それ。良い問題だ。
0231１３２人目の素数さん2008/10/19(日) 12:24:21
設定が正しく伝わるような問題文が構築できれば、だがな。
0232１３２人目の素数さん2008/10/19(日) 15:48:56
予想は１０００人でやったら９９９連勝。

8人のとき,連勝作ると
30000000
32222000
43000000
43222000
43300000
44000000
50000000
52222000
54000000
54222000
54300000
54322000
54330000
54400000
55....
.....
とやっていくと７になる。
0233１３２人目の素数さん2008/10/23(木) 23:29:40

(1)　Σ[n=1,∞) 1/(n^2 －a^2)
(2)　Σ[n=1,∞) 1/(n^4 －a^4)
(3)　Σ[n=1,∞) 1/(n^2 ＋a^2)

の極限値を求めたいのですが、どうしたら良いでしょうか?　a≠整数 です。
0234１３２人目の素数さん2008/10/24(金) 01:07:56
この質問何回見たか分からん。ここまでしつこいマルチも珍しいかも。
0235１３２人目の素数さん2008/10/24(金) 02:47:29
３、４、５の三つの正三角形に囲まれた楕円形の最小の領域を求めよ。
0236１３２人目の素数さん2008/10/24(金) 02:55:12
Ｐは素数である。（２Ｐ）≡２であることを示せ（ｍｏｄ　Ｐ＾２）
　　　　　　　　（Ｐ　）
0237１３２人目の素数さん2008/10/24(金) 03:40:55
>>236
p=3,
2p=6,
p^2=9,

(2p)≡6(mod p^2)≠2
0238ＺＥＵＳ＠ＩＱ１６０2008/10/24(金) 09:28:49
x、ｙ、ｚは、ｘ＋ｙ＋ｚ＝０を満たす、区間[-2,1]間に属する実数とする。
このとき、Ⅹ＾2＋Ｙ＾2＋Ｚ＾2≦６であることを示せ。
0239ＺＥＵＳ＠ＩＱ１６０2008/10/24(金) 09:35:01
cos36=(１／４）＋（１／４）√５である。
このとき、
（ｔａｎ＾2１８）（ｔａｎ＾2５４）が有理数であることを示せ。
0240ＺＥＵＳ＠ＩＱ１６０2008/10/24(金) 09:53:46
空間にｘ１、ｘ2、、、、ｘｎというｎ個の点がある。
どのような組（ｘｉ，ｘｊ）の間にも、ｘｉからｘｊまたは
ｘｊからｘｉまでの矢が存在する。
このとき、矢の方向に進む点Ⅹ1、・・・・Ⅹｎを含む、
Ⅹａ1→Ⅹａ2→・・・・→Ⅹａｎの進路が存在することを示せ。
0241１３２人目の素数さん2008/10/24(金) 12:44:36
>>238
x,y,zの条件はあるが、X,Y,Zの条件はないので、示せません
>>239
(tan^218)(tan^254)=(t^2)(a^2)(n^472)
だが、tもaもnもわからない
>>240
点Ⅹ1、・・・・Ⅹｎは矢の方向に進むんですかそうですか
0242１３２人目の素数さん2008/10/24(金) 12:54:58
なにこいつｗ
0243ＺＥＵＳ＠ＩＱ１６０2008/10/24(金) 13:36:48
カンザス大学数学科定期試験問題。

次の式を満たす、ｕとｖがある。Ａは０より大きい有理数である。
このとき、Ａは有理数となる辺の値をもつ正三角形の一つの領域
であることを示せ。
ｕ＾２－ｖ＾２＝ｖ＾２－ｗ＾２＝Ａ
0244１３２人目の素数さん2008/10/24(金) 13:53:09
キチガイすぐるｗ
0245ＺＥＵＳ＠ＩＱ１６０2008/10/24(金) 13:54:19
解答
まず、有理数の値をとる辺ａ，ｂ，ｃ（ａ＜ｂ＜ｃ）をもつ
正三角形Ｔの存在領域をＡとしよう。
このとき、
ａ＾２＋ｂ＾２＝ｃ＾２
Ａ＝ａｂ／２　
ｕ＝（ａ＋ｂ）／２
ｖ＝ｃ／２
ｗ＝（ｂ－ａ）／２
と表すことができる
したがって、ｕ，ｖ，ｗは有理数である。
また、
Ａ＝ａｂ／２＝（ａ＾２＋２ａｂ＋ｂ＾２）／４－（ａ＾２＋ｂ＾２）／４
　＝（ａ＋ｂ／２）＾２－（ｃ／２）＾２
　＝ｕ＾２－ｖ＾２

Ａ＝ａｂ／２＝（ａ＾２＋ｂ＾２）／４－（ａ＾２－２ａｂ＋ｂ＾２）／４
　＝（ｃ／２）＾２－（ｂ－ａ／２）＾２
　＝ｖ＾２－ｗ＾２
ヒントはここまで。
0246１３２人目の素数さん2008/10/24(金) 13:56:43
ｎを２以上の自然数とする。
このときｎ人の人がじゃんけんをしてアイコになる確率をもとめよ
0247１３２人目の素数さん2008/10/24(金) 14:00:56
>>245
＞有理数の値をとる辺ａ，ｂ，ｃ（ａ＜ｂ＜ｃ）をもつ
＞正三角形Ｔの存在領域をＡとしよう。

正三角形じゃないじゃん。
あとAは有理数じゃないの？
存在領域ってなに？
0248１３２人目の素数さん2008/10/24(金) 14:01:36
>>247
キチガイ相手にしないでいいよ
0249ＺＥＵＳ＠ＩＱ１６０2008/10/24(金) 14:01:59
Let m1, m2, m3 be the slopes of the three sides of
an equilateral triangle in the plane, with no side
parallel to the y-axis. Among all such triangles,
what is the largest value of m1m2 + m2m3 + m3m1?
0250ＺＥＵＳ＠ＩＱ１６０2008/10/24(金) 14:06:03
ジョージタウン大学数学科定期テスト問題。
Take a cylinder of paper of diameter 1
(for example, the carboard tube in the middle of a
roll of paper towel) and cut it at a 45° angle.
Now take the paper cylinder, cut it vertically and
unroll it so it lays flat. See the figure on the left.
What is the function that describes the shape of the top of
the paper?
0251ＺＥＵＳ＠ＩＱ１６０2008/10/24(金) 14:15:30
京都大学も、英語で数学の入試問題を出題し、
英文で解答させればいいのに。
0252ＺＥＵＳ＠ＩＱ１６０2008/10/24(金) 14:20:05
シカゴ大学数学科定期テスト問題。

下の式を満たす、全ての実数Ⅹ、Ｙをもとめよ。
８Ⅹ＾２－２ⅩＹ＾２＝６Ｙ＝３Ⅹ＾２＋３Ⅹ＾３Ｙ＾２
0253１３２人目の素数さん2008/10/24(金) 15:25:44
スレタイ読み直せよキチガイｗｗ
0254１３２人目の素数さん2008/10/24(金) 17:51:26
IQ160ってイタイよ…。
0255１３２人目の素数さん2008/10/24(金) 19:43:28
>>250

浪人の漏れがわかるってことは、ジョージタウン大学ってレベル低いのな。
0256１３２人目の素数さん2008/10/24(金) 23:27:45
>>255
どこでも定期テストは難しくしないだろ
難しいのが出るなら授業で類題をやっている場合が多いし
0257１３２人目の素数さん2008/10/25(土) 09:17:50
>>238
　x^2 +x = 2 - (1-x)(2+x) ≦ 2,
　y^2 +y = 2 - (1-y)(2+y) ≦ 2,
　z^2 +z = 2 - (1-z)(2+z) ≦ 2,
　-(x+y+z) = 0,
辺々たす。

>>239
　tan(18ﾟ)tan(54ﾟ) = tan(18ﾟ)/tan(36ﾟ)
　= (1/2){1 - tan(18ﾟ)^2}
　= [cos(18)^2 - sin(18ﾟ)^2]/[2cos(18ﾟ)^2]
　= cos(2*18ﾟ)/[1+cos(2*18ﾟ)]
　= cos(36ﾟ)/[1+cos(36ﾟ)]
　= 1/√5,
これを２乗する。
0258１３２人目の素数さん2008/10/25(土) 17:20:27
周囲３００mの池の回りに素数の距離mのときだけ植木を植えると、何本植木が必要か。
0259１３２人目の素数さん2008/10/25(土) 18:08:52
どこが京大？
02602332008/10/26(日) 14:17:45
(4)　Σ[n=1,∞) 1/(n^2 －a^2) * (-1)^(n-1),
(5)　Σ[n=1,∞) 1/(n^2 + a^2) * (-1)^(n-1),

の極限値を求めたいのですが、どうしたら良いでしょうか?　a≠整数 です。

高木:「解析概論」改訂第3版, 岩波書店(1962) 第5章, §64
0261１３２人目の素数さん2008/10/27(月) 02:06:38
>>252
　8X^2 -2XY^2 = 3X^2 + 3X^3･Y^2,
より
　X{(2+3X^2)Y^2 -5X} = 0,
　X=0 または Y^2 = 5X/(2+3X^2)　　　････(1),

・X=0 のときは Y=0,
・X≠0 のとき
　X,Y∈R だから Y^2 ≧0, 2+3X^2 >0 ∴ X>0,
　与式より Y = (1+4X^2)X^2 / (2+3X^2)　　　････(2)
これと(1)からYを消して
　10 + 15X^2 -X^3 -8X^5 -16X^7 =0,
　(1-X)(10 +10X +25X^2 +24X^3 +24X^4 +16X^5 +16X^6) =0,
∴　正の根は 1 のみ。
∴　(X,Y) = (0,0) (1,1)
0262１３２人目の素数さん2008/10/28(火) 05:13:05
188:Zeus（ゼウス）[]
2008/10/09(木) 08:33:37 ID:AQ7gcWuF0
>>186
あほ！！
そりゃあ、おれが、別のスレッドに書いた
解答だ。
君自身で、独創的な問題を作れるのかと
きいているのだ。

190:Zeus（ゼウス）[]
2008/10/09(木) 09:01:29 ID:AQ7gcWuF0
>>189
中学生の脳みそで解く問題だぞ。
難しいに決まっているだろうが。

191:Zeus（ゼウス）[]
2008/10/09(木) 09:05:38 ID:AQ7gcWuF0
高校生用には、こういう問題を
用意してある。

「２球面の交わりによってできる円に関する問題を作り、解け」


「連立方程式と線形性に関する論証問題を作り、数式を使わず論証せよ」

★★★★★茨城の高校★★★★★ part18
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/ojyuken/1219237794/
0263１３２人目の素数さん2008/10/28(火) 18:41:53
こいつまだいたのか・・・
0264１３２人目の素数さん2008/10/28(火) 18:45:24
長さNメートルの紐の端と端を結んでできる輪の面積で一番大きい
面積はどれくらいか？

めっさムズイｗｗｗｗ
0265１３２人目の素数さん2008/10/28(火) 19:53:05
N^2/4π m
0266１３２人目の素数さん2008/10/28(火) 21:01:02
>>265
本気で言ってる？
0267１３２人目の素数さん2008/10/28(火) 23:05:53
等周不等式なんかでるわけねーだろ。
0268１３２人目の素数さん2008/11/06(木) 05:46:07
age
0269１３２人目の素数さん2008/11/07(金) 10:37:13

普通に東京大学や京都大学の方が凄い。
京都大学のノーベル賞受賞者輩出数は日本NO.1。
日本人初のノーベル賞受賞者である湯川秀樹(物理学者)も京都大学出身。
ちなみに湯川秀樹は水瓶座O型。

慶應義塾大学や早稲田大学は所詮は私立大学。
ノーベル賞には縁が無いし国立大学の足下にも及ばない。

水瓶座(湯川秀樹、京都大学)＞山羊座(福澤諭吉、慶應義塾大学)＝魚座(大隈重信、早稲田大学)
0270堀・切次郎2008/11/13(木) 15:32:59
三角形ＡＢＣにおいて、a,b,ｃはそれぞれ、
角Ａ，Ｂ，Ｃの対辺の長さである。
このとき、√ａ，√ｂ、√ｃに相当する辺を
もつ、三角形Ａ’，Ｂ’，Ｃ’が存在することを示せ。
また、∠Ｂ’Ａ’Ｃ’＞（１／２）ＢＡＣであることを示せ。
0271堀・切次郎2008/11/13(木) 15:41:36
（１０）＾（２００８）－１０＾８は２００８で割り切れることを示せ。

＊十の２００８乗引く１０の８乗は、２００８で割り切れることを示せ。
0272１３２人目の素数さん2008/11/15(土) 06:59:39
2008=2^3*251

10^2008-10^8
≡2^2008-2^8≡0(mod 8)

FLTより
10^250≡1(mod 251)
∴10^(2008)-10^8
≡10^8-10^8=0(mod 251)

0273１３２人目の素数さん2008/11/15(土) 07:15:40
>>270
WLOG a=>b=>c
Triangle inequality からb+c>a
∴(√b+√c)^2=b+c+2√(bc)>b+c>a
∴√b+√c>√a


A'> 1/2*A
⇔cosA'< cos(1/2*A)
⇔cosA'< √{(1+cosA/2)} (∵0< 1/2*A<π/2)
b+c>aよりA'<π/2なので両辺を2乗しても同値で
⇔2cos^2A'< 1+cosA
Cosine Theoremから
⇔(b+c-a)^2/(2bc)<1+(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
⇔(b+c-a)^2< 2bc+(b^2+c^2-a^2)
⇔a<b+c
これは正しい。
0274堀・切次郎2008/11/24(月) 06:30:11
式Ⅹ＾２＋Ｙ＾２＝Ｚ＾５は、無限の数の解をもつことを
証明せよ。
0275１３２人目の素数さん2008/11/24(月) 09:37:03
>>274
Y^2=Z^5-X^2
1=Z(Z^2/Y)^2-(X/Y)^2
1=[√Z・(Z^2/Y)+(X/Y)][√Z・(Z^2/Y)-(X/Y)
右辺をp・qと表すことが出来た。
q=1/pよりpとqは1：1対応
よって無限数解をもつ
0276堀・切次郎2008/11/24(月) 13:42:01
>>275
海外の一流大学の数学の問題だけど、
簡単に解いちゃうんだね。
京都大生。
0277１３２人目の素数さん2008/11/24(月) 13:52:35
明らか、と答えたい今日この頃
有理数とか整数とか、自然数とかいう条件はなかったのだろうか
0278１３２人目の素数さん2008/11/24(月) 13:55:03
ゼウス名前変えたのかよｗ
0279堀・切次郎2008/11/24(月) 13:57:23
>>277
ｍ、ｎが正の整数であるとき、ｎ√ｍとｍ√ｎのうち
小さいほうは、3√３よりも大きくないことを示せ。


（注）ｎ√ｍとはｍのｎ乗根のこと。
0280１３２人目の素数さん2008/11/24(月) 14:21:06
>>276
俺は群馬医だｗｗｗ
0281１３２人目の素数さん2008/11/24(月) 16:27:41
>>274, 277
M,N を自然数として
　X = M･Z^2,　Y = N･Z^2,　Z = M^2 + N^2.

>>279
　m≦n のとき、m^(1/n) ≦ n^(1/n) = exp{f(n)} ≦ 3^(1/3),
(略証)
　f(x) = log(x)/x　とおく。
　f '(x) = {1-log(x)}/(x^2),
　f は x<e で単調増加、 x>e で単調減少。
　f(n) ≦ Max{f(2), f(3)} = Max{log(2)/2, log(3)/3} = log(3)/3,
∵　3log(2) = log(8) < log(9) = 2log(3).
0282１３２人目の素数さん2008/11/25(火) 04:17:09
1:堀・切次郎[]
2008/11/24(月) 05:16:52
行列式と面積に関する問題を作り、解け。


問題を作る！高校数学
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/rikei/1227471412/


Zeus＝堀・切次郎
0283１３２人目の素数さん2008/11/25(火) 09:40:20
Ｚｅｕｓココ逝けば？
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1089455158/l50
0284堀・切次郎2008/11/26(水) 09:20:00
a,b,cは1<a<b<cを満たす整数で
(ab-1)(bc-1)(ca-1)はabcで割りきれる
このときa,b,cの組を求めよ
0285堀・切次郎2008/11/26(水) 09:26:13
xy=x+yがx,yが整数で成立する組数はいくつ？
0286堀・切次郎2008/11/26(水) 09:27:10
素数Ｐとその素数より小さい素数全ての積に１を加えたものＱはどちらが大きいか
0287１３２人目の素数さん2008/11/26(水) 09:31:50
よくまあそんな下らん問題が思いつくよ
0288堀・切次郎2008/11/26(水) 10:30:49
正四角すいをどのような面で切っても、その断面積が
ａ＾2＋ｂ＾2となる。このとき、その正四角すいの底面の
面積を求めよ。
0289１３２人目の素数さん2008/11/26(水) 18:08:04
うるさい。
0290１３２人目の素数さん2008/11/26(水) 21:05:39
(a,b,c)=(2,3,5)
0291１３２人目の素数さん2008/11/26(水) 21:50:51
>>284
　ab-1 は c で割り切れ,
　bc-1 は a で割り切れ,
　ca-1 は b で割り切れる。

>>285
(x-1)(y-1) = 1.
　∴ 2組（x=y=2 と x=y=0）

>>286
　P/2 < P '< P なる素数 P' がある。（Bertrand 予想、Chebyshevの定理）
P>4 のとき P '>2,
　Q ≧ 2P '+1 > P +1.
0292堀・切次郎2008/11/28(金) 08:43:58
有理数ｐ／ｑが与えられている。
このとき、
（１／ｘ）＋（１／ｙ）＝ｐ／ｑ
は、有限個の多数の正の整数解を持つことを証明せよ。
0293１３２人目の素数さん2008/11/28(金) 08:50:28
有限個の多数の解を持つことを示せって言われても
何が言いたいのか分からん。

一個以上有限個しか解が無いって言いたいのか？
0294堀・切次郎2008/11/28(金) 09:05:55
Ａ，Ｂは、Ａ＋Ｂ＝Ｉ、列（Ａ）＋列（Ｂ）＝ｎを満たす、実数ｎのｎ×ｎの行列である。
このとき、Ａ＾２＝Ａ，B＾２＝ｂ，ＡＢ=ＢＡ＝０であることを示せ。
0295堀・切次郎2008/11/28(金) 09:06:58
>>293
英文を和訳したもので。。。
忠実に和訳すると、そういう表現になります。
0296堀・切次郎2008/11/28(金) 09:07:50
Ａ，Ｂは、Ａ＋Ｂ＝Ｉ、列（Ａ）＋列（Ｂ）＝ｎを満たす、実数ｎのｎ×ｎの行列である。
このとき、Ａ＾２＝Ａ，B＾２＝Ｂ，ＡＢ=ＢＡ＝０であることを示せ。
0297１３２人目の素数さん2008/11/28(金) 09:08:56
>>293
たぶんfinitely many roots of positive integerと言いたいんだろう。
0298堀・切次郎2008/11/28(金) 10:32:11
単一の円の中に、正ｎ角形があり、その全ての対角線と辺の長さの
合計をＳｎとするとき、Ｓｎを求めよ。
0299堀・切次郎2008/11/28(金) 10:45:28
ある放物線において、互いに二等分する弦が
存在しないことを証明せよ。
0300堀・切次郎2008/11/28(金) 10:52:43
三角形ＡＢＣと、その三角形の内部に、点Ｓがある。
このとき、三角形ＡＢＳ，ＢＣＳ，ＣＡＳの面積が
等しいならば、点Ｓは三角形ＡＢＣの中心点であることを示せ。
0301１３２人目の素数さん2008/11/28(金) 12:16:21
>>298-300
問題文が意味不明です。
0302１３２人目の素数さん2008/11/28(金) 12:47:42
>>295
全然忠実じゃないよ。元の文と意味が変わっちゃってるから。

>>296
＞Ａ，Ｂは、Ａ＋Ｂ＝Ｉ、列（Ａ）＋列（Ｂ）＝ｎを満たす、実数ｎのｎ×ｎの行列である。
列（Ａ）って何だよ。「実数 n の n × n　行列」って何だよ。意味不明。

>>298
内接してるんじゃなくてただ内部に大きさ不定の正n角形があるだけなの？
そんなん求まる訳無いじゃん。

>>300
「中心点」って原語は何？三角形の「中心」と呼べるような点は五種類あるんだけど。
「～～。したがって点Sは三角形ABCの中心点である。」
なんて書いたら入試でも容赦無く減点されるよ、多分。
0303堀・切次郎2008/11/28(金) 13:18:28
元の英文

Let　Ｓｎ　ｂｅ　ｔｈｅ　ｓｕｍ　ｏｆ　lengths　ｏｆ　all　ｔｈｅ　sideｓ
ａｎｄ　all　ｔｈｅ　diagonals　ｏｆ　ａ　regular　ｎ－ｇｏｎ　inscribed　ｉｎ　ａ　unit　circle．
Evaluate　Ｓｎ．
0304１３２人目の素数さん2008/11/28(金) 13:25:25
単一じゃなくて半径1の円だろ。
0305１３２人目の素数さん2008/11/28(金) 13:33:18
直訳ではないが、
Snを半径1の円に内接する正n角形の全ての辺、対角線の長さの総和とするとき、Snを求めよ。

こんな感じだろうか。ていうか作問スレじゃかったっけここ。
0306１３２人目の素数さん2008/11/28(金) 13:38:31
ZEUSの頭の悪さは異常
0307１３２人目の素数さん2008/11/28(金) 14:59:49
それはトリビアル
0308１３２人目の素数さん2008/11/28(金) 18:37:40
>>305
これのあとにlim[n→∞]Sn/(n^2)を求めよ
とかがあったら京大レベルではないけど入試問題っぽくはなりそう
0309１３２人目の素数さん2008/11/28(金) 21:00:35
>>288もなんか変な誤訳してそう。
0310１３２人目の素数さん2008/11/28(金) 21:07:04
つうかそれ以前に a と b って何だよっていうｗ
0311１３２人目の素数さん2008/11/28(金) 21:43:36
てかスレ違いだろ
0312１３２人目の素数さん2008/11/28(金) 21:45:39
自分で作ったんじゃなくて海外から引っ張ってきてるのか
しねよクズｗ
0313１３２人目の素数さん2008/11/28(金) 21:51:29
以降も海外の問題をもってくるんなら
下手な和訳せずに原文で書け。
0314１３２人目の素数さん2008/11/28(金) 21:52:06
いや、たぶん海外の元の問題とは別物になっているだろうから
この問題のクレジットは彼に帰するべきだと思うｗ
0315１３２人目の素数さん2008/11/28(金) 21:53:47
問題になってないけどなｗｗ
0316１３２人目の素数さん2008/11/28(金) 22:59:54
正の整数nに対してS(n)=1+1/2+1/3+･･･+1/n　とし、
S(n)=b/a (a,bは互いに素な正の整数)とする。
bが3で割り切れるようなnをすべて求めよ。
0317１３２人目の素数さん2008/11/29(土) 08:07:15
二次方程式の解の公式を記せ
またそれを証明せよ


今のゆとりはちゃんと証明出来るのどのくらいいるかな？
半分もいないと思う。
0318１３２人目の素数さん2008/11/29(土) 08:08:47
30年前でも半分もいなかったと思う。
0319１３２人目の素数さん2008/11/29(土) 09:52:43
そうなの？
京大目指して浪人中の俺に言わせればあり得ない
0320１３２人目の素数さん2008/11/29(土) 10:12:58
何があり得ないのかな？
0321１３２人目の素数さん2008/11/29(土) 11:04:28
京大受験生なら何割正答するかな
0322１３２人目の素数さん2008/11/29(土) 11:33:08
>>316
2,7,22は3の倍数になるが、それ以外にもあるのかな
0323１３２人目の素数さん2008/11/29(土) 11:35:15
多分絶対値のとこ書かないやつ多そう。
0324１３２人目の素数さん2008/11/29(土) 11:54:28
>>322
ということは次はn=67 と予想
0325１３２人目の素数さん2008/11/29(土) 19:58:55
mを正の整数とし、数列{a[n]}を
a[1]=2
a[n+1]=ma[n]+√{(m^2-1)(a[n]^2-4)}　(n=1,2,...)
によって定める。
すべてのnに対してa[n]は整数であることを示せ.
0326１３２人目の素数さん2008/11/29(土) 20:48:07
はいはい帰納法
0327１３２人目の素数さん2008/11/29(土) 21:07:43
元ネタを経由せずに示せるなら興味深いけど。
0328１３２人目の素数さん2008/11/30(日) 09:38:42
>>325
　a[1]=2, a[2]=2m は明らかに偶数。
与式より、
　a[n] = ma[n+1] - √{(m^2 -1)(a[n+1]^2 -4)},
したがって
　a[n-1] = ma[n] - √{(m^2 -1)(a[n]^2 -4)},
これと与式をたして
　a[n+1] = 2m*a[n] - a[n-1].
を得る。よって a[n] は偶数。

(注)
α = arccosh(a[1]/2) = log({a[1] + √(a[1]^2 -4)}/2),
　μ = arccosh(m) = log(m + √(m^2-1)),
とおくと、一般項は次で表わせる。
　a[n] = cosh(α + (n-1)μ),
03293282008/11/30(日) 09:43:48
>>325 (訂正)

　a[n] = ２cosh(α + (n-1)μ),
ただし　本問では a[1] = 2 だから α=0.
0330１３２人目の素数さん2008/11/30(日) 12:48:13
数列{a_[n]}を初項a_1=a、公差1の等差数列とする。ただしaは0以上の実数である。
このとき、a_[i],a_[j],a_[k]が等比数列をなすような相異なる正の整数i,j,kが存在するための
aに関する必要十分条件を求めよ。
0331１３２人目の素数さん2008/12/01(月) 19:02:06
充分性は出たんだが、必要性が四目線
0332１３２人目の素数さん2008/12/01(月) 19:15:11
長さＬのひもの両端をつなげてｎ角形を作り、その面積をＳ(n)とする。
(1)正ｎ角形のときＳ(n)が最大になる事を証明せよ。
(2)Ｓ(n)の最大値とＳ(n+1)の最大値の大小を理由をつけて説明せよ。


円が一番大きいって事の証明になる



0333１３２人目の素数さん2008/12/01(月) 19:18:50
>>332
ならないよ
0334１３２人目の素数さん2008/12/01(月) 19:31:58
円はn角形じゃないだろ
0335１３２人目の素数さん2008/12/01(月) 23:07:34
書けるかな？
0336１３２人目の素数さん2008/12/01(月) 23:57:24
第二回京大実戦の５番は京大らしい問題だと思った
0337１３２人目の素数さん2008/12/01(月) 23:59:06
どんな問題？
0338１３２人目の素数さん2008/12/02(火) 10:00:15
n→∞なら円だろ
0339１３２人目の素数さん2008/12/02(火) 11:47:26
>>330
論理的に非常に大きな欠陥があるな
0340１３２人目の素数さん2008/12/02(火) 11:47:59
ミスった
>>332
0341１３２人目の素数さん2008/12/02(火) 12:16:50
>>336
うｐ
0342１３２人目の素数さん2008/12/02(火) 21:02:00
長さＬのひも一本でn角形作るって事だよな？
n本使うんだったら（2）はクソ以下
03433362008/12/03(水) 18:35:19
第二回京大実戦模試
理系・乙
第五問
座標空間で，点（0,0,1）を中心とし半径1の球面のz≦1の部分をKとする．Kをx軸のまわりに1回転してできる立体の退席を求めよ．
03443362008/12/03(水) 18:35:54
退席を求めてどうすんだorz
体積の誤変換です
0345１３２人目の素数さん2008/12/03(水) 19:25:21
>>333
B***
　x^2+y^2=1, z=1
xを固定してx軸との距離RについてはR^2=y^2+z^2=2-x^2
　y=0, x^2+(z-1)=1, z≦1
xを固定してx軸との距離rについてr^2=y^2+z^2=(1-sqrt(1-x^2))^2=(2-x^2)-2sqrt(1-x^2)
　対称性を考慮して求める体積VについてV/(2π)=∫[0,1](R^2-r^2)=∫[0,1]2sqrt(1-x^2)=π/4
(単位円が作る閉領域の1/4の面積)　∴V=(π^2)/2
03463362008/12/03(水) 20:09:01
ちょっとめんどいので過程見てないけれども、答えはpi^2です
0347１３２人目の素数さん2008/12/03(水) 21:18:47
>>330 a≧0 じゃ存在するわけねーじゃん
0348１３２人目の素数さん2008/12/03(水) 21:44:04
>>347
a=0

1,2,4

0349１３２人目の素数さん2008/12/03(水) 22:09:19
>>317
流石にこれくらいは平方完成すれば終わりだから
簡単に証明できるかと…。

東大で出すとしても、加法定理の証明みたいに入り組んだものが出ると思う。
東大で出そうといえば、
1. \sum_{k=1}^{n} k^3(あるいはk^4,k^5)の証明
2. 正弦定理
3. 余弦定理
4. ヘッセの公式

3.、4.(座標平面の直線との距離)は中学生の一次関数でも証明可能。
0350１３２人目の素数さん2008/12/03(水) 22:25:57
>>345
>∫[0,1]2sqrt(1-x^2)=π/4
2を掛け忘れていた。π/2だ。すると答えはπ^2だ。
最近こういうミスが多い。若年性痴呆症にでもなったのだろうか。
0351１３２人目の素数さん2008/12/03(水) 22:56:57
>>348 元の数は等差じゃなくて良かったんだな。壮大な勘違いしてたよ。
「a が有理数であること」か？
0352１３２人目の素数さん2008/12/03(水) 23:54:36
>>332
「円が一番大きい」と言った場合は、どの範囲で面積を
比較しているのか言及しなければならない。
{ 3角形，4角形，5角形，…，円 }
という範囲で面積を比較しているならば、この範囲において一番面積が
大きいのは確かに円になる。しかし、
{ 長さLのひもで作れるジョルダン閉曲線全体 }
という範囲で面積を比較しているならば、この範囲において一番面積が
大きいのは、結果的には やはり円になるものの、その証明は>>332の
ロジックでは示せない。
0353１３２人目の素数さん2008/12/03(水) 23:59:45
そりゃそうだ。
0354１３２人目の素数さん2008/12/04(木) 00:00:07
「あるとしたらそれは円である」のレベルだったら簡単に示せるんじゃなかったっけ。
0355１３２人目の素数さん2008/12/04(木) 00:23:11
>>351
証明がなきゃ0点ですがな、あなた
0356１３２人目の素数さん2008/12/04(木) 00:32:21
試験じゃねーからおマンコぐっちょり！
0357１３２人目の素数さん2008/12/04(木) 01:13:10
nを自然数とするとき、
29^n＋2^(7n-6)＋(-1)^(n-1)2^(2n-1)
で表される数すべてを割り切るような素数を求めよ。
0358１３２人目の素数さん2008/12/04(木) 01:20:16
簡単杉
0359１３２人目の素数さん2008/12/04(木) 01:39:17
>>357
(-1)^(n-1)2^(2n-1)は(-1)^(n-1)と
2^(2n-1)の積
0360１３２人目の素数さん2008/12/05(金) 17:15:16
>>332
長さがNの正M角形と円では、円が一番大きいことは証明できるけど、長さ
Nのひもで作る面積の最大が円ってのはどうやって証明するんだ？

0361１３２人目の素数さん2008/12/05(金) 23:00:41
>>332の路線から入り法に切り替えて証明しているのを見たことがある
最大性の証明が肝だから、そこをどうするかってのがｒｙ
0362１３２人目の素数さん2008/12/06(土) 03:23:02
平曲面はn→∞のn角形で書ける
周囲の長さが等しいn角形は正n角形のとき面積が最大
正n角形でn→∞→円
って考えたら駄目？
0363１３２人目の素数さん2008/12/06(土) 03:24:48
論理的におかしいと思わないのか？
0364１３２人目の素数さん2008/12/06(土) 04:12:58
＞平曲面はn→∞のn角形で書ける
意味不明。「n角形で近似する」という意味だとしたら、その方法では証明できない。

＞周囲の長さが等しいn角形は正n角形のとき面積が最大
その証明はどうやるのか？「周長がＬの正n角形の面積＜周長がＬの円の面積」は
簡単に示せるが、「周長がＬのn角形の面積＜周長がＬの正n角形の面積」は
難しいと思う。
0365１３２人目の素数さん2008/12/06(土) 07:34:37
＞「周長がＬのn角形の面積＜周長がＬの正n角形の面積」は
＞難しいと思う。
まずトポロジカルな条件から最大値の存在を導いて
（たとえば閉集合で定義された実数値関数には最大値が存在する、
とかなんとか）その後に
長さ a と長さ b の辺が隣り合っている n 角形 X の面積
　＜　長さ (a+b)/2 の辺が隣り合っていて、その他の辺は X と同じ n 角形 X' の面積
を示せば良い。
0366１３２人目の素数さん2008/12/06(土) 07:57:39
どうしてもｎ角形を持ち出してやりたい人がいるみたい。
0367１３２人目の素数さん2008/12/06(土) 08:11:04
もういいよそのネタは
有名問題すぎてつまらん
0368１３２人目の素数さん2008/12/06(土) 09:40:33
>>362
「等周問題」でググれ。
変分法，フーリエ解析など実に多種多様な証明方法が知られているが，どれも初等的ではなく難しい。
0369354=3652008/12/06(土) 15:58:26
>>366
単純に難しいのはそこじゃないよって言いたかっただけだけどね。

まあ有名問題すぎて詰まらんってのには同意。
0370１３２人目の素数さん2008/12/06(土) 21:22:34
>>357-359
　n=1 のときは 33. (=a)
29 = a-4　より
　29^n = (a-4)^n ≡ na*(-4)^(n-1) + (-4)^n,　(mod a^2)
2^7 = 128 = 4a-4　より
　2^(7n-6) = 2*2^{7(n-1)} = 2*(4a-4)^(n-1)
　= -2(n-1)a*(-4)^(n-1) + 2*(-4)^(n-1),　(mod a^2)
また
　(-1)^(n-1)*2^(2n-1) = 2*(-4)^(n-1),
よって
　(与式) ≡ (-4)^(n-1)*{na -4 -2(n-1)a +2 +2} 　(mod a^2)
　　= (-4)^(n-1)*(2-n)a,
∴ 与式はaで割り切れる。
　求める素数は 3,11.

蛇足だが、a^2 で割り切れるのは n≡2 (mod a) のとき。
0371１３２人目の素数さん2008/12/06(土) 23:06:15
>>370
正解です。
0372１３２人目の素数さん2008/12/06(土) 23:33:22
円になるかどうかの前に>>332の問題は解けるのだろうか
とりあえず問題投下
Ⅰ　数直線上に1，a,b(≠0)が与えられてるときに
a*b,a^2,a/bを作図せよ
Ⅱ　二次方程式ax^2+bx^+c=0の解は全て複素平面上に作図できる事を示せ
作図には目盛のない定規とコンパスを用いる事
知ってる人は無視してください
0373１３２人目の素数さん2008/12/07(日) 01:03:13
京大は微分方程式だけじゃなく複素平面も出題するのか
03743722008/12/07(日) 01:27:22
そいえば複素平面は俺の年で最後だったorz
でも複素平面が何か知ってれば多分出来る
03753722008/12/07(日) 01:32:33
今思えば入試で定規とコンパス使用の時点でだいぶあり得ん
連投スマソ

0376１３２人目の素数さん2008/12/07(日) 03:05:48
色んな意味で処置なしの馬鹿だな。
0377１３２人目の素数さん2008/12/07(日) 04:14:24
>>372
＞Ⅱ
できるの？
Ⅱではa,b,cは与えられてないんでしょ？？
0378１３２人目の素数さん2008/12/07(日) 05:38:04
>>374
できないけど調べる気もない
03793722008/12/07(日) 18:52:10
a,b.cがどんな複素数でもできます
複素数Zが与えられてるときにZ^2,Z^(1/2)をどう書くかがカギ
書き忘れたけど原点も与えられています
0380１３２人目の素数さん2008/12/07(日) 18:58:36
うん、だからa,b,cは実軸上に与えられてないんでしょ？
それでできるの？
0381１３２人目の素数さん2008/12/07(日) 19:19:26
おもてが３回連続するまでコインを投げ続けるとき、コインを投げる回数の期待値を求めよ。
0382１３２人目の素数さん2008/12/07(日) 20:11:59
無理ですね
03833722008/12/07(日) 20:14:14
>>379
Ⅱは作図できる事を「示す」問題だから実際に作図しなくてもいいです
あとⅡではa≠0です
0384１３２人目の素数さん2008/12/07(日) 20:16:51
>>383
お前頭大丈夫か？
03853722008/12/07(日) 20:17:44
ていうか別に適当な複素数a,b,cが与えられて、そこから作図してもいいです
0386１３２人目の素数さん2008/12/07(日) 20:18:29
>>385
与えられてなかったらできるはずないだろ
死ねクズ
0387１３２人目の素数さん2008/12/07(日) 20:24:53
>>372>>383
ガウス平面にa,b,cが与えられてない(点としてプロットされてない)んでしょ？
どうやるの？
実際に作図することと作図できることを示すってことは本質的な違いはない。
03883722008/12/07(日) 20:27:17
Ⅱは文章とa,b,cに関係ない図を書くだけで示せるんだけどな･･･
まあいいやⅡはa,b,cが複素平面上で与えられてて、そこから作図するって事で
0389１３２人目の素数さん2008/12/07(日) 20:29:33
>>388
自分の設定ミスが指摘されてるかもしれないのに「まぁいいや」で片付けないでよ。
反論があるなら反論してくれ。
03903722008/12/07(日) 20:45:50
a,b,cが与えられてる(複素平面上にプロットされてる)状態から作図するのと
どんな複素数a,b,cでも作図できる事を示すのは違うんじゃないか？
0391１３２人目の素数さん2008/12/07(日) 21:00:25
>>390
たとえば、1、1、1の3つが与えられたとして、
複素平面上でどこが「1」なのかをどうやって確定するのって話。
0392１３２人目の素数さん2008/12/07(日) 21:03:14
>>390
だめだこいつ・・・早く何とかしないと・・・
03933722008/12/07(日) 21:49:18
>>391
それだったらa,b,cを与えるんじゃなくて平面上での基準の大きさを与えればいいって事？
確かにⅠでは書いてたのにⅡではなんで書いてないんだろう。申し訳ないorz
複素平面上での1とiの大きさはわかってるとしてくれ
0394１３２人目の素数さん2008/12/07(日) 21:53:05
もう話題は君の頭の悪さを嘲笑する方にいってるから。
0395１３２人目の素数さん2008/12/07(日) 21:54:34
こうやって後から条件どんどん付け足していく奴、前にもいたよな。
0396１３２人目の素数さん2008/12/07(日) 21:58:42
素直に非を認め謝ればいいものを。こういう人間がいちばん嫌われる。
0397１３２人目の素数さん2008/12/07(日) 22:00:10
1とiだけ与えられてa,b,cは任意の複素数ね・・・
じゃぁ超越数の長さなんかも作図できるのか。すごいね
0398１３２人目の素数さん2008/12/07(日) 22:02:19
もう色々と不備があるみたいなので訂正します
Ⅱ二次方程式ax^2+bx^+c=0の解は全て複素平面上に作図できる事を示せ
　　　　　　　　　　　　↓
Ⅱ複素平面上に1,i,a,b,cが与えられてるときに
二次方程式ax^2+bx^+c=0の解は全て複素平面上に作図できる事を示せ
0399372=3982008/12/07(日) 22:04:24
もう死んだ方がいいほど哀れだわ俺
0400１３２人目の素数さん2008/12/07(日) 22:37:43
死んだ方がいいほどじゃなくて死んだ方がいいよ。
0401１３２人目の素数さん2008/12/08(月) 09:47:02
答え書けば？
0402１３２人目の素数さん2008/12/08(月) 11:41:10
いずれにしろ下らん問題だ
0403kirijiro hori2008/12/12(金) 08:39:29
Suppose the interior of the unit circle is divided into two equal areas
by an arc C (i.e., C is a non{self{intersecting path) with end points on
the circle. Show that the length of C is at least 2.
0404kirijiro hori2008/12/12(金) 08:42:22
英文で解答せよ。

Suppose the unit square is divided into four parts by two perpendicular
lines, each parallel to an edge. Show that at least two of the
parts have area no larger than 1/4
0405１３２人目の素数さん2008/12/12(金) 09:00:27
Let the square be called ABCD and the four points of intersections
of the two line and AB,BC,CD,DA ''P,Q,R,S'' respectively,and the intersection of
PR and QS is O.

Now we can let $AP=x,AS=y$,with 0<x≦1/2,0<y≦1/2 without lose of generality,
thus we easily see that the smallest and greatest parts of the four parts are
APOS and QCRO respectively.and the area of APOS is smaller or equal to 1/4.

Then,suppose that both the area of PBQO and RCSO are larger than 1/4,then
(1-x)y＞ 1/4 and
x(1-y)＞ 1/4 　follow.
by adding these inequalities we have
-2xy+x+y＞ 1/2, so (1/2-x)(1/2-y)＞ 0.
this is contradict the assumption 0<x≦1/2,0<y≦1/2,so we have done.

0406kirijiro hori2008/12/12(金) 09:42:53
>>405
京大の大学院生か？
0407１３２人目の素数さん2008/12/12(金) 10:01:51
>>405
(1/2-x)(1/2-y)＞ 0.
じゃなくて
(1/2-x)(1/2-y)＜ 0.
ですた。

>>406
暇な学部生
0408１３２人目の素数さん2008/12/13(土) 21:18:26
＠　自演障害者と　無色ﾆｰﾄホモコテのお部屋でつ! 気分転換にコメントどうぞ（笑）
キーワードは「ホモ」 [風俗」

http://love6.2ch.net/test/read.cgi/chiri/1228617777/
0409１３２人目の素数さん2008/12/13(土) 22:06:41
i hold the fundamentally same view as 407's. but i've used Δx & Δy (both larger than zero).
here it goes...
let the perpendicular line positioned at (1/2+Δx,0) to (1/2+Δx,1)
and let the horizontal line positioned at (0, 1/2+Δy) to (1, 1/2+Δy)
now, the area of the upper right hand rectangular is obviously less than 1/4.
so let's work on the other two rectangulars.
the area of the upper left hand rectangular is (1/2+Δx)x(1/2-Δy),
which is 1/4+1/2Δx-1/2Δy-ΔxΔy .....(1)
the area of the lower right hand rectangular is (1/2-Δx)x(1/2+Δy),
which is 1/4-1/2Δx+1/2Δy-ΔxΔy .....(2)
now the case boils down to the matter of whether both (1) & (2) can be larger than 1/4.
in order for both (1) & (2) to be so, the following two equations need to be true, which are...
1/2Δx-1/2Δy>ΔxΔy ..... (3)
-1/2Δx+1/2Δy>ΔxΔy ..... (4)
but as the equation (3)+(4) indicate,
0>ΔxΔy contradicts the fact that both Δx & Δy are bigger than zero.
so this shows that at least either (1) or (2) has to be less than 1/4.
done!
0410１３２人目の素数さん2008/12/13(土) 22:22:04
英語ができるなんて凄いですね
0411１３２人目の素数さん2008/12/14(日) 01:36:30
>>408
しつこい石原？
0412１３２人目の素数さん2008/12/19(金) 22:33:40
円錐を任意の方向からみたときの断面積を求めなさい。
0413１３２人目の素数さん2008/12/19(金) 22:35:12
だから日本語しゃべれって
0414１３２人目の素数さん2008/12/19(金) 22:47:45
月の満ち欠けを時間で表すとき、月の見えてる面積を求めなさい
0415１３２人目の素数さん2008/12/19(金) 23:06:25
円錐は軸を底辺に直行する面で回転させるときだけ断面積が変わる。
三角はdxdy->costdxdy
円はdxdy->costdxdy
0416１３２人目の素数さん2008/12/20(土) 01:59:56
θを０＜θ＜９０を満たす整数とする

tanθ°が有理数となるようなθをすべて求めよ
0417１３２人目の素数さん2008/12/20(土) 07:36:17
arctan(a/b)
0418１３２人目の素数さん2008/12/20(土) 08:15:00
>>416
http://blog.livedoor.jp/seven_triton/archives/51338750.html

0419１３２人目の素数さん2008/12/20(土) 10:21:39
パイの有理数倍じゃないよ
0420１３２人目の素数さん2008/12/20(土) 14:48:52
正多面体は５種類しか存在しないことを示せ
0421１３２人目の素数さん2008/12/20(土) 16:50:45
オイラーの公式より明らか
0422１３２人目の素数さん2008/12/20(土) 23:09:45
>>419
ん？
>>418より，tanθ°が有理数となるのはθ=45°のときだけだと分かるだろ？
0423１３２人目の素数さん2008/12/21(日) 15:51:55
age
0424１３２人目の素数さん2008/12/21(日) 17:07:11
半径１の円に４個の円を最充填して４個の面積の和が最大になるように４個の円の各半径を求めなさい。
0425１３２人目の素数さん2008/12/21(日) 17:27:36
>tanθ°が有理数となるのはθ=45°のときだけ

arctan(1/3)=?

tanxは０ー＞１のすべての有理数をスパンする・・・＞ｔａｎｘが有理数になるxは無限にある。
QED
x=arctan(a/b)
0426１３２人目の素数さん2008/12/21(日) 17:52:46
２個のとき
2a+2b=1
S=pi(a^2+b^2)
=pi(a^2+(1-2a)^2/4)
=pi(2a^2-a+1/4)
dS/da=pi(4a-1)=0->a=1/4
S=pi/8 minimum
0427１３２人目の素数さん2008/12/21(日) 21:31:52
>>425
問題をよく読め。
>>416にθは整数って書いてあるだろ。
0428１３２人目の素数さん2008/12/22(月) 00:38:48
>>424
最小じゃなくて最大なの？
0429１３２人目の素数さん2008/12/22(月) 00:58:05
四角関数という単語から連想できる新しい関数を定義し
それを使った問題を作り、解け
0430１３２人目の素数さん2008/12/22(月) 21:37:51
πをかけて整数になるの？それじゃなおさらだな。
0431１３２人目の素数さん2008/12/22(月) 21:40:20
問題を書き写すときはちゃんとオリジナルの書き方を守るべきだ。それがコピーの最低条件の
礼儀です。πをかき漏らしてつっこまれている。
0432１３２人目の素数さん2008/12/23(火) 11:45:17
>>430-431
おまえらどこまで頭悪いんだよ……

>416 ：１３２人目の素数さん ：2008/12/20(土) 01:59:56
>θを０＜θ＜９０を満たす整数とする
>tanθ°が有理数となるようなθをすべて求めよ
　　　↑
ここに○があるのが見えないのか？？
それとも度数法というものを知らない？？

0433１３２人目の素数さん2008/12/23(火) 12:29:30
>>432はラジアンを知らないんだな。

物理や工学のようなレベルの低い分野はともかく、
数学ではそういう場合は(180/π)θと書く。
0434１３２人目の素数さん2008/12/23(火) 12:31:13
ごめん見えない
0435１３２人目の素数さん2008/12/23(火) 12:34:36
力のある人なら(π/180)θと書くと思うのだが。
0436１３２人目の素数さん2008/12/23(火) 13:00:26
平面上の４点O,A,B,Cが(→OA)・(→OB)＝1　(→OB)・(→OC)＝４
(→OC)・(→OA)=９をみたしいてる。点Ｃが直線ＡＢ上にあるとき
で、さらに線分ＡＢ上にないなら｜→OC｜の範囲tを求めよ。

これ数学が得意なやつも見落とす傾向ありの良問
0437１３２人目の素数さん2008/12/23(火) 13:06:44
>>433-435
ここは「京都大学入試作問者になったつもりのスレ」なんですが……

京大入試の云々を論じる人が，まさか伝説の問題「tan1°は有理数か」を知らないことはないよね？
http://hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/06/k02-22p/2.html

これを知ってれば，>>416が単なるこれの一般化であることは誰でも分かる。
当然，°が見えなくて弧度法と勘違いしたりすることもあり得ない。
もちろん，入試で「°を見落として弧度法だと思って解きました」なんて言い訳は通用しない。

「レベルの低い…」「数学では…」「力のある…」なんてのは，京大理学部数学科に言ってください。
0438１３２人目の素数さん2008/12/23(火) 13:08:47
tan1°は有理数のどこが伝説何だよ、他にもっと難しいのあるからな。
キャラだけで中身は普通な若手芸人と一緒だろ。
0439１３２人目の素数さん2008/12/23(火) 13:14:01
>>436
難しいな、学校の先生に聞けよ。
0440１３２人目の素数さん2008/12/23(火) 13:19:40
>>438
難易度じゃなくて入試史上問題文最短記録で伝説なんだよ。
0441１３２人目の素数さん2008/12/23(火) 13:23:32
>>440
実数とは何か。

６文字だろ。もっと知れ。
0442１３２人目の素数さん2008/12/23(火) 13:27:08
>>441
何大の何年の入試問題ですか？
0443１３２人目の素数さん2008/12/23(火) 13:31:15
>>442
どっかの大学で見た。
0444１３２人目の素数さん2008/12/23(火) 13:34:54
「πは無理数か」
0445１３２人目の素数さん2008/12/23(火) 16:13:06
π+e　を求めよ
0446１３２人目の素数さん2008/12/23(火) 17:39:35
どうせなら
実数とは何か、何であるべきか。
にしてほしい今日この頃。
0447１３２人目の素数さん2008/12/23(火) 18:31:58
>>433は今顔真っ赤にしてるんだろうね
なんだよ(180/π)θってｗ
0448１３２人目の素数さん2008/12/23(火) 18:35:19
京大で伝説と言うか神話なのは
『この関数みたす任意の値を求め、しるせ。その値を貴方の得点とする』
だと思うが
0449１３２人目の素数さん2008/12/23(火) 22:37:52
>>448
発想が面白いよねｗ

俺受験生だったら多分テンパるｗｗｗ
0450１３２人目の素数さん2008/12/23(火) 23:24:08
正確には，これだな。確かに神話だ。

＜1995年京大後期文系第４問＞
自然数 n の関数 f(n)，g(n) を
　f(n) = (n を 7 で割った余り)
　g(n) = 3 f (Σ[k=1,7]k^n)
によって定める。
(1)すべての自然数 n について f(n^7) = f(n) を示せ。
(2)あなたの好きな自然数 nを一つ決めて g(n) を求めよ。その g(n) の値をこの設問(2)におけるあなたの得点とする。
0451１３２人目の素数さん2008/12/29(月) 19:49:58
>>450

　1≦k≦6 のとき　k^6 ≡ 1　(mod 7)
　7^n ≡ 0　(mod 7)
より、
　g(6) = 3f(6) = 3*6 = 18,
　g(n+6) = g(n),
--------------------------
nが奇数のとき
　(7-k)^n ≡ -k^n,　(mod 7)
　納k=1,7] k^n ≡ 0,　(mod 7)
　∴ g(1) = g(3) = g(5) = 0,
nが偶数のとき
　(7-k)^n = k^n,　(mod 7)
　納k=1,7] k^n ≡ 2納k=1,3] k^n,　(mod 7)
　納k=1,7] k^2 ≡ 2(1+4+9) ≡ 0,　(mod 7)
　納k=1,7] k^4 ≡ 2(1+16+81) ≡ 0,　(mod 7)
　g(2) = g(4) = 0,
0452１３２人目の素数さん2008/12/29(月) 23:54:01
>>451
つまり、0点か18点しかあり得ないってことか。
kが8以上でも同じ議論だもんな
0453１３２人目の素数さん2008/12/30(火) 07:42:57
フェルマの小定理で瞬殺
0454１３２人目の素数さん2008/12/30(火) 22:52:37
京大数学の問題は思いつけば女子でもできる問題が多いね。おれは好きな
んだが。東大みたいに思いつくのも書くのも計算も面倒くさいのとは違っ
てシンプルでいい。
0455１３２人目の素数さん2008/12/30(火) 22:59:12
基本京大は教科書の定義をしっかり理解したらとける問題が多い。
東大や慶大はひねくれた問題が多い、都会の姑息さを感じるぜｗ。
0456１３２人目の素数さん2008/12/30(火) 23:28:14
>>455
京都は都会じゃないの？？
0457１３２人目の素数さん2008/12/30(火) 23:34:43
京大数学は基本算数。
0458１３２人目の素数さん2008/12/30(火) 23:35:32
70年代は京大最強だったのになぁ
0459１３２人目の素数さん2008/12/30(火) 23:44:47
最近の京大数学はクソだからなあ・・・
慶応にすら負けてんじゃないの？？
0460１３２人目の素数さん2008/12/30(火) 23:46:18
最近の京大数学は非医専用数学の駅弁大レベル
0461１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 00:12:03
>>458
70年代って・・・
一期校、二期校の時代かよ。
78年くらいに共通一次が始ったんだっけ？
そんな昔の問題見たことない。
80年代も難しいという評判だったが、70年代とは桁違いに
ぬるいのかね？
0462１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 00:51:24
ttp://hwm5.gyao.ne.jp/yonemura/archives.html
ここで70年以降の問題は全部見られるよ
0463１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 12:46:45
京大の数学一見難しそうだけど、考え方はワンパターンだな。
0464１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 13:06:03
90年代の東大が一番エゲつないと思う
あんなんで試験になってたのかね
0465１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 14:46:03
ずばり、なってませんでした。

ただ、受験数学に数々の名問題を提供し、
80年代にマンネリで閉塞状態にあった数学の入試問題の
新たな可能性を切り拓いた、と言っても大げさではないと思う。

全国の大学の教授たちに入試作問のアイデアを色々と
示唆したのではないだろうか。
0466１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 14:48:39
合格者が1完2完ばっかだった時期だな
完答ゼロでも合格できた
0467１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 16:39:32
ただ数学で差がつかないため、０点に近い奴も大量に入学。
その後の指導に困ったとか聞いた事がある。
それで元に戻したんだろう。
正四面体の影の問題は個人的には入試問題史上ベスト１だと思う。
0468１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 18:11:15
>>467
その問題についてｋｗｓｋ
0469１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 18:19:08
具体的にその年月出せや。わかんねーんだよ。
0470１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 18:44:11
>>467
誰から聞いたか具体的にいえよ。
0471１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 18:53:29
正四面体の影と言えば88年2番だ。
あとは>>462を見ろ。
0472１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 18:59:31
>>471
答えののってるサイトもついでにはれや。
0473１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 19:23:41
>>471
違ってるだろうが、まじでちゃんとしろ。お前が行ってるのは
相似のやつだろうが。
0474１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 19:32:37
http://hwm5.gyao.ne.jp/yonemura/t_pdf/88s.pdf の２番だろ。
ちょっと考えれば答の予想はつくが，正確な論証が恐ろしく難しいという伝説の問題。
0475１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 19:35:49
>>474
おまえがいってるのは東大だったのか、そのサイトのせろ。
>>462は京大でしょ？
0476１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 19:53:34
>>474
さっさとそのサイトはれ。まじで中途半端なことしかしねーな。
ぐぐってもでてこんぞ。
0477１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 19:59:48
http://hwm5.gyao.ne.jp/yonemura/
0478１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 20:06:53
>>477
答えもはれ、東大のは見つからん。
0479１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 20:27:10
これのどこかに。ただし書いてるのは気違いなので注意。
http://www16.ocn.ne.jp/~suuri/tuusinn/mistake.pdf
0480１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 20:33:31
大数の転載じゃん
0481１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 20:35:06
何かご不満でも？
0482１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 20:36:21
いや、大数の編集者ってキチガイなのかなと思ってさ
0483１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 20:53:47
大数の編集者は別に気違いではない。
0484１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 21:04:27
あの大数の解答は論理的にやや弱い。
多少減点食らうだろう。
0485１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 21:10:16
入試数学に少しでも携わってる人間なら，「正四面体の影の問題」といえば東大のあれしかないと分かるだろ。
しかも，>>464-467で90年代の東大入試の難易度のことを論じてるんだし。
正四面体の影の問題を知らなかったのなら，今月発売された
http://www.seibunshinsha.co.jp/books/ISBN978-4-7922-1041-0.html
を全部やって出直してきな。
0486１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 21:10:34
>>468-470>>472-473>>475-476>>478
お前は今後はもう少し謙虚な態度で臨むことだな。
0487１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 22:26:10
>>484
お前さぁ、釣りか？受験生はどうなるんだよ。玄人が描いた回答で原点だったら
受験生はどうなるんだよ、適当なことかくなや。まじで切れるぞ。京大受験生の
身にもなってみろ。
0488１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 22:51:00
受験生はもっと減点。単純な理屈だ。
0489１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 22:54:09
>>488
だから論理的に弱いだけで何で減点なんだよこら。減点の仕組みわからん
てめーが何いってんだか。
0490１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 22:57:23
分かったからもう寝ろ。
0491１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 23:04:11
てめーが寝ろ。減点ってのはなぁ、何をもって何だよ。日本語がおかしい
だけ、論理が弱いだけで減点されてたらまじで。
0492１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 23:10:03
プププｗｗ
お前不合格間違いなし。
頭悪い奴は努力しても無駄ｗｗ
0493１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 23:22:10
本当に馬鹿だな。減点ってのは受験生のレベルに合わして決めるんだよ。
てめーらがいちいち探って重箱の隅つついた指摘何て寛容の範囲だろ。
まじで殺すぞ、むかつくな。
0494１３２人目の素数さん2008/12/31(水) 23:26:20
プププｗｗ
お前不合格間違いなし。
頭悪い奴は努力しても無駄ｗｗ
0495KingMind ◆KWqQaULLTg 2008/12/31(水) 23:54:06
国賊を排除せよ。
0496１３２人目の素数さん2009/01/01(木) 00:19:38
>>493
まー、そりゃ受験生のレベルに合わせて決めるだろうね。
そのレベルがどのぐらいかは知らないけど、少なくともプロ以下ってことぐらいは分かるよ。
ただ必死になって言う事じゃないな
0497１３２人目の素数さん2009/01/01(木) 02:13:13
伝説の問題言うなら東大後期数学は毎年伝説だった気がするがｗ
まぁ98年後期のアレは安田先生ですら解けなかったとか、その安田先生が知り合いの数学者にFAXして
ギリギリ解答速報に間に合わせたとかメチャクチャな逸話があったりとか

ちなみに減点っていうか部分点は0点を大量に出すと問題だからそれをごまかすために決められることもごにょごにょ


って88年の2番…？
コレは知らん……
0498１３２人目の素数さん2009/01/01(木) 05:11:22
安田の本読んだだけのど素人はちょっと黙っとけ。
0499１３２人目の素数さん2009/01/01(木) 08:02:00
何だ、ただの煽りだったのかｗ
0500１３２人目の素数さん2009/01/01(木) 13:06:43
>>67
>>260
>>316
>>330
>>332
>>398
>>416
>>436

が未解決みたいだ。実力者の降臨を待つ。
0501１３２人目の素数さん2009/01/01(木) 23:57:46
>>67の問題とけた。
2d+1 5d+4 13d+12がすべて平方数であると仮定する。
すると
2d+1 = K^2
5d+4 = L^2
13d+12 = M^2
と表せるから、
L^2-K^2 = 3d+3
(L+K)(L-K) = 3(d+1)
よって、
(L+K,L-K) = (3,d+1)または(d+1,3)
前者の場合
　L+K = 3　より L=2 K=1（なぜならば設定よりL>K）
　となりLが平方数とならず仮定と矛盾する
後者の場合
　L=(d+4)/2
　であるから、冒頭の
　L^2 = 5d+4
　と連立してとくと、
　d=12
　となる。これを用いてMを求めると
　M=168
　となり、Mが平方数とならず仮定と矛盾する
以上より、題意は示された。
0502１３２人目の素数さん2009/01/01(木) 23:57:46
安田（笑）
0503１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 00:03:57
>>436 は既に別ｽﾚで既に解かれてる。結構簡単。
どっちかいうと悪問。
0504１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 01:11:26
>>501
＞(L+K)(L-K) = 3(d+1)
＞よって、
＞(L+K,L-K) = (3,d+1)または(d+1,3)

ここがわからない。俺がバカなのか。
説明頼む。
0505１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 01:30:11
>>504
それだけじゃ間違ってるようにしか見えない……
何か別の記述を忘れてるのかな？
0506１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 01:35:45
>>504
そうだな。そこ間違ってるな。別に素数じゃないんだし。
0507１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 01:37:06
＞L=2 K=1（なぜならば設定よりL>K）
となりLが平方数とならず仮定と矛盾する

これもよくわからない。Ｌが平方数を取るように設定したわけじゃないのに。
いろいろと間違ってるな
0508１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 01:40:08
安田に何か恨みでもあんのかコイツは…
0509１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 02:53:16
>>67
補題
　n^2≡0,1,4,9 mod.16である。
証明
nが奇数の時、n=2k-1となり、n^2 = 4k(k-1) + 1。k,k-1はどちらかが偶数なので、
n^2≡1 mod.8　となって、n^2≡1,9　mod.16
nが4の倍数でない偶数のとき、n=2(2k-1)、n^2=4(8m+1)≡4 mod.16
nが4の倍数のとき、n^2≡0 mod.16　　Q.E.D.

本題の証明
以下、dをmod.16で考える。
2d+1が平方数だとすると、2d+1≡0,1,4,9、　2d≡0,3,8,15、 d≡0,4
d≡4とすると、5d+4≡8となり補題に反する。
d≡0とすると、13d+12≡12なり補題に反する。
よって、2d+1,5d+4,13d+12のうちいずれかは非平方数

0510１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 03:00:57
>>509
＞2d≡0,3,8,15、 d≡0,4
d≡8やd≡12は？

d≡8なら
5d+4≡44≡4,
13d+12≡116≡4
になってmod16での平方剰余から外れないと思うんだが・・・
0511１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 03:02:53
あ、すまん
5d+4≡44≡12だから外れるな

d≡12も同様か
05125092009/01/02(金) 03:05:37
>>510
すまん、忘れてくれ
05135092009/01/02(金) 03:06:48
と、思ってたら結果オーライだったのか……
なんか気持ち悪いな。どっちにしろ>>509の論旨に間違いがあることは確かだな
0514１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 03:14:52
x(1)=a
x(n+1)=1/(1+x(n))
を満たす数列x(n)がn->∞の時に収束しないaの値をすべて求めよ
0515１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 03:26:38
-1と-2だろうか
0516１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 11:39:26
>>67は三つのうち二つが平方数になりうるときに初めて問題のていをなす
と思うが．
0517１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 13:13:39
>>516
d=4のとき
2d+1=9=3^2
13d+12=64=8^2
0518１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 13:54:54
日本数オリ本選で似たような問題が出ていたな.参考までに

2n^2+1
3n^2+1
6n^2+1
が同時に平方数になるような正の整数nは存在しないことを示せ.
0519１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 14:16:18
>>518
答えは？？
0520１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 14:47:42
>>67
本質的に
http://www.imomath.com/othercomp/I/Imo1986.pdf
と変わらんな
0521１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 14:56:02
>>519
もし全部平方数なら(2n^2+1)(3n^2+1)(6n^2+1)も平方数だけど
これを展開してうまく変形すると
(nの2次式)^2-1の形になって隣り合う正の平方数の差が1になって矛盾
0522１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 14:58:53
>>521
ありえなくね？　どうやって変形したの？
0523１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 14:59:57
>>522
ごめん(nの3次式)^2-1
だったわ
0524１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 15:03:26
>>523
同じくあり得ないと思う。要するにnの多項式とみなして変形したんだろ？
n=0の時にも、その変形は成り立ってるんだよな？

(2n^2+1)(3n^2+1)(6n^2+1) = (nの3次式)^2-1
n=0を代入して、ある整数mに対し
1 = m^2 - 1……にならない？
05255232009/01/02(金) 15:13:42
>>524
ごめん曖昧な記憶で適当なこと言ってたわ
俺死ねばいいのに。正しくは全部平方数だと家庭すると

(3n)^2*(2n^2+1)=18n^2+9n^2

(3n^2+1)(6n^2+1)=18n^2+9n^2+1

の2つも平方数。
2つの正の平方数の差が1になるので矛盾。
0526１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 15:20:08
>>525
こっちこそ突っ込みまくってスマン。
解答サンクス
0527１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 18:19:08
>>233, >>260, >>500

(1)　Σ[n=1,∞) 1/(n^2 －a^2) = {1 - πa/tan(πa)}/(2a^2),
(2)　Σ[n=1,∞) 1/(n^4 －a^4) = {2 - πa/tan(πa) - πa/tanh(πa)}/(4a^4),
(3)　Σ[n=1,∞) 1/(n^2 ＋a^2) = {πa/tanh(πa) - 1}/(2a^2),

(4)　Σ[n=1,∞) 1/(n^2 －a^2) * (-1)^(n-1) = {πa/sin(πa) - 1}/(2a^2),
(5)　Σ[n=1,∞) 1/(n^2 ＋a^2) * (-1)^(n-1) = {1 - πa/sinh(πa)}/(2a^2),
(6)　Σ[n=1,∞) 1/(n^4 －a^4) * (-1)^(n-1) = {(4) - (5)}/(2a^2),

高木:「解析概論」改訂第3版, 岩波書店(1962), p.283
0528１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 18:43:07
>>527
いやいや『どうやって』解くのか聞いてるんであって、答えは聞いてないから
0529１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 19:01:20
>>416
簡単のため度数「°」は省略するが、すべて度数表示とする。

tan45=1は有理数である
tan(90-x)=1/tanxより0<x<45について調べれば十分である.

(補題)tanxが有理数なら任意の正の整数nに対してtan(nx)も有理数である、ただし
tangentが定義されている場合のみ考える
(証明)tangentの加法定理よりtanx,tan(nx)が有理数ならtan(n+1)xも有理数である。
よって帰納的に示される.

さて,整数x(0<x<45)が素因数3をいくつ持つかで場合分けしよう.

(1)xが3と互いに素な場合.
tanxが有理数だと仮定すると補題からtan(30x)も有理数ということになるが(xと3は互いに素なので
30xは90の倍数にならなく,tan(30x)が定義されることに注意)実際にはこの場合ありうるtan(30x)の値
±1/√3,±√3はいずれも無理数なので矛盾する.よってtanxは無理数である.

(2)xが3で割り切れるが9で割り切れない場合
tanxが有理数だと仮定すると補題よりtan(10x)も有理数(同様に10ｘは90の倍数でないことに注意)
で10xは30の倍数なのでtan(10x)としてありうるのは±1/√3,±√3に限られ、(1)と同様に矛盾。
ゆえにtanxは無理数である.

(3)xが9で割り切れる場合.
これはtan9,tan18,tan27,tan36の4つがあげられる.
補題,またtan36=1/tan(54)から,いずれを有理数と仮定してもtan36が有理数であることが従う.
ところが実際にはtan36=（5－2√5）^(1/2).は無理数なので矛盾する.
ゆえにtanxは無理数である.

以上よりtanxが有理数になるような整数xはx=45のみであることが示された.
0530１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 19:33:00
tan36=（5－2√5）^(1/2).についてｋｗｓｋ
0531１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 19:47:25
>>530
36°は準有名角
0532１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 21:08:18
>>531
でも入試では使えないじゃん
0533１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 21:22:52
cos36°を計算してtan36°を求めても5分もかからんだろ。
0534１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 21:53:19
>>532
あってりゃ使ってもいいんじゃね？　論旨がどうとかってこととは直接関係ないし
0535１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 22:07:41
>>534
あってても使っちゃダメよ。
0536１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 22:08:23
>>533
cos36°の求め方についてｋｗｓｋ
0537１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 22:08:42
そんなとこに突っかかってる奴は程度が低いね
0538１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 22:28:33
ロピタルとかテイラー展開は馬鹿の一つ覚えだけど
cos 36°はそうじゃないから別に使っても良いと思うんだけどなあ。

大学によっては減点されるかもしれないけど
それは減点するほうが愚かだと思う。

東大や京大はロピタルにしろテイラー展開にしろ
馬鹿の一つ覚えで解けてしまう問題を出すほうが悪い、という立場だよね。
0539１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 22:36:11
というか、間違っているものを減点するならともかく、正しいのを減点する理由がよく分からん。
ましてや日本最高レベルの大学で。どう考えても受験用知識でしかないじゃない
日本の学校で勉強したことがない留学生が何かの理由で、東大を受験したとしてもロピタル使ったら減点されるのか？
アホくさくて理解する気にもなれん。

確か、高校で教えてないから証明は知らないはず。証明知らない定理は使っちゃダメ
ってロジックだっけか？
0540１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 22:39:26
cos36°使って減点するとは思えないね
少なくとも京大では。
合同式なんかもグレーゾーンだが大学入試懇談会では東大の採点官が
減点はしてないと認めてるし。
0541１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 23:07:59
わたし男だけど、
cos36°の求め方もわからないのにこのスレにいるおとこの人って・・・
0542１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 23:21:25
cos36°の求め方についてｋｗｓｋ
0543１３２人目の素数さん2009/01/02(金) 23:37:16
36°＝θとおくと、5θ＝180°であることから、
sin2θ＝sin3θが成り立つ。
ゆえに、2sinθcosθ＝3sinθ-4sin^3θ
∴sinθ（4sin^2θ+2cosθ-3）＝0
sinθ≠0であるから、4sin^2θ+2cosθ-3＝0
∴4cos^2θ-2cosθ-1＝0
∴cosθ=(1+√5)/4

これを自分で求めて解く問題が94年東大理系2番に出ている。
0544１３２人目の素数さん2009/01/03(土) 00:26:40
36°，72°，72°の2等辺三角形使ったほうが早いだろ
0545１３２人目の素数さん2009/01/03(土) 00:31:31
いや、記述答案に書くならたぶん>>543の方が早い。
0546１３２人目の素数さん2009/01/03(土) 03:50:04
>>544
その早さとやらをみせてほしいね
0547１３２人目の素数さん2009/01/03(土) 07:05:47
というか36度の値は旧帝クラス受けるなら最終的には暗記してしまうような。
見かける頻度結構高いし
0548１３２人目の素数さん2009/01/03(土) 07:58:37
>>547
ないない
0549１３２人目の素数さん2009/01/03(土) 09:04:58
>>547
ないない。数字に特別な意味が無いから覚える価値がない。
「求まる」ということだけ覚えとけばおｋ
0550１３２人目の素数さん2009/01/03(土) 09:29:23
せいぜい求め方を覚えておけば十分だよな。
値を覚えるなんてバカらしい。
0551１３２人目の素数さん2009/01/03(土) 10:13:58
結構受験生だと、求め方だけ覚えれば良いという発想に至らなくて
丸暗記しちゃう人も多い気がする。

sin 15°とかもそうだよね。

>>549
sin 30°もsin 45°も大した意味無いけどね。
でもみな覚えているよ。
0552１３２人目の素数さん2009/01/03(土) 10:16:13
意識して覚えなくても使ってたら覚わる
0553１３２人目の素数さん2009/01/03(土) 10:45:20
お前らくだらない議論はいいから問題制作するか未解決問題を解きなさい
0554１３２人目の素数さん2009/01/03(土) 11:39:01
f:N->Nが、任意の自然数nに対し、
f(f(n))≦(n + f(n))/2
を満たすとき、条件を満たす写像fをすべて求め、求めたものがすべてであることを証明せよ。
0555１３２人目の素数さん2009/01/03(土) 14:00:00
（６ｎ＾３＋３ｎ）＾２＜（２ｎ＾２＋１）（３ｎ＾２＋１）（６ｎ＾２＋１）＜（６ｎ＾３＋３ｎ＋１）＾２。
0556１３２人目の素数さん2009/01/03(土) 17:05:08
>>555
>>67の解法ね、鮮やかだな
0557１３２人目の素数さん2009/01/03(土) 17:06:49
>>67じゃなくて、>>518だった
0558１３２人目の素数さん2009/01/04(日) 00:20:51
>>436
原点Ｏ と直線ABCの距離をdとして、ABCをx軸にとる。
　Ｏ(0,0)　Ａ(a,d)　Ｂ(b,d)　Ｃ(c,d)
とおくと、題意より
　ab+d^2 =1,
　bc+d^2 =4,
　ca+d^2 =9,
　(c-b)(b-a) >0,
0559１３２人目の素数さん2009/01/04(日) 15:50:52
>>549
幾何的な意味をおまいが知らないだけ。
0560１３２人目の素数さん2009/01/04(日) 21:07:40
>>554
数列 {a_n} を a_1 = a, a_(i+1) = f(a_i) で定める。
f(f(n)) ≦ [n + f(n)]/2より帰納的にa_n ≦ max{a_1, a_2}が分かる。

従って{a_n}は有界であり、
ある k とある n に対してa_(k+n) = a_k となる。

a_1, a_2, ......, a_k, a_(k+1), ......, a_(k+n-1)
が全て異なる整数で、a_(k+n) = a_k となったとする。
このとき任意の i ≧ k に対して a_i と a_(i+1)の
いずれかはこの循環数列の循環節中の数の最大値である。
従ってmax{a_k, ......, a_(k+n)} = a_i としたとき、max{a_(i+1), a_(i+2)} = a_i だから
循環節の長さは 2 以下である。
このとき a_k ≦ [a_(k) + a(k+1)]/2, a_(k+1) ≦ [a_(k+1) + a_(k)]/2より
a_k = a_(k+1) であり、循環節の長さは必ず 1 となることが分かる。

さてf(f(n)) ≦ (n + f(n))/2 より n < f(n) ならば f(f(n)) < f(n) である。
一方上で述べたことより f(f(n)) = f(n)（循環節 1）。これは矛盾。
よって任意の n に対して f(n) ≦ n 。逆にこのとき問題の条件は明らかに満たされる。

以上より、 N を共通部分を持たない単調増加な
有限数列{a_1, a_2, ......, a_m} (a_i < a_j if i < j)
もしくは無限数列 {a_1, a_2, ......} (a_i < a_j if i < j)の直和として
N = (∪_a {a_i})と表わしたとき、
f(a_(i+1)) = a_i、f(a_1) = f(a_1)とするとこの f は条件を満たす。
また問題の条件を満たす f は全てこの形をしている。□
0561１３２人目の素数さん2009/01/04(日) 21:23:21
>>436
これどこが難しいの？
0562１３２人目の素数さん2009/01/04(日) 21:30:26
>>561
難しくない。
0563１３２人目の素数さん2009/01/04(日) 21:31:26
>>562
ｄｓｙｎ
0564１３２人目の素数さん2009/01/04(日) 23:47:39
>>560
> よって任意の n に対して f(n) ≦ n

反例：f；1，2，3，4，5，6，7，9，7，8，11，12，13，・・・
つまり、f(8)=9，f(9)=7，f(10)=8，その他のnでf(n)=n
7=f(f(8))≦(8+f(8))/2=17/2=8.5
7=f(f(9))≦(9+f(9))/2=8
9=f(f(10))≦(10+f(10))/2=9
その他のnではもちろんok
これらは問題の条件を満たしている

俺もちょっとやってみたんだけど、∃n　f(n)≦n　までしか分からないんだよね
俺ももちろん∀n　f(n)≦nだったらいいなとか考えてから∃n　f(n)＞nと仮定して
矛盾を探したけど上のような例を作ることが、
しかもうまく取れば無限個作れるから困った
0565１３２人目の素数さん2009/01/05(月) 00:03:00
f(1)=3.
f(3)=2.
0566１３２人目の素数さん2009/01/05(月) 01:01:58
>>554
　fは全射ぢゃなくていい？
05675542009/01/05(月) 01:06:12
すまん、単射
0568１３２人目の素数さん2009/01/05(月) 01:09:48
単射かよｗｗｗｗ
0569１３２人目の素数さん2009/01/05(月) 01:22:35
何か怪しいなとは思ったが、これ嘘だな
＞一方上で述べたことより f(f(n)) = f(n)（循環節 1）。

一時期 a_2 が循環節中に入ってないといけないと
錯覚してたのを引きずってたっぽい。
0570１３２人目の素数さん2009/01/05(月) 04:10:03
f(n)=n.
0571１３２人目の素数さん2009/01/05(月) 14:42:38
>>436
は京大生でも５人に４人は間違えそうな良問。
大抵の人は範囲を絞れない。
0572１３２人目の素数さん2009/01/05(月) 15:11:42
>>571=>>436
乙
間違えたのが自分だから正当化したいの？
0573１３２人目の素数さん2009/01/05(月) 15:22:41
>>572
then can you solove this provlem?alomost peopl point that
this problem is appearantly easy so utterly apt not to solve
but in fact this problem is so hard to solve completely
0574１３２人目の素数さん2009/01/05(月) 15:27:06
>>573
＞almost people

この時点でお前の頭の悪さは分かったから。数学よりまず中学の英語の勉強を薦めとく。
0575１３２人目の素数さん2009/01/05(月) 15:39:52
A lot of people who are acustomed to study high school math can
solve the bektle problem which ask for the mere and fixed bektle's
longest or weight on the fundation of certained grafic,but they are
very mistake the problem that ask for the range of possibility of
the bektle weight or longest
0576１３２人目の素数さん2009/01/05(月) 19:27:35
英語厨は帰れ。ここは数学の問題。日本にいるなら英語喋れや。
0577１３２人目の素数さん2009/01/05(月) 19:29:46
そうだ！ここは数学だけ京大レベルの自称本気出せば京大受かったやつらの集まりなんだぞ。
英語はやめろ！
0578１３２人目の素数さん2009/01/05(月) 21:24:51
>>436は某ｽﾚで

ちなみに京大生３人に
解かせましたが一人も正解でませんでした。数学質問板史上まれに見る
難問を出したわけですが、この問題は、どんなにレベル高い参考書にも
同じような問題は極めてないです、１個だけありましたが。

とか書いて失笑を買った問題。
0579１３２人目の素数さん2009/01/05(月) 21:31:08
>>436
はでも実際数学の本質を問うてるからな。何でも未知数が含まれてようが
変形して何とかなるだろうって考えでは答え出せないよ。
0580１３２人目の素数さん2009/01/05(月) 21:54:20
>>436
解説うｐ
0581１３２人目の素数さん2009/01/05(月) 21:57:09
>>579
誰かが引っかかって答えてくれるといいね
0582１３２人目の素数さん2009/01/05(月) 22:16:01
もういいよ、この話は。
0583１３２人目の素数さん2009/01/05(月) 22:18:50
|c↑|≧6
0584１３２人目の素数さん2009/01/05(月) 22:22:09
>>583
引っかかった？
0585１３２人目の素数さん2009/01/05(月) 22:23:34
>>584
間違ってんの？
一応複数の方法で確かめたつもりだが。
0586１３２人目の素数さん2009/01/05(月) 22:33:58
>>585
おや？
0587１３２人目の素数さん2009/01/05(月) 22:36:00
>>330
十分性が示せん・・・
0588１３２人目の素数さん2009/01/05(月) 23:07:28
あってるよ。
間違えるやついるの？
0589１３２人目の素数さん2009/01/05(月) 23:09:37
>>554,567　単射ならいけた

f：N→N 単射，
（＊）：　f(f(n))≦(n+f(n))/2　(∀n∈N)
としておく。これらを満たす写像fは、f(n)=n（∀n∈N）に限る。

[証明]
∃n'∈N s.t. f(n')＞n' と仮定する。
このとき、∀k≧2　f^k(n')＜f(n')　である。（ただし、fのk回の合成をf^kとかく）
∵）　数学的帰納法により証明する。
k=2のとき、（＊）を使うと、f(f(n'))≦(n'+f(n'))/2＜(f(n')+f(n'))/2=f(n')　∴f(f(n'))＜f(n')
k＞2において、k-1まで成り立つと仮定。
（＊）を用いて、
f^k(n')=f(f(f^{k-2}(n')))≦(f^{k-2}(n')+f^{k-1}(n'))/2
＜(f(n')+f(n'))/2　（帰納法の仮定）
=f(n')
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　//
このことから、f^k(n')はk≧2において高々1からf(n')-1までの有限個の値しかとらない。
したがって、∀k≧2　∃j≧2：k≠j　f^k(n')=f^j(n')　・・・（1）　となる。
今、k＞jとすると、fは単射だから、f^k(n')=f^j(n')⇒f^{k-1}(n')=f^{j-1}(n')⇒・・・⇒f^{k-j+1}(n')=f(n')
k-j+1＞1⇔k-j+1≧2だから、上の結果のf^{k-j+1}(n')＜f(n')に反する。k＜jとしても同様である。
これは（1）のk≠jに反する。
したがって、最初の仮定は誤りで、∀n∈N　f(n)≦n　・・・（2）　である。

また、∃n'∈N s.t. f(n')＜n と仮定したときも、上のときと同様に、∀k≧1　f^k(n')'＜n' （≧2でなく≧1に注意）となる。
したがって、f^k(n')はk≧1で有限個の値しかとらない。
また同様にしてfの単射性から、矛盾が生ずる（上のようにk，jを取ったときf^{k-j}(n')=n'，＜n'に反する）。
∴∀n∈N　f(n)≧n　・・・（3）
（2），（3）より、f(n)=n (∀n∈N)
逆に、f(n)=nは単射で、（＊）を満たす。　[]
0590１３２人目の素数さん2009/01/05(月) 23:53:22
不等号の代わりに等号でもいけるね。
この場合ちょっと工夫すれば普通の数列の問題になる。
0591１３２人目の素数さん2009/01/06(火) 01:43:54
実数aが1/a=a-[a]を満たすとき、aは無理数であることを示せ。
ただし、[a]はaを超えない最大の整数とする。
0592１３２人目の素数さん2009/01/06(火) 01:50:08
>>591
[a]=m(整数)とおく
1/a=a-m
⇔a^2-ma-1=0
aが有理数だと仮定すると
この2次方程式の判別式は平方数であることが必要.
つまり
D=m^2+4=n^2 (nは自然数)とかける
(n-m)(n+m)=4より(n-m,n+m)=(2,2)(-2,-2)
∴(n,m)=(2,0)
ゆえにa=±1だがこのときm=[a]は0にならないので矛盾する.
0593１３２人目の素数さん2009/01/06(火) 01:57:09
おまえらアタマ良過ぎだわ・・・食い物が違うのか？
0594１３２人目の素数さん2009/01/06(火) 14:20:57
＞(n-m)(n+m)=4より(n-m,n+m)=(2,2)(-2,-2)
(n-m,n+m)=(1,4),(4,1)(-1,-4),(-4,-1)
もあるな

あと判別式は０でもいい
0595１３２人目の素数さん2009/01/06(火) 14:36:25
D=m^2+4が0となることはない
n,mは整数なのでn-mとn+mの偶奇は一致するからその4つはありえない

こんなことはわざわざ書くまでも無くわかりきっていることだから592は省略したんじゃねーの？
実際のテストじゃないんだし、そんぐらい脳内補完してやれよ
0596１３２人目の素数さん2009/01/06(火) 14:43:51
>>594みたいに頭が悪いのもいるからちゃんとrephraseしてあげないと
0597１３２人目の素数さん2009/01/06(火) 16:50:22
数式をいじればとけそうな問題が多いな。もっと十分性色の把握が
必要な問題ないのか？こうだからこうなるてきな必要的機械作業は
つまらん。
0598１３２人目の素数さん2009/01/06(火) 16:54:28
>>597
>>330
0599１３２人目の素数さん2009/01/06(火) 18:10:22
>>549
今更だが…
ただ単に出てくる頻度が多いから嫌でも覚えらさってしまうって程度の意味だ、そうカリカリすんな
0600１３２人目の素数さん2009/01/06(火) 18:15:07
>>598
サンクスｗｗ
むずすぎて屁で宗だ。
0601１３２人目の素数さん2009/01/06(火) 18:44:48
>>13 B**
>>34 C****
>>51 C***
>>67 C***
>>96 B****
>>106D*****
>>107C***
>>123B***
>>124B***
>>126A**
>>197B**
>>316D
>>325C***
>>330D
>>343B***
>>357B**
>>416C***
>>436B***
>>514C****
>>554D*****
>>591B**
0602１３２人目の素数さん2009/01/06(火) 20:16:31
何このAとかBとか***って？
0603１３２人目の素数さん2009/01/06(火) 20:18:40
難易度と時間
0604１３２人目の素数さん2009/01/06(火) 20:28:20
Aが一番難しいのか？
0605１３２人目の素数さん2009/01/06(火) 20:44:47
A．．．ｷｽ
B．．．ﾍﾟｯﾃｨﾝｸﾞ
C．．．ｾｯｸﾙ
D．．．ﾆｼﾝ
I．．．中絶
0606１３２人目の素数さん2009/01/06(火) 20:45:10
覚わるとか覚えらさってしまうとか
どこの方言だよ
0607１３２人目の素数さん2009/01/06(火) 20:58:02
日本だろｊｋ
0608１３２人目の素数さん2009/01/06(火) 21:11:34
n≧kをみたす任意の整数nに対して
n＜m^2＜(2009/2008)*n
となるような整数mが存在するような正の整数kのうち最小のものを求めよ。
0609１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 00:44:49
>>128
それぞれの平方数をp,q,rとしたときp=q=rは成り立たないよ？
ってことでその解答は誤り

一応解答ね
（６ｎ＾３＋３ｎ）＾２＜（２ｎ＾２＋１）（３ｎ＾２＋１）（６ｎ＾２＋１）＜（６ｎ＾３＋３ｎ＋１）＾２
すべての数が平方数であればその積も平方数になるはずなので上の不等式より
すべての数が平方数となることはない
0610１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 01:01:20
>>601
近年になって#(無制限)と･(5分)も使うようになったよ
0611１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 01:59:33
(tan1*tan2*…tan44)^(1/44) ＜ -1 + √2 ＜ (tan1 + tan2 + … +t an44)/44

を示せ。ただし、tanは度数法
0612１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 08:48:51
>>609
ZEUS乙
0613１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 14:10:14
>>606
覚わるは知らんが、覚えらさるは北海道弁

ラ抜き言葉もこの流れを汲んでる北海道弁の一種だったりする
0614１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 18:31:31
Ｎメートルの紐を使ってエンブレムをつくりたい、正し、紐は２本に切って
それぞれからある形をつくる。その形の条件として、紐をＡ、Ｂとすると。
どちらかは円でなければならない、またもう片方は多角形でなければならない。
この多角形と円を組み合わせでエンブレムをつくるわけだが、どちらかが
片方に内接または外接してないといけない。このときエンブレムを構成する
円と多角形の面積の和の最大値を求めよ。

時間　無制限
0615１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 18:35:30
問題分が意味不明
0616１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 18:42:51
全ての三辺の長さが異なり、度数で表した場合全ての角がことなり度数で
表すと自然数になるような三角形はいくつあるか。またそれは何か。
0617１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 18:45:26
３つの連続した素数は必ず一定の公式で表現できることを表せ。
0618１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 18:46:26
それは何かって
んなもんいっぱいあるだろ
0619１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 18:46:57
また糞問のオンパレードになってまいりました
0620１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 18:54:07
>>616
まず二角の大きさが等しい⇔二辺の長さが等しいという
小学生でも知っている事実に気付くかどうかが鍵なわけですね、わかります。

>>617
いみふ

>>614
「正し」ってのは「間違いを正し、叱責する。」みたいに使わんかな。
普通「但し」と書くような。

つうか計算がメンドイだけの問題だし、しかも何か計算してみたら
実は最大値は存在しなかった、みたいなことになりそうだから
解く気しないんだよな
0621１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 18:55:42
エンブレム（笑）
0622１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 18:56:12
R=N人の人が一対一のじゃんけんで勝敗を決める時、誰かが必ず
できる必然の最大連勝数はいくらか？ただしN→∞とはしてはい
けない。 最大連勝数R(max)をNを用い表せ 。試数の数はＭ回とし
いろいろな組み合わせで決定される数なので、敗者は負けても、
Ｍ回の組み合わせに含まれる試合の中で戦うことが可能である。

リベンジ
レベルＥ***
0623１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 18:57:29
>>622
問題文の意味がわからない。
日本語で書けよ
0624１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 18:57:51
大数のランキングにEとかねーよｗ
しかも標準解答時間が30分かよ
「いろいろな組合せで決定される」とか言われても困る

厨は帰れ
0625１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 19:01:00
Ｎ人の人間が、一定のシステムによって作られた試合の中でじゃんけんに
よる１ＶＳ１による試合を行うとし、１回の試合で必ず１回どちらかが勝ち
その勝ちは１勝としてカウントされる。試合のシステムを決定した場合、
任意の誰かが必ず連勝できる最大の回数を求めよ。
0626１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 19:03:59
もういいから
お前が日本語すらも理解できていないのがよくわかる
0627１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 19:12:08
自然数の範囲において閉区間【X、Ｙ】で、ある自然数Ａの平方数をＡ１とする。
Ａ(１)の平方数をＡ(２)とする。この繰り返しによりＡ(N)(Ｎは自然数)が存在す
るとする。X=X＋Ｍ、Ｙ＝Ｙ＋Ｍとおいて、（Ｍは自然数）Ｍ→∞とするとき
閉区間【Ｘ、Ｙ】におけるＮの大きさはどう変化していくか。

難易度Ｄ************

0628１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 19:18:27
>>627
日本語でokだよ。
0629１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 19:22:19
>>585
あってるよ。
0630１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 19:24:59
＞難易度Ｄ************
問題文(日本語になっていない)を解読する難易度が
これだけ高いということだな。
0631１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 19:25:07
N^N=√Ｎとなる自然数Ｎは存在するか。京大１９４９年後期
0632１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 19:25:55
マジで厨は帰れ。せめて青チャートやってから来い。
0633１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 19:27:21
>>631
そんな問題ねーよｗｗｗｗ
0634１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 19:30:43
N^(N-1)と(N-1)^Nではどちらが大きいか。正しＮは２以上の自然数とする
0635１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 19:37:44
１０桁の素数を１個作れ、またその方法論を述べよ。１９５９年京大
0636１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 19:42:04
素数が存在しない桁は存在するか？１９５９年京大
0637１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 19:57:53
ある素数をＮとする、Ｎの平方数をＭとする。Ｍ－Ｎが素数、Ｍ＋Ｎが
素数となるようなＮは存在するか。
0638１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 20:11:20
ＮがＮであるための必要条件へせよ。
0639１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 20:12:14
ｓｄｆｓｄｆｓｄｆｓｄｆｓｄｆ
0640１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 21:03:19
自然数nの関数f(n)をnを31で割った余りとして定める.あなたの好きな10桁の素数nを一つ決めてf(n)を求めよ.そのf(n)の値をこの設問におけるあなたの得点とする.
0641１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 21:10:55
座標空間で，原点を中心とし､半径1の球面をKとする．
KがK上の点,a(1,0,0),b(0,1,1)を結ぶ直線のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ｡

京大実践【5】の改です｡簡単か...。
0642１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 21:12:51
↑　誤:b(0,1,1) → 正:b(0,0,1)
0643１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 22:00:41
ZEUSって基地外
0644１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 22:30:51
>>330　答：aが有理数
添え字の簡素化のため、数列(a[n])を、a[0]=a≧0なる公差1の等差数列とする。
　　∃i，j，k：i≠j≠k s.t. a[i]，a[j]，a[k]がこの順に等比数列　⇔　aが有理数
を示す。

[証明]
=>：　a[n]は公差1の等差数列だから、a[n]=a+nである。
仮定から、a[i]，a[j]，a[k]が等比数列となるようなi，j，k（i≠j≠k）が存在する。
よって、a[j]/a[i]=a[k]/a[j] ⇔ a[i]a[k]=a[j]^2 ⇔ (a+i)(a+k)=(a+j)^2 ⇔ (i-2j+k)a=j^2-ik　・・・（1） である。
ここで、i-2j+k=0とすると、k-j=j-iだから、i，j，kはこの順に等差数列である。
したがって、∃d∈Z s.t. i=j-d，k=j+d である。
（1）より、0=j^2-ik=j^2-(j-d)(j+d)=d^2 ゆえにd=0となり、i≠j≠kであることに反する。したがって、i-2j+k≠0である。
よって（1）より、a=(j^2-ik)/(i-2j+k)となり、aは有理数である。

<=：　aを非負な有理数とする。したがって、a=p/q（p，q∈N）とかける。
i=p，j=p(q+2)，k=p(q^2+3q+3)とすると、i≠j≠kで、
　a[i]=p/q+p=(p/q)*(q+1)
　a[j]=p/q+p(q+2)=(p/q)*(q+1)^2
　a[k]=p/q+p(q^2+3q+3)=(p/q)*(q+1)^3
なので、a[i]，a[j]，a[k]はこの順に等比数列となる。　　　　■
0645１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 22:31:25
>>644
かっけーっす
0646１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 22:32:12
自然数の範囲において閉区間【X、Ｙ】で、ある自然数Ａの平方数をＡ１とする。
Ａ(１)の平方数をＡ(２)とする。この繰り返しによりＡ(N)(Ｎは自然数)が存在す
るとする。X=X＋Ｍ、Ｙ＝Ｙ＋Ｍとおいて、（Ｍは自然数）Ｍ→∞とするとき
閉区間【Ｘ、Ｙ】におけるＮの大きさはどう変化していくか。
0647１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 22:38:52
>>330が入試に出たとして正答率どれくらいになるんだろう
0648１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 23:12:07
>>644
前半は(1)よりaが無理数だと仮定すると
i-2j+k＝j^2-ik＝0 より i，k は
t に関する2次方程式 t^2－2jt＋j^2＝0 の２解（重解）で
i≠k に矛盾．

では駄目？
0649１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 23:32:33
>>648
間違いじゃないなら文句を付けることはできないけど
i-2j+k≠0が言えればaが有理数であることは（1）の形から自明なのに
わざわざaを無理数と仮定する必要が感じられない
そう俺は思うだけ

あと
>前半は(1)よりaが無理数だと仮定すると
>i-2j+k＝j^2-ik＝0 より i，k は
>t に関する2次方程式 t^2－2jt＋j^2＝0 の２解（重解）
がよく分からない
0650１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 23:34:15
>>649
解と係数じゃね?
0651１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 23:36:39
ﾌ━━━(　´_ゝ`)━━━ﾝ!!
0652１３２人目の素数さん2009/01/07(水) 23:43:21
>>649
そのi-2j+k≠0を示すのに手間取ってるように見えるけど。
0653１３２人目の素数さん2009/01/08(木) 00:01:19
>>650
そうだったねサンクス

>>652
2次方程式使うにしても、aを無理数と仮定するプロセスは特別必要ではない
i-2j+k=0としたら（1）からj^2-ik=0が出てくるんだから
それで2次方程式使うほうにもっていけばいい

>>644がややこしいというなら2次方程式を使えばいいし
どうしても無理数と仮定したいなら別に間違いじゃないし好きにすればいいと思う
0654１３２人目の素数さん2009/01/08(木) 00:05:50
好きにすれば良いとおもうね。
0655１３２人目の素数さん2009/01/08(木) 00:07:23
>>644
(2)のうまくi,j,kを持ってくる発想はどっから来たのか教えてくれ
いくつかの具体的な有理数を考えたときうまく等比数列を作れたから
答えの見当はついたけど、証明がまったく歯が立たなかったorz
0656１３２人目の素数さん2009/01/08(木) 00:21:35
>>655
まず、a[n]=p/q+n=(qn+p)/qで
もし、nがpの倍数なら、すなわちn=pmのようにかけたら
a[n]=(]qn+p)/q=(pqm+p)/q=(p/q)*(qm+1)ってなる
だから、qm+1についてmをうまく動かしたら等比になるようにすればいいって考えた
特にm=1としてみて
s(q+1)=qs+sとなって、このqs+sがq*整数+1の形となるためには
s≡1(mod q)であればいい
だからs=q+1なんかにしてみる
s(q+1)=(q+1)^2=q(q+2)+1となって、次のmはq+2
同様にs(q+1)^2=(q+1)^3=q(q^2+3q+3)+1だからまたその次のmはq^2+3q+3
だから最初のn=pmのところにmをいれて
i=p，j=p(q+2)，k=p(q^2+3q+3)と取ればｳﾏｰ
だいたいこんな感じ
0657１３２人目の素数さん2009/01/08(木) 00:24:47
>>656
おーサンクス！めっちゃ勉強になるわ
0658１３２人目の素数さん2009/01/08(木) 01:06:49
>>608
122488

>>631
N=1
0659１３２人目の素数さん2009/01/08(木) 01:16:33
>>658
間違い
ex.n=1000^2

1000^2＜2009/2008*1000^2=1000498,0＜1001^2
0660１３２人目の素数さん2009/01/08(木) 01:51:32
n＞0が奇数の時、
納k=1,n-1] {(-1)^(k-1)}*{(n-k)/(k+1)} = 納k=1,(n+1)/2]{(4k-2)/(2k+n+1)}
を示せ
0661１３２人目の素数さん2009/01/08(木) 01:55:22
>>660訂正
n＞1
0662１３２人目の素数さん2009/01/08(木) 13:04:50
自演臭が漂うね
0663１３２人目の素数さん2009/01/08(木) 13:44:07
自演も何も、660=661は単なる修正だと思うが……
0664１３２人目の素数さん2009/01/08(木) 14:18:57
>>608
k=16136289
になったけど、あってる？
0665１３２人目の素数さん2009/01/08(木) 16:03:57
16136288 ＜ 4017^2 ＜ (2009/2008)*16136288
0666１３２人目の素数さん2009/01/08(木) 17:21:27
一個ずれてた・・・orz
16128257か
0667１３２人目の素数さん2009/01/08(木) 17:26:49
16136288だろ
06686602009/01/08(木) 17:50:43
寝ぼけてた……

n＞1の奇数のとき、
納k=1,n] {(-1)^(k-1)}*{(n-k+1)/(k+1)} = 納k=1,(n+1)/2]{(n-2k+2)/(n-k+2)}
を示せ
0669１３２人目の素数さん2009/01/08(木) 18:56:36
>>668
簡単のためmを自然数としてn=2m+1とおこう.
納k=1,2m+1] {(-1)^(k-1)}*{(2m-k+2)/(k+1)} = 納k=1m+1]{(2m-2k+3)/(2m-k+3)}
を示せばよい.

左辺=(2m+1)/2-(2m)/3+(2m-1)/4-･･･-2/(2m+1)+1/(2m+2)
=-[(2m+1)/2+(2m)/3+(2m-1)/4+･･･+2/(2m+1)+1/(2m+2)]+2[(2m+1)/2+(2m-1)/4+･･･+1/(2m+2)]
=-[(2m+1)/2+(2m)/3+(2m-1)/4+･･･+2/(2m+1)+1/(2m+2)]+[(2m+1)+(2m-1)/2+･･･+1/(m+1)]
=-Σ[k=1,2m+1]{(2m+2-k)/(k+1)}+Σ[k=1,m+1]{(2m+3-2k)/k}
=-Σ[k=1,m]{(2m+2-k)/(k+1)}-Σ[k=m+1,2m+1]{(2m+2-k)/(k+1)}+(2m+1)+Σ[k=1,m]{(2m+1-2k)/(k+1)}
=Σ[k=1,m]{-(2m+2-k)/(k+1)+(2m+1-2k)/(k+1)}-Σ[k=m+1,2m+1]{(2m+2-k)/(k+1)}+(2m+1)
=Σ[k=1,m](-1)-Σ[k=m+1,2m+1]{(2m+2-k)/(k+1)}+(2m+1)
=-m-Σ[k=m+1,2m+1]{(2m+2-k)/(k+1)}+(2m+1)
=m+1-Σ[k=1,m+1]k/(2m-k+3)
ゆえに
左辺-右辺=m+1-Σ[k=1,m+1]k/(2m-k+3)-納k=1m+1]{(2m-2k+3)/(2m-k+3)}
=m+1-Σ[k=1,m+1][k/(2m-k+3)+(2m-2k+3)/(2m-k+3)]
m+1-(m+1)=0
よって示された.


参考問題

p,qが
p/q=1-1/2+1/3-1/4+･･･-1/(1318)+1/(1319)
をみたす自然数のときpは1979の倍数であることを示せ(国際数学五輪1979)
0670１３２人目の素数さん2009/01/08(木) 20:29:39
>>608の解答うｐまだ？
0671１３２人目の素数さん2009/01/08(木) 22:10:31
めちゃめちゃ自演クサいな
0672１３２人目の素数さん2009/01/08(木) 22:21:58
解けないからってひがむな
0673１３２人目の素数さん2009/01/09(金) 06:47:26
実数xに対して、xを超えない最大の整数を[x]と表すこととし、さらに、{x}=x-[x]と定める。
nおよびaを正の整数として、
S_n={√a}+{√a}^2+・・・+{√a}^n
とおくとき、条件「あるnに対してS_nが有理数となる」が成り立つようなaをすべて求めよ。
0674１３２人目の素数さん2009/01/09(金) 11:46:02
自分で問題書いて、自分で回答、そして自分をマンセーw
0675１３２人目の素数さん2009/01/09(金) 18:28:36
そして自分は煽るだけ、と
0676１３２人目の素数さん2009/01/09(金) 18:34:30
自演だと思うのは自分に実力がないからだろう
「こんな問題解けるやつが２ちゃんにいるはずがないお！」とか思ってんじゃね
0677１３２人目の素数さん2009/01/09(金) 19:48:17
掲示板までわざわざ来て学歴語るって…お前らよっぽどのヒマ人だな。
周りにそんな話ししてるやつなんかいないだろう。

ここにレスしてるやつなんて同じようなヤツばっかだろ。
ほとんどが駿台生で、何らかの劣等感を味わいながら生きてるやつばっか。勉強はできるが学歴しか取り柄がないんだな。

普通に生きてる人間にとっては高学歴だの大学のランクだのなんてどうでも良いんだよ。
それよりコミュニケーションスキルだったり対人関係構築能力の方がよっぽど大事だろ。


てか、そもそもそこまで学歴に執着してること自体異常だと思う。しょせん受験勉強ができると認められただけの話しだろ
0678１３２人目の素数さん2009/01/09(金) 20:01:37
どこの誤爆だよ
0679１３２人目の素数さん2009/01/09(金) 20:03:14
強い口調で書いちゃったから「誤爆しましたすいません」なんてかっこ悪いこといえないんですね
わかります
0680１３２人目の素数さん2009/01/09(金) 20:32:08
自演自演言ってるやつの基地外ぶりにﾜﾛﾀ
0681１３２人目の素数さん2009/01/09(金) 21:14:45
次の２条件を満たす写像 f：R→Rをすべて求めよ
・ x ＜ y ⇒ f(x) ＜ f(y)
・ f(x) + f^(-1)(x) = 2x
0682１３２人目の素数さん2009/01/09(金) 21:21:44
次の２条件を満たす写像 f：R→Rをすべて求めよ
・ x ＜ y ⇒ f(x) ＜ f(y)
・ すべての実数xに対し、f(x) + f^(-1)(x) = 2x
0683１３２人目の素数さん2009/01/09(金) 21:52:38
>>682
> ・ すべての実数xに対し、f(x) + f^(-1)(x) = 2x
681を書き直すよりも　記号　f^(-1)　の意味を書くほうが親切かな。
エスパー５級発動すれば、分からないこともないとは思うが、
出題者の説明を読むのが一番だからな。
06846812009/01/09(金) 21:57:10
逆関数
0685１３２人目の素数さん2009/01/09(金) 22:32:49
ﾅﾙｼｼｽﾄ野郎が同じような問題ばっかり書いてﾊﾞﾛｽ
0686１３２人目の素数さん2009/01/09(金) 23:04:47
>>685
どれのこと？
0687１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 00:42:14
>>684が>>683が意図するところをまったく分かってない件
0688１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 00:50:10
>>683のコメントﾜﾛﾀｗ
0689１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 01:04:03
問題のレベルがどれも京大入試（昔含めて）よりかなり上に行ってると思うんだが
0690１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 01:21:46
>>689
入試レベルの問題を出すと、
くだらんカス問と言われて誰も解かない。

まあいいんじゃないか。数学板だし。住民の趣味嗜好に応じて進めれば。
0691１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 02:04:44
>>683は大学入試の問題としては逆函数の説明があるべき、と言ってるんだろう。
ちょっと高校数学の数IIIでどうなってたか覚えてない。
logか e^x かどっちかの微分を求めるときしか使わないからもしかしたら無いかも。
0692１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 02:13:26
ありますよ。
0693１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 02:27:39
>>683
f(x) = x ± c だけ。

ただ言葉での証明が面倒だ

f の逆函数を g とする。 f が条件をみたす ⇔ g が条件をみたす
に注意。 A (a,f(a)) と B (b,f(a)) の間の平均の傾きが t であったとしよう。このとき、
f 上の点 A : (a, f(a)) を g の点 A1 : (a, g(a)) = (a, 2a - f(a)) に写す
操作ア、或いはその逆の操作と、
f の点 A : (a', g(a')) を f の点 A2 : (g(a'), a') = (a, g(a)) に写す
操作イ、或いはその逆の操作（ y = x に関する対称点に写す操作）を考える。
A1B1の傾きは 2 - t に、A2B2の傾きは 1/t となる。
よって f 上の二点間の平均の傾き t の集合は、
かつ写像φ(t) = 1/t と ψ(t) = 2 - t について閉じている。
t は常に 0 ＜ t を満たす。ψについて閉じているから t ＜2 = (1+1)/1。
t ＜ (r+1)/r とすると、φについて閉じていることを使って
t ＞ r/(r+1) が分かり、さらにψについて閉じていることを使って
t ＜ (r+2)/(r+1) が分かる。 従って任意の整数に対して t ＜ (N+1)/N。つまり t ≦ 1。
φについて閉じていることをつかって 1 ≦ t。
つまり t = 1 で、あとは f 上の任意の点(a, f(a))をとり f(a) - a = c とおくと f が唯一に定まる。
0694１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 02:33:23
いろいろとtypoがあったっぽい。失礼。
数学論文にtypoや誤植が多い理由を悟った気がするｗ

【誤】A (a,f(a)) と B (b,f(a)) の間の平均の傾きが t であったとしよう。
【正】A (a,f(a)) と B (b,f(b)) の間の平均の傾きが t であったとしよう。

【誤】
f の点 A : (a', g(a')) を f の点 A2 : (g(a'), a') = (a, g(a)) に写す
操作イ、或いはその逆の操作（ y = x に関する対称点に写す操作）を考える。
【正】
f の点 A : (a, f(a)) を g の点 A2 : (f(a), a) = (a', g(a')) に写す
操作イ、或いはその逆の操作（ y = x に関する対称点に写す操作）を考える。

【誤】
かつ写像φ(t) = 1/t と ψ(t) = 2 - t について閉じている。
【正】
「かつ」を削除
0695１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 05:51:19
>>608, 666

k = 4016^2 +1 = 16128257

nを超える最小の平方数を f(n) とおく。
　f(n) = M　　⇔　　(M-1)^2 ≦ n < M^2,
n=(M-1)^2 について題意が成り立てば、 (M-1)^2 ～ M^2 -1 のすべてについて成り立つ。

詳細は
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1220115988/426
T大入試作問者スレ１６
0696１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 11:33:45
関数ｆの逆関数ｆ＾（-1）が存在するとき、
ｆが単調関数であるための条件を求めよ。
0697Gauss ◆Gauss//A.2 2009/01/10(土) 11:55:11
Re：>>696 その条件は逆関数の定義から明らかに、f^(-1)が狭義単調増加ではないのか。
0698１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 13:27:30
>>697
x≠0,1 のとき f(x)=x
f(0)=1,f(1)=0
0699Gauss ◆Gauss//A.2 2009/01/10(土) 13:31:48
Re：>>698 勉強になりました。
0700Gauss ◆Gauss//A.2 2009/01/10(土) 13:38:37
ここのスレでは大学でも通用するような定義を採用しているのですね。
0701１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 13:48:26
>>698
それ単調函数じゃないじゃん
0702１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 13:52:40
>>700
逆関数の定義は1対1対応からきてて高校も大学も同じだと思うよ。
0703１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 13:53:32
697 へのレスだから、それでいいでしょ。
0704Gauss ◆Gauss//A.2 2009/01/10(土) 14:05:17
Re：>>702 教科書を確認しました。確かに1対1対応からでした。高校では連続関数についてのみ考えるのだと思い込みをしていました。
0705１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 14:07:34
gaussはking以下
0706１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 14:14:06
[x]をxを超えない最大の整数とする。

nが自然数全体を動く時、[n + √n + 1/2]は平方数以外のすべての自然数をとることを示せ。
0707１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 14:17:00
10進数表記で1000桁の自然数がある。どの桁の数も5にならないとき、この数は平方数でないことを示せ
0708１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 14:32:55
どの面も辺の数が異なる多角形になるような凸多面体は存在するか。
ただし、凸多面体とは、多面体上の任意の二点A,Bに対し、線分ABが多面体内に存在するもののことを言う。
0709１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 14:42:33
a,bを整数として、二次関数f(x)=x^2 + 2bx + cが任意の整数nに対し、f(n)≧0を満たすとき、
任意の有理数rに対して、f(r)≧0であることを示せ。
0710１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 15:21:10
>>709
またお前かw
0711１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 15:43:10
>>707
(10^500 -1)^2=10^1000-2*10^500 +1
07127072009/01/10(土) 16:04:20
なんか寝ぼけてたので忘れてくれ
0713１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 16:14:36
>>709
cの条件は？
0714１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 16:31:23
>>713
cも糞もないだろw
0715１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 16:40:54
∀x(x∈R⇒x+c=0)
0716１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 17:04:56
>>696
fが連続関数
0717１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 17:13:47
f: R-{0} ->R-{0}
　 　　x l-> 1/x
0718１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 17:19:11
>>717
連続とは定義域内での概念。
1/x は連続関数。
07197092009/01/10(土) 17:32:29
すげーボケてるわ
a,bを整数として、二次関数f(x)=x^2 + 2ax + bが任意の整数nに対し、f(n)≧0を満たすとき、
任意の有理数rに対して、f(r)≧0であることを示せ。

有理数じゃなくてもいいじゃんって突っ込みはなし
0720１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 17:33:32
>>719
よくそんなつまらん糞問思いつくね
0721１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 18:05:55
高校の定期試験レベル
0722１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 18:29:49
a,bを整数とし、nを自然数とする。また、[x]をxを超えない最大の整数とする。
nの方程式[na]=[nb]が無限個の解を持つとき、na=nbであることを示せ。
0723１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 18:50:04
これはひどい
0724１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 19:48:57
A+B+C=πを満たすとき、sinA+sinB+sinCの最大値を求めよ。
0725１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 19:49:40
有名問題すぎ吹いた
0726１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 19:50:52
答えは重要じゃないYO!
0727１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 20:27:29
>>722
何で既に整数である数の整数部分を取るんだ？
問題に書いてある事の意味くらい理解してから書いてよ。
0728１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 20:28:52
>>696は
f^(-1) が単調、で良いと思うんだけど。
>>698は反例でも何でもないし。
0729１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 20:40:14
>>728
fが単調ならf^(-1)も単調になると思うが。
0730１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 21:14:57
逆も成り立つってだけで
別に何も問題ないような気がするが……

なんか勘違いしてる？
0731１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 21:27:00
>>696
逆関数が存在しようとしまいと、fが単調関数であるための条件は
fが単調関数である事じゃないのか？
0732１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 22:12:04
今日の番組の問題をちょっとアレンジしてみた。

平面上に、どの4点も同一直線上にない異なる9点がある。
この9点を並び替えて、同一直線上にある3点の組が最も多くなるようにしたとき、
その3点の組はいくつあるか？
0733１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 22:21:11
>>732
＞並び替えて
意味不明
0734１３２人目の素数さん2009/01/10(土) 22:31:55
>>731
それはあるよね
f が単調というのを言い換えよというのなら
もっと簡単な条件に言い換えないとダメだと思う
0735１３２人目の素数さん2009/01/11(日) 05:33:00
>>706

m(m-1) +1 ≦ n ≦ m(m+1) を満たすmが1つだけある。
　m(m-1) + 1/4 < n < m(m+1) + 1/4,
　(m - 1/2)^2 < n < (m + 1/2)^2,
　m -1/2 < √n < m + 1/2,
　(与式) = n + [ √n + 1/2] = n+m,
∴　m^2 +1 ≦ (与式) ≦ m(m+2) = (m+1)^2 -1,
0736１３２人目の素数さん2009/01/11(日) 10:25:17
P(x)=x^3+ax^2+bx-1,Q(x)=x^3+cx^2+dx+1は整数係数の多項式で,P(x)は有理数の範囲で因数分解できないものとする.αをP(x)=0の1つの解とすると,α+1はQ(x)=0の1つの解となる.この時,P(x)=0の他の解をa,b,c,dを含まずにαを用いて表せ.
0737１３２人目の素数さん2009/01/11(日) 11:54:44
あるゲームがある。１２人の人がそれぞれ、等間隔に並んだドアが円の形をなすドームの中の部屋に入
れられる。ドームは上から中が見えて、ドーム全体の形はもちろん円である。プロモーター曰くその部
屋はすべて同じ形であるという。１２人のゲーマーはそれぞれ１２個の部屋に一人ずつ入れられ、問題
を解決する、部屋の中には仕切りが一つだけあり、仕切りには小さなドアがあり部屋は二つにわけられ
ていた。部屋の全ての角隅には、それぞれ○の記号と○○の記号○○○の記号、がつけられていた。○
の記号は全部で３つ、○○の記号は全部で２つ、○○○の記号は全部で３つあった。さてプロモーター
は上空から叫んだ、君たちを見ているとあの涼しい風物詩を思い出す。季語にもなっていたなぁ......
さてあなたたちは何に見えたのか。

0738１３２人目の素数さん2009/01/11(日) 12:31:28
スレチ
0739１３２人目の素数さん2009/01/11(日) 12:40:32
京都大学みてみてちんちんおっき
0740１３２人目の素数さん2009/01/11(日) 17:33:35
>>736
多投乙
0741１３２人目の素数さん2009/01/11(日) 20:54:53
A+B+C=π のとき次式を示せ。
　a'=sin(A/2), b'=sin(B/2), c'=sin(C/2) とおく.

(1)　a'/(a'+b'+c') + b'/(b'+c'+a') + c'/(c'+a'+b') = 1,

(2)　a'/(a'+b'c') + b'/(b'+c'a') + c'/(c'+a'b') = 2,

(3)　1/{tan(A)tan(B)} + 1/{tan(B)tan(C)} + 1/{tan(C)tan(A)} = 1,

(4)　tan(A/2)tan(B/2) + tan(B/2)tan(C/2) + tan(C/2)tan(A/2) = 1,

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1230393194/40

おながいします。
0742１３２人目の素数さん2009/01/11(日) 21:09:53
スレチかつマルチ
0743１３２人目の素数さん2009/01/11(日) 22:58:01
あるゲームがある。１２人の人がそれぞれ、等間隔に並んだドアが円の形をなすドームの中の部屋に入
れられる。ドームは上から中が見えて、ドーム全体の形はもちろん円である。プロモーター曰くその部
屋はすべて同じ形であるという。１２人のゲーマーはそれぞれ１２個の部屋に一人ずつ入れられ、問題
を解決する、部屋の中には仕切りが一つだけあり、仕切りには小さなドアがあり部屋は二つにわけられ
ていた。部屋の全ての角隅には、それぞれ○の記号と○○の記号○○○の記号、がつけられていた。○
の記号は全部で３つ、○○の記号は全部で２つ、○○○の記号は全部で３つあった。さてプロモーター
は上空から叫んだ、君たちを見ているとあの涼しい風物詩を思い出す。季語にもなっていたなぁ......
さてあなたたちは何に見えたのか。

部屋はすべて同じで全部で１２個
0744１３２人目の素数さん2009/01/11(日) 23:03:58
Cosx＋Sinx＋sinx＋cos^3x=√３＋√５＋√７のとき
xを求めよ。
0745１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 02:20:45
全角の数字使っちゃう男の人って・・・
0746１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 04:45:57
次の2つの条件をともに満たす、定数でない整数係数多項式f(x)をすべて求めよ。

(1)f(x)のすべての係数の絶対値は1である。
(たとえばf(x)=x+1はOKだがf(x)=x^2+1は1次の係数が0なのでNG)

(2)方程式,f(x)=0の解はすべて実数である。
0747１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 10:28:08
>>745
ヒント：アーク
0748１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 10:51:55
xについての多項式f(x)に対し、f(x)の0でない係数の個数をN(f(x))とおく。
たとえば、f(x)=2x^3 + 0x^2 + 1x + 4のとき、N(f(x)) = 3である。

このとき、N((f(x))^2)　＜ N(f(x)) を満たすf(x)が存在することを示し、
その一例を与えよ
0749１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 13:12:55
>>748
またおまいか。
少しは傾向変えろよ。
0750１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 15:18:14
正７角形を作図する方法を述べよ....
難しすぎだろ、お前らできる？てかこの板、与えられた興味深い式をこねくり
まわすのすきだけど、幾何学的な問題皆無だな。

後フェルマーの最終定理って中学校から高校までの知識で解ける方法があるらしい
ワイルズの証明法は難し過ぎるらしい。日本人の誰だっけ、埼玉大卒業した人。
0751１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 15:27:30
釣りは他でやってください
0752１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 15:51:06
正７角形って実際どう作図するの？
0753Gauss ◆Gauss//A.2 2009/01/12(月) 15:56:11
作図の道具を述べられていないからには答えようがない。目盛りの付いていない定規とコンパスだけでは作図不可能。
0754１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 16:00:24
いや、コンパスあれば出来るよ
0755１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 16:03:24
折り紙を道具に使えばできるぞ
0756Gauss ◆Gauss//A.2 2009/01/12(月) 16:07:16
Re:>>754 是非教えて欲しい。
0757１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 16:16:39
>>756
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%83%E8%A7%92%E5%BD%A2
0758１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 16:17:42
悪い。メモリつき定規だった。
0759Gauss ◆Gauss//A.2 2009/01/12(月) 16:18:13
Re:>>757 どういうことか。
0760１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 16:18:38
つーか普通にリンク先に書いてあったな
＞正七角形をコンパスと定規（長さの計測が不可能なもの）で作図することは不可能であるが
0761１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 16:19:02
>>759
間違えたっつってんだろカス
0762Gauss ◆Gauss//A.2 2009/01/12(月) 16:19:49
Re:>>758 Gaussが与えた正多角形の作図可能の必要十分条件を記憶違いしているのかと思った。
0763Gauss ◆Gauss//A.2 2009/01/12(月) 16:20:21
Re:>>761 リロードしていなかった。申し訳ない。
0764１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 16:23:46
>>750
埼玉大and日本人の時点で釣り決定なんだが.....
0765１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 16:25:22
>>750
幾何は小学生のおもちゃ也
もう遊びつくした
0766１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 17:01:08
これだけ数学できたら、詰め将棋の公式とかお前ら一瞬で編み出したり
できないわけ？このケースの場合こうやれば積むとか。
0767１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 17:03:44
>>766
一流の棋士だったら一定のパターンについては一瞬で答えられるだろ
ただ定性的に考えてる人がいるかどうか走らん
将棋に数学を適応はできるだろうけど、慣れるまでの時間が必要
それだったら棋士のほうが有利に決まってる
0768１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 17:14:59
将棋の全パターン数のオーダーは高すぎる
0769１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 17:41:23
時々、疑問何だかＩＱテストとかで、次の数字が規則正しくならんでる
例えば　１　３　５　７　○　
○の数字は何かってあるけど、これって、９以外にもあるんじゃね？
関数で叩き出したら、もっとあるんじゃね？
0770１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 17:45:22
いい加減スレチ
0771１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 18:04:45
xy軸上の二つのグラフ
Ｃy=ax^3＋bx＋cとＤy=sx＋t　(a,b,c,s,tは実数とする)
ＣとＤが異なる３点で交わったとする、このとき、Ｄがある点を
通り、その条件で傾きsの値を上げるか下げるか、どちからを選ん
だ時どんなsの値でも、必ず３点で交わり続ける事を証明せよ。

これ、大学入試だと、イメージで交わり続けるだろってことだけど
証明難しいな。
0772１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 18:11:24
>>771
日本語でおｋ
0773１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 18:21:40
1行目からすでにおかしい
0774１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 19:25:00
解読に十分くらい掛かった。
こういうこと？

xy平面上の二つのグラフ
C:y=ax^3＋bx＋cとD:y=sx＋t　(a,b,c,s,tは実数とする)
が異なる３点で交わったとする。
Dが或る定点を常に通るようにしながら s 及び t の値を動かしたとき、
C と D は必ず３点で交わり続ける事を証明せよ。
（出来るだけ元の文章の表現を生かすようにした。
或る定点 A を通る或る直線が C と三点で交わったとする。このとき
A を通り y 軸に並行でないいかなる直線も C と三点で交わることを示せ、
とか書いたほうがスマートだけどね。）

でもこれだと重解も複素数解も数えることにしないと成り立たないからなあ。
意味が分からない。

もうちょっと人にわかるように文章を書く練習をした方が良いと思うよ。
0775１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 21:06:06
>>774
すまんtは動かさない。ある定点を中心に回転するってことは、つまり
回転するんだｗ、直線の場合どこの定点を通ってそれを回転させても
図は変わらないからそういうこと。

何故大学入試では、これを証明しなくていいのか悩んで仕方ない。

例えば
y=x^2のグラフとy=axのグラフの交点を考える場合,a≧０のとき、
aをあげようが下げようが、必ず交わり続ける。
そういうこと。
0776１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 21:06:54
ちょｗｗｗ、さらにすまん。
sを動かしたらtは自動的に変わるじゃんｗｗｗ
てか俺京大落ちの大阪市立大生ですたｗｗ
0777１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 21:13:22
ちょｗｗｗ、やっぱ違うわ、まじですまん。つまりＤは直線だけど
これがＣと３点で交わる時、Ｄの任意の点を中心にＤを回転させる。
つまりその点でのＤの傾きを上げるか下げるかする。このときＣと
必ず３点で交わり続けることを証明せよ。
まじすまん。
0778１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 21:14:23
＞y=x^2のグラフとy=axのグラフの交点を考える場合,a≧０のとき、
＞aをあげようが下げようが、必ず交わり続ける。

意味が分からん。馬鹿なの？
それとも俺が馬鹿なの？
ちなみに俺は京大卒。
0779１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 21:17:10
>>777
「交わり続ける」の意味が分からん。
ある程度右の方の点を中心にしてある程度傾きを大きくすると交わらなくなると思うが。
0780１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 21:17:32
>>764
いや、埼玉大学の人だよ、証明してた。

>>778
京大卒？嘘つけよｗｗってほんまならすまん。
いやすまん、やっぱり切片があると紛らわしいから
C　y=sxとしてくれｗｗ。原点中心に回転してくれｗｗｗ
0781１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 21:18:39
>>778
エスパー7級の俺が解読
x^2=axのときa≠0なら常に2点で交わる、という意味だと思う
0782１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 21:19:16
>>780
いいから少し落ち着けｗ
0783１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 21:22:01
>>780
なんでそんなに「ｗｗ」をつけまくってるの？
ほんとは京大に行きたかったけど行けなくて、
だいぶ格下の阪市大にしか行けなかったことに今でも負い目があって、
自分は場違いだと感じながらも京大入試作問スレなんかに来ちゃって、
ちょっと背伸びして数学的なこと書いてみたけど全然トンチンカンで、
東大や京大の人に苦笑いされてるのが薄々分かって、
恥ずかしいけど素直になれなくて、照れ隠しで笑ってるの？
0784１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 21:22:42
y=1000000000xとy=(1/100000000000000)x^2こんな絶対交わらなさそうな
二つのグラフでも交わるのに、

３次関数の左にひょろひょろって出たグラフの最後の方が、原点を通る
直線と交わらない事ってあるのかなぁって。
0785１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 21:24:41
もういいよ....ここまで向き合ってくれないなら、俺がつくった問題
１０個くらいあるけど、出すのやめるわ、なーんだい。やる気なくし
たわ(藁)。
07867712009/01/12(月) 21:26:46
>>785
ちょｗｗw俺を騙るなよｗｗｗ
0787１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 21:27:42
だんだんエスパースレになりつつあるな。

>>784
分かってきたぞ。
つまり、直線がどんなに傾きが大きくても、
2次関数や3次関数のグラフにいつかは追いつかれて、
はるか上の方で絶対交わる、っていう感じのことが言いたいんだな。

こりゃエスパー2級の俺にはきついわ。
>>771からそれを読み取るにはエスパー何級いるんだよ。
0788１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 21:31:46
>>786
よっしゃｗｗｗｗ問題１個出すわｗｗｗｗｗｗ

俺の至高の一品

0789１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 21:37:25
xy軸上で
関数y=e^2nx＋logx＋cosxと関数y=e^3nx－logx＋sinxの交点の座標
を求めよ。ｗｗｗｗ

絶対に不可能。超独創的京大レベル。
0790１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 21:41:07
>>789
お前おもろいな。
0791１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 21:44:38
>>771
じゃないけど、阪市が京大よりだいぶ格下ってのは違うだろ。
公立だけど都市にあるからな。まぁ、このスレには学歴厨は
いらねぇべぇ
0792１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 21:47:31
だから、xy軸上でっていうのはなんなんだ
あとe^2nxやe^3nxは(e^2n)xなのかe^(2nx)なのかはっきりしろ
0793１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 21:47:47
学歴厨が嫌いなら学歴の話すんなよ。
0794１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 21:47:58
＞これがＣと３点で交わる時、Ｄの任意の点を中心にＤを回転させる。
＞つまりその点でのＤの傾きを上げるか下げるかする。このときＣと
いや傾き -1 とかだと一点としか交わらないことの方が寧ろ普通だけど。
というか回し続けてたらいつか三次関数の接線になるんだから
そのとき交点は二個だろ。

t が動かないということは、 C と y 軸の交点(0., t)を中心に回転させるのか？
とりあえず～～を示せという問題を出すときは最低限
人が読んで分かるような表現で、実際に証明できる正しいことを出題してくれ。
0795１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 21:50:11
>>792
後者だろ。
0796１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 21:51:05
確かに阪市と京大はそんな差ないが>>771おっちょこちょいすぎるだろｗｗ
出直せ('・ω・')
0797１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 21:53:09
いや阪大と京大が少ししか違わない、ならまだ分かるが
大阪市立大と京大じゃ全然違うだろ

>>780
その証明はまず確実にどこかで間違ってるので
騙されないように。
0798１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 21:54:23
つうか自分で答えられない問題を出すとか
どうかと思うけど。
このスレ「京都大学入試作問者になったつもりのスレ」なんだから
最低限解ける問題を出してくれ。

七角形の作図問題みたいなGalois理論使って
作図が不可能なことが分かる問題とかじゃなくて。
0799１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 21:58:29
>>749
そう思うならとけよｗｗ
0800１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 22:03:03
>>797
え？君その本みたの？騙されてないよ。
本みろよ。埼玉理学出身だったよ。俺は>>771
じゃないが。
0801１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 22:06:29
ここまで自演
0802１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 22:08:38
x≠0としの任意の実数とし、Y=logx＋cosxとするとYはsinだけの式
で合成は可能か？可能でも不可能でもそれらを証明せよ。
0803１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 22:11:32
>>798
m^3-n^3=(m-n)^4を満たす整数(m, n)の組で、
0＜n＜m＜100を満たすものをすべて求めよ。
0804１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 22:20:24
>>803
0は含めるのか？
0805１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 22:23:24
0＜n＜m＜100
0806１３２人目の素数さん2009/01/12(月) 22:26:44
あぁすまんｗｗ
0807１３２人目の素数さん2009/01/13(火) 00:01:10
>>800
いや埼玉大学出身ってとこに突っ込んでるんじゃないんだが……
証明が間違っているって言ってるだけで。

騙されてないとか言ってるけど、証明全部チェックしたのか？
0808１３２人目の素数さん2009/01/13(火) 21:58:00
>>803
　(m,n) = (14,7), (57,38)
0809１３２人目の素数さん2009/01/14(水) 00:12:13
>>808
正解です
0810１３２人目の素数さん2009/01/14(水) 00:19:51
>>746
f(x)=±x±1(複合任意)

f(x)=±(x^2-1)

f(x)=±(x^3-x^2-x+1),±(x^3+x^2-x-1)

の計10個
0811１３２人目の素数さん2009/01/14(水) 00:52:05
>>810
>>746を100万回読み直せ
0812１３２人目の素数さん2009/01/14(水) 00:55:25
証明きぼん
0813１３２人目の素数さん2009/01/14(水) 00:59:27
>>746
あ、すまんｗ

f(x)=±x±1(複合任意)

f(x)=±(x^2±x-1)(複合任意)

f(x)=±(x^3-x^2-x+1),±(x^3+x^2-x-1)

の計12個
08148132009/01/14(水) 01:10:37
>>746
>>812
証明
f(x)の次数をn(≧1)とし、f(x)=0のn解をa[1],a[2],....a[n](すべて実数)とおく。

解と係数の関係より
a[1]+a[2]+･･･+a[n]=±1
Σ[i<j]a[i]*a[j]=a[1]*a[2]+a[1]*a[2]+･･･+a[n-1]*a[n]=±1
a[1]*a[2]*･･･*a[n]=±1

相加相乗平均の不等式より
a[1]^2+a[2]^2+･･･+a[n]^2≧n{(a[1]*a[2]*･･･*a[n])^2}^(1/n)=n･･･(1)
これと、
a[1]^2+a[2]^2+･･･+a[n]^2=(a[1]+a[2]+･･･+a[n])^2-2Σ[i<j]a[i]≦1+2=3から
n≦3がわかる.

n=1,2のときは
f(x)=±x±1(複合任意)
f(x)=±(x^2±x-1)(複合任意) が容易にわかる。

n=3のときは(1)で等号が成立することとa[1]*a[2]*a[3]=±1から(a[1],a[2],a[3])=(1,1,-1)(1,-1,-1) (cyc)
がわかるからf(x)=±(x^3-x^2-x+1),±(x^3+x^2-x-1)
0815１３２人目の素数さん2009/01/14(水) 19:06:16
一辺が1の正n角形x1x2x3…xnの内部に点Pをとる｡
L=x1P+x2P+…xnP とするとき､Lの最小値を求めよ｡

東大板にも書きましたが京大っぽいかも...。
0816１３２人目の素数さん2009/01/14(水) 19:16:14
>>815
そういう探せば出てくるような有名問題は相手にされないよ
0817１３２人目の素数さん2009/01/14(水) 21:49:29
>>803

　(左辺)－(右辺) = (m-n){m^2 +mn +n^2 -(m-n)^3}
　　　　　　　　 = (m-n)(1/4){3(m+n)^2 + (m-n)^2 -4(m-n)^3},
題意により n<m なので
　3(m+n)^2 + (m-n)^2 -4(m-n)^3 = 0,
∴ m-n は m+n を割り切る。
∴ m-n は 2m, 2n を割り切る。
　(m, n) = （ k･(m-n), (k-1)(m-n) ）,　　kは自然数。
これを与式に入れて
　k^3 -(k-1)^3 = m-n,
　(m, n) = （ k･[k^3 -(k-1)^3], (k-1)[k^3 -(k-1)^3] ）.
0818１３２人目の素数さん2009/01/14(水) 22:20:38
>>736
in case：α^2∈Q
P(α)=0,a∈Z,b∈Z
⇒b=-α^2,a=1/α^2
⇒x^2+(α+1/α^2)+1/α=0
⇒x=(-α^3-1±√-3α^3+3α^2+3α+1)/(2α^2)
0819１３２人目の素数さん2009/01/14(水) 23:11:35
>>816

有名問題とも言えない気がするが
0820１３２人目の素数さん2009/01/14(水) 23:12:38
>>816
有名問題とも言えない気がするが
0821１３２人目の素数さん2009/01/14(水) 23:15:35
ふかわ乙
0822１３２人目の素数さん2009/01/14(水) 23:16:54
ふかわ乙
0823１３２人目の素数さん2009/01/14(水) 23:37:39
>>819
どう見ても有名問題だが
0824１３２人目の素数さん2009/01/15(木) 09:29:39
>>815みたいな誰でも思いつくような問題はスレの趣旨にそぐわないだろ（難易度は別にして）
オリジナリティ溢れる良問を頼む。
0825１３２人目の素数さん2009/01/15(木) 17:50:09
a,b,c,dを実数とするとき、xの５次方程式
x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0が相異なる純虚数の解を４つ
もつための条件を求めよ。解説も含めて答えられるかな？
0826１３２人目の素数さん2009/01/15(木) 20:53:03
答えられませんので次お願いします
0827１３２人目の素数さん2009/01/15(木) 22:45:15
5次方程式より、相異なる純虚数4つ、実数1つが解になる
ので、それぞれをu1i,u2i,u3i,u4i,u5（ただしun∈R)とかく。
これより、x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx+d=Π[n=1,4](x-uni)・(x-u5)とかける。
0828１３２人目の素数さん2009/01/16(金) 00:07:12
>>825

5次方程式より、相異なる純虚数4つ、実数1つが解になる
ので、それぞれを ±u1i, ±u2 i, u5 (ただし u1≠u2, u5∈R) とかく。
これより、x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx+d = (x^2 + u1^2)(x^2 + u2^2)(x-u5) とかける。
u5 = -1 より
a = b = u1^2 + u2^2,
c = d = (u1･u2)^2,
u1^2 および u2^2 は t^2 -bt+c=0 の根。
これが相異なる2つの正根をもつから、
　b >0,　c >0,　b^2 -4c >0,
0829１３２人目の素数さん2009/01/16(金) 00:12:34
>>828
> u5 = -1
何故？
0830１３２人目の素数さん2009/01/16(金) 00:15:55
ああ、5次と4次の係数が同じだからか
0831１３２人目の素数さん2009/01/16(金) 10:01:58
>>828
それって必要条件しか求めてなくね？
十分性確認しないの？
0832１３２人目の素数さん2009/01/16(金) 10:15:02
十分性は明らかだろう
0833１３２人目の素数さん2009/01/16(金) 10:16:17
明らかじゃねーっすよ。青チャートの問題だけど、普通に
十分条件も挿入してた。
0834１３２人目の素数さん2009/01/16(金) 10:24:07
>>833
>>828は取るに足らないことだと判断したんだろう。
別に試験の答案を書く場所じゃないんだから。
0835１３２人目の素数さん2009/01/16(金) 10:28:29
>>834
(＾ω＾；;)一瞬あせった...そうなんすか('^-^`)
0836１３２人目の素数さん2009/01/21(水) 12:49:37
a<b<cを満たす整数とする。
y=x^2上に点A(a,a^2),B(b,b^2),C(c,c^2)をとる。
(1) ∠BAC=60°となることはあるか？
(2) a=-3かつ∠BAC=45°となるb,cを求めよ。
ただし、√2,√3,√5,√7が無理数であることを前提としてよい。
0837１３２人目の素数さん2009/01/23(金) 21:43:25
L=Σ((p-xi)*(p-xi))^.5
dL/dp=Σ(p-xi)=0
p=Σxi/n
0838１３２人目の素数さん2009/01/23(金) 21:49:34
半径Rの円を底にもつ円錐の頂点が底面の中心から半径rの半球上を動くとき、側面積の最大は？
0839１３２人目の素数さん2009/01/23(金) 21:56:57
半径１の円に互いに接する３つの内接円をかく。そのおのおのに同じ操作をするとき、内接円とその外側の
円ととの間にできる面積の総和は収束するか？すればいくらになるか？
0840１３２人目の素数さん2009/01/23(金) 22:37:00
839

πか？
0841１３２人目の素数さん2009/01/23(金) 22:44:17
>>836

お前、一橋の問題だろこれｗｗｗまんまじゃねぇかｗｗｗ
0842１３２人目の素数さん2009/01/24(土) 09:32:55
πR^2-3πr^2
a^2(πR^2-3πr^2)
...
=(πR^2-3πr^2)(1/(1-a^2))
0843１３２人目の素数さん2009/01/24(土) 11:48:56
∠BAC=60°
AB*AC=(1/2)|AB||AC|

0844１３２人目の素数さん2009/01/27(火) 23:42:07
74 だるまにおん　[2008/11/16(日) 19:29:05]

出題
a,b,cは整数でa<b<cを満たす。放物線y=x^2上に三点A(a,a^2),B(b,b^2),C(c,c^2)をとるとき、∠BAC=60°とならないことを示せ。

75 j　[2008/11/18(火) 21:39:33]

AB:y-b^2=(a+b)(x-b)
AC:y-c^2=(a+c)(x-c)と表される。
ここでAB,ACの傾きをtanα,tanβ(-π/2<α,β<π/2)
とおくと(tanα,tanβ)=(a+b,a+c)で,
b<c⇔a+b<a+c⇔tanα<tanβよりα<βである。
ここで∠BAC=60°ならばβ-α=60°が成立し,
tan(β-α)=tan60°=√3が成立。
⇔|(tanβ-tanα)/(1+tanβtanα)=√3
⇔|(c-b)/{1+(a+a)(a+b)}|=√3
然しa,b,cは整数であり
左辺はa,b,cの四則演算で表されるため有理数だが、
右辺は無理数であるため矛盾する。
∴∠BAC≠60°
0845１３２人目の素数さん2009/01/28(水) 12:43:17
サイコロを3回なげ1回目に出た目の数をa二回目b三回目cとする
Ｘ=abcとする

①Ｘが奇数になる確率を求めよ
②Ｘ=12になる確率を求めよ
③y=ax＾２+bx＋cがｘ軸からきりとる線分の長さが1/2以上になる確率を求めよ
0846１３２人目の素数さん2009/01/28(水) 13:14:14
東大っぽいんですが、

100!=100*99*...*2*1=x*y を満たす自然数の組(x,y)を考える。

(1)x=y にならないことを証明せよ。
(2)x>yとして、(x,y)の組は何通りかを求めよ。
0847１３２人目の素数さん2009/01/28(水) 13:40:32
つまらなすぎワロタ
0848１３２人目の素数さん2009/01/28(水) 13:54:37
>>845
マルチ
0849１３２人目の素数さん2009/01/30(金) 15:34:03
t>0とし(→a),(→p)を空間ベクトルとする。｜→p｜<tであるならば
次の不等式を証明せよ。

{(a→)・(p→)-t}^2≧(1-｜→a｜^2)(t^2-｜→p｜^2)
また上のしきにおいて等号が成り立つのは→p=t(→a)のときに
限ることを証明せよ。

全然分からん、です、ただ左辺マイナス右辺にしてもまとまった
しきがでてこない...

大阪市立大学後期ですが...ムズすぎてゲロはきそうです
0850１３２人目の素数さん2009/01/30(金) 16:59:18
左辺 - 右辺を t の二次式とみて平方完成すればおｋ
0851１３２人目の素数さん2009/01/30(金) 21:05:18
>>850
いや、無理だろ。平方完成するまえにt消えるからな。
0852１３２人目の素数さん2009/01/30(金) 21:13:19
＞平方完成するまえにt消えるからな。
いみふ

よく分からんが左辺のt^2の係数は1、右辺は(1-|a|^2)だから
2次の係数は消えないぞ。
0853１３２人目の素数さん2009/01/30(金) 21:58:04
>>849
tは隠れ蓑だろ。
両辺をt^2（＞０）で割って　b↑=p↑/tとおけば、証明すべき命題は
|b↑|＜1　⇒　（1-（a↑）・（b↑））^2≧（1-|a↑|^2）（1-|b↑|^2）
殆ど自明か？
0854１３２人目の素数さん2009/01/30(金) 22:10:27
>>849
853みたいな高尚なことはまったく思いつかなかったけど、a↑・b↑=|a↑||b↑|cosθとして
左辺-右辺をちまちま平方完成していったらできたぞ
どこが難しいポイントなのかもさっぱりわからなかった
0855１３２人目の素数さん2009/01/30(金) 23:10:10
>>854
できたなら書いてくれよ。おれはそのやり方で自爆したんだが。
てか>>853よ。数学質問板でお前と同じやり方だったけど同一人物か？
0856１３２人目の素数さん2009/01/30(金) 23:18:13
>>854
cosθとcos^2が同時に出てきて、どうまとめたらいいか分からなかった。
ちなみにtの式で平方完成するやり方も、t↑a=p↑のときのみ等号が成り立つ
は必要条件すら求められん。元の与式に代入したら、必要条件はそりゃ成立
するけど、それのみは確実に証明できん。

結局
>>853のような方法しかないと思うのだが、こんな糞難しいやり方少ない問題
市立が出すなよまじで夜も寝れん。
0857１３２人目の素数さん2009/01/30(金) 23:29:37
>>854
頑張れ職人。
>>853
頭好過ぎ、市立後期の赤本2007年度見てくれ、カスみたいにややこしくて
難しい因数整理とかで学者でも思いつかん、そんなド型破りな発想天才す
ぎる。お前東大生だろ。
0858１３２人目の素数さん2009/01/31(土) 00:35:59
>>857
どこから論破してほしいんだｗ
0859１３２人目の素数さん2009/01/31(土) 01:54:14
>>855
↑つきでベクトルを表すのはメンドイので、以下ではaだのbだのは全てベクトル。

証明すべき命題を再掲すると
|b|＜1　のとき　(1-a・b)^2≧(1-|a|^2)(1-|b|^2)　

不等式の左辺は正ゆえ、もし　|a|＞１なら右辺は負になるので確かに不等式は成立する。
よって、これ以後は|a|≦1の場合を扱う。

コーシー・シュワルツから　a・b≦|a||b|　である。よって　1-a・ｂ≧1-|a||b| である。
この不等式の両辺は正だから２乗しても不等号の向きは変わらない。
すなわち、 (1-a・b)^2≧(1-|a||b|)^2=1-2|a||b|+|a|^2|b|^2　・・・(*)
ここで　明らかに　-2|a||b|≧-|a|^2-|b|^2　・・・(**) であるから
(*)の右辺≧1-|a|^2-|b|^2+|a|^2|b|^2=(1-|a|^2)(1-|b|^2)
よって　示すべき不等式　(1-a・b)^2≧(1-|a|^2)(1-|b|^2)　　が得られた。
等号はコーシー･シュワルツと(**)で等号がなり立つときだか　a=b のときである。

0860１３２人目の素数さん2009/01/31(土) 02:07:41
(1-a・b)^2≧(1-|a|^2)(1-|b|^2)　⇔ aabb-2a・b+1≧aabb-aa-bb+1
⇔aa-2a・b+bb≧0⇔(a-b)^2≧0 等号成立はa-b=0
0861１３２人目の素数さん2009/01/31(土) 02:28:55
(a・b)(a・b）≠aabb
0862１３２人目の素数さん2009/01/31(土) 02:40:42
ベクトルの問題の解答をまとめたみた。

http://image01.wiki.livedoor.jp/l/y/loveinequality/eabe1dedf6b113fb.pdf

0863１３２人目の素数さん2009/01/31(土) 03:00:59
>>861
ほんとだ。そんなに簡単でもなかったか。
0864１３２人目の素数さん2009/01/31(土) 03:04:15
((a,p) - t)^2 - (1 - (a,a)^2)(t^2 - (p,p)^2)
= (a,a)^2t^2 - 2(a,p)t + (a,p)^2 + (p,p)^2 - (a,a)^2(p,p)^2
= (a,a)^2[t - (a,p)/(a,a)^2]^2 + (p,p)^2 - (a,p)^2/(a,a)^2 - (a,a)^2(p,p)^2 + (a,p)^2

長さをa, p 、角度をθとおいて余っちゃった項を計算すると
= (a,a)^2[t - (a,p)/(a,a)^2]^2 + p^2 - p^2cos^2θ- a^2p^2 + a^2p^2cos^2θ
= (a,a)^2[t - (a,p)/(a,a)^2]^2 + p^2(1 - cos^2θ- a^2 + a^2cos^2θ)
= (a,a)^2[t - (a,p)/(a,a)^2]^2 + p^2(1 - cos^2θ)(1 - a^2)

t^2で割っても別にそう簡単になるわけじゃないみたいだね。
まあこれは試験場で出ると解けない問題かもしれない。
0865１３２人目の素数さん2009/01/31(土) 03:09:14
ちなみに大数の評価はD#でしたね。
0866１３２人目の素数さん2009/01/31(土) 03:12:56
平方完成して t の値を動かして最小値を求めたら
それが正になってるはずだから云々、というのは
一応「定石通り」の発想ではあるんだけどね。
0867１３２人目の素数さん2009/01/31(土) 04:09:15
どこかで見かけた問題。

3次方程式(*)が0<x<1を満たす実数解を持つことを示せ

4ax^3+3bx^2+2cx=a+b+c･･･(*)

ただしa,b,cは実数
0868１３２人目の素数さん2009/01/31(土) 08:04:36
a=0,b>0,c<>0
3bx^2+2cx-b-c=0
x=-c+/-(c^2+(b+c)3b)^.5

-c+(c^2+(c+b)3b)^.5<0
c^2+3cb+3b^2<c^2
cb+b^2<0
0<c<-b<0



0869１３２人目の素数さん2009/01/31(土) 08:12:18
f=4ax^3+3bx^2+2cx-(a+b+c)
f(0)=f(1)=0
a+b+c=0
3a+2b+c=0
2a+b=0 b=-2a c=a
df=12ax^2+6bx+2c=12ax^2-12ax+2a
df(1)=df(0)=2a -> 0 is in between x=1 and 0


08708542009/01/31(土) 08:14:32
(t^2-|p↑|^2)>0より|a↑|≧1,|a↑|=0のときの成立は自明なので、0<|a↑|<1で考える
(a↑・p↑-t)^2-(1-|a↑|^2)(t^2-|p↑|^2)
=(|a↑||p↑|cosθ-t)^2-(1-|a↑|^2)(t^2-|p↑|^2) 以下めんどいので|a↑|=a,|p↑|=pとして、見やすいようにapをくくりだす
=(ap)^2(cosθ-(t/ap))^2 -t^2+(at)^2-(ap)^2+p^2
0<a<1,0<p<tよりt/ap>1,(ap)^2>0なので、(ap)^2(cosθ-(t/ap))^2はcosθ=1のとき最小
≧(ap)^2(1-(t/ap))^2 -t^2+(at)^2-(ap)^2+p^2
=(at)^2-2apt+p^2=(at-p)^2≧0
等号成立はcosθ=1かつat=p⇔p↑=t*a↑

2次関数の最小値の議論と式変形のみだけど、何が難しいの？
0871１３２人目の素数さん2009/01/31(土) 08:17:53
おっと括弧が足りなかった
t/apはすべてt/(ap)のことです
0872１３２人目の素数さん2009/01/31(土) 08:21:49
さらに書き忘れ
p=0のときも簡単な式変形によりすぐに成り立つことがわかります
連投スマン
0873１３２人目の素数さん2009/01/31(土) 10:26:23
四方八方にﾏﾙﾁしてる問題。
下記の回答がとどめ。

628 名前： 大学への名無しさん 投稿日： 2009/01/30(金) 23:10:25 ID:Ir62FYej0
>>561
あまり詳しくありませんがミンコフスキー空間の問題のようです
平行四辺形の面積はその対角線の長さの積の1/2以下になるので
ベクトルv,wを|v|,|w|≦1である3次元ベクトルとするとき
これを2辺とする平行四辺形の面積Sは
S≦(1/2)|v+w||v-w|≦(1/2)(|v|+|w|)|v-w|≦(1/2)(1+1)|v-w|=|v-w|
S^2≦|v-w|^2
(v・v)(w・w)-(v・w)^2≦v・v+w・w-2v・w
(1-v・v)(1-w・w)≦(1-v・w)^2
これはミンコフスキー空間においてV=(1,v),W=(1,w)と置くとき
<V,V><W,W>≦<V,W>^2
となることを意味しています
（おそらくもっとスマートな証明があります）

0874１３２人目の素数さん2009/01/31(土) 11:13:22
S^2≦|v-w|^2 までは誰でも思いつくけどね
0875１３２人目の素数さん2009/01/31(土) 15:58:02
>>849
a↑・p↑=|a↑||p↑|cosθの変形すら使う必要はない。
愚直に二次関数の問題として解ける。
f(t)=|a↑|^2t^2 - 2(a↑・p↑)t + |p↑|^2 - |a↑|^2|p↑|^2 + (a↑・p↑)^2
a↑=0の場合は自明だから以下a↑≠0の場合を考え、t>|p↑|の範囲でf(t)≧0を示す。
(i)(a↑・p↑)/|a↑|^2≦|p↑|のとき
f(t)＞f(|p↑|)=(|p↑|-(a↑・p↑))^2≧0
(ii)(a↑・p↑)/|a↑|^2＞|p↑|のとき
t=(a↑・p↑)/|a↑|^2のときf(t)は最小となり
f(t)≧(1/|a↑|^2-1)(|a↑|^2|p↑|^2-(a↑・p↑)^2)
シュワルツの不等式より、|a↑|^2|p↑|^2≧(a↑・p↑)^2
さらに(ポイントはここだけ)、(a↑・p↑)^2＞|a↑|^4|p↑|^2
ゆえに1/|a↑|^2-1＞0である。したがってf(t)の最小値は0以上で、
シュワルツの不等式で等号が成立する場合に限って0となる。
0876１３２人目の素数さん2009/01/31(土) 18:02:44
最後の3行は間抜け
0877１３２人目の素数さん2009/01/31(土) 19:17:00
自作問題。

曲線x^2+2xy-3x+y^2-y+2-2n=0上の点で、
x座標、y座標がともに自然数である点がただ一つ存在することを証明せよ。
ただしnは任意の自然数とする。
0878１３２人目の素数さん2009/01/31(土) 19:24:19
x-y座標上、(0,0)から(1,1)まで連続した線を引く。
線上の点にx座標値、y座標値の両方が無理数になる点が乗らないようもっとも短く線を引いた場合の線の長さは2であることを示せ。
0879１３２人目の素数さん2009/01/31(土) 20:48:58
まってくれまってくれ。

同値関係ってのは、↑Ａ=t↑Ｂ⇔t=｜↑Ａ｜/｜↑Ｂ｜っていう同値
関係は成り立たないんじゃ？
0880１３２人目の素数さん2009/01/31(土) 20:52:34
>>864
一応平方和完成できたんんだな、ありがとさん。自分でやってみる。
0881１３２人目の素数さん2009/02/01(日) 01:48:41
>>879
誤爆？
0882１３２人目の素数さん2009/02/01(日) 02:17:09
>>877
x=n-1, y=-n+1
0883１３２人目の素数さん2009/02/01(日) 02:17:44
おっと、ただ1つか
0884１３２人目の素数さん2009/02/01(日) 03:14:45
>>877
x+y-1=uとおくとy=n-u(u-1)/2
x,yが自然数となる条件は0＜y≦uかつy,uが整数になることで、
0＜n-u(u-1)/2≦uを変形するとu(u-1)/2＜n≦u(u+1)/2
f(t)=t(t-1)/2とおくとfはt≧1で単調増加だから、
f(u)＜n≦f(u+1)を満たす自然数uはただ一つ存在する。
このuからx,yが一意に定まる。
0885１３２人目の素数さん2009/02/01(日) 14:11:32
>>884
お見事。
ちなみに、題意を満たす点(x,y)は、
第一象限(x軸、y軸を含まない)の格子点に点(1,1)から順に
15
10 14
　6　9 13
　3　5　8 12
　1　2　4　7 11
と数字を振り当てていったとき、nに対応する点です。
n=(x+y-2)(x+y-1)/2+y　と式を変形すると、
右辺の第一項はn以下の最大の三角数、第二項はnが振り当てられた点のy座標を表しています。

なんか問題作るほうは楽すぎて申し訳ない
0886１３２人目の素数さん2009/02/01(日) 22:24:37
めっちゃ難しい問題かんがえた
0887１３２人目の素数さん2009/02/01(日) 22:25:38
胸の奥にしまっておけ
0888１３２人目の素数さん2009/02/01(日) 22:27:49
大阪市立大生の数学個人研究マニアだけど、かなり難しい問題
考えた。

等式
x^2(2+y-y^2)+2(y+1)x+y+1=0をみたす整数x,yの組(x,y)を全て
求めよ。かなり難しいと思うが頑張れ。
0889１３２人目の素数さん2009/02/01(日) 22:32:32
y+1　でくくれますやん
0890１３２人目の素数さん2009/02/01(日) 22:42:10
>>372以降の流れを見る限り、お前の脳みそは信用できない。
0891１３２人目の素数さん2009/02/01(日) 22:50:46
>>888
むずいな、まずx=0の時までは分かったんだが、x,yも中途半端な
整数で成り立つかちょっと調査中。
0892１３２人目の素数さん2009/02/01(日) 23:06:44
>>888
(x,y)=(t,-1),(-1,1),(1,5)(tは任意の整数)
0893１３２人目の素数さん2009/02/02(月) 00:29:10
>>888
左辺=(y+1)(x^2(2-y)+2x+1)
y=-1のときxは任意の整数
y=2のときx=1/2は整数解でない
y!=2のとき
x=(1±√(y-1))/(y-2)
y-1→x=-1
y=5→x=1
y>=10なら分子<分母でxは整数にならない
0894１３２人目の素数さん2009/02/02(月) 00:33:20
>>893
y=・・・にして解いてもいいよね
0895１３２人目の素数さん2009/02/02(月) 00:46:35
>>888
どこが難しいの？ｗ
0896１３２人目の素数さん2009/02/02(月) 07:21:26
x|1
0897１３２人目の素数さん2009/02/02(月) 10:56:03
>>888
ｗｗｗ
0898１３２人目の素数さん2009/02/02(月) 15:17:51
>>888が分からん
0899１３２人目の素数さん2009/02/02(月) 19:15:03
地味に>>888が難し過ぎる件について。
0900１３２人目の素数さん2009/02/02(月) 19:49:42
もういいって
詰まんないよおまえ
0901１３２人目の素数さん2009/02/02(月) 21:38:35
>>888
解けそうでとけない。
0902１３２人目の素数さん2009/02/03(火) 00:11:08
幾何から。

円に内接する四角形ABCDを考える。
△BCD,△CDA,△DAB,△ABCの内心をそれぞれA',B',C',D'とする。
四角形A'B'C'D'は長方形であることを示せ。
0903１３２人目の素数さん2009/02/03(火) 07:09:57
かなり難しい問題

等式
y=ax^3+bx+cをみたす整数x,yの組(x,y)を全て
求めよ。
0904１３２人目の素数さん2009/02/03(火) 07:39:12
y^2=ax^3+bx+c
0905１３２人目の素数さん2009/02/03(火) 07:58:06
>>903
cがあるから任意のx,yの実数を解にできる.
0906１３２人目の素数さん2009/02/03(火) 11:25:54
(y-1)(x+101)^102=(y^n-1)(x+100)^102をみたす整数x,yの組(x,y)を
全て求めよ
0907１３２人目の素数さん2009/02/03(火) 21:45:00
文字の定義をしろ。
0908１３２人目の素数さん2009/02/04(水) 11:17:29
めちゃ簡単だが記憶に残ってる問題
a^3-b^3=217となるa.bの組を全て求めよ
京大の過去問だけど
おかげで現役で入れた
0909１３２人目の素数さん2009/02/04(水) 11:58:49
こんな問題が京大で出るとは終わってるね
0910１３２人目の素数さん2009/02/04(水) 15:29:45
>>909
難しい問題じゃないが
いろんな解法が考えられるし十分差がつく問題だと思うが
0911１３２人目の素数さん2009/02/04(水) 15:59:01
>>910
京大生ってバカなんだね
0912１３２人目の素数さん2009/02/04(水) 16:13:43
>>862
天才すぎるｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
どんだけ親切なんだよ、このスレ親切なやつ多すぎ。何か対人関係
で苦労しそうだから頑張れよ。
0913１３２人目の素数さん2009/02/04(水) 16:31:51
>>862
解説の数が赤本の５倍でワロタwww。赤本の解説は、何か
因数整理がややこしかったけど、そっちの方が分かりやすいな。
0914１３２人目の素数さん2009/02/04(水) 16:33:13
金にならないのによくやるなｗ
0915１３２人目の素数さん2009/02/04(水) 16:41:21
いや金になるだろ、これだけ能力あれば。高校数学だからといってまだ
発掘されてない解法だってあるんだろ。
0916１３２人目の素数さん2009/02/04(水) 18:04:08
a^3-b^3+a^2b=217となるa.bの組を全て求めよ

とかに改変するとめちゃくちゃ難易度あがるよね
0917１３２人目の素数さん2009/02/04(水) 18:24:26
>>862
等号成立条件を間違えてるのと，
>>873の素晴らしい別解がないのが惜しい．
0918１３２人目の素数さん2009/02/04(水) 18:50:45
>>912
>>913
>>915
自演乙
0919１３２人目の素数さん2009/02/05(木) 17:22:19
ｎ個の実数、x(1),x(2)........x(n)はそれぞれ０より大きい正の
実数である。これらがx(1)＋x(2)＋.......x(n)=1をみたすとき、
T=x(1)^2＋x(2)^2＋........x(n)^2とすると、、x(1),x(2)..x(n)
を変化させていくとき、Ｔが最小値は存在し、最大値が存在しな
い事を証明せよ。
0920１３２人目の素数さん2009/02/05(木) 17:36:26
>>919
n=1のとき命題は偽
0921１３２人目の素数さん2009/02/05(木) 17:41:09
>>920
すまんn≧２の場合で、ごめん、追加しといて。
0922１３２人目の素数さん2009/02/05(木) 18:20:45
n≧2として考える

RMS≧AMより
(T/n)^(1/2)≧(x_[1]+x_[2]+･･･+x_[n])/n=1/n
∴T≧1/n　等号はx_[1]=･･･=x_[n]=1/nのときだから最小値1/n

各x[i]について0<x[i]<1なのでx[i]^2<x[i]
∴T<x[1]+x[2]+･･･+x[n]=1.
ゆえに十分小さい任意の正数εに対して
T＞ 1-εとなるようなx_[1],x_[2],...,x[n]が存在することを示せばよい。
これには
x_[1]=√(1-ε)
x_[2]=x_[3]=･･･=x_[n]={1-√(1-ε)}/(n-1)
とすればよい。
ゆえに最大値なし。
0923１３２人目の素数さん2009/02/05(木) 18:24:51
高校の範囲なのか？
0924１３２人目の素数さん2009/02/05(木) 20:56:54
x1～xnを座標だと思って
原点から超平面Π:x1 + x2 + ......... , xn = 1に下した垂線の足をHとし、
さらに超平面内Π内に点H' = (x1+Δx1 ,......... , x(n-1)+Δ(n-1), x_n - (Δx1 + ......... + Δx(n-1))をとると
OH'^2 = OH^2 + HH'^2 よって最小値は H = H' のとき。
OH' > HH' > Δx1だから最大値無し。
0925１３２人目の素数さん2009/02/05(木) 20:58:27
高校範囲じゃないじゃんｗ
0926１３２人目の素数さん2009/02/05(木) 21:03:06
ああ、適当に高校範囲内の解答に読み替えてくれって書き加えるの忘れた
0927１３２人目の素数さん2009/02/06(金) 16:01:34
>>919
これマジで日本語でおｋなんだが
なんだよ　それぞれ０より大きい正の実数　って
意味かぶってんだよｶｽが
それに全角数字なんて使ってんじゃねえよゆとりが
0928１３２人目の素数さん2009/02/06(金) 18:05:44
>>927
>>927
>>927
0929１３２人目の素数さん2009/02/06(金) 22:29:10
α＝sinx°とする。xが1未満で変化する有理数のとき、αは有理数とし
て存在するか。
0930１３２人目の素数さん2009/02/06(金) 22:51:00
問題文でお前が数学できないのはわかる
0931１３２人目の素数さん2009/02/06(金) 22:53:16
だいたいsin(-x)=sinxなのにx<1に限定する意味がわからん
0932１３２人目の素数さん2009/02/07(土) 01:14:26
>>931
0933１３２人目の素数さん2009/02/07(土) 01:26:43
（ ﾟдﾟ）…
0934１３２人目の素数さん2009/02/07(土) 01:44:31
kingはオイラーの生まれ変わり
0935１３２人目の素数さん2009/02/07(土) 03:15:46
>>929
x=0
0936１３２人目の素数さん2009/02/07(土) 08:47:53
有理数として存在するとか意味不明。問題不備。
0937KingGold ◆3waIkAJWrg 2009/02/07(土) 10:11:58
Reply:>>931 それは何か。
Reply:>>934 あなたもまたオイラーの教えを継ぐべき。
0938１３２人目の素数さん2009/02/07(土) 16:41:12
>>929
それ証明できたらノーベル賞取れるよ。
0939１３２人目の素数さん2009/02/07(土) 16:46:07
んなわけない。
0940１３２人目の素数さん2009/02/07(土) 16:52:28
>>939
何いってるんですか！？！？！？？！？？
僕は大阪市立大学後期試験で合格したエリートですよ！？！？！？
僕が考えた問題は私の友達も絶賛していますし、何せ、凄い数学の
根本をついた問題が多いんですって！！！！
0941１３２人目の素数さん2009/02/07(土) 17:03:33
あぁ、スルー検定か
0942１３２人目の素数さん2009/02/07(土) 17:25:03
京大＝Ｓ級
市立＝Ａ級ｗｗｗ
0943１３２人目の素数さん2009/02/28(土) 08:18:12
今年の６番後半の解答例は、駿台も河合塾もモサモサしてるなあ。
もっと鮮やかな解答募集
0944１３２人目の素数さん2009/03/01(日) 22:36:32
age
0945１３２人目の素数さん2009/03/02(月) 13:22:48
サイコロを3回なげ1回目に出た目の数をa二回目b三回目cとする
Ｘ=abcとする

①Ｘが奇数になる確率を求めよ
②Ｘ=12になる確率を求めよ
③y=ax＾２+bx＋cがｘ軸からきりとる線分の長さが1/2以上になる確率を求めよ
0946１３２人目の素数さん2009/03/02(月) 13:34:19
なんだこ駅弁大で出てそうな問題は
0947１３２人目の素数さん2009/03/02(月) 13:57:29
駅弁でもこんな問題ださねぇよ
Fラン私大だろ
0948１３２人目の素数さん2009/03/02(月) 14:10:08
0<xで0<f(x)<1である、連続関数f(x)がある
a(m)=∫(0→A(m-1))f(x)dxとするとき

a(M)が1/2002より小さくなるようなMが存在することを証明せよ
0949１３２人目の素数さん2009/03/02(月) 14:49:21
↑パクリは止めろ
0950１３２人目の素数さん2009/03/02(月) 15:00:51
>>949
教えてくれ、じゃないとリストカットする。これのときかた分からん。
そうだよ名古屋の問題だよ、ばれた？
0951１３２人目の素数さん2009/03/02(月) 15:54:06
積分の平均値の定理で瞬殺
0952１３２人目の素数さん2009/03/02(月) 16:08:29
具体的にｗｗｗｗ
0953１３２人目の素数さん2009/03/02(月) 16:27:11
スレチだし、使うものも書いたんだからあとは自分でやってくれよ
0954１３２人目の素数さん2009/03/02(月) 16:29:10
>>953
ちょっとずつ減るんだから、いつかは1/2002より小さくなるって
解法はだめなの？
0955１３２人目の素数さん2009/03/02(月) 17:12:53
あｓｄ
0956１３２人目の素数さん2009/03/02(月) 17:13:39
ｆｗ
0957１３２人目の素数さん2009/03/03(火) 17:58:16
>>948
a(m)＞a(m+1)＞0 より、数列a(m)は下に有界で単調なので収束する。
その値をαとするとα=∫(0→α）f(x)dx。これが成り立つのはα=0のみ。
よって十分大きなMに対して、a(M)<1/2002。
0958１３２人目の素数さん2009/03/03(火) 22:17:46
>>948
このAって何？定数？
ひょっとしてaの間違い？
で確認しようと今年の問題かと思ったら違うみたいだな
てか名古屋って4問しかとかなくていいのかよ
0959１３２人目の素数さん2009/03/03(火) 22:41:21
aの間違いだね。
これは2002年度の問題。
0960１３２人目の素数さん2009/03/03(火) 22:45:57
http://www.densu.jp/nagoya/02nagoyasprob.pdf
元の問題見つけたけど、誘導突き出、解き方まで指定してあるじゃねーか
0961１３２人目の素数さん2009/03/04(水) 15:56:04
a(1)=1/2
a(n+1)=2a(n)^2+2a(n)
a(n)を求めよ
0962１３２人目の素数さん2009/03/04(水) 16:03:12
a_[n+1]+1/2=2(a_[n]+1/2)^2
0963１３２人目の素数さん2009/03/04(水) 19:37:56
>>961
b_n = 2*a_n + 1,
とおくと
　b_[n+1] = (b_n)^2,
よって
　b_n = (b_1)^{2^(n-1)},
　a_n = [ (2*a_1 + 1)^{2^(n-1)} -1 ] /2,
0964１３２人目の素数さん2009/03/05(木) 15:01:55
　a，bを0から9までの整数とする。数列{a[n]}_{n=1,2,…}を
　　　　　a[1]=a，　　　a[2]=b，
　　　　　a[n]=(a[n-1]+a[n-2]の1の位の数)　　　(n=3,4,…)
で定める。このとき、a，bの値によらず、常にa[k]=a[2]となるような整数kをすべて求めよ。
0965１３２人目の素数さん2009/03/05(木) 15:35:27
簡単すぎ
0966１３２人目の素数さん2009/03/05(木) 19:51:19
a^2+b^2=3^nとなる自然数a,b,nは存在しないことを示せ
0967１３２人目の素数さん2009/03/05(木) 20:25:41
n>2
a^2+b^2≡0 (mod 3)⇒a≡b≡0 (mod 3)
∴(a/3)^2+(b/3)^2=3^(n-2)
∴n=1,2
a^2+b^2=3 or 9
no solutions.
0968１３２人目の素数さん2009/03/06(金) 22:32:23
sinθ＋sin3θ＝sin5θを満たすθはいくつあるか
ただし0≦θ＜2πとする
0969１３２人目の素数さん2009/03/07(土) 23:49:11
>>968

和積公式から
　sinθ + sin(3θ) - sin(5θ) = sinθ - 2sinθcos(4θ) = (sinθ){1 - 2cos(4θ)},
∴ sinθ = 0 または cos(4θ) = 1/2,
前者から2つ（θ=0,π）
後者から8つ（θ=π/12, 5π/12, 7π/12, 11π/12, 13π/12, 17π/12, 19π/12, 23π/12)
0970１３２人目の素数さん2009/03/08(日) 23:00:05
長さがＸの辺５つ、１の辺１つでできた三角錐がある
Ｘの範囲を求めよ
0971１３２人目の素数さん2009/03/10(火) 23:28:52
>>970

長さ1の辺をABとすると、△ACD、△BCD は一辺Xの正三角形で、稜CDを共有する。
これらは稜CDのまわりに自由に回転してよい。
∴　X√3 ≧ 1,
0972１３２人目の素数さん2009/03/21(土) 21:21:12
次の性質を満たす関数 ｆ（ｘ） を求めよ．

ｆ’（ｘ）＝[ｎ]√ｙ ，ｆ（０）＝０

ただし ｎ は自然数とする．
09739722009/03/21(土) 21:22:14
× ｆ’（ｘ）＝[ｎ]√ｙ
○ ｆ’（ｘ）＝[ｎ]√｛ｆ（ｘ）｝
0974１３２人目の素数さん2009/03/21(土) 21:52:59
>>973
　f(x)^(-1/n) f(x) = 1,
両辺を x で積分する。
・n>1 のとき
　{n/(n-1)}･f(x)^{(n-1)/n} = x +c,
　f(x) = {[(n-1)/n](x+c)}^((n-1)/n),
　初期条件から c=0.
・n=1 のとき
　log|f(x)| = x+c ',
　f(x) = C'･exp(x),
　初期条件から C' =0.
0975１３２人目の素数さん2009/03/21(土) 21:58:49
>>974
０点
0976１３２人目の素数さん2009/03/21(土) 23:48:30
何故？
0977１３２人目の素数さん2009/03/21(土) 23:52:14
>>971 は相似変換して
　「長さが1の辺5つ、1/Xの辺1つでできた三角錐」
を考えたな。。。
0978１３２人目の素数さん2009/03/22(日) 11:20:38
>>974は積分可能性に触れていないからダメなのかな
つまり、可微分⇒連続⇒原始関数の存在、を明言していないとか
0979１３２人目の素数さん2009/03/22(日) 11:39:28
>>974
(n-1)/n の分子分母が逆だし、それがあってても駄目だろ。
n=2 と n=3 で出来たら十分だろね。

# 解は無数にある。
0980１３２人目の素数さん2009/03/22(日) 11:42:53
n=1 のときだけ一意解かな。
0981１３２人目の素数さん2009/03/22(日) 11:45:12
微分方程式の基礎も知らない奴ばっかなんだなここ・・・
0982１３２人目の素数さん2009/03/22(日) 12:03:22
>>981
先輩、解説をお願いします！
0983１３２人目の素数さん2009/03/22(日) 12:15:42
まず微分方程式入門でも読んでから来い
0984１３２人目の素数さん2009/03/22(日) 22:57:13
本当はあまり自信がない？
0985１３２人目の素数さん2009/03/23(月) 20:11:37
二百十日四時間。
0986１３２人目の素数さん2009/03/23(月) 21:38:09
>>972
俺も分からん
気になるから誰か完全解答頼む
もしくは>>972が解答例を提示してくれ
0987１３２人目の素数さん2009/03/24(火) 01:50:10
>>986
( i ) nが偶数の時
y≧0 が必要で y’≧0
(中略)
x≦0 で y≡0
(以下略)
0988１３２人目の素数さん2009/03/24(火) 16:11:37
二百十一日。
0989１３２人目の素数さん2009/03/24(火) 19:09:41
解説者、出てｺｲﾔｰ
0990１３２人目の素数さん2009/03/24(火) 19:48:32
恒等的に0または、
n≧2のときは{(n-1)*x/n}^{n/(n-1)}
でいいんじゃないの？
0991１３２人目の素数さん2009/03/24(火) 19:49:11
君は境界条件というのを知らないのかね
0992１３２人目の素数さん2009/03/24(火) 19:54:45
しつこい
0993１３２人目の素数さん2009/03/24(火) 19:58:34
今の問題って x の正負で定義域を分けて、とかやるような問題じゃないよね。
0994１３２人目の素数さん2009/03/24(火) 20:12:23
>>987
字読めないの？
完全解答を頼む
0995１３２人目の素数さん2009/03/24(火) 20:23:40
いやです。
0996１３２人目の素数さん2009/03/24(火) 22:25:14
4
0997１３２人目の素数さん2009/03/24(火) 22:26:30
3
0998１３２人目の素数さん2009/03/24(火) 22:27:14
2
0999１３２人目の素数さん2009/03/24(火) 22:27:59
1
1000１３２人目の素数さん2009/03/24(火) 22:28:42
King死ね
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