ルベーグ積分と測度論のスレ
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0001１３２人目の素数さん
2008/08/23(土) 20:52:16http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1176444089/
の次スレ
0002king
2008/08/23(土) 21:05:260003１３２人目の素数さん
2008/08/23(土) 21:29:15m(A)+m(B)=m(A∪B)となることを証明してみろking
0004１３２人目の素数さん
2008/08/23(土) 21:29:30'───┐ |
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| | _
l二二二二. | |└─[][]
| | └'7 /￣
| | /_/ []□ ∩ ┌┐
r────┘｜ ⊂二ノ ┌-､ | |
l＿＿＿＿＿/ | | | |
| └─┐ | |
| ┌─┘ L」
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＼ ￣ ○
＼ |
＼＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿／
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-─────- ､
／ ＼
/ ヽ
| ・ ト-─1 ・ |
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ゝ、 !_／ /
｀ー- ＿＿＿＿＿／
0005１３２人目の素数さん
2008/08/23(土) 21:31:36／:.／
/:.:.:/
r＝= ､､ {:.:.:,′
l !::.::.::.::ヽヽ _ヽ:{＿＿ ＿＿＿_
| !::.::.::.::,. -`.`"´￣￣｀ヽ｀ヽﾆ -――┐!
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＼ ヽ_／｀! rー‐-､ ￣ /://:.!:.:.:.;!
r-､ /＾ヽ _,ノ丶 !、 ） ／///ｲ!:.:.ハ
{ { 〈＼＿〉 ﾊ ヽ } 冫''ニﾆ､くi´i／l// 从从ﾊ!
|:.:.l {`ー/／_ﾉ ,ﾉ Y ´ ヽY ! ＼
l:.:.:! ￣丁--‐' ﾊ {Y,! K ）丶,
ヽ:.ヽ ` ―-イ: i丶 l::! ,／: ヽ / / 、
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0006１３２人目の素数さん
2008/08/23(土) 21:36:11∀x,y∈A x-y∈Qでない
となるようなAは非可測であることを証明してみろking
0007１３２人目の素数さん
2008/08/23(土) 21:38:01でなくて
∀x,y∈A (x-y∈Q → x=y)
だった
0008KingMind ◆KWqQaULLTg
2008/08/23(土) 23:21:28Reply:>>3
定義さえわかればすぐにできる。A∪B=(A-(A∩B))∪(B-(A∩B))∪(A∩B)が成り立ち、合併の成分同士は互いに交わらない。
可測集合族は高々可算個の交わりについて閉じていて、差集合についても閉じている。
よってm(A∪B)=m(A-(A∩B))+m(B-(A∩B))+m(A∩B)=m(A-(A∩B))+m(A∩B)+m(B-(A∩B))+m(A∩B)=m((A-(A∩B))∪(A∩B))+m((B-(A∩B))∪(A∩B))=m(A)+m(B)が成り立つ。
Reply:>>6-7
A+qのqが有理数全体にわたるときの合併がRになるから、Aは零集合ではない。
Aが可測であるとすると、ある有界区間Iがあり、m(A∩I)>0が成り立ち、
qが小さい有理数の範囲で動くとき(A+I)∩qを合併すると、
合併の成分同士は交わらないので合併の測度はIの測度より少し大きいものよりも大きくなるので不整合である。
よって、Aは非可測である。
0009KingMind ◆KWqQaULLTg
2008/08/23(土) 23:23:160010１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 01:21:42A,Bが可測、A∩B=φ→m(A∪B)=m(A)+m(B)
を使いやがったなkingめ
まぁ正解だ
0011１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 01:23:070013１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 05:52:51>m(A∪B)=m(A-(A∩B))+m(B-(A∩B))+m(A∩B)
で使ってないか？
0014KingMind ◆KWqQaULLTg
2008/08/25(月) 17:18:520015KingMind ◆KWqQaULLTg
2008/08/25(月) 17:20:32このことか。
0016１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 18:30:390017１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 19:18:020018１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 20:02:570019１３２人目の素数さん
2008/09/06(土) 18:27:000020１３２人目の素数さん
2008/09/09(火) 17:18:380021１３２人目の素数さん
2008/09/09(火) 19:11:250022１３２人目の素数さん
2008/09/09(火) 20:17:29最初に測度についてうるさい本やるのはどうかと思う。
0023１３２人目の素数さん
2008/09/09(火) 20:32:06ありがとうございます。ルベグ読んで見ます。
0024１３２人目の素数さん
2008/09/09(火) 23:53:16「実解析と測度論の基礎」 （盛田健彦）
は結構気に入ってる。色々丁寧で詳しくて、初学者にもいいかもね。
0025１３２人目の素数さん
2008/09/10(水) 00:11:32微積分の学習をひととおり終えた読者に，ルベグ積分とは何かを
手っ取り早く理解させる入門書である。
記述はつねに易から難へ，具体から抽象へと進められ，まず前半
では１変数の関数のルベグ積分が解説されている。
読者はこの部分を読むだけで，ルベグ積分がどんなものであるか
をひととおり理解されるであろう。
後半の解説は多変数の関数のルベグ積分から抽象的な
測度空間におけるルベグ積分に及んでいるが，一貫して前半の
解説の自然な展開として述べられており，読者に混迷の感を与え
ることがない。
なお，確率論を学ぶためにルベグ積分を知ろうとする人々は，
前半を終えたならばただちに測度空間の章へ進めばよい。
0026１３２人目の素数さん
2008/09/10(水) 00:18:27演習問題はまだ二割程度しか解けていません
実解析のお勧めの本を教えてください＾＾
複素解析は今アールフォースので進めています
0027Kaori
2008/09/11(木) 11:29:48μをルベーグ外測度とする。f:2^(R^n)→Rを
2^(R^n)∋∀A|→f(A):=sup{μ(K)∈R;(A⊃)Kは有界閉集合}とする時,
このfをルベーグ内測度という。
と習ったのですがμの定義域は∪[j=1..k]Π[i=1..n](a_ji,b_ji]というn次元半開区間塊の集合だと思います。
なのでμ(K)とは書けないと思うのですが…
勘違いしてますでしょうか?
ちなみにLebesgue外測度の定義は下記の通りです。
C(n)をn次元区間塊とする。
[定義] 写像g:∪C(n)→R∪{+∞}を
C(n)∋∀∪[i=1..k]Π[ji=1..n](a_ji,b_ji]→g(∪[i=1..k]Π[ji=1..n](a_ji,b_ji]):=
Π(b_i-a_i)
(k=1且つΠ[i=1..n](a_j1,b_j1]は有界の時)
sup{Π[i=1..n](d_i-c_i);(Π[j1=1..n](a_j1,b_j1]⊃)Π[i=1..n](c_i,d_i]は有界}
(k=1でΠ[j1=1..n](a_j1,bj1]は非有界の時)
0 (k=1でΠ[j1=1..n](a_j1,b_j1]=φの時)
Σ[i=1..k]g(Π[ji=1..n](a_ji,b_ji]) (k>1で∪[i=1..k]Π[ji=1..n](a_ji,b_ji]∈C(n)
(但し,Π[j1=1..n](a_j1,b_j1],Π[j2=1..n](a_j2,b_j2],…,Π[jn=1..n](a_jn,b_jn]は互いに素)の時)
と定義するとこのgは可測空間(R^n,C(n))での有限測度をなす。
そして写像h:2^(R^n)→Rを2^(R^n)∋∀A→h(A):=
inf{Σ[k=1..∞]g(E_k);A⊂∪[k=1..∞]E_k (E_k∈C(n) (n∈N＼{0}))}
で定義するとこのhは可測空間(R^n,C(n))で外測度をなす。
この時,このhをLebesgue外測度という。
0028１３２人目の素数さん
2008/09/11(木) 13:13:23つまり、外測度hの定義域は2^(R^n)ですね。君の目は節穴ですか？
0029１３２人目の素数さん
2008/09/11(木) 13:31:15半開区間の和EでKを含むものを考えて
そのようなEの測度の下限でKの測度を考えているわけです
0030１３２人目の素数さん
2008/09/11(木) 16:05:22ふつうは、ルベーグ内測度は、補集合の外測度を使って定義する。（したがっ
てルベーグの場合は「内測度」に独立した意味はなく、カラテオドリ可測性の
定義を見やすくする程度の意味しかない。）
R^nの場合、有界閉集合はコンパクトで、しかもルベーグ測度は位相的正則だ
から、「含まれるコンパクト集合の測度（＝外測度）のsup」が測度と一致
するので、>>27でも間違いではないが、なんでそんな特殊な定義を採用する
のだろう？ 測度論が整備される前の混沌とした時代じゃあるまいし、百害
あって一利なしと思うのだが。
その教員が考えた方法ならそうする意図を、そうでないならタネ本が何か知りたいね。
0031Kaori
2008/09/12(金) 09:55:11そうでした。だから有界閉集合でも可でした。
すいません。勘違いしてました。
どうもありがとうございました。
Lebesgue内測度はあまり意義のあるものではないんですね。
本がもし別ればお教えしたいと思います。
0032Kaori
2008/09/12(金) 10:33:45[定義1] S(a,b):={f∈Map((a,b),R);fは単関数}
[定義2]f∈S(a,b),f(x)=c_i (x∈I_i(⊂(a,b))の時),0 (それ以外の時)
(i=1,2,…,k).
∫[a..b]f(x)dx:=Σ[n=1..k]c_i|I_k| と定義し,単関数の積分と呼ぶ。
[定理ア] 単関数列の単調増加列{s_n}が与えられた時,∫[a..b]s_n(x)dx≦M<∞⇒{s_n}はa.e.で有限な極限を持つ(ここでの∫は単関数の積分)。
[定義3] 定理アでlim[n→∞]s_n(x)=:f(x)とおき,Zを零集合とする。lim[n→∞]f(x)はx∈Zでは∞となり,
x∈Z^cではlim[n→∞]f(x)∈Rとなる。
よってこのようなf∈Map((a,b),R∪{±∞})に対し,
{{s_n};{s_n}は区間(a,b)での単調増加な単関数列,s_n≦f(有限個の点を除いて),
∫[a..b]s_n(x)dx≦M<∞,
∃Zは零集合 such that x∈Z^c⇒f(x)∈R,lim[n→∞]s_n(x)=f(x)}≠φ
となる。この集合をFと定義する。そしてこの{s_n}をfの定義関数列と呼ぶ。
0033Kaori
2008/09/12(金) 10:34:51[定理イ] f_n∈L^+(a,b), {f_n}は単調増加列で∫[a..b]f_n(x)dx≦M<∞⇒{f_n}はa.e.で収束する
で難儀しております。
対偶でなら示せるかと思い、、、
￢(lim[n→∞]f_n(x)∈R (a.e.))と仮定してみる。つまり
2^(a,b)∋∃Sは零集合ではない such that ∀x∈S,lim[n→∞]f_n(x)=+∞ ({f_n}は単調増加)。
よって0<∀ε∈R,∃K∈N;K<n∈N⇒f_n(x)>ε. …①
よって{I_k;inf{Σ[k=1..∞]|I_k|;S⊂∪[k=1..∞]I_k}>0}=:Jと置くと
∃I∈J; |I|>0(∵∀I∈J,|I|=0ならinf{Σ[k=1..∞]|I_k|;S⊂∪[k=1..∞]I_k}=0となってSは零集合となり矛盾)
そこでこのIと①から,∫[a..b]f_n(x)dx=+∞になる予定でしたがまだ単関数の積分しか定義されてませんのでリーマン積分は使えません。
したがってこのIと①から,∫[a..b]f_n(x)dx=+∞が言えなくて困っています。
どのようにすれば
{f_n}はa.e.で有限な極限を持つ
が示せますでしょうか?
0034１３２人目の素数さん
2008/09/12(金) 11:41:37f_nの単関数列を
f_n≦s_n.m+M for some M a.e
0035１３２人目の素数さん
2008/09/12(金) 11:52:06∫f_n≧∫s_n.m→∞ 矛盾
0036１３２人目の素数さん
2008/09/12(金) 20:16:06コンパクト線型リー群上の複素数値正則測度は
ハール測度に関して絶対連続という定理は現在あるでしょうか？
あるだろう。というよりもあったらいいなと思って質問していますので根拠はないです
0037１３２人目の素数さん
2008/09/13(土) 02:03:24ありません
0038mmm
2008/09/13(土) 10:57:19『Aを集合とする(A,B)をBをA上のσ集合体とする可測空間,(Y,S)をSを位相とする位相空間とする。
その時,
f:B→Sが可測 ⇔(def) ∀s∈S,f^-1(s)∈B』
が可測の一般での定義と聞いたのですがこれで正しいでしょうか?
0040yuuka
2008/09/14(日) 00:42:58D={(x,x);0≦x≦1}を[0,1]×[0,1]内のdiagonal segmentとせよ。
λ*(D)=を計算する為に,Lebesgue外測度の定義を用いよ。
という問題です。要するにDの面積(?)を求めよという問題だと思います。
λ*はLebesgue外測度だと思います。
[解]
Dを覆う長方形として
[0,1/2]^2∪[1/2,1]^2があり次に細分化して
[0,1/4]^2∪[1/4,2/4]^2∪[2/4,3/4]∪[3/4,1]があり更に細分化して
[0,1/8]^2∪[1/8,2/8]^2∪[2/8,3/8]∪[3/8,4/8]∪[4/8,5/8]^2∪[5/8,6/8]^2∪[6/8,7/8]∪[7/8,1]
:
と細分化し続けて、、、Lebesgue外測度の定義は
inf{lim[n→∞]Σ[k=1..2^n]|[(k-1)/2^n,k/2^n]×[(k-1)/2^n,k/2^n]|;D⊂lim[n→∞]∪[k=1..2^n]([(k-1)/2^n,k/2^n]×[(k-1)/2^n,k/2^n])}
だからこれがλ*(D)の値だと思います。
それでlim[n→∞]Σ[k=1..2^n]|[(k-1)/2^n,k/2^n]×[(k-1)/2^n,k/2^n]|を計算すると
lim[n→∞]Σ[k=1..2^n](1/2^n)^2
=lim[n→∞]1/4Σ[k=1..2^n](1/4)^(n-1)
=1/4/(1-1/4)(∵等比級数の和) =1/3
となったのですがこれで正しいでしょうか?
0041１３２人目の素数さん
2008/09/14(日) 07:47:39なんかおかしい。
σ(S)：開集合系Sから生成されるσ-集合体
として、正しくは
f:A→Yが可測 ⇔∀s∈σ(S), f ^{-1}(s)∈B
def
と書くんじゃないの？
あと、写像の可測性の定義はもっと一般的に、
「可測集合の逆像が可測」でいい。
つまり、
(X, S)：可測空間，(Y, T)：可測空間，f: X→Y
として、
fが可測 ⇔∀B∈T, f ^{-1}(B)∈S
def
0042１３２人目の素数さん
2008/09/14(日) 09:56:15まず、Dは線分で、線分や直線のLebesgue外測度は0。だから1/3という答えは変。
λ^*(D)をLebesgue外測度の定義から直接計算するなら、
>>40 のような長方形和の縮小列を考えればいいのだろうが、
「と細分化し続けて、、、」以降が間違っている。
Lebesgue外測度の定義から、
0≦λ^*(D)≦lim[n→∞]納k=1..2^n] |[(k-1)/2^n,k/2^n]×[(k-1)/2^n,k/2^n]|
この最右辺の計算を >>40 でしているけども途中でミスしている。（等比級数にはならない！）
(最右辺)
=lim[n→∞]Σ[k=1..2^n](1/2^n)^2
=lim[n→∞](2^n)(1/2^n)^2
=lim[n→∞]1/2^n
=0
だからはさみうちで、λ^*(D)=0 ■
0043mmm
2008/09/14(日) 13:20:28> 「可測集合の逆像が可測」でいい。
> つまり、
> (X, S)：可測空間，(Y, T)：可測空間，f: X→Y
> として、
> fが可測 ⇔∀B∈T, f ^{-1}(B)∈S
> def
ありがとうございます。
これは分かりやすいです。
0044mmm
2008/09/14(日) 13:25:07「fが可測 ⇔∀B∈T, f ^{-1}(B)∈S 」
の場合,何上の可測とか何々可測とか修飾語は付かないのでしょうか?
0045１３２人目の素数さん
2008/09/14(日) 13:52:06S/T-可測 とか言うみたいよ。
0046mmm
2008/09/15(月) 06:37:07どうもありがとうございます。
0047yuuka
2008/09/15(月) 06:49:38> Lebesgue外測度の定義から、
> 0≦λ^*(D)≦lim[n→∞]納k=1..2^n] |[(k-1)/2^n,k/2^n]×[(k-1)/2^n,k/2^n]|
λ^*(D)≦lim[n→∞]納k=1..2^n] |[(k-1)/2^n,k/2^n]×[(k-1)/2^n,k/2^n]|
はどうして不等号になるのですか?
Lebesgue外測度の定義から等号になると思うのですが…
> この最右辺の計算を >>40 でしているけども途中でミスしている。（等比級数にはならない！）
> (最右辺)
> =lim[n→∞]Σ[k=1..2^n](1/2^n)^2
> =lim[n→∞](2^n)(1/2^n)^2
> =lim[n→∞]1/2^n
> =0
納得です。
0048１３２人目の素数さん
2008/09/15(月) 10:26:16>Lebesgue外測度の定義から等号になると思うのですが…
Lebesgue外測度の定義から，
λ^*(D)≦納k=1..2^n] |[(k-1)/2^n,k/2^n]^2| (for ∀n∈N)．
だからλ^*(D)は実数列 {納k=1..2^n] |[(k-1)/2^n,k/2^n]^2|}_{n=1}^{∞} の下界．
さらにこの実数列は単調減少なので下限に収束する．
下界≦下限だから，
λ^*(D)≦lim[n→∞]納k=1..2^n] |[(k-1)/2^n,k/2^n]^2|．
まだわからんかったら質問スレで続きをやろう。
0049yuuka
2008/09/17(水) 03:12:15:
> λ^*(D)≦lim[n→∞]納k=1..2^n] |[(k-1)/2^n,k/2^n]^2|．
どうもありがとうごさいます。納得できました。
0050Kaori
2008/09/19(金) 10:52:44> 任意のmに関して
> f_nの単関数列を
> f_n≦s_n.m+M for some M a.e
> f_n→∞ on U ⇒s_n.m>M on U for all large n,m
> ∫f_n≧∫s_n.m→∞ 矛盾
つまり,∀n∈Nに対してf_n(x)≦s_n.m(x) +M_n (a.e.) となるような単関数{s_n.m}と定数M_nが採れれば
∫[a..b]f_n(x)dx≦∫[a..b](s_n.m(x) +M_n)dx
(∵命題,{h_n}と{k_n}をf,g∈L^+(a,b)の定義関数列でf≦g(a.e.)なら∫[a..b]f(x)dx≦∫[a..b]g(x)dx
但し,∫[a..b]f(x)dx:=lim[n→∞]∫[a..b]h_n(x)dx) という意味でしょうか?
ここでもしf_n(x)→∞(a.e.)ならばどうしてs_n.m(x)>M _n (a.e.)が言えるのでしょうか?
0051１３２人目の素数さん
2008/10/05(日) 11:28:00fがproperty Cを持つ
⇔(def)
(i) 0<∀ε∈R,E⊃∃Fは閉集合;λ(E＼F)<ε (λはLebesgue測度)
(ii) fはF上で連続。
がproperty Cの定義です。
[問] Qを有理数体とする。f:Q→{0,1}をf(x)=1(x∈Qの時),0(x∈Qでない時)とする。
この時,fはproperty Cを満たす事を示せ。
[解]
(i) 閉集合FとしてQを採ればλ(Q＼Q)=λ(φ)=0(∵測度の定義)<ε。
(ii) fはQで連続である事を示す。
「f:X→YがXで連続とはfが任意のXの元xで連続である。これの定義は
∀V∈nbhd(f(x),Y)に対し∃U∈nbhd(x,X);f(U)⊂V
(但しnbhd(x,X)はX内での点xの近傍系を表す」
∀r∈Qで連続である事を示せばよい。∀V∈nbhd(f(r),{0,1})を採ると
fの定義からf(r)=1なのでV={1}かV={0,1}かのどちらか。
U∈nbhd(r,Q)としてどんなUもQの部分集合なので
f(U)={1}⊂V
よってfはQで連続。となったのですがこれで正しいでしょうか?
0052１３２人目の素数さん
2008/10/06(月) 03:45:58数学を真面目にやりたいなら、もっと正確に記述すべき
最初は一般の可測空間の話と思わせといて、途中からR上のルベーグ測度の話になったり、突然位相がでてきたりしてる。
(Ω=R, Σ, λ) がとりあえずルベーグ測度空間で普通の位相で考えた場合は
＞f:Q→{0,1}をf(x)=1(x∈Qの時),0(x∈Qでない時)
Qに入らないときは定義域の外なんだから書く必要はない。f:Q → {1} で関数はひとつに定まる
＞∀r∈Qで連続である事を示せばよい。∀V∈nbhd(f(r),{0,1})を採ると
これだと f:Q→{0,1} の関数として連続は示せるけど、それは本当に
Q→[-∞,+∞]な関数としての連続性を導くのか考察したか？
定義の上では f:Q→[-∞,+∞] が連続は f:Q→{0,1} が連続よりも強いぞ
どうでもいいけど、Q上の関数がCを満たすかどうかなんて考える必要あるの？
任意のQ上の関数が満たすと思うんだけど…
0053１３２人目の素数さん
2008/10/10(金) 12:22:36測度収束の極限は一意的であることを示せ。
にはまってます。
とりあえず測度収束の定義から
0<∀ε∈R, μ({x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε})=0とμ({x∈E;|f_n(x)-f'(x)|≧ε})=0.
というfとf'があったとして(μは測度,Eは可測な集合,f_n,f,f'は可測な関数)f=f' a.e.に持って行きたいのですが
ここからにっちもさっちも行きません。どうすればいいのでしょうか?
よろしくお願いいたましす。
0054１３２人目の素数さん
2008/10/10(金) 12:51:290055１３２人目の素数さん
2008/10/11(土) 13:17:51ありがとうございます。
とりあえず頑張ってみました。
> (｜f－f'｜≧ε)⊂(｜f－fn｜≧ε/2)∪(｜fn－f'｜≧ε/2) で終わりじゃないの？
0<∀ε∈R,lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε/2})=lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-f'(x)|≧ε/2})=0
と書けたとする。
すると 0=lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε/2})+lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-f'(x)|≧ε/2})
=lim[n→∞](μ({x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε/2})+lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-f'(x)|≧ε/2}))
(∵μ({x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε/2})とμ({x∈E;|f_n(x)-f'(x)|≧ε/2})とは収束するので)
≧lim[n→∞](μ({x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε/2}∪{x∈E;|f_n(x)-f'(x)|≧ε/2}) (∵測度の定義)
≧lim[n→∞](μ({x∈E;|f(x)-f_n(x)+f_n(x)-f'(x)|≧ε})
(∵{x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε/2}∪{x∈E;|f_n(x)-f'(x)|≧ε/2}⊃{x∈E;|f(x)-f_n(x)+f_n(x)-f'(x)|≧ε})
=lim[n→∞](μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})
=lim[n→∞](μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}-0)
=lim[n→∞](μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}-μ(Z)) (但しZは零集合) (∵零集合の定義)
≧lim[n→∞]μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}＼Z) (∵測度の定義)
=lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|f(x)-f'(x)|≧ε}).
即ち 0<∀ε∈R, lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|f(x)-f'(x)|≧ε})=0.
∴ f(x)=f'(x) a.e.
となったのですがこれで正しいでしょうか?
0056１３２人目の素数さん
2008/10/11(土) 18:33:29後半が意味不明。なんでそこでZが出て来るのか？何か勘違いしている可能性が高い。
＞即ち 0<∀ε∈R, lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|f(x)-f'(x)|≧ε})=0.
＞∴ f(x)=f'(x) a.e.
↑上の行から下の行が言える理由を詳しく書いてみてくれ。
0057１３２人目の素数さん
2008/10/11(土) 18:52:39＞≧lim[n→∞]μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}＼Z) (∵測度の定義)
ここの不等号も不自然。もし劣加法性を使ったのならμ(A)－μ(B)≦μ(A－B)しか
言えないはずだから、不等号の向きが逆。
0058１３２人目の素数さん
2008/10/12(日) 14:54:10一意的をa.e.で示すのだからZを排除しようとしたのです。
a.e.は零集合を排除した範囲でという意味でしょ?
> ＞即ち 0<∀ε∈R, lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|f(x)-f'(x)|≧ε})=0.
> ＞∴ f(x)=f'(x) a.e.
>
> ↑上の行から下の行が言える理由を詳しく書いてみてくれ。
「f_n(x)がf(x)にE上で測度収束
⇔
0<∀ε∈R, lim[n→∞](μ({x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε})=0」
がf_n(x)→f(x) (in a measure on E)の定義だと思いましたので
なので一意的にa.e.で測度収束する事を示すには
(f(x)-f'(x))→0 (in a measure a.e)を示す事だと思い,
0<∀ε∈R, lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|(f(x)-f'(x))-0|≧ε})=0つまり,
0<∀ε∈R, lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|f(x)-f'(x)|≧ε})=0
を示せばいいのかと思いました。
> ＞=lim[n→∞](μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}-μ(Z)) (但しZは零集合) (∵零集合の定義)
> ＞≧lim[n→∞]μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}＼Z) (∵測度の定義)
> ここの不等号も不自然。もし劣加法性を使ったのならμ(A)－μ(B)≦μ(A－B)しか
> 言えないはずだから、不等号の向きが逆。
マジですか。どのようにして示せばよろしいでしょうか?
0059１３２人目の素数さん
2008/10/12(日) 15:52:01＞0<∀ε∈R, lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|f(x)-f'(x)|≧ε})=0
これから、その定義までどうやってもっていくの？
0060１３２人目の素数さん
2008/10/12(日) 16:51:42（すでに「収束」の話ではなくなっている）ことに気づいてないんだな…ｗ
間違いじゃないけど、難しく考えすぎ。
>>53～>>56で「f=f' a.e.を示せばよい」と正しく書いてるのに、
>>58では
>一意的にa.e.で測度収束する事を示すには
>(f(x)-f'(x))→0 (in a measure a.e)を示す事だと思い,
って…。
「間違い」じゃないけど左辺にnがないんだから「→」じゃなくて「=」だろ。
>>59がいうように、まず「f(x) = f'(x) a.e.」をμを用いて正確に書いてみる
ところからだな。そうすれば、出自不明のZなんて集合を唐突に持ち出すことに
意味がないことがわかるだろう。
0061１３２人目の素数さん
2008/10/12(日) 17:14:08∃Z, f(x)=f'(x) if x∈E/Z, μ(Z)=0
⇔ ∃Z, {x∈E;f(x)≠f'(x)}⊂Z, μ(Z)=0
⇔ μ({x∈E;f(x)≠f'(x)})=0
{x∈E;f(x)≠f'(x)}
={x∈E;|f(x)-f'(x)|>0}
=∪_[ε>0] {x∈E;|f(x)-f'(x)|>ε}
0062１３２人目の素数さん
2008/10/13(月) 14:25:05少なくとも零集合以外のx∈Eでf(x)=f'(x)という意味です。
> ＞0<∀ε∈R, lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|f(x)-f'(x)|≧ε})=0
> これから、その定義までどうやってもっていくの？
う゛～。。
> lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|f(x)-f'(x)|≧ε})=0の中身にnがなくなっている
> （すでに「収束」の話ではなくなっている）ことに気づいてないんだな…ｗ
> 間違いじゃないけど、難しく考えすぎ。
そういわれればそうですね。けどどうすれば、、
0063１３２人目の素数さん
2008/10/13(月) 14:25:36>>一意的にa.e.で測度収束する事を示すには (f(x)-f'(x))→0 (in a measure a.e)を示す事だと思い,
> って…。
> 「間違い」じゃないけど左辺にnがないんだから「→」じゃなくて「=」だろ。
>>>59がいうように、まず「f(x) = f'(x) a.e.」をμを用いて正確に書いてみる
> ところからだな。
下のヒントからμ({x∈E;f_n(x)≠f(x)})=0 ですか?
> そうすれば、出自不明のZなんて集合を唐突に持ち出すことに
> 意味がないことがわかるだろう。
> ヒント：
>
> ∃Z, f(x)=f'(x) if x∈E/Z, μ(Z)=0
> ⇔ ∃Z, {x∈E;f(x)≠f'(x)}⊂Z, μ(Z)=0
> ⇔ μ({x∈E;f(x)≠f'(x)})=0
>
> {x∈E;f(x)≠f'(x)}
> ={x∈E;|f(x)-f'(x)|>0}
> =∪_[ε>0] {x∈E;|f(x)-f'(x)|>ε}
0064１３２人目の素数さん
2008/10/13(月) 14:26:39と書けたとする。
すると 0=lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε/2})+lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-f'(x)|≧ε/2})
=lim[n→∞](μ({x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε/2})+lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-f'(x)|≧ε/2}))
(∵μ({x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε/2})とμ({x∈E;|f_n(x)-f'(x)|≧ε/2})とは収束するので)
≧lim[n→∞](μ({x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε/2}∪{x∈E;|f_n(x)-f'(x)|≧ε/2}) (∵測度の定義)
≧lim[n→∞](μ({x∈E;|f(x)-f_n(x)+f_n(x)-f'(x)|≧ε})
(∵{x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε/2}∪{x∈E;|f_n(x)-f'(x)|≧ε/2}⊃{x∈E;|f(x)-f_n(x)+f_n(x)-f'(x)|≧ε})
=lim[n→∞](μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})
=lim[n→∞](μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}-0)
=lim[n→∞](μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}-μ({x∈E;|f(x)≠f'(x)|≧ε}) (∵零集合の定義)
≧lim[n→∞]μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}＼{x∈E;|f(x)≠f'(x)|≧ε}) (∵測度の定義)
=lim[n→∞](μ({x∈E＼{x∈E;|f(x)≠f'(x)|≧ε};|f(x)-f'(x)|≧ε}).
即ち 0<∀ε∈R, lim[n→∞](μ({x∈E＼{x∈E;|f(x)≠f'(x)|≧ε};|f(x)-f'(x)|≧ε})=0.
∴ f(x)=f'(x) a.e.
これだと単にZを{x∈E;|f(x)≠f'(x)|≧ε}にすぎません。
うーん、、どうすればf(x)=f'(x) a.e.が導けますでしょうか?
0065１３２人目の素数さん
2008/10/14(火) 00:00:51{x∈E｜f(x)≠f'(x)}が零集合であることを示せばよい。
0066１３２人目の素数さん
2008/10/14(火) 11:39:51> {x∈E｜f(x)≠f'(x)}が零集合であることを示せばよい。
どうやって示せばいいのでしょうか。すいません。わかりません。
是非ご教示ください。 m(_ _)m
0067１３２人目の素数さん
2008/10/14(火) 19:13:31>=lim[n→∞](μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})
>=lim[n→∞](μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}-0)
>=lim[n→∞](μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}-μ({x∈E;|f(x)≠f'(x)|≧ε}) (∵零集合の定義)
「 (∵零集合の定義) 」って…。
μ({x∈E;|f(x)≠f'(x)|≧ε}=0つまり{x∈E;|f(x)≠f'(x)|≧ε}が零集合であることは
すでにわかっているということ？ （そんなばかな）
そして「|f(x)≠f'(x)|≧ε」ってそもそも何。意味不明な式を書いてるぞ。
証明の手順は
(1)∀ε>0, μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})=0を示す
(2) (1)からμ({x∈E;f(x)≠f'(x)})=0を示す
だ。(2)で>>61のヒント後半（と測度のσ加法性）を使う。
(2)がポイントたが、とりあえずまず(1)の証明をちゃんと書いてみ？ 話はそれから。
ヒント：引用の最初の行でlimはすでにいらないよな？
ちなみに、(1)は「測度的に等しい」とでも呼べるような性質で、これから「a.e.等しい」
が出ることを示すのが(2)だ。つまり、測度的極限の一意性は「測度的一致」の意味では
「測度的三角不等式」とでも呼べる>>54から簡単に（σ加法性なしに）得られるという部
分が(1)。この証明は距離空間における極限の一意性の証明と同じパターン。
そして、「測度的一致」が「a.e.一致」と同値であることを示す部分が(2)。ここが
「測度論」ぽい議論の真骨頂。
0068１３２人目の素数さん
2008/10/15(水) 07:31:10ありがとうございます。
0<∀ε∈R,μ({x∈E;|fn(x)-f(x)|≧ε/2})=0 と μ({x∈E;|fn(x)-f'(x)|≧ε/2})=0と書け,
それから 0= μ({x∈E;|fn(x)-f(x)|≧ε/2})+ μ({x∈E;|fn(x)-f'(x)|≧ε/2})
= (μ({x∈E;|fn(x)-f(x)|≧ε/2})+μ({x∈E;|fn(x)-f'(x)|≧ε/2}))
(∵μ({x∈E;|fn(x)-f(x)|≧ε}), μ({x∈E;|fn(x)-f'(x)|≧ε})は実数)
≧ (μ({x∈E;|fn(x)-f(x)|≧ε/2}∪{x∈E;|fn(x)-f'(x)|≧ε/2})
(∵測度の定義)
≧ (μ({x∈E;|f(x)-fn(x)+fn(x)-f'(x)|≧ε})
= μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})=μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})
=μ(∪[n=1..∞]{x∈E;|f(x)-f'(x)|>1/n})
=μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|>0}) (∵nは任意)
=μ({x∈E;|f(x)≠f'(x)|}).
即ち, μ({x∈E;|f(x)≠f'(x)|})=0.
でいいのでしょうか?
0069１３２人目の素数さん
2008/10/15(水) 09:08:13＞0<∀ε∈R,μ({x∈E;|fn(x)-f(x)|≧ε/2})=0 と μ({x∈E;|fn(x)-f'(x)|≧ε/2})=0と書け,
書けない。お前の目は節穴か？limはどこへ行った？測度論を勉強する前に眼科受診しろ。
成り立つと仮定されているのはlim[n→∞]μ({x∈E;|fn(x)-f(x)|≧ε/2})＝0であって、
必ずしもμ({x∈E;|fn(x)-f(x)|≧ε/2})＝0は成り立たない。
＞= μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})=μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})
＞=μ(∪[n=1..∞]{x∈E;|f(x)-f'(x)|>1/n})
ここも駄目。お前の目は節穴か？測度論を勉強する前に眼科受診しろ。
μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}) =μ(∪[n=1..∞]{x∈E;|f(x)-f'(x)|>1/n})
という式は必ずしも成り立たない。なぜなら、
{x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}＝∪[n=1..∞]{x∈E;|f(x)-f'(x)|>1/n}
は必ずしも成り立たないからだ。いつでも成り立つのは
{x∈E;|f(x)-f'(x)|＞0}＝∪[n=1..∞]{x∈E;|f(x)-f'(x)|>1/n}
の方だ。
0070１３２人目の素数さん
2008/10/15(水) 12:07:26距離空間における極限の一意性の証明
lim[n→∞]xn=x（すなわちlim[n→∞]d(xn,x)=0）かつlim[n→∞]xn=x'（すなわちlim[n→∞]d(xn',x)=0）とすると,
三角不等式により任意のnに対して
d(x,x')≦d(xn,x)+d(xn,x')
だから,両辺でn→∞とすれば
lim[n→∞]d(x,x')≦lim[n→∞](d(xn,x)+d(xn,x'))
=lim[n→∞]d(xn,x)+lim[n→∞]d(xn,x')
=0
最左辺はnに無関係だから, d(x,x')≦0
よってd(x,x')=0（∵d(x,x')≧0）
よってx=x'
ちょっと丁寧に書きすぎたが, >>68の馬鹿丁寧さに合わせた.
（>>68の「それから」という行とその次の行, 何が違うのかわからんかったｗ）
これ参考にして>>67の(1)「だけ」（←これ重要）まずキッチリ証明してみなよ.
>>68みたいなレベルで, ひとつながりの式変形で(2)まで一気にやろうなんて㍉.
0071１３２人目の素数さん
2008/10/16(木) 07:09:15> 書けない。お前の目は節穴か？limはどこへ行った？
すいません。秀丸からコピペしたときに何故かlimが消えてしまいました。
0<∀ε∈R,lim[n→∞]μ({x∈E;|fn(x)-f(x)|≧ε/2})=0 と lim[n→∞]μ({x∈E;|fn(x)-f'(x)|≧ε/2})=0と書け,
それから 0=lim[n→∞]μ({x∈E;|fn(x)-f(x)|≧ε/2})+lim[n→∞]μ({x∈E;|fn(x)-f'(x)|≧ε/2})
=lim[n→∞](μ({x∈E;|fn(x)-f(x)|≧ε/2})+lim[n→∞]μ({x∈E;|fn(x)-f'(x)|≧ε/2}))
(∵μ({x∈E;|fn(x)-f(x)|≧ε})とμ({x∈E;|fn(x)-f'(x)|≧ε})は実数)
≧lim[n→∞](μ({x∈E;|fn(x)-f(x)|≧ε/2}∪{x∈E;|fn(x)-f'(x)|≧ε/2})
(∵測度の定義)
≧lim[n→∞](μ({x∈E;|f(x)-fn(x)+fn(x)-f'(x)|≧ε})
=lim[n→∞]μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})=μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})
つまり,μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})=0となりました。
0072１３２人目の素数さん
2008/10/16(木) 09:51:59うん, まあ合ってる. こんな部分はもっと簡潔に,
「>>54と測度の性質（単調性および劣加法性）より, ∀ε>0に対し
μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})≦μ({x∈E;|f(x)-fn(x)|≧ε/2})+μ({x∈E;|fn(x)-f'(x)|≧ε/2})
がすべての番号nについて成り立つから, n→∞とすれば, 右辺は仮定により0に収束するが
左辺はnに無関係だから, μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})=0.」
とか書けば十分と思うけど.
（簡単なところをあまり丁寧に書くと, 証明がむやみに長くなるうえ, キーポイント（一番大事なところ）
がどこだか分かりにくくなる）
さて, これで「任意のε>0に対してμ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})=0が成り立つ.」は言えたから, このことは
以下自由に使ってよい.
示せばよいのは μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|>0})=0.
ヒント：σ加法性（あるいは測度の連続性）を使うために, εn=1/nととる.
（εn↓0ならなんでもいいが. なお「↓」は「（広義）単調減少で収束」の意味.）
0073１３２人目の素数さん
2008/10/17(金) 09:16:20> （簡単なところをあまり丁寧に書くと, 証明がむやみに長くなるうえ, キーポイント（一番大事なところ）
> がどこだか分かりにくくなる）
ありがとうございます。
> さて, これで「任意のε>0に対してμ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})=0が成り立つ.」は言えたから, このことは
> 以下自由に使ってよい.
>
> 示せばよいのは μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|>0})=0.
> ヒント：σ加法性（あるいは測度の連続性）を使うために, εn=1/nととる.
> （εn↓0ならなんでもいいが. なお「↓」は「（広義）単調減少で収束」の意味.）
0<∀ε∈Rに対し,μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})=0なので
0=μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|>0}) (∵εは任意)
=μ({x∈E;|f(x)≠f'(x)|}).
即ち,μ({x∈E;|f(x)≠f'(x)|})=0. ∴ f(x)=f'(x) a.e.
でいいでしょうか?
0074１３２人目の素数さん
2008/10/17(金) 10:56:53｢コ◆シミ◆ズ｣検索 ｢独◆立◆党｣検索 ◆はずしてを検索
与党も野党もメディアも全部朝鮮人だった。
http://jb◆bs.l◆ivedo◆or.jp/b◆bs/re◆ad.cgi/news/20◆92/115◆7941306/
2chの運◆営の正体をリチ◆ャード・コ◆シ◆ミズが断言
http://mamono.2ch.net/test/re◆ad.cgi/lobby/1213◆329◆871/
２ｃｈには何故か？書き込み不可能な文章
http://jb◆bs.live◆do◆or.jp/b◆bs/re◆ad.cgi/news/20◆92/116◆9481830/
リ◆チャード・コ◆シ◆ミズが初めて公の場に登場した、ワールドフォーラム06年8月例会での講演
http://vi◆deo.go◆ogle.com/vi◆deopl◆ay?docid=36658385◆1926860◆5080&hl=en
262 ：中江さんへ ：2007/01/29(月) 18:24:12 ID:???
中江さんへ 以下のリンクを参照して、２ｃｈがどういうサイトがご判断の上、
透派について、書き込みされるか、ご判断下さい。
頭のよいあなたなら、私の伝えたいことは十分に伝わると思います。
http://jb◆bs.li◆vedo◆or.jp/news/20◆92/
http://vid◆eo.go◆ogle.com/vi◆deoplay?docid=366◆583851926860◆5080&hl=en
http://ww◆w15.ocn.ne.jp/~oya◆kodon/newve◆rsion/sinb◆unter◆ebiiranaiyo.htm
http://an◆ti2ch.bl◆og61.fc2.com/
http://re◆sistan◆ce333.w◆eb.f◆c2.com/top_in◆dex.html
264 ：中江さんへ ：2007/01/31(水) 05:25:05 ID:3U/nw295
なにがあった？
265 ：名無しさん＠占い修業中 ：2007/02/01(木) 19:09:14 ID:???
自殺しました
｢日本の母は息子の性処理係｣毎日新聞が捏造記事143
http://changi.2ch.net/test/read.cgi/ms/1223898193/
毎日新聞スレ荒らしは２ちゃん運営（統一教会）
http://changi.2ch.net/test/read.cgi/ms/1223995813/
0075１３２人目の素数さん
2008/10/17(金) 14:33:11君は任意のε>0 に対して 0 < ε だから、0 < 0 だといったりするのかね？
0076１３２人目の素数さん
2008/10/18(土) 01:01:21ヒント（μのσ加法性を使うために次の置き換えをする）：
{x∈E;|f(x)-f'(x)|>0} = ∪_{n=1}^∞ {x∈E; ??? }
??? に当てはまる条件を考えてみよ！
0077１３２人目の素数さん
2008/10/18(土) 10:41:14任意のε>0 に対して {…}>ε だから、{…}>0 だといったりはします。
>>>73
> ヒント（μのσ加法性を使うために次の置き換えをする）：
> {x∈E;|f(x)-f'(x)|>0} = ∪_{n=1}^∞ {x∈E; ??? }
> ??? に当てはまる条件を考えてみよ！
{x∈E;|f(x)-f'(x)|>0} = ∪_{n=1}^∞ {x∈E;|f(x)-f(x)|>1/n}でしょうか?
0<∀ε∈Rに対し,μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})=0で
μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})=μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|>0})を示さないといけないんですよね。
今,εは任意だからμ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})
=μ(∪[ε>0]{x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})
=μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|>0})
=μ({x∈E;|f(x)≠f'(x)|}).
∀x∈{x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε} (for ∀ε>0)をとると
明らかに∀x∈{x∈E;|f(x)-f'(x)|>0}
逆に ∀x∈{x∈E;|f(x)-f'(x)|>0}を採るとこのxに対しては|f(x)-f'(x)|≠0なので
ε:=|f(x)-f'(x)|/2と取れるのでx∈{x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}
よって 0<∀εに対して,{x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}={x∈E;|f(x)-f'(x)|>0}
0078１３２人目の素数さん
2008/10/18(土) 11:43:22やってることが滅茶苦茶。論理のカケラも無い。測度論以前の問題。
もう数学やめろ。お前には無理。根本的にオツムが足りていない。
＞μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})=μ({x∈E;|f(x)-f'(x)|>0})を示さないといけないんですよね。
結果的にはその式は成り立つが、一般的には成り立たない。すなわち、
{x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}という集合を弄るだけでは、絶対にその式は
導けない。しかしお前はそれをやっている。この時点でもう間違いだと分かる。
＞今,εは任意だからμ({x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})
＞=μ(∪[ε>0]{x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε})
εが任意だと何でその式が成り立つのか？εを任意にとって固定したときの
{x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}を考えることと、この種の集合をε全体に渡って∪する
のとは全く別物。だいたい、集合として
{x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}＝∪[η>0]{x∈E;|f(x)-f'(x)|≧η}
が成り立つことなど稀である。また、∪の添え字に同じεという記号を使って
しまっているのもセンスの無さが伺える。普通は別の記号(ηとか)を使う。
お前のは∫[0，x]f(x)dxとか書いているようなもの。
0079１３２人目の素数さん
2008/10/18(土) 11:50:57＞ε:=|f(x)-f'(x)|/2と取れるのでx∈{x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}
＞よって 0<∀εに対して,{x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}={x∈E;|f(x)-f'(x)|>0}
この論理では、εがxに依存して決まるから、εでなくε(x)のように書かなければ
ならない。お前のやり方ではε(x)＝|f(x)-f'(x)|/2だ。このとき言えることは
x∈{t∈E;|f(t)-f'(t)|>0}ならばx∈{t∈E;|f(t)-f'(t)|≧ε(t)}
ということにすぎない。ε(t)＝|f(t)-f'(t)|/2だから、お前の言っていることは
x∈{t∈E;|f(t)-f'(t)|>0}ならばx∈{t∈E;|f(t)-f'(t)|≧|f(t)-f'(t)|/2}
ということだ。ここから
0<∀εに対して,{x∈E;|f(x)-f'(x)|≧ε}={x∈E;|f(x)-f'(x)|>0}
を示すことは出来ないし、そもそもこれは成り立たない。
そして、こういうことに自分で気づけないお前はオワッテル。
0080１３２人目の素数さん
2008/10/18(土) 13:34:48＞任意のε>0 に対して {…}>ε だから、{…}>0 だといったりはします。
ワロタ。
それは正しいが, それと今の問題点の区別がついてないところが…
「(…)>ε だから、(…)>0」は、(…)>εが任意のε>0で成り立たなくても, あるε>0
で成り立てばただちに言える。つまり「ε>0が何であっても、(…)>ε ⇒ (…)>0」だ。
さて、「⇒（ならば）」を集合の包含関係に直すと, {x; (…)>ε} ⊂ {x; (…)>0}
であることは知ってるな？（左の集合に入る「ならば」自動的に右の集合に入るということだから）
ε=0でない限り, 一般に左の集合と右の集合は一致しない。
だから, 左の集合の測度が0だからといって, すぐ右の集合の測度が0とはいえないだろ？
0081１３２人目の素数さん
2008/10/18(土) 14:01:13「あるε>0に対して (…)>εが成り立つ」よりも強く,
「任意のε>0 に対して (…)>εが成り立つ」がいえている場合,
ε→0の極限を考えることで, 「(…)≧0が成り立つ」を導くことはできる。
「>」でなく「≧」になることに注意。
（ (…)>εのほうは(…)≧εでもどっちでも本質的な違いはない。どうせεは任意なのだから）
このことは今の話（測度論）には直接関係ないけど。
なぜなら, いずれにしろ,
命題Aから命題Bが出る（ A ⇒ B ) ことからは,
μ(命題Aを満たす集合)≦μ(命題Bを満たす集合) が出るだけだから,
μ(命題Bを満たす集合)=0 ⇒ μ(命題Aを満たす集合)=0 はいえるが,
μ(命題Aを満たす集合)=0 ⇒ μ(命題Bを満たす集合)=0 は一般にいえない.
>>77はこのへんの認識がいい加減すぎるのでは
0082１３２人目の素数さん
2008/10/18(土) 14:22:51非可算で測度0になるものは無いと今まで思っていました。
逆に可算集合でも測度が0にならない集合ってのはあるのでしょうか?
0083１３２人目の素数さん
2008/10/18(土) 14:52:31Lebesgue測度なら測度のσ-加法性から絶対無理だが
Lebesgue測度に限らないなら、
f(x)=[x+1]*χ_[0，∞)(x)，x∈R （[・]はガウス記号，χは定義関数）
から区間で構成された測度をμすると、非負整数全体Z+は可算集合で
∀n∈Z+でμ(n)=1だから、μ(Z+)=∞
0084１３２人目の素数さん
2008/10/18(土) 19:36:14反例になっているわけで・・
点測度(原子をもつ測度)ならそうなるってだけのこと.
（>>83の「fから区間で構成された」という文は>>82には意味不明ではないかという希ガス.
おおざっぱに言うのなら「自然数の上にだけ質量1を載せた測度」で本質は伝わるし,
ちゃんと言うのならスティルチェス測度の作り方(μ([a,b)=f(a+)-f(b-)だったか何かそんなような式)
を書かないと.)
0085１３２人目の素数さん
2008/10/19(日) 10:57:29> 反例になっているわけで・・
> 点測度(原子をもつ測度)ならそうなるってだけのこと.
すいません。点測度について具体的にお教え下さい。
0086１３２人目の素数さん
2008/10/19(日) 11:49:14じゃない？
0087１３２人目の素数さん
2008/10/19(日) 12:39:440088１３２人目の素数さん
2008/10/24(金) 11:55:19単関数f=2・1_A+1_B (但し,1_Aと1_Bは特性関数,A∩B=φ)の時,fが可測ならば
AとBも可測を意味してる事を示せ。
σ集合体をΣとするとfは可測だから∀r∈Rに対して{x∈R^n;f(x)>r}∈Σと書け、
これからA,B∈Σに持っていけません。どうすればいいのでしょうか?
============
f:R^n→Rがルベーグ可測でg:R→Rが連続の時,合成写像gfはルベーグ可測である事を示せ。
でσ集合体をΣとすると
仮定から
∀r∈R,{x∈R^n;f(x)>r}∈Σと書け,これから{x∈R^n;g(f(x))>r}∈Σに持っていけません。
どうすればいいのでしょうか?
===========
μを測度とし,AとZを可測とする。μ(Z)=0の時,
μ(A∪Z)=μ(A)を示せ。
で
μ(A)=μ(A)+0=μ(A)+μ(Z)≧μ(A∪Z)(∵劣加法性)
まではいけたのですが
μ(A)≦μ(A∪Z)はどうやって示せますでしょうか?
0089１３２人目の素数さん
2008/10/24(金) 14:33:29(2) 可測関数の合成は可測とか連続関数は可測とか授業で習ってない？
(3)測度の単調性とかってノートに書いてない？
0090１３２人目の素数さん
2008/10/26(日) 10:37:29r=0の時は{x∈R^n;f(x)>0}∈Σ
r=1の時は{x∈R^n;f(x)>1}∈Σ
となりますが,,,
それからどうやってA,B∈Σにもっていけるのでしょうか?
> (2) 可測関数の合成は可測とか連続関数は可測とか授業で習ってない？
いえ,習ってないです。
∀r∈R,{x∈R^n;f(x)>r}∈Σと書け,gは連続だから∀r∈Rに対しlim[x→r]g(x)=g(r)∈Rと言え、
これから{x∈R^n;g(f(x))>r}∈Σに持っていけません。
> (3)測度の単調性とかってノートに書いてない？
μ(A)≦μ(A∪Z) (∵測度の性質(単調性)) ≦μ(A)+μ(Z)=μ(A)+0(∵仮定)=μ(A)
ですね。
できました。＼(^o^)／
0091１３２人目の素数さん
2008/10/26(日) 10:57:46形式的なことばかりやってないで、図を描くとか直観的に状況がどうなってるか
把握することから始めろ。形式的な証明なんて後からつける理屈。
(1)ができないレベルで(2)とかできるわけない。
>r=0の時は{x∈R^n;f(x)>0}∈Σ
>r=1の時は{x∈R^n;f(x)>1}∈Σ
それで？ {x∈R^n;f(x)>0}とか{x∈R^n;f(x)>1}とかってどんな集合なのさ？
特にA,Bとの関係において。r=1.5とかだったらどうよ？
0092１３２人目の素数さん
2008/10/26(日) 11:44:35> 数学を真面目にやりたいなら、もっと正確に記述すべき
失礼いたしました。
Ωを位相空間とし,(Ω,Σ,μ)を測度空間とする。E∈Σでf:E→[-∞,+∞]の時,
fがproperty Cを持つ
⇔(def)
(i) 0<∀ε∈R,E⊃∃Fは閉集合;λ(E＼F)<ε (λはLebesgue測度)
(ii) fはF上で連続。
がproperty Cの定義だと思います。
> 最初は一般の可測空間の話と思わせといて、途中からR上のルベーグ測度の話になったり、突然位相がでてきたりしてる。
> (Ω=R, Σ, λ) がとりあえずルベーグ測度空間で普通の位相で考えた場合は
> ＞f:Q→{0,1}をf(x)=1(x∈Qの時),0(x∈Qでない時)
> Qに入らないときは定義域の外なんだから書く必要はない。f:Q → {1} で関数はひとつに定まる
そうでした。失礼いたしました。
1_Q (1_Qは1(x∈Qの時),0(x∈Qでない時)という特性関数)はproperty Cを持つ。
と書きたかったのでした。
∀V∈nbhd(f(r),{0,1})を採ると,この近傍系の定義からVは{0}か{1}か{0,1}しか有り得ない。
V={0}の時はU∈nbhd(r,R)として,,,
やや,これは近傍Uをどのようにとっても有理数が含まれますので
f(U)⊂Vとする事ができません。
どうすればいいのでしょうか? もしかして1_Qはproperty Cを持たない!?
0093１３２人目の素数さん
2008/10/28(火) 05:14:02μはどこに使うんだよ。
君が証明しないといけないのは
1_Q : R＼Q → [-∞, +∞]
が連続関数であることでしょ。定義をあてはめてみれば
∀r ∈R＼Q ∀V ∈ nbhd(1_Q(r), [-∞, +∞]) ∃U ∈ nbhd(r, R＼Q ), f(U) ⊂ V
でしょ。全然違うものを証明しようとしてもできるわけないよ。
ぶっちゃけ定数関数が連続かどうかもわからないなら、位相からやり直したほうがいいぞ。
R＼Qが閉集合じゃないことぐらいは気づいてるよね？
0094１３２人目の素数さん
2008/10/29(水) 06:48:57分かりました。
A={x∈R^n;f(x)>1.5}∈Σ(∵fは可測)
B={x∈R^n;f(x)<1.5}∩{x∈R^n;f(x)>0.5}∈Σ(∵fは可測とσ集合体定義)
ですね。
うーん,(2)は{x∈R^n;g(f(x))>r}からどうすればいいのでしょうか?
0095１３２人目の素数さん
2008/10/29(水) 07:31:55> だから、もっと丁寧に扱ってくれ
> μはどこに使うんだよ。
すいません。失礼いたしました。
Ωを位相空間とし,(Ω,Σ,λ)を測度空間とする。E∈Σでf:E→[-∞,+∞]の時,
fがproperty Cを持つ
⇔(def)
(i) 0<∀ε∈R,E⊃∃Fは閉集合;λ(E＼F)<ε (λはLebesgue測度)
(ii) fはF上で連続。
がproperty Cの定義だと思います
今.
f:R→{0,1}
f(x)=1(x∈Qの時),f(x)=0 (x∈Qでない時)なので
FとしてRが採れます。
でとりあえず(i)は言えた。
でもfはRでは常に不連続なのでproperty Cは成り立ちませんね。
うーん,これはどういう問題なのでしょうか?
問題文自体がおかしいのでしょうか?
0096１３２人目の素数さん
2008/10/29(水) 07:32:23> 1_Q : R＼Q → [-∞, +∞]
> が連続関数であることでしょ。定義をあてはめてみれば
> ∀r ∈R＼Q ∀V ∈ nbhd(1_Q(r), [-∞, +∞]) ∃U ∈ nbhd(r, R＼Q ), f(U) ⊂ V
> でしょ。全然違うものを証明しようとしてもできるわけないよ。
そうですね。
> R＼Qが閉集合じゃないことぐらいは気づいてるよね？
はい,R＼Qが閉集合ならQは開集合になりますね。
でもr∈Qに対して任意の近傍は常にR＼Qの元を含んでいるのでrは内点になりません。
よってQは開集合ではない。
0097１３２人目の素数さん
2008/10/29(水) 10:21:37http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1075986757/l50
0098１３２人目の素数さん
2008/10/31(金) 02:58:43＞Ωを位相空間とし,(Ω,Σ,λ)を測度空間とする。
＞λ(E＼F)<ε (λはLebesgue測度)
なんで、最初は一般の測度の話なのに途中からルベーグ測度になってるんだ
なんで、定数関数が連続であることも証明できないのに、こんな面倒な問題を証明しようとしてるんだ。
とりあえず、「XとYを位相空間、f : X →Y を定数関数 f(x) = c とするとf は常に連続である」
ことぐらいは証明できるようになってから取り掛かってくれ。
0099１３２人目の素数さん
2008/11/02(日) 05:08:34sinxは測度空間(R,Σ,λ)でルベーグ積分不可能である事を示せ
(Rは実数体,λはルベーグ測度)
ルベーグ積分の性質をつかって,sinxは測度空間(R,Σ,λ)でルベーグ積分不可能である事を示せ
(但し,リーマン積分を使ってはならない)。
[証]
ルベーグ積分の定義より,定義関数列{f_n}
(つまり,{f_n}は積分可能なL^1コーシー単関数列,でf_nはfに測度収束する数列)
の存在しない事を示せばいいのだと思います。
測度収束の定義は
「測度空間(Ω,Σ,μ)において,E∈Σでf_n,fはΣ可測関数でf_nはa.eで有限値をとる。0<∀ε∈R,lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-f(x)|≧ε})=0の時,{f_n}はfに測度収束すると言う」
単関数の積分の定義は
「測度空間(Ω,Σ,μ)でE∈Σとし,f=Σ[i=1..n]a_i1_{E_i}
(但し,a_i∈R,E_1,E_2,…,E_nは互いに素で∪[i=1..n]E_i=E,
1_E_iは特性関数,つまり1_E_i(x)=1(x∈E_iの時),0(x∈E_iでない時))
という形に表される時,∫_E f(x)dμ=Σ[i=1..n]a_iμ(E_i)で定義する」
L^1コーシー列の定義は
「測度空間(Ω,Σ,μ)でE∈Σとし,∥∥を∥f∥:=∫_E|f(x)|dμ(ただしfは単関数)と定義するとこの∥∥はノルムをなす。
このノルム∥∥をL^1ノルムと言う。
積分可能な単関数列{f_n}が0<∀ε∈R,∃M∈N;M<m,n⇒∥f_m-f_n∥<εを満たす時,
{f_n}をL^1コーシー列という」
どうやってfの定義関数列が無い事を示せばいいのでしょうか?
0100１３２人目の素数さん
2008/11/02(日) 10:47:46でσ集合体をΣとすると
仮定から
∀r∈R,{x∈R^n;f(x)>r}∈Σと書け,これから{x∈R^n;g(f(x))>r}∈Σに持っていけません。
{x∈R^n;g(f(x))>r}からどうすればいいのでしょうか?
0101１３２人目の素数さん
2008/11/02(日) 11:29:03> ＞Ωを位相空間とし,(Ω,Σ,λ)を測度空間とする。
> ＞λ(E＼F)<ε (λはLebesgue測度)
> なんで、最初は一般の測度の話なのに途中からルベーグ測度になってるんだ
すいません。property Cの定義が良く分かりません。
プリントの定義には
"A function f defined on a measurable set E has property C on E if given ε>0,there is a closed set F⊂E such that
(i) |E-F|<ε
(ii) f is continuous relative to F"
となっています。
| |はルベーグ測度の事かと思いλと書いてしまいました。
property Cはどのように定義すればいいのでしょうか?
> なんで、定数関数が連続であることも証明できないのに、こんな面倒な問題を証明しようとしてるんだ。
> とりあえず、「XとYを位相空間、f : X →Y を定数関数 f(x) = c とするとf は常に連続である」
> ことぐらいは証明できるようになってから取り掛かってくれ。
XとYの位相を夫々,T,Sとするとs∈Sに対してもしc∈sなら∀t∈Tを採ればf(t)={c}⊂s
もしc∈sでないならφ∈Tを採ればf(φ)=φ⊂s
よって,fは連続。
0102１３２人目の素数さん
2008/11/02(日) 17:36:44「ルベーグ積分不可能」の理解が間違ってるんじゃないの？
sinxは連続関数だからもちろん可測関数で、非負可測関数のルベーグ積分は∞を許せ
ば常に可能、非負でない場合は正部分と負部分に分ければそれぞれは常にルベーグ積
分可能。
ただし正部分のルベーグ積分と負部分のルベーグ積分がともに∞の場合は、全体とし
てのルベーグ積分値は（∞－∞になるので）定めない。
sinxが「ルベーグ積分不可能」というのは、非負でないのでR全体上でのルベーグ積分値
が定められないケースになっているというだけのことだろ。
つまり、正部分と負部分のR全体でのルベーグ積分値がともに∞であることを確めればいい。
0103１３２人目の素数さん
2008/11/02(日) 19:59:14ようするにR上のルベーグ測度とルベーグ可測集合しか考えてない文脈だったんだろ。
それを勝手に関係ない測度空間とか追加しようとしたら、まともな命題になるわけないじゃん。
可測集合E上で定義された関数fがproperty Cを持つとは、任意のε>0に対して閉集合F⊂Eが存在して
(i) λ(E-F)<ε
(ii) fはF上で連続
を満たすことである。
って直訳で何も問題ないじゃん。
＞XとYの位相を夫々,T,Sとするとs∈Sに対してもしc∈sなら∀t∈Tを採ればf(t)={c}⊂s
＞もしc∈sでないならφ∈Tを採ればf(φ)=φ⊂s
これは何を証明したんだ
連続の定義は>>51に書いてあるやつを使ったんだと思うけど、
まず
＞∀t∈Tを採ればf(t)={c}⊂s
は嘘。成り立たない開集合tが存在する。
＞φ∈Tを採ればf(φ)=φ⊂s
は何を言いたいんだ。空集合はどっかの点の近傍なのか？
0104１３２人目の素数さん
2008/11/03(月) 07:13:09ありがとうございます。
>>>99
> 「ルベーグ積分不可能」の理解が間違ってるんじゃないの？
定義関数列が存在すればルベーグ積分可能だと思ってましたので
定義関数列が不在ならルベーグ積分不可能だと思ってました。
P⇒Q から ￢P⇒￢Qは言えませんね。よくよく考えてみると,,
ルベーグ積分不可能の定義はリーマン積分と同様に積分値が定まらない(振動)なのですね。
> sinxは連続関数だからもちろん可測関数で、非負可測関数のルベーグ積分は∞を許せ
> ば常に可能、非負でない場合は正部分と負部分に分ければそれぞれは常にルベーグ積
> 分可能。
リーマン積分の場合と違って,ルベーグ積分の場合は積分値が∞でもルベーグ積分可能というのですね。
参考になります。
0105１３２人目の素数さん
2008/11/03(月) 07:13:44> てのルベーグ積分値は（∞－∞になるので）定めない。
> sinxが「ルベーグ積分不可能」というのは、非負でないのでR全体上でのルベーグ積分値
> が定められないケースになっているというだけのことだろ。
> つまり、正部分と負部分のR全体でのルベーグ積分値がともに∞であることを確めればいい。
A:={x; sinx≧0},B:={x; sinx<0}とする。
∫_[0..π]sinx λ(dx)は縦1/√2,横π/2の長方形の面積π/(2√2)よりも大きいので
zを整数とすると∫_[(2z+1)π/4,(2z+2)π/4]1/√2 λ(dx)<∫_A sinxλ(dx)と言え,
∫_[(2z+1)π/4,(2z+2)π/4]1/√2 λ(dx)はπ/(2√2)が無限個なので
∫_[(2z+1)π/4,(2z+2)π/4]1/√2 λ(dx)=∞
よって,∫_A sinxλ(dx)=∞
同様にして∫_B sinxλ(dx)=-∞
よって∫_R sinx λ(dx)=∫_A sinxλ(dx)+∫_B sinxλ(dx)=振動
よって,sinxはRで積分不可能で
でいいのでしょうか?
0106１３２人目の素数さん
2008/11/03(月) 09:08:45>リーマン積分の場合と違って,ルベーグ積分の場合は
>積分値が∞でもルベーグ積分可能というのですね。
102さんは分かって書いているのだけど
また通常は文脈で通じることが多いけど
「ルベーグ可積分」というときはルベーグ積分が定まって
それが有限値の場合を言うことのほうが多いので
特に試験などで自分の力量理解が問われている状況では
∞かもしれないときは「ルベーグ積分が存在する」とか
「∞を許してルベーグ積分可能」とか
誤解されないように書くことを勧めます
教科書は用語の使い分けをさりげなく工夫しています
0107１３２人目の素数さん
2008/11/03(月) 10:04:56これではちょっと頭の叩かれ損だね
0108１３２人目の素数さん
2008/11/03(月) 11:10:36>定義関数列が存在すればルベーグ積分可能だと思ってましたので
>定義関数列が不在ならルベーグ積分不可能だと思ってました。
定義関数は非負だから, そもそも非負関数に対してしか下からの近似列は考えられない.
そして, 非負可測関数には, 常に（←ここ重要！）定義関数列（下からの近似列）が存在する.
ふつうに表現できている関数が, 「リーマン積分不可能」みたいな意味合いで「ルベーグ積分不可能」
ということは有り得ないのだ.
非負なのに定義が破綻して（定義関数列が「不在」とかね）, 値を確定させられず, かといって∞で
もない, などということは.
ここが, >>99の「誤解ではないか」と言われている部分.
だから>>106が解説してくれているように, ルベーグ積分では「積分不可能」という日本語を避けて, 「可積分」という言い
方で, 「積分値が∞でない」（=「有限確定」）ことを表す.
>ルベーグ積分不可能の定義はリーマン積分と同様に積分値が定まらない(振動)なのですね。
リーマン積分とちっとも同様じゃないよ. リーマン積分では無限区間の積分が直接には
定義されていないのをいいことに, 振動の場合にまで積分を拡張したりするし.
>リーマン積分の場合と違って,ルべーグ積分の場合は積分値が∞でもルベーグ積分可能というのですね。
>参考になります。
その言い方だと, 「リーマン積分では積分値が∞のときは積分可能とは言わないのに」
と聞こえるけど,
リーマン積分は, 直接には有界区間でしか定義できず, しかも有界な関数に対してしか
定義されないので, 積分値が∞に「確定」するというケース自体がそもそもない.
0109１３２人目の素数さん
2008/11/03(月) 13:10:15＞定義されていないのをいいことに, 振動の場合にまで積分を拡張したりするし.
あんま関係ないけど、その論法で言ったら、ルベーグ積分でも、∞－∞の場合は
積分値が「直接には定義されない」から、定義されていないのをいいことに、
ルベーグ積分を拡張することは可能と言える。普通は、∞－∞の場合には
「ルベーグ積分を考えない」と定義するけどね。
余談だが、リーマン積分の定義を少し変更したH.K積分では、無限区間の積分まで画一的に
リーマン和によって定義され、たとえばsinx/x はR上でH.K積分可能となる(この関数は
R上でのルベーグ積分が考えられない)。まあ、それでもsinxの場合はR上でH.K積分できないが。
さらに、R^dにおけるH.K積分はR^dにおけるルベーグ積分の拡張になっていることが示される。
振動積分ならsinxはR上で積分できるから、リーマン和を取るかわりに適当な総和法を
取ることでH.K積分の定義を変更してH.K積分を拡張すれば、sinxはR上で「積分」できる
ようになるかもしれない。そして、振動積分も普通の積分として解釈できるかもしれない。
結局は うまい関数のクラスを考えないと積分が計算できないから、あまり意味の
あることとも思わないが。
0110１３２人目の素数さん
2008/11/03(月) 15:23:37あきらかに今全然関係無いだろが
0111１３２人目の素数さん
2008/11/03(月) 17:04:32HK積分も含めてそれらには一定の意義はあるが、はやらない。
その理由は、より多くの関数が積分できることが重要なのではなく、関数空間が完備化される
ことが重要だからだ。
対象が広いほうがとにかくすぐれているというのは素人考え。
（論分数をかせぐためにはやたらといろんな「一般化」が行われるけどｗ）。
「絶対収束の場合だけが重要」ということを見抜いて理論を作ったルベーグの慧眼を尊敬するね。
フレドホルムの積分方程式論を対称核の場合だけに制限することで明快な理論（無限次元の二次形式論）を作ったヒルベルトとか。
というわけで、もう宣伝はいいから>>108
0112１３２人目の素数さん
2008/11/05(水) 01:05:110113１３２人目の素数さん
2008/11/05(水) 08:22:32ありがとうございます。
大変参考になってます。
ちょっと難しいのでしばらく考えさせてください。
0114１３２人目の素数さん
2008/11/09(日) 16:20:190115１３２人目の素数さん
2008/11/10(月) 10:34:09> 可測集合E上で定義された関数fがproperty Cを持つとは、任意のε>0に対して閉集合F⊂Eが存在して
> (i) λ(E-F)<ε
> (ii) fはF上で連続
> を満たすことである。
> って直訳で何も問題ないじゃん。
どうもありがとうございます。
> ＞XとYの位相を夫々,T,Sとするとs∈Sに対してもしc∈sなら∀t∈Tを採ればf(t)={c}⊂s
> ＞もしc∈sでないならφ∈Tを採ればf(φ)=φ⊂s
> これは何を証明したんだ
fが連続である事です。
連続の定義は∀s∈Sに対して,f^-1(s)∈Tの時fは連続であるというのを使いました。
0116１３２人目の素数さん
2008/11/10(月) 13:04:53残念だけど>>115氏は数学の基本さえ理解できてないんじゃない?
数学は定義が一番重要なんだけど、
ちゃんと数学的対象の定義の内容を理解してないから
定理や命題で何かを示したい時に何を示せばいいか
全然わかってなくて迷走してるって印象を受ける。
抽象的な数学に初めて出会うのは実解析か位相だとおもうから
そのあたりを初めから腰すえてやり直したほうがいいと思いますよ。
そうでないと未来はありません
0117１３２人目の素数さん
2008/11/13(木) 12:17:33狭義積分(通常の積分)と広義積分それぞれで。
0118132人目の素数さん
2008/11/13(木) 13:11:250119１３２人目の素数さん
2008/11/14(金) 13:39:28どうやってsinx/xはどうやってリーマン積分するのでしょうか?
あと,sinx/xがルベーグ積分不可能であることは定義関数列(determining sequence)が存在しないことを示さねばならないと思いますがどうやって示せますでしょうか?
あと,狭義積分での例はありますでしょうか?
0120132人目の素数さん
2008/11/14(金) 15:12:11∫[0,∞] f_+(x) dx = Σn=[0,∞] ∫[2nπ, (2n+1)π] sinx/x dx
=Σn=[0,∞] ∫[0,π] sinx/(x+2nπ）dx
≧ Σn=[0,∞] 1/((2n+1)π）∫[0,π] sinx dx
= 2/π Σn=[0,∞] 1/(2n+1) = ∞
同様に ∫[0,∞] f_-(x) = ∞ よってルベーグ積分確定ではない。
一方ディクリエ積分から、
∫[0,∞」f(x) dx = π/2
0121132人目の素数さん
2008/11/14(金) 15:24:04積分が有限にならないので、可積分ではないことがわかる。
0122１３２人目の素数さん
2008/11/15(土) 14:34:06物理板に01年頃あった「物理でルベーグ積分必要ですか？」というスレの9番より引用：
>有界閉集合上では「リーマン可積分⊆ルベーグ可積分」なので
>リーマン可積分でルベーグ可積分可能でない例は、
>そうでない場合、例えば全ての実数にわたっての積分の時、のみで作られる
>…のだが、そもそも「有界閉集合」でない場合のリーマン積分というのは
>定義が無いわけで、実際は「有界閉集合で積分→区間を∞へする極限」をとる。
>つまり2度極限を取るわけ。
>一方ルベーグ積分は「いきなり全空間に測度を入れる」ことが出来るので、
>その意味では極限操作は一度きり。
>この差が「リーマン可積分でルベーグ可積分可能でない例」を生み出すことになる。
>だから「有界閉集合でない空間上」のリーマン積分できる関数は、
>ルベーグ積分を用いても同様に２度極限操作をとれば積分できます。
∫[0,∞) sin(x)/x dx は、正部分と負部分のルベーグ積分値がそれぞれ∞に「積分確定」
なので、全体としては「積分不確定」。（「ルベーグ積分不可能」という言い方は良くない。）
しかし lim[a→∞]∫[0,a]sin(x)/dx=π/2 はルベーグ積分でももちろん成り立っている。
リーマン積分ではこれを∫[0,∞]sin(x)/x dx のことだと「定義」してしまうが、ルベ
ーグ積分では（[0,∞)での積分の定義がリーマン積分と違ってちゃんと「ある」ため）誤解
を招くので ∫[0,∞]sin(x)/x dx とは書かない、というだけのこと。
リーマン積分が「可能」（可能じゃないから苦し紛れに追加定義しただけ）とかルベーグ
積分が「不可能」とか（不可能じゃなくて「確定」と認めないだけ）言うから誤解を招く。
0123１３２人目の素数さん
2008/11/15(土) 16:02:22＞誤解を招くので∫[0,∞]sin(x)/x dx とは書かない、というだけのこと。
それは違うな。誤解なんぞ生じない。例えば
・全体として積分不確定の場合は、もしα＝lim[a→＋∞,b→－∞]∫[b,a]f(x)dxが
存在するならば、このαのことを∫[－∞,∞]f(x)dxと表記する
とでもすればいい。この場合、普通の「ルベーグ積分値」がちゃんと確定する関数は
上の意味においても積分値が存在していて、その値はルベーグ積分値と一致するから、
何の混乱も起きない。
しかし、こういうことは普通やらない。その理由は、単に、こういう定義において
積分値が存在する関数全体を眺めても良い性質が無いからだろう(関数空間が完備に
ならないとか)。「誤解が生じるからやらない」のではない。
0124１３２人目の素数さん
2008/11/16(日) 13:09:17広義積分がリーマンかルベーグかなんて問題も起きないし、
>>119のような誤解をする人も減っていいんじゃないかなあ。
べつに「（広義）積分値が存在する関数全体」に意味がないなら
そんな「空間」は考えなければいいだけのことで、L1空間とかの
定義にはなんの影響もないし（それらはもともと絶対値つきで定
義してあるから）。
実害がないばかりか個々の積分で記号的に変な気を遣わなくて
よくなるぶん得じゃない？ 権威とか伝統に毒されてるのかな。
大体、ガンマ関数とかでルベーグの収束定理使ってるのを見た
ことあるけど、ルベーグ積分と思うときはガンマ関数を「広義
積分」と呼ぶのはおかしい、なんて下らない区別が生じてしまう。
（ていうか現状では生じてる）
0125１３２人目の素数さん
2008/11/17(月) 00:06:02この書式は、普通は拡張された数直線 [-∞, ∞] 上の測度による積分を意味するんじゃないかい？
ルベーグ測度みたいな連続な測度ばっかり考えてると
∫_(a,b) と ∫_[a,b] の差異に気づきにくいけど、
確率とかやると {∞} が正の測度を持つような場合もいっぱいでてくるよ。
0126１３２人目の素数さん
2008/11/17(月) 12:10:41＞この書式は、普通は拡張された数直線 [-∞, ∞] 上の測度による積分を意味するんじゃないかい？
でっていう。拡張された数直線[－∞，∞]の上でf(x)＝sinx/x (x＝±∞での値は適当に決めておく)を
ルベーグ積分しようとすると、やはり積分不確定になるから、>>123のようにして∫[－∞，∞]sinx/xdxを
定義しても何も問題は無い。
[－∞，∞]だろうが(－∞，∞)だろうが、実際にその上の測度によって積分値が定義されるのは、
被積分関数が「全体として積分確定になる場合」のみ。全体として積分不確定になる場合は、
積分値を考えない。つまり、
全体として積分確定になる場合 ：∫f^+(x)dx－∫f^-(x)dxのことを∫f(x)dxと定義する
全体として積分不確定になる場合：何も定義しない
ということ。だったら、定義されていない関数については、追加定義で積分値を定義しても
混乱は起きない。何も問題ない。その行為に有意義な意味があるのかは別として。
0127１３２人目の素数さん
2008/11/17(月) 13:31:57（ちなみに「広義」なんて訳してるけど英語は「improper」なんだよねｗ）、
現在の一般化された（多次元はおろか測度空間ならなんでもＯＫの）「ルベーグ積分」
にとっては無視される宿命なんだよ。
0128１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 00:42:08そういう意味で拡張してるんなら別にいいけど、
>>123の書き方が意味の拡張じゃなくて、新しい記法を発明したかのような書き方だったから気になったんだ。
0129１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 02:18:28新しい記法ってどういう意味だ？>>123のようにして∫[－∞，∞]sinx/xdxを
定義した場合、∫[－∞，∞]sinx/xdxという記号列は[-∞, ∞] 上の測度による
積分を意味 し な い から、ルベーグ積分の記法ではなく、その意味では新しい記法だぞ。
0130１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 05:46:28その新しい記法が問題で、他の意味で使いそうな積分区間を広げた記法である必要が全くないじゃん。
∫_(-∞, +∞) f(x) dx
が未定義の場合に、新しい意味を追加するだけですむ。
そう定義すれば、[-∞, +∞]上でも同じように定義を追加できるんだから清潔だと思う。
だから>>126のような解釈はいいんだけど、>>123のような書き方は微妙だなと思った。
とここまで書いてて気づいたんだが、この記法を最初に書いたの>>122じゃん
リーマン積分で ∫_[0, +∞] って書いてるの見たことないんだけど…
ぶっちゃけ、∫_{→-∞}^{→∞} って記法のほうが分かりやすいと思う
0131１３２人目の素数さん
2008/11/22(土) 10:51:09確率測度空間⊂有限測度空間⊂σ有限測度空間
で正しいのでしょうか?
σ有限測度空間⇒有限測度空間⇒確率測度空間
は真なのでしょうか?(逆は一般に成り立たない)
σ有限測度空間より大きい測度空間は何があるのでしょうか?
0132１３２人目の素数さん
2008/11/22(土) 13:52:54いまだ数学的にちゃんと定義されていのですか？
0133１３２人目の素数さん
2008/11/22(土) 14:30:49イタズラ者め
0134１３２人目の素数さん
2008/11/23(日) 13:18:47>確率測度空間⊂有限測度空間⊂σ有限測度空間
>で正しいのでしょうか?
正しい。
>σ有限測度空間⇒有限測度空間⇒確率測度空間
「⇒」の向きが逆。
>σ有限測度空間より大きい測度空間は何があるのでしょうか?
σ有限でない測度空間の例は、病的な（作為的な）ものならいろいろ作れる。
それなりに「面白い」例もあるが（ダニエル積分が定義できるのに測度積分で表現できないとか）、
簡単な例はWikiにもある：
>実数全体の集合に数え上げ測度を考える。
>これは、実数からなる有限集合に、その集合に入る点の数を対応させるものである。
>この測度は σ-有限でない。 なぜなら、どの測度有限な集合も有限個の点しか持た
>ないのであって、その可算個の和集合は高々可算であるので、非可算集合である数
>直線を被覆し尽くすことが出来ないからである。
0135１３２人目の素数さん
2008/11/24(月) 05:39:04どうもありがとうございました。
0136１３２人目の素数さん
2008/11/26(水) 08:35:38{f_n}⊂L^p(μ):={f;fはΣ可測,(∫_Ω|f(x)|^pdμ)^(1/p)<∞}とする。
{f_n}がL^p-Cauchy列(つまり,lim[m,n→∞]∫_Ω|f_m(x)-f_n(x)|^p)^(1/p)=0)
ならば
{f_n}はCauchy in measure(つまり,0<∀ε∈R,lim[m,n→∞]μ({x∈Ω;|f_m(x)-f_n(x)|≧ε})=0).
を示したいのですが
lim[m,n→∞]∫_Ω|f_m(x)-f_n(x)|^p)^(1/p)=0から
0<∀ε∈R,lim[m,n→∞]μ({x∈Ω;|f_m(x)-f_n(x)|≧ε})=0.
が導けません。
どうかご助言お願い致します。
0137１３２人目の素数さん
2008/11/26(水) 10:48:03チェビシェフの不等式を使う。
A={x∈Ω;|f_m(x)-f_n(x)|≧ε}とおくと、
∫_Ω |f_m(x)-f_n(x)|^p dμ≧∫_A |f_m(x)-f_n(x)|^p dμ≧∫_A ε^p dμ=ε^p μ(A)
0138１３２人目の素数さん
2008/11/27(木) 08:23:39どうもありがとうございました。解決いたしました。
0139１３２人目の素数さん
2008/11/27(木) 08:25:08{f_n}がΣ可測な関数列でfにa.e.収束する⇒fもΣ可測。
に難儀してます。
定義から
∀n∈N,∀r∈Rに対し,{x∈E;f_n(x)>r}∈Σ且つμ({x∈E;lim[n→∞]f_n(x)≠f(x)})=0
⇒{x∈E;f(x)>r}∈Σ
と書き下せますがこれはどうやって示せばいいのかわかりません。
{f_n}が(Σ-)可測関数列ならば
g(x) = sup{f_n(x) | n ∈ N},
h(x) = inf{f_n(x) | n ∈ N},
lim[k→∞]sup{f_n;n≧k},
lim[k→∞]inf{f_n;n≧k}
もまたΣ可測になる事はわかったのですが…。
0140１３２人目の素数さん
2008/11/27(木) 11:58:36これにはlim[n→∞]f_n(x)が（a.e.で）存在確定するという仮定が反映されていない。
実数列a_nに対し、lim[n→∞]a_nが（±∞もこめて）存在する⇔liminf[n→∞]a_n=limsup[n→∞]a_n
だから、
{f_n}がfにa.e.収束する⇔∃N, μ(N)=0, ∀x∈Ω＼Nに対しliminf[n→∞]f_n(x)=limsup[n→∞]f_n(x)=f(x)
limsup[n→∞]f_n = lim[k→∞]sup{f_n;n≧k}
liminf[n→∞]f_n = lim[k→∞]inf{f_n;n≧k}
で、これらがΣ可測であることがわかっているのなら、fはΩ＼Nでこれらに一致するのだから、
fもΣ可測であることがわかる。
0141１３２人目の素数さん
2008/11/29(土) 04:22:44ありがとうございます。
> ＞μ({x∈E;lim[n→∞]f_n(x)≠f(x)})=0
> これにはlim[n→∞]f_n(x)が（a.e.で）存在確定するという仮定が反映されていない。
lim[n→∞]f_n(x)≠f(x)だけだと単に発散している場合も含みますものね。
> 実数列a_nに対し、lim[n→∞]a_nが（±∞もこめて）存在する⇔liminf[n→∞]a_n=limsup[n→∞]a_n
> だから、
> {f_n}がfにa.e.収束する⇔∃N, μ(N)=0, ∀x∈Ω＼Nに対しliminf[n→∞]f_n(x)=limsup[n→∞]f_n(x)=f(x)
> limsup[n→∞]f_n = lim[k→∞]sup{f_n;n≧k}
> liminf[n→∞]f_n = lim[k→∞]inf{f_n;n≧k}
> で、これらがΣ可測であることがわかっているのなら、fはΩ＼Nでこれらに一致するのだから、
> fもΣ可測であることがわかる。
なるほど。lim[n→∞]a_nが（±∞もこめて）a.e.で存在する⇔lim[k→∞]sup{f_n;n≧k}=lim[k→∞]inf{f_n;n≧k}=f(x) a.e.
ここで命題「f(x)=g(x) a.e.ならばfとgの性質はa.e.で一致する」が使えて
(lim[k→∞]sup{f_n;n≧k}がa.eでΣ可測と分かっているので)fもa.eでΣ可測となる。
でも題意は"fもa.e.でΣ可測"ではなく"fもΣ可測"になっていますよね。
もし題意が「{f_n}がΩ＼NでΣ可測な関数列でfにΩ＼Nで収束する⇒fもΩ＼NでΣ可測」
なら上のご回答で納得できるのですが実際は
「{f_n}がΣ可測な関数列でfにa.e.収束する⇒fもΣ可測」となっていますよね。。。。
0142１３２人目の素数さん
2008/11/29(土) 07:43:47一般の測度ならたしかにそうだ。きれいに書くと
「{f_n}がΣ可測な関数列でfにa.e.収束する⇒ある可測関数gがあってf=g a.e.」だな。
でも、測度が完備化されてればもう一歩進めるはずだよ。
0143１３２人目の素数さん
2008/11/29(土) 10:55:170144１３２人目の素数さん
2008/11/29(土) 13:27:07証明を次のように書くと事態がわかりやすい：
N={x∈E;lim[n→∞]f_n(x)≠f(x)} とおく. μ(N)=0.
{x∈E;f(x)>r} = ({x∈E;f(x)>r}∩(Ω＼N)) ∪ ({x∈E;f(x)>r}∩N)
= ({x∈E;limsup[n→∞]f_n(x)>r}∩(Ω＼N)) ∪ ({x∈E;f(x)>r}∩N) .
右辺の∪の左側の集合は∀r∈Rに対し⊂Σ（∀n∈Nについてf_nがΣ可測であることとΩ＼N⊂Σより）.
右辺の∪の右側の集合は(Ω,Σ,μ)が完備なら⊂Σ（零集合Nの部分集合だから）.
以上より{x∈E;f(x)>r}⊂Σ . （証明終）
しかし(Ω,Σ,μ)が完備でない場合は, 右辺第二項の集合は⊂Σとは限らない. …
ちなみに以上はRaoの本にある記述ほとんどそのままだったりする.
やっぱり英語の本はpureでいいね.
0145144
2008/11/29(土) 13:55:360146144
2008/11/29(土) 16:25:47(Ω,Σ,μ)は完備でないとする. 以下 N は>>144の設定でのN, すなわちN={x∈E;lim[n→∞]f_n(x)≠f(x)}とする.
>>139や>>144ではμ(N)=0と書いているが, これはまずい. なぜなら,
・fがΣ可測でないとき, N∈Σとは限らない.
(例) 非可測集合Aの定義関数（A上で1,その他で0）をfとし, ∀n, f_n≡0とすると,
f_n→f a.e.であり, このときN=A .
・ちなみに, fがΣ可測でなくても, N∈Σになることもある（だから, N∈Σを仮定し
たとしてもそれだけではfがΣ可測とはいえない）.
(例) A∈Σかつμ(A)=0とする. B⊂Aである非可測集合Bをとり, C=A＼Bとおくと, Cも
非可測集合でA=B∪C. B上で1, C上で-1, その他で0をとる関数をfとすると, fはΣ可
測でないが, ∀n, f_n≡0とすると, f_n→fであり, このときN=A∈Σ .
・通常, {f_n}がfにa.e.収束する ⇔ ∃A∈Σ, μ(A)=0, A⊃N と定義する.
（ ⇔ ∀x∈Ω＼A, lim[n→∞]f_n(x)=f(x) ）
>>144の証明は, NをこのAに置き換えて書くのが正しい.（Raoの本もよく読むとそう
なっている）
・なお本によっては, μから定義された外測度μ*を用いて, {f_n}がfにa.e.収束する
⇔ μ*(N)=0 と定義している. 一般に, ∀X⊂Ωに対しX⊂Aかつμ*(X)=μ(A)をみたす
A∈Σが存在する（可測包; この事実はμ*の定義から容易にわかる）から, こちらの定
義でも上の定義と同じ.
・伊藤清三の本などでは, {f_n}がa.e.収束するとき, lim[n→∞]f_nという記号は
>>142のgのことを表しているぽい.
0147１３２人目の素数さん
2008/11/30(日) 09:24:30完備とはL^1完備の事でよろしいでしょうか?
問題文を「(Ω,Σ,μ)をL^1完備な測度空間とする。f_n:E→[-∞,+∞]、f:E→[-∞,+∞]で,
{f_n}がΣ可測な関数列でfにa.e.収束する⇒あるΣ可測関数gがあってf=g a.e.」
とすれば既証明で大丈夫でしょうか。
0148１３２人目の素数さん
2008/11/30(日) 13:29:58おいおい、測度空間の完備性の定義も知らないのか？
ていうかL^1空間と測度空間の区別もついてないのか？ｗ
だったら>>142や>>146は完全に空回りだな
>>142の表現が一般の測度空間の場合で成り立つということも結局伝わってないし
こんなやつに丁寧に教えても時間の無駄だよ
もう少し教科書を読み込んでから質問に来い
0149１３２人目の素数さん
2008/12/01(月) 06:42:09>>>147
> おいおい、測度空間の完備性の定義も知らないのか？
これはY⊂Z且つμ(Z)=0ならY∈Σが常に成り立つ時,測度完備というのですよね。
> ていうかL^1空間と測度空間の区別もついてないのか？ｗ
測度空間は(Ω,Σ,μ)が定められた空間です。
L^1空間は測度空間(Ω,Σ,μ)において,{f;fはΣ可測,∫_Ωf(x)dμ<∞}という集合の事です。
> だったら>>142や>>146は完全に空回りだな
>>>142の表現が一般の測度空間の場合で成り立つということも結局伝わってないし
すいません。
完備とは測度完備の事でよろしいでしょうか?
問題文を「(Ω,Σ,μ)を測度完備な測度空間とする。f_n:E→[-∞,+∞]、f:E→[-∞,+∞]で,
{f_n}がΣ可測な関数列でfにa.e.収束する⇒あるΣ可測関数gがあってf=g a.e.」
とすれば既証明で大丈夫でしょうか。
0150１３２人目の素数さん
2008/12/01(月) 06:50:22で測度完備を使われたのですね。納得です。
0151１３２人目の素数さん
2008/12/01(月) 08:19:39主張を「{f_n}がΣ可測な関数列でfにa.e.収束する⇒あるΣ可測関数gがあってf=g a.e.」
とするなら一般の測度空間でいいんだよ。>>142はそういう意味。
要するに、完備測度空間では
「gがΣ可測でg=f a.e.⇒ fもΣ可測」が成り立つ、ってだけ。
（証明は>>146と同様）
0152１３２人目の素数さん
2008/12/01(月) 08:46:07○ （証明は>>144と同様）
0153１３２人目の素数さん
2008/12/02(火) 01:11:06関係ないが、L^1空間の定義のところで
∫_Ωf(x)dμ<∞
じゃなくて
∫_Ω|f(x)|dμ<∞
だよ
0154１３２人目の素数さん
2008/12/02(火) 07:53:04ありがとうございます。
∀r∈R,{x∈E＼Z;f(x)>r}∈Σ.
そして{x∈E;f(x)>r}⊂{x∈E＼Z;f(x)>r}∪Z∈Σ(∵{x∈E＼Z;f(x)>r},Z∈Σなのでσ集合体の定義)
よって測度完備の定義から{x∈E;f(x)>r}∈Σ.
となるのですね。
>>>149
> 関係ないが、L^1空間の定義のところで
> ∫_Ωf(x)dμ<∞
> じゃなくて
> ∫_Ω|f(x)|dμ<∞
> だよ
そうでした。どうもありがとうございました。
0155１３２人目の素数さん
2008/12/02(火) 11:26:39（ここに書いてる人はすごく少なそうではあるが…）
>>154
>∀r∈R,{x∈E＼Z;f(x)>r}∈Σ.
丁寧に書くなら、
{x∈E＼Z;f(x)>r}={x∈E＼Z;g(x)>r}={x∈E;g(x)>r}∩(E＼Z)∈Σ(∵{x∈E;g(x)>r},E＼Z∈Σなのでσ集合体の定義)
（他のところが変に丁寧なのにここだけ省略されてると、基準がわからず変な気がする）
>そして{x∈E;f(x)>r}⊂{x∈E＼Z;f(x)>r}∪Z∈Σ
{x∈E＼Z;f(x)>r}∪Zは零集合じゃないから、測度完備の定義から直接{x∈E;f(x)>r}∈Σはでてこない。
ここはやはり、
{x∈E;f(x)>r}={x∈E＼Z;f(x)>r}∪{x∈Z;f(x)>r}
{x∈Z;f(x)>r}∈Σ(∵{x∈Z;f(x)>r}⊂ZでZは零集合だから測度完備の定義より)
と分けるべき。
0156１３２人目の素数さん
2008/12/03(水) 05:00:35[問]f∈L^1((0,1),Σ,λ):={f;fはルベーグ可測,∫_(0,1)|f(x)|dλ<∞} (但し,Σはルベーグ可測集合の族)ならば
k=1,2,3,…に対してx^kf(x)∈L^1((0,1),Σ,λ)を示せ。
また,lim[k→∞]∫_[0,1]x^kf(x)dλ=0となる事を示せ。
という問題にはまってます。
仮定から∀r∈R,{x∈(0,1);f(x)>r}∈Σが言え,
これから{x∈(0,1);x^kf(x)>r}∈Σを示したいのですがどうすればいいのかわかりません。
そして,k=1,2,3,…に対して∫_(0,1)|x^kf(x)|dλ<∞もどうすればいえるのか分かりません。
取り合えず, |x^kf(x)|の定義関数列を求めてみましたら
E_nk:={x∈(0,1);(k-1)/2^n≦f(x)≦k/2^n},F_n:={x∈(0,1);f(x)≧n}とすると
∫_(0,1)|x^kf(x)|dλ=lim[n→∞]∫_(0,1)(Σ[i=1..n2^n](i-1)/n・1_Enk+n・1_F_n)dλ
(1_Enkと1_F_nは特性関数)
と書けるかと思います。それから
=lim[n→∞]∫_(0,1)(0・1_En0+1/n・1_En2+…+(n2^n-1)/n・1_E_nn2^n+n・1_F_n)dλ
=lim[n→∞]∫_(0,1)(0・1_{0≦|x^kf(x)|≦1/2^n}+1/n・1_{1/2^n≦|x^kf(x)|≦2/2^n}+
…+(n2^n-1)/n・1_{(n2^n-1)/2^n≦|x^kf(x)|≦n2^n/2^n}+n・1_{|x^kf(x)|≧n})dλ
≦lim[n→∞](0・1+1/n・1+2/n・1+…+(n2^n-1)/n・1+n・1)
となると思います。(∵各項の幅λ(0,1)=1なので)
でも
lim[n→∞](0・1+1/n・1+2/n・1+…+(n2^n-1)/n・1+n・1)=∞になってしまい<∞にならないと思います。
どうすればいいのでしょうか?
そしてlim[k→∞]∫_[0,1]x^kf(x)dλ=0についてもわかりません。
どうかご教示ください。m(_ _)m
0157１３２人目の素数さん
2008/12/03(水) 10:21:01(0,1)上なんだから、x^kf(x)∈L^1((0,1),Σ,λ)のほうは|x|^k≦1で一発じゃん。
（ほとんど自明。これがわからないという時点で積分論のポイントがまったく分かってないといえる）
lim[k→∞]∫_[0,1]x^kf(x)dλ=0のほうは、x^kをもう少しきちんと効かさないといけないから、
[0,1]を[0,a]と[a,1]に分ける必要がある。
「任意のε>0に対し、kを十分大きく取れば∫_[0,1]|x^kf(x)|dλ<εとできる」ことを示せばよい。
∫_[0,a]|x^kf(x)|dλ<ε/2のほうは|x^k|≦a^kだから、固定したaに対してはできる。
∫_[a,1]|x^kf(x)|dλ<ε/2のほうはルベーグの優収束定理でa→1のとき→0がいえる。
だから与えられたε>0に対しまずaを十分1に近くとって第二の積分を小さくし、
そのaに対しkを十分大きくとって第一の積分を小さくすればいい。
これ以上は証明そのものを書いてやるしかなくなるから、このヒントでもわからないようならあきらめろ。
0158１３２人目の素数さん
2008/12/03(水) 10:52:49引用するけど、基本的な定理の証明（たとえば可測関数同士の和や積が可測
関数になることとか、>>139みたいなこととか）は別として、応用的な命題
までいちいち定義から証明することってほとんどないから。
>>156でいえば、x^kがルベーグ可測なのは明らかでfもルベーグ可測だから
その積もルベーグ可測なのは自明なんで、そんなことまで証明する必要は
ない。問の主要な問題点（L^1かどうかってのは積分が有限か∞かという問
題だということとか）がわかってないからトンチンカンなことを書いてしまう。
また、可測関数の性質を単関数近似で示す場合でも、近似単関数列を具体的
に与える必要は普通ないわけ。近似列の「存在証明」とごっちゃにするな。
「近似単関数列の取り方によらず積分値は…」とかいう命題が教科書のどっ
かに書いてなかったか？>>156
0159157
2008/12/03(水) 11:05:31第二の積分はあらかじめ|x|^k≦1を使ってkに無関係な積分∫_[a,1]|f(x)|dλで上から抑えておく。
（でないとあとでaを固定してkを大きくするとき困る。）
∫_[a,1]|f(x)|dλ=∫_[0,1]|χ_[a,1]f(x)|dλで（χ_[a,1]は[a,1]の特性関数）、
|χ_[a,1]f(x)|≦|f(x)|だから|f(x)|を優関数としてルベーグの優収束定理が使える。
0160１３２人目の素数さん
2008/12/03(水) 12:47:33|fn(x)|≦|f(x)| (0≦x≦1)
fn(x)→ 0 a.e. (詳しくはx＝1以外の点でfn(x)→0)
∫_[0,1]|f(x)|dx＜∞
であるから、ルベーグの収束定理よりlim[k→∞]∫_[0,1]x^kf(x)dλ=0
0161１３２人目の素数さん
2008/12/03(水) 15:15:26問題(Vitaliの収束定理とか、一様可積分性とか)と
混同したっぽいｗ
積分論のやりすぎかもしらんがちょっとアホ
0162１３２人目の素数さん
2008/12/04(木) 14:15:05μ積分で0のμ積分が0になる理由が分かりません。
∫_Ω0dμ=0.
fのμ積分の定義は定義関数列{f_n}が存在して
lim[n→∞]∫_Ωf_n(x)dμ=∫_Ωf(x)dμだと思います。
0の定義関数列は0が取れると思います。
よって∫_Ω0dμlim[n→∞]∫_Ω0dμ=∫_Ω0dμ
で振り出しに戻ってしまいます。
どうすれば∫_Ω0dμ=0が示せますでしょうか?
0163１３２人目の素数さん
2008/12/04(木) 14:52:02定義関数列って単関数列のことだろ？
単関数の積分は直接 和で定義されている： ∫_Ω(Σa[i]χ_A[i])dμ=Σa[i]μ(A[i])
0の積分はその定義で計算すればどうなるよ？
0164１３２人目の素数さん
2008/12/04(木) 16:30:26∫_Ω0dμは計算できないな。
0165１３２人目の素数さん
2008/12/04(木) 20:10:26最初に∞に関する演算規約がまとめて書いてあったりする。
ただし単調列によらない溝畑流(抽象空間でも、測度収束やエゴロフをメインに使う流儀なら同じ)だと、
μ(Ω)<∞が要るので、その場合にまず積分を定義して、
μ(Ω)=∞の場合は(σ有限の仮定のもとに)μ(Ωn)<∞,Ωn↑Ωをとって
∫_Ω fdμ=lim[n→∞]∫_Ωn fdμ
で定義するから、>>164は必ずしも必要としない。
0166sage
2008/12/04(木) 23:21:37間違っていたらすみません。
0167１３２人目の素数さん
2008/12/04(木) 23:40:08kwsk
0168１３２人目の素数さん
2008/12/05(金) 10:38:39どうもありがとうございました。納得できました。
0169１３２人目の素数さん
2008/12/05(金) 10:43:34> ∫_Ω0dμは計算できないな。
そのように決めていたのですね。
> μ(Ω)=∞の場合は(σ有限の仮定のもとに)μ(Ωn)<∞,Ωn↑Ωをとって
> ∫_Ω fdμ=lim[n→∞]∫_Ωn fdμ
> で定義するから、>>164は必ずしも必要としない。
なるほど。この場合だと∫_Ω0dμ=lim[n→∞]∫_Ωn0dμ=lim[n→∞]0=0
となりますね。
皆さんどうもありがとうございました。
0170１３２人目の素数さん
2008/12/05(金) 11:20:49しばらく考えてわかった。
単関数の積分の定義のさらに前に、特性関数の積分を測度で定義する段階がある。
つまりA⊂Ωに対し、A上で1その他で0をとる関数χ_Aの積分は、∫_Ω χ_A dμ = μ(A)と定義する。
Ω上いたるところ0である関数は、空集合の特性関数とみなせるから、
∫_Ω 0dμ = ∫_Ω χ_φ dμ = μ(φ) = 0 というわけか。なるほど。
>>163->>164と>>166は、0=0×χ_Ωとみなすか0=χ_φとみなすかの違いだ。てことは
「測度と和で定義した単関数の積分はその表現の仕方によらない」ということを示す段階があるけど
要するにそこに含まれる話だね。ふむ。
0171１３２人目の素数さん
2008/12/05(金) 17:20:40「単関数」の定義を「測度有限な集合の特性関数の線形結合」に制限しておけばその積分は定義できて、
しかも一般の非負可測関数はそのような単関数の単調極限として表せるから問題ないね。
もちろん(Ω,Σ,μ)がσ有限でないといけないけど。
たとえばμ(Ω)=∞でf=a×χ_Ωの場合、fはこの流儀では「単関数」ではないことになるが、
f_n=a×χ_Ωn, μ(Ωn)<∞, Ωn↑Ω とすればf_nは「単関数」でf_n↑fだから、
∫_Ω fdμ = lim[n→∞]∫_Ω f_ndμ = ∞ として確定する。
もっともf=0の場合はそこまで考えなくても、μ(E)<∞を適当にとってf=0×χ_Eとみなせば、
0はこの流儀での「単関数」でもあるから∫_Ω 0dμ = 0×μ(E) = 0 ですむね。
(それならEとして空集合をとるのがいちばん簡単だから、>>166でいい。)
0172１３２人目の素数さん
2008/12/05(金) 19:00:11というのは∞×0というのは(有限値)×0の極限として扱う
という規約そのものだ
0173１３２人目の素数さん
2008/12/05(金) 21:21:26うん、だからそう規約しないと「表現によらない」「定義列の取り方によらない」
などが成り立たず整合性がなくなるということがわかる。
ただ∞を「関数値」として認めるのであれば、∞×0=0はやはり「規約」として
明記しておかねばならない。
そうでなく、通常の解析学のようにlim式の右辺のみに使う「いくらでも大きく
なる」の略記とするなら、（∞×0は(有限値)×0の極限としてのみ現れるから、）
そのような規約は必要ない。
ただそれだと∫fdμ=∞を「fは可積分でない」の略記としてしか扱えず、
やや不便ではある。
0174１３２人目の素数さん
2008/12/08(月) 09:25:35Xの開集合全体が生成するシグマ加法族をYに制限したものと
Yの開集合全体が生成するシグマ加法族は一致しますか？
0175１３２人目の素数さん
2008/12/08(月) 13:48:550176１３２人目の素数さん
2008/12/08(月) 17:23:18「一致する」こと自体は>>175のように考えればすぐわかる。
ただしその理解はsophisticateされすぎかもしれないので、
>>174だけ直接証明したいというのであれば、
Xの開集合全体が生成するシグマ加法族をYに制限したものが、
(1)Yの開集合全体を含むこと
(2)（Yを全体集合として）シグマ加法族であること
を確認すればよい。
（そのように分解すればどれもまあ定義からほとんど自明だけど）
0177１３２人目の素数さん
2008/12/08(月) 19:29:56Xの開集合全体が生成するシグマ加法族をYに制限したものが
Yの開集合全体が生成するシグマ加法族を含むことしか言えないから、
逆の包含関係も言う必要がある。
まあそれは簡単だけど
0178174
2008/12/09(火) 15:37:07このやり方で出来ました。ありがとうございます。
0179１３２人目の素数さん
2008/12/10(水) 12:08:45λ*(Z)=0ならZはルベーグ可測集合である事を示せ。
という問題です。
ルベーグ可測集合の定義から
inf{λ*(U＼Z);(Z⊂)UはR^nでの開集合}=0 となる時,Zをルベーグ可測集合というのだと思います。
どのようにして示せますでしょうか?
0180１３２人目の素数さん
2008/12/10(水) 16:26:34UをR^nでの開集合でZ⊂Uとする。
U＼Z⊂Uよりλ*(U＼Z)≦λ*(U)(=λ(U)) （λ*の単調性）
U=Z∪(U＼Z)より(λ(U)=)λ*(U)≦λ*(Z)+λ*(U＼Z) （λ*の劣加法性）
以上とλ*(Z)=0よりλ(U)=λ*(U＼Z)
したがって inf{λ*(U＼Z);(Z⊂)UはR^nでの開集合}=0 を示したければ
inf{λ(U);(Z⊂)UはR^nでの開集合}=0
を示せばよいが、ルベーグ外測度の定義より、この左辺はλ*(Z)に等しい。
0181１３２人目の素数さん
2008/12/11(木) 11:10:16ありがとうございます。
> inf{λ(U);(Z⊂)UはR^nでの開集合}=0
> を示せばよいが、ルベーグ外測度の定義より、この左辺はλ*(Z)に等しい。
ルベーグ外測度の定義はλ*(Z)=inf{Σ[i=1..∞]v(I_i);Z⊂∪[i=1..∞]I_i,I_iはn次元区間塊} (但しv(I_i)はI_iの体積の意味です)
ルベーグ外測度の定義はλ*(Z)=inf{λ(U);(Z⊂)UはR^nでの開集合}と定義してもいいのですね。
0182１３２人目の素数さん
2008/12/11(木) 11:16:11つまり,ルベーグ外測度の定義域をルベーグ可測集合の族に制限した写像をルベーグ測度というのですよね。
ルベーグ外測度の定義をλ*(Z)=inf{λ(U);(Z⊂)UはR^nでの開集合}で定義してしまったら,
じゃあ,ルベーグ測度λの定義は? ,,,という事になりませんかね。
0183１３２人目の素数さん
2008/12/11(木) 13:48:29「ルベーグ外測度の定義より」ではgapがありすぎた？「ルベーグ外測度の正則性より」と書けばよかったか。
任意のε>0に対し、ルベーグ外測度の定義（infの性質）より、
Z⊂∪I_i^o かつ Σ[i=1..∞]v(I_i)≦λ*(Z)+ε
をみたす区間塊{I_i}が存在する（I_i^oはI_iの開核）。
U=∪I_i^oとおくと、
λ(U)≦Σ[i=1..∞]v(I_i^o)≦Σ[i=1..∞]v(I_i)≦λ*(Z)+ε
まとめると、任意のε>0に対し開集合U (⊃Z) が存在してλ(U)≦λ*(Z)+εをみたす。
これは inf{λ(U);(Z⊂)UはR^nでの開集合}≦λ*(Z) を意味する。
>>180の「=0」にはこれで十分だが、逆向きの不等式は容易にわかるから
λ*(Z)=inf{λ(U);(Z⊂)UはR^nでの開集合}
である。
以上の議論にZの性質は一切使われていないから、上の等式はZを任意の集合として成り立つ。
この性質を正則性という。
>>179の可測性の定義自体が正則性を前提としているので、そのような定義をする本ではわざわざ「正則性」と書いてない可能性はあるが、
完備性の証明（>>180）にまで正則性が要るのだから、事実自体はどこかに書いてあるのではなかろうか。
できれば参考にしている本の名前と、その本では正則性を示す事実の記述がどこかにあるのかどうか、調べて教えてもらえると嬉しい。
（なお可測性の定義をカラテオドリの方法にすれば、「開集合」は不要になるし完備性の証明も容易だよ）
0184１３２人目の素数さん
2008/12/11(木) 14:06:18>ルベーグ外測度の定義をλ*(Z)=inf{λ(U);(Z⊂)UはR^nでの開集合}で定義してしまったら,
>じゃあ,ルベーグ測度λの定義は? ,,,という事になりませんかね。
R^nでは任意の開集合Uに対し、
U=∪I_i（共通部分なし）
をみたす開区間塊{I_i}が存在する（開基とか第二可算とかいう話）から、
λ(U)=Σ[i=1..∞]v(I_i)
が成り立つ。これをλ(U)の定義にしてしまえば、
ルベーグ外測度の定義を
λ*(Z)=inf{λ(U);(Z⊂)UはR^nでの開集合}
とする流儀も可能。
積分論みたいな色々な流儀が跋扈する分野では、特定の定義に拘泥せず、
いろいろな定義（性質）の同値性に注意を向けたほうが状況を把握しやすいと思う。
0185１３２人目の素数さん
2008/12/11(木) 15:15:320186１３２人目の素数さん
2008/12/11(木) 15:17:52例えば∫_[-5,7](3x^2+2x+1)dλを計算する場合,どうやって3x^2+2x+1の定義関数列を探せばいいのでしょうか?
0187１３２人目の素数さん
2008/12/11(木) 18:08:29kwsk
0188１３２人目の素数さん
2008/12/11(木) 18:12:28おまいはリーマン積分∫_[-5,7](3x^2+2x+1)dxを計算するときも、
リーマン和を作ってその極限を求めてるのか？
0189１３２人目の素数さん
2008/12/11(木) 20:38:40>>180および>>183において, すべてのλ(U)はλ*(U)のままで何の問題もない.
つまり>>179(ルベーグ測度の完備性と同値)の証明の仕方はルベーグ可測の定義法に依存するが,
可測の定義とは無関係に(ルベーグ測度の定義以前に), ルベーグ外測度の性質として
(1) 任意のA⊂R^nに対しλ*(A)=inf{λ*(U);(A⊂)UはR^nでの開集合}
(2) λ*(Z)=0ならば任意のZ⊂Eに対しλ*(E＼Z)=λ*(E)
(1)(2)の系 λ*(Z)=0ならばinf{λ*(U＼Z);(Z⊂)UはR^nでの開集合}=λ*(Z)=0
が言えている. それだけのこと.
0190１３２人目の素数さん
2008/12/11(木) 21:35:15すまん。正則性使うとの ほぼ同じ議論になってしまった(´・ω・｀)
0191１３２人目の素数さん
2008/12/14(日) 12:01:21>>>186
> おまいはリーマン積分∫_[-5,7](3x^2+2x+1)dxを計算するときも、
> リーマン和を作ってその極限を求めてるのか？
いえ、そういうわけではありませんが,探し方ってあるのかなあと思いまして。
0192１３２人目の素数さん
2008/12/14(日) 12:39:26x-y平面にグラフ描いて、y軸を2^n等分して、x軸に平行な帯を作って、
その帯とグラフの交点を使ってリーマン和と同様の長方形というか階段関数を作る。
（3x^2+2x+1は連続関数なので、それほど複雑な形にはならず、実際に普通の長方形ばかりになる）
その階段関数が3x^2+2x+1の定義関数列（の一例）。
>>156で似たようなことやってるから参考にするといい。
ただ、抽象的にf(x)で書かずに3x^2+2x+1を使った具体的な式で書くのは多分面倒。
（でもリーマン和の場合もそうだろ？）
0193１３２人目の素数さん
2008/12/15(月) 00:15:23・「y軸を2^n等分」というのは、y軸の0～nの部分を2^n等分という意味。
・y=3x^2+2x+1(-5≦x≦7) y=0（それ以外）の場合は、つねに非負だから気にしなくてよいが、
「定義関数列」を下からの単調増大列にする流儀の場合、一般にはまず関数のグラフをx軸より上の部分と下の部分に分け、別々に近似する。
x軸より下の部分は上下反転してx軸より上にしてから同様に下から近似し、最後に前者の積分値から後者の積分値を引く。
0194１３２人目の素数さん
2008/12/15(月) 06:16:54「{f_n}をΣ可測&a.e.real valedとする。0<∀ε∈R,lim[m,n→∞]μ({x∈E;|f_m(x)-f_n(x)|≧ε})=0」
が{f_n}がCauchy測度の定義だと思います。
この定義は
「{f_n}をΣ可測&a.e.real valedとする。lim[m,n→∞]μ({x∈E;|f_m(x)-f_n(x)|>0})=0」
と同じ意味な様な気がしますがいかがしょうか?
0195１３２人目の素数さん
2008/12/15(月) 06:22:19ありがとうございます。
大変参考になりました。
0196１３２人目の素数さん
2008/12/15(月) 06:28:50コメントありがとうございます。
ちょっと調べてみたいと思います。
0197１３２人目の素数さん
2008/12/15(月) 09:42:04「コーシー測度」じゃなくて「測度的コーシー列」だろ.
(一瞬、コーシー分布のスティルチェス測度のことかと思っちゃったじゃないか)
>と同じ意味な様な気がしますがいかがしょうか?
木の精
0198１３２人目の素数さん
2008/12/15(月) 12:10:51(A)0<∀ε∈R,lim[m,n→∞]μ({x∈E;|f_m(x)-f_n(x)|≧ε})=0
(B)lim[m,n→∞]μ({x∈E;|f_m(x)-f_n(x)|>0})=0
とすると、
μ({x∈E;|f_m(x)-f_n(x)|≧ε})≦μ({x∈E;|f_m(x)-f_n(x)|>0})
なので(B)⇒(A)はいえるが、(A)⇒(B)は一般にいえない。
たとえば[0,1]上でf_n(x)=1/nとすると
（この例ではR上でも同じだが測度収束はふつう有限測度空間で考える）
各点どころか一様にf_n(x)→0で、もちろん測度的コーシー列にもなっているが
（ε>0に対しm,nを十分大きく取れば{x∈[0,1];|f_m(x)-f_n(x)|≧ε}=φ）、
{x∈[0,1];|f_m(x)-f_n(x)|>0} はつねに[0,1]である。
0199１３２人目の素数さん
2008/12/15(月) 20:50:06「固定したm,nに対して」
lim[ε→0]μ({x∈E;|f_m(x)-f_n(x)|≧ε})=μ({x∈E;|f_m(x)-f_n(x)|>0})
が成り立つからだろうが、
μ({x∈E;|f_m(x)-f_n(x)|≧ε})を0に近づけるためのm,nの大きさは
εに依存するわけで、
lim[ε→0]とlim[m,n→∞]が一般に交換できないなんてのは
普通の微積分レベルの話だろ・・・（´A｀）
0200１３２人目の素数さん
2008/12/16(火) 07:25:13どうもありがとうございました。
0201１３２人目の素数さん
2008/12/17(水) 01:06:41身に付かないとか。Principle理解してたら読めるかね
0202１３２人目の素数さん
2008/12/17(水) 02:19:01伊藤のルベーグとかの方がむしろ詳しく書いてる。
演習も一割くらいは定義のままでとけるくそ簡単なのも混じってる。
学部生なら3割とければかなり優秀な方だと思う（1.2.10の簡単な章は除いて）
0203１３２人目の素数さん
2008/12/17(水) 02:24:29初学者は何言ってるのかもわからないんじゃないかな。
あれは一度一通り勉強した人が復習に使うようなものだと思う。
他の解析二冊はある程度基礎があれば初学者にも優しい
0204１３２人目の素数さん
2008/12/28(日) 04:12:48測度論とかの扱いが適当すぎるけど。
2chではこの本の名前聞かないけどどういう評価だろう。
0205１３２人目の素数さん
2008/12/30(火) 10:20:53(1) Eが開集合ならm^*(E)>0.
(2) x∈R^dならばm^*(E+x)=m^*(E).
外測度の定義は
(i) m^*:2^(R^d)→[-∞,∞]
(ii) m^*(φ)=0,
(iii) m^*(∪[i=1..∞]E_i)≦Σ[i=1..∞]m^*(E_i)
です。どのようになりましょうか?
偽ならば反例もお教え下さい。
0206１３２人目の素数さん
2008/12/30(火) 10:22:52(1) f_n (n=1,2,…)がΣ可測ならばlim[n→∞]sup{f_k(x);k≧n}もΣ可測。
(2) fが有界ならばfはΣ可測。
です。どのようになりましょうか?
偽ならば反例もお教え下さい。
0207１３２人目の素数さん
2008/12/30(火) 10:53:08(1)こんなのも出来ない奴は数学やめちまえ。
(2)こんなのも出来ない奴は数学やめちまえ。
>>206
(1)(2)お前の問題解決能力はゼロ。このまままでは永遠に数学の上達は
見込めない。ごくごく簡単な問題でさえ、いつまで経っても自分で
答えを導きだせず他人に教わるのみ。「自分で考える」ということを
サボってきた結果だ。
0208１３２人目の素数さん
2008/12/31(水) 04:35:48すいません。
> (1)(2)お前の問題解決能力はゼロ。このまままでは永遠に数学の上達は
> 見込めない。ごくごく簡単な問題でさえ、いつまで経っても自分で
> 答えを導きだせず他人に教わるのみ。「自分で考える」ということを
> サボってきた結果だ。
一応,考えては見たのですが…。
外測度の定義は
(i) m^*:2^(R^d)→[0,∞]
(ii) m^*(φ)=0,
(iii) m^*(∪[i=1..∞]E_i)≦Σ[i=1..∞]m^*(E_i)
なので
∀E⊂R^d,m^*(E)=0と定義するとこのm^*は外測度の定義を満たし,
R^dは開集合だがm^*(R^d)=0となる。よって
(1) Eが開集合ならm^*(E)>0は偽。
(2)はd=1でm^*をルベーグ外測度とすると真だと思うのですが問題のm^*はルベーグ外測度とは限らないので,反例があるのかもしれません。
(1) f_n (n=1,2,…)がΣ可測ならばlim[n→∞]sup{f_k(x);k≧n}もΣ可測。
については
∀r∈Rに対して,{x∈E;f_n(x)>r}∈Σ (n=1,2,…)でこれから
{x∈E;lim[n→∞]sup{f_k(x);k≧n}>r}を導かねばならないんですよね。
必ずしもlim[n→∞]sup{f_k(x);k≧n}が存在するとは限らないので偽だと思うのですが…。
最後に (2) fが有界ならばfはΣ可測。 についてですがこれはΣ={(a,b);a,b∈R∪{±∞}},
f(x)=1 (0≦x≦1)とするとr=0の時, {x∈(-1,2);f(x)>r}=[0,1]で[0,1]はΣに含まれないので
fは非可測。
よって偽だと思うのですが…。
0209１３２人目の素数さん
2009/01/01(木) 03:52:33とりあえず「間違い」だけ指摘しておく。
>外測度の定義は
>
>(i) m^*:2^(R^d)→[0,∞]
>(ii) m^*(φ)=0,
>(iii) m^*(∪[i=1..∞]E_i)≦Σ[i=1..∞]m^*(E_i)
カラテオドリの公理的外測度のつもりなら、単調性： E⊂Fならばm^*(E)≦m^*(F) が抜けている。
解答上の実害はないが。
>必ずしもlim[n→∞]sup{f_k(x);k≧n}が存在するとは限らないので偽だと思うのですが…。
∞も許せばlim[n→∞]sup{f_k(x);k≧n}はつねに存在する。そして
>関数f,g,f_n:R^d→[-∞,∞]
と書いてあるので確かに∞を値域に含んでいる。
（ところで、最初のgが無意味に見えるが、問題文の一部抜粋か？ｗ）
>Σ={(a,b);a,b∈R∪{±∞}}
Σがシグマ加法族のつもりなら、この書き方はおかしい。
「{(a,b);a,b∈R∪{±∞}}により生成されたシグマ加法族をΣとする」ならわかるが。
もしそうなら、Σはけっきょくボレル集合族だから、
>[0,1]はΣに含まれないので
は間違い。
こちらから答えは言わないが、リベンジは歓迎するよ。
自分で考えることで理解の穴が見えてくる。そこにこういう演習問題をやる意味がある。
0210１３２人目の素数さん
2009/01/02(金) 13:52:390211１３２人目の素数さん
2009/01/03(土) 04:08:250212１３２人目の素数さん
2009/01/03(土) 17:07:510213１３２人目の素数さん
2009/01/03(土) 20:20:44／ ＼
; / ヽ
丶 ！ ; ,' ｊ ',
' ' ｆ !; ｌ l !｜ｉ∥ j ｜ | ／￣￣￣￣￣￣＼
Ｅl_____ |l |ﾅ土ト ∟リ七エﾌｲ | / l
__ |ＵｎO|∥ |〈 {.リ` ﾍ.リ冫} ｜ | 変態を |
___ | | l !！ | ｀¨´ ｀¨´ / ｜ ｜ 撮っておこう |
￣ |.__U__| l、ゝ 丶 /ｨ' ﾄ｛ ＿厶 /
ｏ 〔.と二＼.ヽ ＼ rｭ , ｲ| ﾊ { ＼＿＿＿＿＿__／
｣ ＼ レｰ┴ | ｝ｲ ＞ -- ''" / j人{ `
匕二¨ | 'ノ ＼ ／ ＼'＿
二 / !ﾆ二! |￣´＼ /´＼ /
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ヽ } ｝ j ｜厂 ¨＼＿
} ∥￣＼_ `
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| |:| ｏ＼.＿_,
0214１３２人目の素数さん
2009/01/04(日) 08:04:310215１３２人目の素数さん
2009/01/07(水) 14:28:040216１３２人目の素数さん
2009/01/09(金) 20:58:010217１３２人目の素数さん
2009/01/11(日) 08:00:20どうも有り難うございます。
> カラテオドリの公理的外測度のつもりなら、単調性： E⊂Fならばm^*(E)≦m^*(F) が
> 抜けている。
> 解答上の実害はないが。
すいません。ありがとうございます。
>>必ずしもlim[n→∞]sup{f_k(x);k≧n}が存在するとは限らないので偽だと思うので
> すが…。
> ∞も許せばlim[n→∞]sup{f_k(x);k≧n}はつねに存在する。そして
> >関数f,g,f_n:R^d→[-∞,∞]
> と書いてあるので確かに∞を値域に含んでいる。
そうですね。仰る通りです。
lim[n→∞]sup{f_k(x);k≧n}=∞や
lim[n→∞]sup{f_k(x);k≧n}∈{f_n}だけなら
∞>rでf_nはΣ可測だから{x∈E;lim[n→∞]sup{f_k(x);k≧n}(x)>r}∈Σ。
しかし,lim[n→∞]sup{f_k(x);k≧n}<∞だがlim[n→∞]sup{f_k(x);k≧n}∈{f_n}でない場合は何とも言えない。よって真偽判定不能?
0218１３２人目の素数さん
2009/01/11(日) 08:01:41はい,「(3) fがΣ可測でE⊂R^dならf_χ_EもΣ可測(但し,f_χ_Eは特性関数です)」と
「(4) fとgがΣ可測ならmax{f(x),g(x),0}はΣ可測」
という問題も有りまして,
(3)は題意から∀r∈Rに対して{x∈E;f(x)>r}∈Σだから
{x∈E;f_χ_E(x)>r}=E (r<1の時),φ(r≧1の時)
で,φ∈ΣですがE∈Σという保証は無いので結論は偽。
(4)については∀r∈Rに対してもし,max{f(x),g(x),0}≠0なら,
今{x∈R^d;f(x)>r}∈Σ,{x∈R^d;g(x)>r}∈Σ …①なので
h(x)=max{f(x),g(x),0}と置くと,h(x)={x∈R^d;f(x)>r}∪{x∈R^d;g(x)>r}と書けるので①からh(x)∈Σ.
よって真。
と考えたのですが間違ってますでしょうか?
>>Σ={(a,b);a,b∈R∪{±∞}}
> Σがシグマ加法族のつもりなら、この書き方はおかしい。
そうですね。{(a,b);a,b∈R∪{±∞}}はσ集合体になりませんね。
0219１３２人目の素数さん
2009/01/11(日) 08:02:40> が。
そうですね。Σ=σ({(a,b);a,b∈R∪{±∞}})ですね。
> もしそうなら、Σはけっきょくボレル集合族だから、
> [0,1]はΣに含まれないので
> は間違い。
[0,1]はσ({(a,b);a,b∈R∪{±∞}})に含まれますね。
失敗しました。
> (2) fが有界ならばfはΣ可測。
うーん,これはにっちもさっちもいきません。先ず何を考えればいいのでしょうか?
>(2) x∈R^dならばm^*(E+x)=m^*(E).
すいません。これも反例を見つけれません。
0220１３２人目の素数さん
2009/01/11(日) 16:01:03すまん、
>lim[n→∞]sup{f_k(x);k≧n}∈{f_n}
の右辺の意味が判らない。
左辺は要するにlimsup[n→∞]f_n(x)であって、R→[-∞,∞]なる一つの関数を
表している（xを固定すれば一つの実数または∞）なわけだが、それが∈{f_n}とは？
「どれかのf_n(x)と一致する」ってこと？
ヒントだけど、「各nに対するsup{f_k(x);k≧n}がΣ可測かどうかをまず考える」
ということと、この手の可測性をすべて定義に戻って調べるのは見通しも
能率も悪いので、ふつうは「可測関数の和、積、max, min, sup, inf, lim」
などがまた可測であることを「順番に」示していく。そんなのはどの教科書に
でも書いてあるから、しかるべき参考書で「可測関数の基本演算」の各定理を
順にフォローして頭に入れること。
0221１３２人目の素数さん
2009/01/11(日) 16:21:57>,「(3) fがΣ可測でE⊂R^dならf_χ_EもΣ可測(但し,f_χ_Eは特性関数です)」
たしかに、E∈Σ（可測集合）とは書いてないね。
非可測集合の定義関数は、そりゃ非可測。
(4)は可測関数同士の基本演算の話だからそうやって証明するしかないし、それで合ってる。
0222１３２人目の素数さん
2009/01/11(日) 16:27:16非可測集合の定義関数とか。>>218の(3)でそれ使ってるじゃん
なお、証明はともかく認識しておくべき事実は、少なくとも通常のルベーグ測度に関しては
・非可測集合の「存在」は意識していなければならないが、それを実際に
作るのは至難の業で、選択公理を用いて非構成的に存在が示されるに過ぎない
・可測関数を使って通常の演算（ベクトル演算、大小関係etc）をする限り、
可測関数の域を決して出ない。可算無限個用いてすらも。だから極限操作も含むので、
けっきょく通常の手段で非可測関数を「作る」ことは無理。
つまり「非可測集合」や「非可測関数」はたとえていえば「宇宙人」みたいなもので、
広い宇宙には確かに宇宙人が「存在」するとしても、「そのへんで見た」とか
いう話はすべて嘘に決まってるってことｗ。
「地球上の日常生活で遭遇することはありえない」という感覚。
0223１３２人目の素数さん
2009/01/11(日) 16:33:09>h(x)=max{f(x),g(x),0}と置くと,h(x)={x∈R^d;f(x)>r}∪{x∈R^d;g(x)>r}と書けるので①からh(x)∈Σ.
{x∈R^d;h(x)>r}と書くべきところがh(x)になってるよ
0224１３２人目の素数さん
2009/01/11(日) 16:45:11>>(2) x∈R^dならばm^*(E+x)=m^*(E).
>
>すいません。これも反例を見つけれません。
この性質はルベーグ測度の特徴づけになっているから、
逆に言うとルベーグ測度以外の測度はすべてこれをみたさない。
例をあげたければ、適当なスティルチェス測度ならなんでもいい。
スティルチェス測度ってのは、何かg(x)（ただし非負かつ単調増加）を使って、
普通の長さv([a,b))=b-aのかわりにg(b)-g(a)を使った外測度から定義される測度。
（gが不連続だとg(b)がg(b-)とか面倒なので連続にしておくとよい）
g(x)=xの場合が通常のルベーグ測度。
0225１３２人目の素数さん
2009/01/12(月) 09:10:25> 表している（xを固定すれば一つの実数または∞）なわけだが、それが∈{f_n}とは？
> 「どれかのf_n(x)と一致する」ってこと？
はい、そういう意味です。
> ヒントだけど、「各nに対するsup{f_k(x);k≧n}がΣ可測かどうかをまず考える」
> ということと、この手の可測性をすべて定義に戻って調べるのは見通しも
> 能率も悪いので、ふつうは「可測関数の和、積、max, min, sup, inf, lim」
> などがまた可測であることを「順番に」示していく。そんなのはどの教科書に
> でも書いてあるから、しかるべき参考書で「可測関数の基本演算」の各定理を
> 順にフォローして頭に入れること。
有難うございます。調べてみたいと思います。
0226１３２人目の素数さん
2009/01/12(月) 09:12:14> >>219
> 非可測集合の定義関数とか。>>218の(3)でそれ使ってるじゃん
fとして,「(3) fがΣ可測でE⊂R^dならf_χ_EもΣ可測(但し,f_χ_Eは特性関数です)」で用いたf_χ_Eを考えればこのfは有界で非可測になってますね。
よって「(2) fが有界ならばfはΣ可測」は偽なのですね。
> なお、証明はともかく認識しておくべき事実は、少なくとも通常のルベーグ測度に関
> しては
：
> 「地球上の日常生活で遭遇することはありえない」という感覚。
なるほど。難しいんですね。憶えて置きます。
0227１３２人目の素数さん
2009/01/12(月) 09:13:40> ので①からh(x)∈Σ.
> {x∈R^d;h(x)>r}と書くべきところがh(x)になってるよ
そうでした。{x∈R^d;h(x)>r}={x∈R^d;f(x)>r}∪{x∈R^d;g(x)>r}でした。
>>>(2) x∈R^dならばm^*(E+x)=m^*(E).
>>すいません。これも反例を見つけれません。
> この性質はルベーグ測度の特徴づけになっているから、
> 逆に言うとルベーグ測度以外の測度はすべてこれをみたさない。
> 例をあげたければ、適当なスティルチェス測度ならなんでもいい。
調べてみました。
「I:=(a,b]∩R (-∞≦a≦b≦+∞),g:I→Rは右連続,非減少とする。
g(t)=lim[ε→0+]g(a+ε) (t≦aの時),
g(b) (b<∞且つb<tの時),
lim[ε→0-]g(∞-ε) (t=b=∞の時)
この時,μ:B(I)→[0,∞](但し,B(I)はI上のボレル集合体)でa≦s≦t≦bならμ((s,t]∩R)=g(t)-g(s)を満たすμが一意的に存在する。
このμをスティルチェス測度という」
ここでのgが外測度となっていてm^*(E+x)=m^*(E)という条件を満たさないというのですね。
実際,d=1の時,a=0,b=1としてE=0,x=2としてみると
g(E)=g(0)=lim[ε→0+]g(0+ε)=g(0)
g(E+x)=g(0+2)=g(2)
となり,g(0)≠g(2)となるのですね。
g(0)≠g(2)とどうして言えるのでしょうか?
0228１３２人目の素数さん
2009/01/12(月) 09:16:260229１３２人目の素数さん
2009/01/12(月) 10:01:050230１３２人目の素数さん
2009/01/12(月) 11:17:02>g(0)≠g(2)とどうして言えるのでしょうか?
E={0},x=2を反例にしたければ、g(0)≠g(2)であるようなgを取れってこった。
m^*(E+x)=m^*(E)であるようなEとxがひとつでもあればいいんだから、
gが定数でない限り反例になってるが、たまたまgが定数である区間では局所的に
限られたEとxに対してm^*(E+x)=m^*(E)となりうる（実はその区間の測度は0
になるから両辺0）が、それが何か？
>ここでのgが外測度となっていて
「gが」というか、>>181にあるようなルベーグ外測度の定義でv(I_i)のところを
gを使った定義に変えて定義した外測度ね
>>229
仏吹いた
0231１３２人目の素数さん
2009/01/12(月) 12:35:16>g(E)=g(0)
>g(E+x)=g(0+2)
外測度と関数の区別もできんとは...
こんなだから>>228のように言われるんだよ
打たれ強さは評価できるけどｗ
0232１３２人目の素数さん
2009/01/19(月) 00:40:47どうも有難うございます。
>>>227
>>g(0)≠g(2)とどうして言えるのでしょうか?
> E={0},x=2を反例にしたければ、g(0)≠g(2)であるようなgを取れってこった。
すいません。どのようなgが採れますでしょうか?
> 「gが」というか、>>181にあるようなルベーグ外測度の定義でv(I_i)のところを
> gを使った定義に変えて定義した外測度ね
m*:2^R→[0,∞]を
m*(E)=inf{Σ[i=1..∞]g(I_i);E⊂∪[i=1..∞]I_i,I_iはn次元区間塊} (但しg(I_i)はI_iの体積の意味です)
と定義するのですかね。この時のm*がスティルチェス外測度なのでしょうか?
このm*がちゃんと外測度になっているかチェックしてみました。
任意の(a,b]⊂Rに対し,m*((a,b])=inf{Σ[i=1..∞]g(I_i);(a,b]⊂∪[i=1..∞]I_i,I_iは区間}
=Σ[i=1..∞]g((a,b])
となり,これから計算できません。gの定義
「I:=(a,b]∩R (-∞≦a≦b≦+∞),g:I→Rは右連続,非減少とする。
g(t)=lim[ε→0+]g(a+ε) (t≦aの時),
g(b) (b<∞且つb<tの時),
lim[ε→0-]g(∞-ε) (t=b=∞の時)」
を勘違いしてますでしょうか?
0233１３２人目の素数さん
2009/01/19(月) 00:41:37>>g(E)=g(0)
>>g(E+x)=g(0+2)
> 外測度と関数の区別もできんとは...
> こんなだから>>228のように言われるんだよ
すいません。スティルチェス外測度がよく分かりませんでしたので間違えてしまいました。
外測度は集合に対して定義されていて,関数は元に対して定義されているのですね。
0234１３２人目の素数さん
2009/01/19(月) 00:50:41まず基本はm^*(E+x)=m^*(E)
これは絶対。
そしてルベーグ外測度なのかスティルチェス外測度なのかについてだが
(x/1)+xってことは砧麺麭覆拿彙螺子の可能性もある。
知的ルサンチマン（＝ルサウンチマン）のオランウータンビーツかもしれんが。
「(3) fがΣ可測でE⊂R^dならf_χ_EもΣ可測(但し,f_χ_Eは特性関数です)」で用いたf_χ_Eを考えればこのfは有界で非可測。
さらには堵虞慧螺、痲璽彙螺禰などとも並ぶね。
結構基本だよ。
0235１３２人目の素数さん
2009/01/19(月) 01:45:33R^n内でのVitali coveringの定義について調べているのですがなかなかこれぞといった定義を見つけれません。
識者の皆様,Vitali coveringの定義をご存知でしたらお教え下さい。
0236１３２人目の素数さん
2009/01/19(月) 01:59:550237１３２人目の素数さん
2009/01/19(月) 19:27:13>>233で
>外測度は集合に対して定義されていて,関数は元に対して定義されているのですね。
と書いてて、>>232の
>g(I_i)
だの
>g((a,b])
だのって何のことだよ
>>224をもっとちゃんと読めよ
仏の顔も三度ってかｗｗ
0238１３２人目の素数さん
2009/01/20(火) 00:37:210239１３２人目の素数さん
2009/01/20(火) 04:59:59> 初歩だなぁ。
申し訳有りません。
> まず基本はm^*(E+x)=m^*(E)
> これは絶対。
つまり,m^*:ルベーグ外測度⇔∀E⊂R^d,x∈R^dに対してm^*(E+x)=m^*(E)
が成立っているのですね。
> そしてルベーグ外測度なのかスティルチェス外測度なのかについてだが
スティルチェス外測度の定義がよくわからず混乱しております。すいません。
>>>232=>>233だよな？
はい。
0240１３２人目の素数さん
2009/01/20(火) 05:00:50>>外測度は集合に対して定義されていて,関数は元に対して定義されているのですね。
> と書いてて、>>232の
> >g(I_i)
> だの
> >g((a,b])
> だのって何のことだよ
> >>224をもっとちゃんと読めよ
すいません。
ルベーグ外測度f:2^(R^d)→[0,∞]は
2^(R^d)∋∀E|→f(E):=inf{Σ[Π[k=1..d][a_k,b_k]∈S]Π[k=1..d](b_k-a_k);SはEの閉被覆}
で定義されるのでこれを
inf{Σ[Π[k=1..d][a_k,b_k]∈S]Π[k=1..d](g(b_k)-g(a_k));SはEの閉被覆}
(但し,gはI:=(a_k,b_k]∩R (-∞≦a_k≦b_k≦+∞),g:I→Rは右連続,非減少とする。
g(t)=lim[ε→0+]g(a_k+ε) (t≦a_kの時),
g(b_k) (b_k<∞且つb_k<tの時),
lim[ε→0-]g(∞-ε) (t=b_k=∞の時)
(k=1,2,…,d)で定義される関数)
と書き換えればスティルチェス外測度になるのですね?
> （gが不連続だとg(b)がg(b-)とか面倒なので連続にしておくとよい）
このgが連続の場合はgの定義はどのように書けるのでしょうか?
0241１３２人目の素数さん
2009/01/20(火) 05:06:00> これぞとは？
Vitali covering theoremやVitali covering lemmaはヒットするんですが
Vitali coveringとはどんな被覆なのかなぁと思いまして。。
Vitali covering自体の定義がちょっと見当たらなくて。。
0242１３２人目の素数さん
2009/01/20(火) 05:51:48ヴィタリ式被覆なら、例えば吉田洋一『ルベグ積分入門』に載っているが
0243１３２人目の素数さん
2009/01/20(火) 19:34:52>このgが連続の場合はgの定義はどのように書けるのでしょうか?
だからそういうこと（学部1年）がわからないレベルで、
なんでルベーグ測度（学部3年）やってるのかと小一時間問い詰めたい
定義を丸写しするんじゃなくて、なんでそう定義するのかも考えろ
自分で定義を作るなんてこと考えたこともないか？ｗ
gを「右連続,非減少とする」のはなぜだ？
そもそも「右連続」の意味わかってるか？（形式的な定義文の丸写しじゃなくて「意味」ね）
要は、区間(a,b]の測度を、ルベーグのb-aでなくg(b)-g(a)で与えるってだけのこと。
（区間以外の一般の集合については、ルベーグの場合と同様にして拡張する。
外測度の性質の確認？ そんなのルベーグの場合と何も変わらんことはほとんど自明じゃないか？
b-aがg(b)-g(a)になっただけだぜ？）
ただ、gが非減少でないと、g(b)-g(a)が負になることがあって困るだろ？
gは不連続でもいい（不連続のほうが面白いし重要）けど、
gがジャンプしてる点ではg(x)としてグラフの切れ目の右端をとるのか左端をとるのか決まらなくて困るだろ？
あんたが書いてるlim[ε→0+]g(x)とかlim[ε→0-]g(x)とかは、xのどっち側の切れ目を
使うのかってことで、ふつう簡単のためにg(x+0)とかg(x-0)とか書くが、xがgの連続点なら
どっちでも同じだから、単にg(x)と書いとけばいい。
今は平行移動で測度が変わる例を作りたいだけだから、gとしてわざわざ不連続関数
（「右連続」ってのは「不連続かもしれない」ってことだよ分かってる？ｗ）を
使うこともないだろ？
単調増加な連続関数でg(x)=x以外の式くらいいくらでも作れるから自分で考えろ。
0244243
2009/01/20(火) 19:36:05（でないとσ加法性が成り立たない）
aがgの不連続点なら、μ^*([a]) = g(a+0) - g(a-0) となり、
一点{a}がgのジャンプ幅に応じた0でない測度をもつことになる。
（ルベーグ測度では一点の測度はどこでも0だったことに注意）
んで、一般に
μ^*([a,b)) = g(b-0) - g(a-0)
μ^*((a,b]) = g(b+0) - g(a+0)
μ^*((a,b)) = g(b-0) - g(a+0)
となるわけだ。（aもbもgの連続点のときは、どれも同じ値だが。）
外測度の定義に半開区間(a,b]を使ってるから、その「長さ」をg(b)-g(a)と書いたとき、
上のものと自動的に一致するためには、gが右連続であればよい。
これで分からんなら俺はもう知らん。
0245１３２人目の素数さん
2009/01/20(火) 19:44:450246１３２人目の素数さん
2009/01/21(水) 09:38:310247１３２人目の素数さん
2009/01/21(水) 14:48:49>今は平行移動で測度が変わる例を作りたいだけだから、gとしてわざわざ不連続関数
μ^*(E+x)=μ^*(E)の反例だけなら, 逆の極端を使ったほうが簡単かもしれん.
たとえばgとして g(x)=0 (x<0), g(x)=1 (x≧0)
つまり原点で1だけジャンプし他では一定とすれば
このgによって定義されるスティルチェス測度は
原点にだけ1の測度があり, 他には測度がないというものになる.
（これだけ簡単だと, わざわざgから定義せずとも
集合Eが原点を含めばμ^*(E)=1,
Eが原点を含まないときμ^*(E)=0と直接定義して
これが外測度の公理をみたすことを確認すればいい.）
このμ^*が並行移動不変でないことは明らか.
たとえばE=[-1,1]とすれば、μ^*(E)=1だが
x>1ならばμ^*(E+x)=0だから, たしかにμ^*(E+x)≠μ^*(E)
0248１３２人目の素数さん
2009/01/24(土) 10:34:39Let (X,M,μ) be a measure space. One can define the completion of this spaces as follows.
Let M~ be the collection of sets of the form E∪Z,where E∈M,and Z⊂F with F∈M and μ(E)=0.
Also,define μ~(E∪Z)=μ(E). Then:
(1) M~ is the smallest σ-algebra containing M and all subsets of elements of M of measure zero.
(2) The funciton μ~ is a measure on M~,and this measure is complete.
という問題で(1)の題意について質問です。
M⊂M~でM~がσ集合体である事は示せました。
そこでM⊂MでMはσ-集合体なので,μ(E)=0ならEはM可測なのでE∈Mだと思います。
よってMと測度0の集合を含む最小のσ集合体はM自身だと思います。
よって(1)はM~=Mを示せ。と解釈したのですが勘違いしてますでしょうか?
0249１３２人目の素数さん
2009/01/24(土) 10:38:40with F∈M and μ(E)=0.
↓
with F∈M and μ(F)=0.
0250１３２人目の素数さん
2009/01/24(土) 13:27:39>μ(E)=0ならEはM可測なので
違う。それが成り立つというのが完備性。
(X,M,μ) が一般に完備でないから「完備化」して(X,M~,μ~)を作るんだろうが。
×「Mと測度0の集合を含む最小のσ集合体」
○「Mと測度0の集合の部分集合すべてを含む最小のσ集合体」
0251１３２人目の素数さん
2009/01/24(土) 13:32:43>μ(E)=0ならEはM可測なので
というより、EがM可測だからこそμ(E)が意味をもつ。
完備性は、
「μ(E)=0ならEの任意の部分集合ZはM可測なので」
が成り立つということ。
0252１３２人目の素数さん
2009/01/25(日) 09:32:30どうもです。
> (X,M,μ) が一般に完備でないから
> 「完備化」して(X,M~,μ~)を作るんだろうが。
参考になります。
> ×「Mと測度0の集合を含む最小のσ集合体」
> ○「Mと測度0の集合の部分集合すべてを含む最小のσ集合体」
そうですね。
{Z⊂F;F∈M,μ(F)=0}⊂M~である事は∀Z∈{Z⊂F;F∈M,μ(F)=0}を採ると,Z=φ∪Z∈M~(∵M~の定義)
と分かりますね。
次に最小性
M⊂Σ,Σ:σ集合体⇒M~⊂Σ を示したいのですがこれはどうすればいけますでしょうか?
> 完備性は、
> 「μ(E)=0ならEの任意の部分集合ZはM可測なので」
> が成り立つということ。
憶えて置きます。
0253１３２人目の素数さん
2009/01/25(日) 10:11:17最小性の表現は
×「M⊂Σ,Σ:σ集合体⇒M~⊂Σ」
○「ΣがMとμ測度0の集合の部分集合すべてを含むσ集合体⇒M~⊂Σ」
0254１３２人目の素数さん
2009/01/26(月) 03:39:28どうもです。
> >>252
> 最小性の表現は
> ×「M⊂Σ,Σ:σ集合体⇒M~⊂Σ」
> ○「ΣがMとμ測度0の集合の部分集合すべてを含むσ集合体⇒M~⊂Σ」
そうでした。
∀E∪Z∈M~ (E∈M,Z⊂F∈M,μ(F)=0)をとると,ΣはMを含むからE∈Σ,
Σは測度0の部分集合を含むからZ∈Σ,
Σはσ集合体だからE∪Z∈Σ.
∴ M~⊂Σ.
ですね。
0255１３２人目の素数さん
2009/01/26(月) 04:03:400256１３２人目の素数さん
2009/01/26(月) 09:40:34L^pで稠密の定義について質問です。
"f∈L^pがL^pで稠密⇔∃{f_n}⊂L^p such that f_nはfにL^p収束"
で正しいですかね。
0257１３２人目の素数さん
2009/01/26(月) 10:09:140258１３２人目の素数さん
2009/01/26(月) 10:37:39× "f∈L^pがL^pで稠密⇔∃{f_n}⊂L^p such that f_nはfにL^p収束"
○ "F⊂L^pがL^pで稠密⇔∀f∈L^p, ∃{f_n}⊂F such that f_nはfにL^p収束"
0259１３２人目の素数さん
2009/01/27(火) 00:31:29Ｘ：Gauss系ならＸ(0)=0になるのでしょうか？
どなたかお願いします…
0260１３２人目の素数さん
2009/01/27(火) 03:02:09> いったい何のために、どんな本を読んでるんだ？
特に理由はないのですが読んでる本は伊藤清三の本です。
図書館の他書でVitali coveringの定義を見つけました。
「距離空間(R^n,d)においてB(x,ε)={y∈R^n;d(x,y)<ε}を開球という。B={B(x,ε);x∈R^n,0<ε∈R}とすると
(B⊃)B'が集合E(⊂R^n)のVitali式被覆 ⇔ ∀x∈E,0<∀δ∈R,∃b∈B';x∈b,m(b)<δ (但し,mはルベーグ測度)」
でいいのですね。
0261１３２人目の素数さん
2009/01/27(火) 10:22:54微妙にスレチな気もするが…
「Ｘ」などと1個の確率変数みたいに書いてるが、Ｘ(0)とか書いてるってことは
確率過程Ｘ(t)、つまり確率変数の系 { Ｘ(t) | t∈Ｔ } を考えてるんだろ？
ガウス系ってのは、(X(t1),X(t2),…,X(tn))がn次元ガウス分布に従うってこと。
だから1個だけの X(0) は1次元ガウス分布（つまり正規分布）にしたがう。
それ以上のこと（=0などと確定値をとるとか）は「ガウス系」の定義には含まれていない。
それどころか、標準正規分布とも限らないから、平均値E(X(0))すら0とは限らない。
0262１３２人目の素数さん
2009/01/27(火) 12:22:12Xを集合,M⊂2^Xとする(但し,Mは空でない)。Mが補集合に関して閉じてて互いに素な可算個の和集合に関しても閉じてるならMはσ集合体になってる事を示せという問題です。
[ヒントは可算和集合を互いに素な可算和集合で表せ]
(i) X∈Mである事は
今,Mは空でないので∃E∈MでX=(E∪E^c)∈M(∵EとE^cは互いに素)といけました。
次に
(ii) E_1,E_2,…∈Mなら∪[i=1..∞]E_i∈Mを示したいのですが
F_1=E_1∩(∪[i=2..∞]E_i)^c,F_2=E_2∩(∪[i=3..∞]E_i)^c,…
とすれば∪[i=1..∞]E_i=∪[i=1..∞]F_iでF_1,F_2,…は互いに素。
となったのですがF_1,F_2,…∈Mである事がどうしても言えず,
∪[i=1..∞]F_i∈Mに持っていけません。
どうすればF_1,F_2,…∈Mが言えるのでしょうか?
0263１３２人目の素数さん
2009/01/27(火) 13:10:17>>262
Mは単に空でないM⊂2^Xなんじゃなくて、集合体であること（有限個の
集合演算について閉じていること）は仮定されているんじゃないのか？
もしそうなら、F_n=E_n∩(∪[i=n=1..∞]E_i)^cとせずに、
F_1=E_1, F_2=E_2∩E_1^c, F_3=E_3∩(E_1∪E_2)^c, …, F_n=E_n∩(∪[i=1..n-1]E_i)^c
とおけばいい。
0264１３２人目の素数さん
2009/01/27(火) 13:14:44和集合について閉じていることから、集合体であることはすぐ言えるね。
0265１３２人目の素数さん
2009/01/27(火) 13:16:26大変参考になりました。どうも有り難うございました。
0266１３２人目の素数さん
2009/01/27(火) 21:07:07伊藤清三を読み直してみたけど、たしかにヴィタリ被覆は全く出てこないね。
吉田耕作「測度と積分」には、「区間上の単調関数は殆どいたるところ微分可能」
の定理のあとにこう書いてある：
>Lebesgue自身の証明は, fが連続なことは仮定して彼の著書Leconsの第1版(1904)
>の最後の章に述べられているが, あまりわかりよくはない(第2版(1928)の方が
>わかりよい). 今日ではVitaliの被覆定理を用いる上のような証明が標準的である
>が, いろいろな直接証明もいろいろな人によって工夫されている. そのなかでは
>1932年に発表されたF.Rieszのものが名高い.
伊藤清三も微分論はR^1上の場合しか述べてないから、直接証明してるわけだね。
しかしR^n上で同様の定理を証明するにはVitaliの被覆定理が必要らしい
（上の吉田耕作でも最終章でVitali被覆を使ってR^nの場合を証明してる）.
0267１３２人目の素数さん
2009/01/27(火) 21:08:48している本ではdiam(b)<δとするのが普通ぽい。ただしdiam(b)とはbの直径。
どうせR^nだからどちらでも同じだし, R^1だと|I|とかm(I)とか書いてあって
区別がつかないが。
日本語や英語のルベーグ入門書をいくつかざっと見てみたが、半分くらいは
ヴィタリ被覆に触れておらず、あとの大部分はR^1の場合しか書いてない。
>>235の質問理由がわかったよ。
>>242の吉田洋一では被覆定理のあとの注に多次元の場合の定義らしきものが
書かれているが（「ヴィタリ被覆」とは呼んでない）、非常に分かりにくい
書き方がされている。
なお>>260ではヴィタリ被覆を開球の集合として書いているが、閉球にするべき。
また球でなく閉立方体系で定義している本もある（吉田耕作、現代数学概説2など）。
ヴィタリの被覆定理ではけっきょく閉球か閉立方体をとるものの、ヴィタリ被覆
自体は一般の集合系（可測とすら書いてない）で定義してある本もある（猪狩、
盛田など）。
それら（R^nでヴィタリ被覆をちゃんと定義している本）すべてで、measureでなく
diameterを用いていた。
（球以外の集合のdiameterは、集合内の2点間の距離のsupで定義する。）
0268１３２人目の素数さん
2009/01/27(火) 22:12:39>>267の
>>>242の吉田洋一では被覆定理のあとの注に多次元の場合の定義らしきものが
>書かれているが（「ヴィタリ被覆」とは呼んでない）、非常に分かりにくい
>書き方がされている。
は溝畑だった。訂正。
吉田洋一は、R^1のみで閉区間族として、m(I)<δとか書いてある（よくある）パターン。
0269１３２人目の素数さん
2009/01/27(火) 23:55:24閉区間族からR^nに拡張するのはそう難しくないと思うのだが
0270１３２人目の素数さん
2009/01/28(水) 01:23:36だのに多くの本がVitali被覆やVitaliの被覆定理を1次元の場合にしか
定義・証明しないのはなぜなんだろうね。
まあ関数解析や確率論の道具としてLebesgue積分をマスターするという
現在の教科書の立場からすると、R上の精緻な微分論自体が歴史的意義しか
なくなっているということなのかもしれない。
（ましてやR^nへの拡張などどうでもいいと。？）
Vitaliの被覆定理の代表的な応用であるR^1での微分係数に関する定理は、
>>266によればVitali被覆を使わない証明もいろいろあるらしいが、
それらは一次元の場合に限った論法なのかもしれない。
であれば、Vitali被覆を使った証明をする本では、せっかくなんだから
R^nを意識した定義をするべきと思うがなあ。
実際、「そう難しくない」んだから。
それにしてもVitaliって測度論ではとことんマニアックな存在だよなｗ
一番有用有名？な被覆定理でもこの扱い
Vitali-Schefeの収束定理も書いてある本はごくわずか
Vitali-Hahn-Saksの定理もかなりマニアックなレベルだし
あとは例の非可測集合だろ？
0271１３２人目の素数さん
2009/01/28(水) 06:09:30> おっと失礼。補集合に関して閉じていることと、互いに素な有限個の
> 和集合について閉じていることから、集合体であることはすぐ言えるね。
えっ!マジですか。有限個から可算個の和集合に関して閉じてる事が言えるのですか。
どのようにすればいいのでしょう?
是非、具体的にお教えください。
0272１３２人目の素数さん
2009/01/28(水) 06:12:380273１３２人目の素数さん
2009/01/28(水) 11:00:24>>264の説明の内容もちゃんと伝わってないということだな.
親切にもカッコつきで注釈までつけてくれているのに..
同じようなことが過去にも何度もあったろ?
測度論のような精密な数学をやる前に, その
細部に対する注意力のなさをなんとかしろ.
0274１３２人目の素数さん
2009/01/28(水) 11:19:000275１３２人目の素数さん
2009/01/28(水) 12:55:12集合体はM⊂2^Xで
(i) X∈M
(ii) A∈M⇒A^c∈M
(iii) A,B∈M⇒A∪B∈M
ですね。3つ目の条件が可算和集合ではなく有限和集合なのですね。
> カッコが見つからん。
カッコで集合体の説明をなさってたのですね。
> Mは単に空でないM⊂2^Xなんじゃなくて、集合体であること（有限個の
> 集合演算について閉じていること）は仮定されているんじゃないのか？
問題文をチェックしてみましたが補集合と互いに素な可算和集合に関して閉じているという条件のみから可算和集合に関して閉じている事が導けるらしいのです…
やはりヒントは可算和集合を互いに素な可算和集合で表す事らしいのです。
どうすればF_n=E_n∩(∪[i=n=1..∞]E_i)^c (n=1,2,…)で
F_1,F_2,…∈Mが言えるのでしょうか?
0276１３２人目の素数さん
2009/01/28(水) 20:08:09どこまで判りが悪いんだ…
>>263と>>264を合わせれば答になってるだろうが！
互いに素な可算和集合に関して閉じているということは
互いに素な有限和集合に関しても当然閉じているから、
そのことから>>275の(iii)が導かれ、
>>264で言っているようにまずMが集合体であることがわかる。
それがわかれば、有限個の集合演算について閉じていることは使えるから、
（F_n=E_n∩(∪[i=n=1..∞]E_i)^cじゃなくて！）
>>263のように分解すれば F_1,F_2,…∈M は問題なく言えて、
∪[i=1..∞]E_i=∪[i=1..∞]F_iでF_1,F_2,…は互いに素になってるだろ！
なんで>>263と>>264の両方読んでその手順がわからないんだ？ ε-(ｰдｰ)ﾊｧ
0277１３２人目の素数さん
2009/01/28(水) 20:35:49もし2年後もこのスレが続いていて、かつ>>275がまだ数学を続けているとしたら、
そのとき、275は今と全く変わらない低レベルな質問をこのスレに投下している。
0278１３２人目の素数さん
2009/01/28(水) 20:40:00σ集合体の定義は何。
0279１３２人目の素数さん
2009/01/29(木) 12:56:45どうも有り難うございます。
> >>263と>>264を合わせれば答になってるだろうが！
> 互いに素な可算和集合に関して閉じているということは
"Mが補集合に関して閉じてて"はE∈M⇒E^c∈Mの意味ではないんですね。
> 互いに素な有限和集合に関しても当然閉じているから、
> そのことから>>275の(iii)が導かれ、
> >>264で言っているようにまずMが集合体であることがわかる。
E∈M⇒E^c∈Mの意味だとどんなにあがいてもA,B∈M⇒A∪B∈Mは言えませんものね。
X={0,1,2,3}、M={φ, X, {0,1}, {2,3}, {0,2}, {1,3}}が反例になるかと思います。
> それがわかれば、有限個の集合演算について閉じていることは使えるから、
> （F_n=E_n∩(∪[i=n=1..∞]E_i)^cじゃなくて！）
> >>263のように分解すれば F_1,F_2,…∈M は問題なく言えて、
> ∪[i=1..∞]E_i=∪[i=1..∞]F_iでF_1,F_2,…は互いに素になってるだろ！
"有限個の集合演算について閉じている"これが使えればσ集合体である事は直ぐいえますね。
> なんで>>263と>>264の両方読んでその手順がわからないんだ？ ε-(ーдー)ハァ
それはわかっいたのですが…
"Mが補集合に関して閉じてて"はE∈M⇒E^c∈Mの意味とばかり思っていたものですいません。
0280１３２人目の素数さん
2009/01/29(木) 14:02:13>"Mが補集合に関して閉じてて"はE∈M⇒E^c∈Mの意味ではないんですね。
お前は何を言ってるんだ
"Mが補集合に関して閉じてて"はE∈M⇒E^c∈Mの意味だよ
「それだけからA,B∈M⇒A∪B∈Mは言えない」は正しい
逆に「互いに素な可算和集合に関して閉じている」からといってE∈M⇒E^c∈Mは言えない
だから両方仮定する
A,B∈M⇒A∪B∈MとE∈M⇒E^c∈Mの両方ないと、A,B∈M⇒A∩B∈Mとかが言えなくて集合体にならんだろうが
>それはわかっいたのですが…
うそつけ
>>275でもまだF_n=E_n∩(∪[i=n=1..∞]E_i)^cにこだわってたろ
Mが集合体でこのF_n∈Mが言えるならそれだけから∪[i=n=1..∞]E_i∈Mが言えている
証明に証明しようとしている事実を使うってどんだけだよ
0281１３２人目の素数さん
2009/01/29(木) 14:04:44X={0,1,2,3}、M={φ, X, {0,1}, {2,3}, {0,2}, {1,3}}が反例になるかと思います。
0282１３２人目の素数さん
2009/01/29(木) 17:25:37>"Mが補集合に関して閉じてて"はE∈M⇒E^c∈Mの意味だよ
>「それだけからA,B∈M⇒A∪B∈Mは言えない」は正しい
0283１３２人目の素数さん
2009/01/29(木) 17:40:36>>281のMは、
補集合に関して閉じていてかつ互いに素な（可算個の）和集合に関しても閉じているが
集合体ではない（だからもちろんσ集合体でもない）例になっている。
0284１３２人目の素数さん
2009/01/29(木) 18:05:22A∩Bについての性質が導けるわけがない。
だから>>262の問題は間違い。
0285１３２人目の素数さん
2009/01/29(木) 19:14:530286１３２人目の素数さん
2009/01/30(金) 00:52:34A,B∈M⇒A∪B∈Mは仮定されてればMが集合体である事は言えますね。
やはり,補集合ではなく差集合に関して閉じてないとMは集合体にならないと思います。
0287１３２人目の素数さん
2009/01/30(金) 08:50:000288１３２人目の素数さん
2009/01/30(金) 08:59:340289１３２人目の素数さん
2009/01/30(金) 12:25:03全空間Xを固定して、Xの部分集合族の包含関係についての最大なら、
σ集合体であること以外に何の条件もつけないなら、2^Xが最大だなｗ
0290１３２人目の素数さん
2009/01/30(金) 14:53:24> まあ関数解析や確率論の道具としてLebesgue積分をマスターするという
> 現在の教科書の立場からすると、R上の精緻な微分論自体が歴史的意義しか
> なくなっているということなのかもしれない。
> （ましてやR^nへの拡張などどうでもいいと。？）
Perron積分だのDenjoy積分だのでやってくれということかもしれませんな
0291１３２人目の素数さん
2009/01/30(金) 15:25:420292１３２人目の素数さん
2009/01/30(金) 16:17:06X:={1,2,3,4}
F0:={φ,{1},{2}} とする
この時、F0を含む最小のσ-集合体Fを求めよ。
という問題なんですが、いまいちわかりません。
σ-集合体の定義に照らし合わせながら考えたら、
F={φ,X,{1},{2},{2,3,4}{1,3,4},{1,2}}になったんですけど、
あってますかね？
自信がありません。よろしくお願いします。
0293１３２人目の素数さん
2009/01/30(金) 16:26:170294１３２人目の素数さん
2009/01/30(金) 16:36:310295１３２人目の素数さん
2009/01/30(金) 16:40:400296１３２人目の素数さん
2009/01/31(土) 09:24:51解析概論
0297１３２人目の素数さん
2009/02/13(金) 02:41:30σ有限測度空間の次に大きい測度空間は何になるのでしょうか?
0298１３２人目の素数さん
2009/02/13(金) 03:39:080299１３２人目の素数さん
2009/02/13(金) 09:56:01アレフ1個⇒アレフ2個⇒…とか考えているのかもなｗ
全空間の測度が有限か∞か（ただの数値だからこのどちらかしかない）
によってかなり状況（いくつかの定理の成立･不成立）が変わるが、
基本的に必要なのはこの２者の区別だけ。
「有限か1か」ってのは測度論的にはどうでもいい。
（スケール変えただけ。有限測度空間であれば測度値を全空間の測度値で割った
値にすればいつでも確率空間になる）
ただ測度論は集合の無限和を可算和に限定するところに議論のミソがあるので、
無限測度空間であっても、有限測度空間の可算個の寄せ集めになっているなら
有限測度空間でしか成り立たないはずの事実のいくつかは問題なく成り立ってくれる。
つまりそういうのは測度論的には有限測度空間に近い無限測度空間ってことで
「σ有限」と呼んでかわいがる。「名誉ブリタニア人」みたいなもん（違うかｗ
それにあてはまらない無限測度空間はもう「その他大勢」でいいじゃん？
0300１３２人目の素数さん
2009/02/13(金) 11:00:220301１３２人目の素数さん
2009/02/14(土) 08:07:21(Ω_i,Σ_i,μ_i)を測度空間とする(i=1,2,…,n)。その時,A:={Π[i=1..n]E_i;E_i∈Σ_i}は筒集合と呼ばれ,半加法族をなす。
そしてAで生成されるσ集合体σ(A)を積σ集合体と呼ばれる。
μ:A→[0,∞]が測度の公理とμ(Π[i=1..n]E_i)=Π[i=1..n]μ_i(E_i)を満たすμが一意的に存在する。
このμをΠ[i=1..n]Ω_i上の積測度といい,(Π[i=1..n]Ω_i,σ(A),μ)を(Ω_i,Σ_i,μ_i)の積測度という。
特にn=2の時は筒集合は半加法族でなく有限加法族となる。
という解釈はOKですか?
0302１３２人目の素数さん
2009/02/14(土) 14:13:06> μが一意的に存在する
各測度空間がσ有限じゃないといけない(Hopfの拡張定理)
0303１３２人目の素数さん
2009/02/14(土) 17:49:440304１３２人目の素数さん
2009/02/14(土) 18:30:33>A:={Π[i=1..n]E_i;E_i∈Σ_i}は筒集合と呼ばれ,半加法族をなす。
「筒集合と呼ばれ」るのはA自身じゃなくてAの元。
「半加法族」ってsemiringのことかな。
Aは共通部分を取る演算について閉じてるからそれを言っているんだろうと思っておく。
>特にn=2の時は筒集合は半加法族でなく有限加法族となる。
なんでn=2のときだけそうなる？
筒集合の全体Aはnがいくつでも集合体にはならない。
（有限加法族＝集合体だよね？ 用語のパターンは統一しようよ）
Aで生成される集合体A'（有限加法族）は, 筒集合の有限直和の全体と一致する。
（なお、σ(A)=σ(A') ）
>(Π[i=1..n]Ω_i,σ(A),μ)を(Ω_i,Σ_i,μ_i)の積測度という。
「積測度空間」の書き間違い。
0305１３２人目の素数さん
2009/02/14(土) 19:01:29(finitely) additive class(= algebra of sets)を有限加法族と呼ぶのなら
(countably or completely) additive class(= σ-algebra of sets)は完全加法族。
あとどんな集合族がある？
単調族とかディンキン族はLebesgue関連で習った記憶があるが。
0306１３２人目の素数さん
2009/02/14(土) 22:27:42集合体はどっちかというとfieldの訳だと思う
（確率論だとalgebraよりfieldのほうが多いような…）
algebra of setsは「集合代数」と書いてる本がけっこうある（自分は嫌だが）
でも「σ-集合代数」は「σ-集合体」に比べてあまり言わないような気も
（英語のσ-filedとσ-algebraは同じくらい普通な印象だけど）
「完全加法族」と「σ加法族」も同じくらい言う気がするけど、英語にも後者の
「σ-additive class」はあるんかな?
0307１３２人目の素数さん
2009/02/15(日) 01:08:30> σ-systemとかπ-systemとかの言い方もあったね
π-系はσ-albegraだよね、ディンキン族は別名λ-systemだっけ？
集合代数系を体系的に扱った標準的な教科書みたいのないんかな、
なんかだんだんよく分からなくなってきたよｗ
個人的にはalgebraは多元環あるいは単に環と呼びたい代数屋のなりそこないなので、
「集合代数」には>>305で脳内から抹消してたぐらい拒否反応起こすｗ
0308１３２人目の素数さん
2009/02/15(日) 01:11:53φを含み, 合併と差集合について閉じている族をring（またはclan）という.
ringがさらに全体集合Ωを含むとき, algebra（またはfield）という.
Sがφを含み, 共通部分について閉じていて, さらにA,B∈SがA⊂Bならば有限個の
A_1,…,A_mが存在してA=A_0⊂A_1⊂A_2⊂…⊂A_m=BかつA_i＼A_{i-1}∈Sのとき,
Sをsemiringという.
semiringがさらにΩを含むときsemialgebraという.
ringが可算合併について閉じているときσ-ring（またはtribe）,
algebraが可算合併について閉じているときσ-algebra（またはσ-filed）,
ringが可算共通部分について閉じているときδ-ringという.
と書いてあった.
>>301の「半加法族」はsemialgebraのことだな.
0309１３２人目の素数さん
2009/02/15(日) 01:35:05クランとかトライブとか先住民かいなｗ
complementが普通の代数系でのinverseみたいなもんで
σ-algebra=δ-algebraとか昔やったこと在る気がしてきた。
集合半環はなかなかわかりにくい定義にみえるが、要するに集合半環の満たす
加法的な条件は「互いに素な有限和で閉じている」だって意味かな。
semi-algを直訳すると集合半代数とかなってスゲー嫌だｗ
0310１３２人目の素数さん
2009/02/15(日) 11:23:16>> μが一意的に存在する
> 各測度空間がσ有限じゃないといけない(Hopfの拡張定理)
了解しました。
> 304 ：１３２人目の素数さん：2009/02/14(土) 18:30:33
> >>301
> >A:={Π[i=1..n]E_i;E_i∈Σ_i}は筒集合と呼ばれ,半加法族をなす。
> 「筒集合と呼ばれ」るのはA自身じゃなくてAの元。
そうでした。
> 「半加法族」ってsemiringのことかな。
> Aは共通部分を取る演算について閉じてるからそれを言っているんだろう
> と思っておく。
Σ⊂2^Ωが
(i) φ∈Σ,(ii) π-systemをなす,
(ii) E∈ΣならΣ∋∃E_1,E_2,…,E_nは非交差such that E^c=∪_i=1^n E_i
ならΣは半加法族と呼ばれる。
0311１３２人目の素数さん
2009/02/15(日) 11:23:48> なんでn=2のときだけそうなる？
何となく、、、
> 筒集合の全体Aはnがいくつでも集合体にはならない。
そうですね。Aから生成してσ集合体を作るんでしたね。
> （有限加法族＝集合体だよね？ 用語のパターンは統一しようよ）
はい。
> Aで生成される集合体A'（有限加法族）は,
> 筒集合の有限直和の全体と一致する。
σ(A)={E(+)F;E,Fは筒集合}となるのですね。これは知りませんでした。
>>(Π[i=1..n]Ω_i,σ(A),μ)を(Ω_i,Σ_i,μ_i)の積測度という。
> 「積測度空間」の書き間違い。
有難うございます。
0312１３２人目の素数さん
2009/02/15(日) 12:54:38ヌシがまた現れたか
0313１３２人目の素数さん
2009/02/15(日) 15:18:22> π-系はσ-albegraだよね、
π-系はσ加法族ではないよ
π-系であって、しかもλｰ系ならばσ加法族
0314１３２人目の素数さん
2009/02/15(日) 15:37:35>σ(A)={E(+)F;E,Fは筒集合}となるのですね。これは知りませんでした
「直和」というのはここでは「共通部分をもたない和」って意味ね。
だから{E∪F; E∩F=φ}と書いたほうがいい。（「+」と書くことはあるが「(+)」と書くことはまずない）
そして「有限和」というのは2個とは限らない。
だから{∪[k=1..n]E_k; E_i∩E_j=φ}と書かないとだめ。
そして「筒集合の有限和の全体」なのはAから生成される有限加法族であって、σ加法族ではない。
つまり A'=筒集合の全体から生成される有限加法族={∪[k=1..n]E_k; E_i∩E_j=φ}
σ(A)=σ(A')はユークリッド空間ならボレル集合であって、その要素ははるかに一般的な集合になる。
>>312
数学文の細部に対する注意力のなさといい、たしかにヌシだねｗ
>>301はもしかしたら違うかもと思ったんだが、対話文が少なかっただけか。
まあスレを良活性化させる役には立っているし（勉強になるレスの引き金になったり）、
なんだかんだ言って相手してしまう俺…
0315１３２人目の素数さん
2009/02/15(日) 15:57:23Σ⊂2^Ωが
(i) φ∈Σ,(ii) π-systemをなす,
(ii) E∈ΣならΣ∋∃E_1,E_2,…,E_nは非交差such that E^c=∪_i=1^n E_i
ならΣは半加法族と呼ばれる。
だから、>>308のとおり、集合半環 (semi-ring of sets) のことじゃん
0316１３２人目の素数さん
2009/02/15(日) 16:55:10π-系が ∅ を含めば multiplicative-class でいいんだっけ？
0317１３２人目の素数さん
2009/02/15(日) 19:42:27>集合半環はなかなかわかりにくい定義にみえるが、要するに集合半環の満たす
>加法的な条件は「互いに素な有限和で閉じている」だって意味かな。
その条件だと例えば筒集合の全体はそれをみたさない。
たとえば、長方形2つの（互いに素な）合併は、辺の長さが一致してない限り
もはや長方形（直積型集合）でない。
しかし長方形Aが長方形Bに含まれるとき、Aに長方形を継ぎ足して
また長方形になるようにすることを繰り返してBに到達できる。
0318１３２人目の素数さん
2009/02/18(水) 13:55:20http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1109910304/
Functional Analysis, Lebesgue Integral II
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1088665870/
関数解析＆ルベーグ積分
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1043423127/
ルベーグ積分がわからないです。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1176444089/
過去スレ発掘
0319１３２人目の素数さん
2009/02/19(木) 16:38:30わかりません。
その関数より小さな単関数で有限和をとってその上限として積分を定義する
わけですよね。
何故可測関数じゃなければならないのでしょうか？
0320１３２人目の素数さん
2009/02/19(木) 19:11:12一個の球を有限個に分割して組み直すだけで二個に出来るから。
0321１３２人目の素数さん
2009/02/19(木) 23:26:16勉強したんなら分かるだろ常考・・・
しょうがないから教えてやるけど
可測函数じゃないと単函数近似できる保証がないからだ
0322１３２人目の素数さん
2009/02/19(木) 23:27:490323１３２人目の素数さん
2009/02/19(木) 23:45:05ちょっと言い方が足りなかった
可測函数でない函数へは単函数では近似できない
したがって積分を定義することはできない
0324１３２人目の素数さん
2009/02/19(木) 23:46:310325１３２人目の素数さん
2009/02/19(木) 23:57:23ない
0326１３２人目の素数さん
2009/02/20(金) 00:16:38盛田先生の本の第1章、読んでみたら。
0327１３２人目の素数さん
2009/02/21(土) 12:49:24「値を定める」だけならできる。積分というのは関数に対する測度みたいなものなので、
測度の場合と事情はほぼ同じ。
つまり「外測度」と同様に「外積分」をすべての関数に定義でき、それなりの役に立つ。
それはまさに単関数“近似”の値と言ってもよい。
しかし外測度と同様、一般に加法性などがみたされない。
つまり、「積分」らしくあるためには、「和の積分」が「積分の和になるべし」とか、
「定数倍が積分の外に出るべき」とかいろいろ条件をつけるわけだろ？
そういう都合のいい要求をいっぱいしておいて、「なぜないんだ！」とか嘆いても
ないものはないといか言いようがない。
高望みしすぎて結婚できない負け犬みたいなもん（違うかｗ
あるいは、たとえていえば代数方程式の解の公式とか角の三等分みたいなもん。
（「定規とコンパス以外は絶対使うな」とか言うから、簡単そうなことができなくなる）
ただ「値が決まりゃいい」ってわけじゃないことにもっと留意すべき。
教科書には定義のあとに綺麗な「性質」の証明がズラーっとあるだろ。そこまで見据えろってこった。
0328１３２人目の素数さん
2009/02/21(土) 20:08:51なるほど。可測関数じゃなければ単調収束定理が証明できないことに
は気づいてました。そういう理解でよかったのですね。ありがとう。
0329１３２人目の素数さん
2009/02/21(土) 20:14:14一個の球を有限個に分割して組み直すだけで二個に出来るから。
0330１３２人目の素数さん
2009/02/21(土) 20:15:280331１３２人目の素数さん
2009/02/21(土) 20:22:310332１３２人目の素数さん
2009/02/21(土) 21:07:380333１３２人目の素数さん
2009/02/21(土) 23:52:16lim[k→∞]∫[0,k]x^n(1-x/k)^kdx
これはどうやって解くんですか？
0334１３２人目の素数さん
2009/02/22(日) 04:11:300335１３２人目の素数さん
2009/02/22(日) 11:58:170336１３２人目の素数さん
2009/02/22(日) 20:28:300337KingGold ◆3waIkAJWrg
2009/02/22(日) 20:40:13十分条件の一つは、閉区間上の積分で、ほとんどいたるところ被積分函数が連続であること。
0338KingGold ◆3waIkAJWrg
2009/02/22(日) 20:42:190339１３２人目の素数さん
2009/02/22(日) 22:46:25必要十分条件は、その関数が有界関数であり、かつa.e.で連続で
あること。
0340KingGold ◆3waIkAJWrg
2009/02/22(日) 23:39:080341１３２人目の素数さん
2009/02/23(月) 01:38:19Borel集合体は開集合全体Tから生成されるσ集合体なので
σ集合体の定義,全体集合Ωを含む,Tの元の補集合(つまり閉集合)とを含む,Tの元と補集合の可算和集合を含む.
を満たせばいいので,Tからそれらをこしらえてやれば自動的にTを含む最小のσ集合体になるであろうと思い,
任意のBorel集合は(∪_{i=1}^∞ t_i )∪(∪_{i=1}^∞ t_i^c )∩(∪_{i=1}^∞ t_i)∩(∪_{i=1}^∞ t_i^c) (但し,t_i∈T)
の形をしていると考えましたがこれはあやまりですか? 何故?
0342１３２人目の素数さん
2009/02/23(月) 15:58:13A=∪_{i=1}^∞ t_i, B=∪_{i=1}^∞ t_i^cとすると, その集合は
A∪B∩A∩Bと書かれているから, 明らかにA∩Bに等しい.
開集合族Tは任意濃度個の合併について閉じているのでA∈T
閉集合の可算個の合併で表される集合をFσ集合族という. B∈Fσ
だからA∩Bという形の集合で尽くされるのはせいぜいT∪Fσ
ちなみに, 開集合の可算個の共通部分で表される集合をGδ集合という.
Fσ集合の可算個の共通部分で表される集合をFσδ,
Gδ集合の可算個の合併で表される集合をGδσ,
以下同様にFσδσδ…, Gδσδ…という.
このような操作だけでボレル集合全体が尽くされれば簡単であるが, そうはいかない.
このような操作で得たものの全体から出発して,
また加算個の共通部分,加算個の合併,…と繰り返していかなければならない.
0343１３２人目の素数さん
2009/02/23(月) 21:12:51否。
有界閉区間[a,b]上で定義された有界な函数がRiemann積分可能であることの必要十分条件が
[a,b]上殆ど至る所連続であることである
例えば、[0,1]上の函数fをf(x)=1/√x (x≠0), 0 (x=0)は[0,1]でRiemann積分可能であるが
[0,1]上有界でない
という例があるため、有界函数であり、a.e.で連続であることは
Riemann積分可能であることの十分条件ではあるが必要条件ではない
ついでにkingが阿呆だということも判明した
0344１３２人目の素数さん
2009/02/23(月) 21:46:03勘違いしてた
>>339は正しい
0345１３２人目の素数さん
2009/02/24(火) 01:09:10それ以上の能力や知識は全くなさそうだけど。
0346１３２人目の素数さん
2009/02/24(火) 02:01:20>>>341
> A=∪_{i=1}^∞ t_i, B=∪_{i=1}^∞ t_i^cとすると, その集合は
> A∪B∩A∩Bと書かれているから, 明らかにA∩Bに等しい.
(∪_{i=1}^∞ t_i )∪(∪_{i=1}^∞ t'_i^c )∩(∪_{i=1}^∞ t''_i)∩(∪_{i=1}^∞ t'''_i^c) (但し,t_i,t'_i,t''_i,t'''_i∈T)
と書きたかったのでした。
> ちなみに, 開集合の可算個の共通部分で表される集合をGδ集合という.
> Fσ集合の可算個の共通部分で表される集合をFσδ,
> Gδ集合の可算個の合併で表される集合をGδσ,
> 以下同様にFσδσδ…, Gδσδ…という.
> このような操作だけでボレル集合全体が尽くされれば簡単であるが, そうはいかない.
> このような操作で得たものの全体から出発して,
> また加算個の共通部分,加算個の合併,…と繰り返していかなければならない.
分かりました。ありがとうございます。
0348１３２人目の素数さん
2009/02/24(火) 22:32:37精神病院
0349KingGold ◆3waIkAJWrg
2009/02/25(水) 09:10:560350１３２人目の素数さん
2009/03/01(日) 10:11:04Fatou's theorem,
Monotone convergence theorem,
Dominated convergence theorem,
Fubini's theorem
はσfiniteでなくても成立するんですよね?
0351１３２人目の素数さん
2009/03/01(日) 13:06:05Fubiniはあまり丁寧に考えた経験がないので即答できないが、
他のは大丈夫のはず。
なぜなら、Monotoneは測度のσ加法性が直接遺伝したもの
（測度段階でもσ加法性とMonotoneが同値であることに注意。
Monotoneと言わずに「測度の連続性」と呼ばれるが）。
そしてFatouとDominatedはMonotoneのcorollaryだから。
ただRiesz流（日本だと溝畑流、測度収束とboundedを基礎にする）だと
有限測度空間から無限測度空間に拡張する関係上、σfiniteを仮定して
しまっているかもしれない。
0352１３２人目の素数さん
2009/03/01(日) 14:06:46たとえば、測度から積分を定義する場合、単関数の積分がまず定義されるが、
単関数を特性関数の線形結合と定義するとき、
(1)測度∞の集合の特性関数も参加させるならその積分が線形結合の表示の仕方によらずwell-definedであることに、
(2)参加させないならそのような関数の積分が近似単関数列によらずwell-definedであることに、
σ有限が必要になると思う。 （>>162-173もこれに関連した話）
ちなみに測度とは無関係に積分を汎関数として定義するダニエル流だと、
monotoneは積分の公理に組み込まれているので（具体例ではリーマン積分の時点でディニの定理が働いて成り立つので）、
FatouもDominatedも問題なく成り立つが、積分から逆に測度を定義する段階で、σ有限が必要になる。
例：ttp://sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/integral/int2007.pdf
0353１３２人目の素数さん
2009/03/04(水) 20:22:39σ有限でないと「直積測度」を一意的に定義できないから, Fubiniはstate自体が出来ない.
他の収束定理関係はσ有限不要.
測度空間が与えられれば, (σ有限でなくても)それにもとづいてルベーグ式に積分を定義でき,
各収束定理も成り立つ.
>>352
単関数の積分のwell-definednessにσ有限は必要ない.
ただしそうやって最終的に定義された積分が「自然」なものかどうかはわからない.
Daniel式の積分から逆に測度を定義するときσ有限を要請するのは,
その測度から再定義したルベーグ式の積分が元のDaniel積分と一致するようにするため.
(小谷の本の演習問題で紹介されている例)
X=[0,1], f(x)=xとし, L={αf;α≧0}, I(αf)=αと定義すれば,
(L,I)は>>352のpdfの意味で「積分系」となる.（小谷では「初等積分」と呼んでいる）
これをもとにしてinfで外測度Γを作ると, Γに関するカラテオドリ可測集合は
φ, X, {0}, (0,1]の4つだけ!となり, Lの関数はこの可測集合族についての可測関数でない!
ちなみにA⊂Xの外測度はΓ(A)=1/infAなので, X,{0},(0,1]の測度はどれも∞. だからσ有限でない.
またこの例に>>352のpdfの理論展開を適用すると,
L↑はLに「X上いたるところ∞」という関数が加わるだけ, L↓は変化無し, L1=Lとなり元のまま.
そして 1_A∈L↑ という定義での可測集合はφのみになってしまう.
0354１３２人目の素数さん
2009/03/04(水) 20:25:55>単関数の積分のwell-definednessにもσ有限は必要ない
について, 何冊かの本での単関数の積分の定義がどうなっているか
>>162-173の例を念頭において見てみた.
(ふつうこの辺は「自明」って感じで読み飛ばすので, 丁寧に見たことなかった.)
伊藤清三では, 単関数を
f(x)=Σ_{i=0～n} α[i] χ_E[i](x), α[0]=0, α[i]>0 (i≧1), E[i]∩E[j]=φ (i≠j)
と書いて, その積分を
∫fdμ= Σ_{i=1～n} α[i]μ(E[i])
と定義している.
・積分に関与しないα[0]をわざわざ単関数の定義に入れていることについては
注で「後の補題の記述の便利のため」と書いている.
・E[i]としてφは排除されていない.
・この定義では0×χ_Ωもa×χ_φも単関数となり, いずれも同じ関数0となるが,
後者の積分値は問題なく0, 前者は和に参加する部分がない.
(積分の定義に「fでi=0しかない場合は∫fdμの右辺の和は0とみなす」と付け加えてあれば完璧だった)
・伊藤清三では0×∞を定義しないが, それは現れない.
・積分が表現の仕方によらないことの証明は, i=0しかないケースを別に扱えば問題ない.
・測度∞の集合上で0でない値をとる単関数の積分値は(どのように表現しようとも)
∞なので問題ない(証明ではこのケースについても記述あり).
単関数の定義にα[0]の部分がない本もある(たとえば盛田).
・それだと0×χ_Ωなどは単関数ではないが, 0関数はa×χ_φとみなせばよい.
・μ(E[i])=∞の場合の注意は特にないが, well-definednessの証明は両辺を∞と思えばそのまま有効.
0355１３２人目の素数さん
2009/03/09(月) 18:06:29X を完備な測度空間、Y を任意の測度空間として
Z = X×Y の測度は直積Jordan測度から外測度Γを構成して B_X×B_Y を含む最小の完全加法族B_Zに制限したものとする。
Z 上の可積分関数 f(x,y) に対して
(1) f(x,y) は x を固定すると y の関数として Y 上可測
(2) ∫_Y f(x,y) dy は X 上可測
(3) ∫_Z f dΓ = ∫_X ∫_Y f(x,y) dy dx
が成り立つ。
ハズ。
X が完備である点と、f≧0 であっても f の可積分性を要求するところが普通のFubiniの定理との相違点。
0356１３２人目の素数さん
2009/03/10(火) 00:32:53(2) の∫_Y f(x,y) dy は X 上a.e可測で、その零集合上では0とみなしておく。
つまり可積分ならFubiniの定理はσ有限でなくても普通に成り立つ。
0357１３２人目の素数さん
2009/03/12(木) 13:32:20(X,M,μ)を測度空間でf,f_n:X→[-∞,∞]の時,f_n≧0 a.eなら∫_lim_{n→∞}inf f_n dμ≦lim_{n→∞}inf∫f_ndμ
の正誤判定で非負関数では積分すると無限大になる場合は積分不可能というのですよね。
たからlim_{n→∞}inf∫f_ndμの積分記号は定義されないのでよって偽と思ったのですが
正解は真でした。積分不可能でも積分記号を使っていいのでしょうか?
あと,ルベーグ積分の本で内容の半分以上は一般の測度での積分の話があったりします。
なのにタイトルはルベーグ積分となってたり,,ルベーグ積分は測度がルベーグ測度の時の積分の事ですよね。
一般の測度の積分は何積分と呼ぶべきなんですか?
測度積分?
0358１３２人目の素数さん
2009/03/12(木) 14:36:15言いません。無意味な質問です。いいえ。ルベーグ積分。
0359１３２人目の素数さん
2009/03/12(木) 21:04:081、まず「可測関数」か「非可測関数」かという分類がある。ふつう前者に対してしか積分を考えないから
「積分不可能」と呼ぶとすれば後者が該当するといえるが、すでに呼び名があるからそうは呼ばない。
2、可測関数はさらに「積分確定」か「積分不確定」かに分類される。非負可測関数はすべて積分確定。
3、積分確定の場合をさらに積分値が有限か∞かに応じて「可積分」と「可積分でない」に分類する。
前者の呼び名も「可積分」であって「積分可能」でないことに注意。
結局、ルベーグ積分の場合には「積分不可能」という言い方はどこにも出てこない。>>108も参照。
>>357後半
古い本だと「ルベーグ式積分」などと呼んで、ルベーグ自身が最初に考えたものより
一般化されているニュアンスを出してたりもするが、
いずれにしろ、積分の形容詞「ルベーグ」は測度でなく方法論に対してついている。
測度がルベーグ測度の時のルベーグ積分は「測度がルベーグ測度の時のルベーグ積分」と言う。
0360１３２人目の素数さん
2009/03/13(金) 00:34:37> 359
どうもです。
>>>357前半
> 1、まず「可測関数」か「非可測関数」かという分類がある。ふつう前者に対してしか積分を考えないから
> 「積分不可能」と呼ぶとすれば後者が該当するといえるが、すでに呼び名があるからそうは呼ばない。
ふむ。
> 2、可測関数はさらに「積分確定」か「積分不確定」かに分類される。非負可測関数はすべて積分確定。
因みに"積分確定な"は英語で何と言うんですか? "可積な"はintegrableですよね。
> 3、積分確定の場合をさらに積分値が有限か∞かに応じて「可積分」と「可積分でない」に分類する。
> 前者の呼び名も「可積分」であって「積分可能」でないことに注意。
つまり,ルベーグ積分では"積分可能"って用語は使わず"可積"という用語を使うんですね。
非負可測関数→積分不確定
↓
積分確定→不可積(∞の積分値)
↓
可積(有限の積分値)
ですね。
0361１３２人目の素数さん
2009/03/13(金) 00:35:08>>108も参照。
了解。
>>>357後半
> 測度がルベーグ測度の時のルベーグ積分は「測度がルベーグ測度の時のルベーグ積分」と言う。
うわ、面倒くさ。
0362１３２人目の素数さん
2009/03/13(金) 00:44:00まだわかっとらんわ。数学向いてないな。
0363１３２人目の素数さん
2009/03/13(金) 00:53:06違います。
違います。
他人のレスをちゃんと読まないなら、もう書き込まないで下さい
迷惑です。
0364１３２人目の素数さん
2009/03/13(金) 01:30:00↓→は樹形図みたく2つに分かれるという意味として、正しくは
可測関数 →積分不確定
↓
積分確定 →可積分でない(∞または-∞の積分値)
↓
可積分(有限の積分値)
>因みに"積分確定な"は英語で何と言うんですか? "可積な"はintegrableですよね。
日本語の本では「積分確定」と書かれることが多いが、「積分不確定」という言い方は
それほど一般的ではない。日本人は漢語で短くいうのが好きだから「積分確定」と呼ぶが、
要するにその場合しか積分を定義しないので、英語では素直に「積分が定義される」とか
「ただし少なくとも一方は有限とする」と述べるだけで名前はつけないんじゃないかな。
integrableは「可積分」（形容詞だが日本語では「～is integrable.」→「～は可積分.」,
「integrable function」→「可積分関数」という感じで、「な」がつくケースはあまりない）。
「可積な」という言い方もほぼしない。「不可積な」とは絶対に言わない。
0365１３２人目の素数さん
2009/03/13(金) 12:52:36> 迷惑です。
すんません。
> ↓→は樹形図みたく2つに分かれるという意味として、正しくは
>
> 可測関数 →積分不確定
> ↓
> 積分確定 →可積分でない(∞または-∞の積分値)
> ↓
> 可積分(有限の積分値)
あっ。そうか負の場合も考えんといかんのでしたね。
いつも非負非負言ってるからつい。。。
>>因みに"積分確定な"は英語で何と言うんですか? "可積な"はintegrableですよね。
> 日本語の本では「積分確定」と書かれることが多いが、「積分不確定」という言い方は
(snip)
> 「可積な」という言い方もほぼしない。「不可積な」とは絶対に言わない。
ふーむ。参考になります。
0366１３２人目の素数さん
2009/03/14(土) 05:15:35integral is definite,not definite
integrable,not integrable(summable,not summable)
0367１３２人目の素数さん
2009/03/14(土) 08:56:09日本語としては同じように思えますが。
単に慣習的に「可積分」という呼び方の方が使われていて、
「積分可能」という呼び方は使われない、と言うことですか
0368１３２人目の素数さん
2009/03/14(土) 15:43:28まあ慣習と言えばそう。
「積分可能」という日本語は、そうでない場合を「積分不可能」と言うという誤解を招きやすい。
>>359にあるように「積分不可能」という日本語のニュアンスはルベーグ積分においては望ましくない。
だから、単に（積分値がちゃんと定義されている関数の中から）さらに∞でない場合のみ取り出す
（主に距離空間としての関数空間を作る都合で）だけのことだという気持ちをこめて
「可積分」と言う習慣になったのだろうと思う。
（積分よりもっと本質的な）測度の場合を考えてみればわかる。
測度を測れない（非可測な）集合と、単に有界でないだけの集合。
後者を測度論ではあまり特別扱いしないだろ？
個人的には「可積分」という言い方もあまりよくないと思っている。
たしかに、「日本語として同じように思える」し。（ただし、慣習には従うべき。）
ルベーグ積分論までに、さんざん「可能」「不可能」の用語イメージを刷りこまれてるからね。
（「リーマン積分可能」とか「微分可能」とか）
しかしルベーグ積分における「可積分」「可積分でない」は、
たとえば初等解析における「有界」「非有界」のイメージに近いので、
なんかそんなような用語のほうがよかったんじゃないかなと。
ベテランになれば単に「L^1」（エルワン）と言うようになるけどｗ
0369367
2009/03/14(土) 20:57:28詳しく教えてもらいありがとうございます。
そういえば「可積分」というのは「p乗可積分」のp=1の場合に過ぎないんですね。
可積分関数と呼ぶよりL^1-関数と呼ぶ方が良さそうですね。
0370１３２人目の素数さん
2009/03/17(火) 11:58:15M:={E;E⊂X,∀A⊂Xに対して,μ*(A)=μ*(A∩E)+μ*(A^c∩E}
はそれぞれσ集合をなすか。
MはA=φならμ*(E)=0となり,Xが完備空間でないならEは可測集合にならないのでMはσ集合体にはならない。
でもNが分かりません。σ集合体になりそうですが…。
実際はどうなんでしょ?
0371１３２人目の素数さん
2009/03/17(火) 12:30:37Nってまんまカラテオドリの可測集合じゃん。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E6%B8%AC%E5%BA%A6
0372１３２人目の素数さん
2009/03/17(火) 12:36:100373１３２人目の素数さん
2009/03/17(火) 12:38:19>Eは可測集合にならないのでMはσ集合体にはならない。
これは間違い。可測集合はまだ定義されていないし、Mがσ集合体になるかどうかとは無関係。
0374１３２人目の素数さん
2009/03/17(火) 12:46:23Mの要素は外測度0であることが必要、ってのは正しいね
0375１３２人目の素数さん
2009/03/17(火) 12:52:34外測度の単調性よりμ*(A∩E)≦μ*(E)=0, μ*(A^c∩E)≦μ*(E)=0
したがってμ*(A)>0なるAが存在する限り, Mの条件をみたす集合は存在しない？
（要素をもたない集合族はσ集合体とみなしてもいいかもしれないが）
0376１３２人目の素数さん
2009/03/17(火) 13:18:36特定のＡに対して成り立ってるだけでＭの元と決めつけている所と
Ｅがある可測空間の可測集合になるかどうかと
Ｍがσ集合体であることが関係ないことの二つが間違い。
0377１３２人目の素数さん
2009/03/17(火) 14:00:000378１３２人目の素数さん
2009/03/17(火) 16:15:06μ*(X)=0ならば, M=2^Xなのでσ集合体になる. μ*(X)>0ならば, >>375の
とおりA=φのときの条件とA=Xのときの条件が矛盾するのでMに属する集合は存在しない.
そのときもMをσ集合体と呼ぶならば, Mはつねにσ集合体であることになる.
Nについて:
Xは空でないとし, μ*を>>377のように定義すると, Nの条件をみたすものは空集合のみ.
よって補集合について閉じないのでNはσ集合体でない.
しかしたとえば, Xを有限集合としμ*を個数測度とすると, N=2^Xとなるから,
Nはσ集合体. つまりNがσ集合体になるかどうかは一般には決まらない.
(そうするとNがσ集合体になるための(X,μ*)の(必要十分)条件が問題となるが,
それを考える気はない.)
0379１３２人目の素数さん
2009/03/17(火) 16:29:00>Xは空でないとし, μ*を>>377のように定義すると, Nの条件をみたすものは空集合のみ.
× Xは空でないとし,
○ Xは少なくとも2つの要素をもつとし,
0380１３２人目の素数さん
2009/03/17(火) 16:36:12○ Xは少なくとも2つの要素をもつとし, μ*を>>377のように定義すると,
Nの条件をみたすものは空集合および1つだけの要素からなる集合.
0381１３２人目の素数さん
2009/03/17(火) 16:47:360382１３２人目の素数さん
2009/03/18(水) 03:44:45反例まであげてもらって納得です。
0383１３２人目の素数さん
2009/03/21(土) 07:34:590384１３２人目の素数さん
2009/03/21(土) 12:20:27∫_Z fdμは∫ (f・1_Z) dμで定義される.（1_ZはZの定義関数, ∫は全空間での積分）
f・1_Z = 0 a.eだから, 一般に「f=0 a.e. ⇒ ∫|f|dμ=0」であることを示せばよい.
（ちなみにこれは f=g a.e.⇒∫fdμ=∫gdμ とも同値で, みかけの明らかさと裏腹にとても重要な定理）
でその証明は案外面倒で, 積分の定義にまで戻る必要がある.
つまりfが定義関数の場合に確かめて, 単関数の場合がわかり, 最後に単関数近似で一般の非負可測関数の場合がわかる.
fが定義関数の場合だけ書いておくと, μ(Z)=0⇒∫1_Z dμ=0をいえばよいが, ∫1_Z dμ=μ(Z)は定義だから自明.
蛇足だが, 逆の定理∫|f|dμ=0 ⇒ f=0 a.e.のほうが証明は短い.
（「積分の諸性質」を既知としてだけど. チェビシェフの不等式を使う. ）
0385１３２人目の素数さん
2009/03/23(月) 07:44:48> f・1_Z = 0 a.eだから,
どうして=0と分かるんですか?
0386１３２人目の素数さん
2009/03/23(月) 10:11:351_Z(x) = 0 ⇒ (f・1_Z)(x) = 0.
1_Z(x)=0 if x∈Z^c by definition.
∴ (f・1_Z)(x) = 0 if x∈Z^c.
∴ f・1_Z = 0 a.e. because μ(Z)=0.
0387１３２人目の素数さん
2009/03/23(月) 11:49:490388１３２人目の素数さん
2009/03/23(月) 11:53:17ヘルダー使って証明できないかな？無理かな？
0389１３２人目の素数さん
2009/03/23(月) 14:06:51一般定理「f=0 a.e. ⇒ ∫|f|dμ=0」のほうはともかく、
元々の「μ(Z)=0⇒∫|f・1_Z|dμ=0」のほうは、fがp乗可積分(1≦p≦∞)ならば
ヘルダーの不等式より∫|f・1_Z|dμ≦(∫|f|^pdμ)^(1/p)(μ(Z))^(1/q)
（1/p+1/q=1）で終わるね。
（p=∞は「有界」と解釈。「本質的有界」としたいところだが
それには問題の一般定理が必要だから循環論法になる）
でも主張の成立にfの（大域的）可積分性は必要ないはずだから、
たとえばX=[0,∞)でf(x)=e^xとかだと困るでしょ。
0390１３２人目の素数さん
2009/03/23(月) 19:22:28ヘルダー使うならクラスが限定されるということですか。
ご丁寧にありがとうございます。
0391１３２人目の素数さん
2009/03/23(月) 21:46:03単関数の場合を示せば十分なのにめっちゃ的外れじゃん
0392１３２人目の素数さん
2009/03/23(月) 21:51:580393１３２人目の素数さん
2009/03/24(火) 00:45:45∫_Z∞というのは正確に書くと∫(1_Z・∞)dμだよね。
(1_Z・∞)(x)はZ上で∞, Z^c上で0をとる関数になる。
・単関数のとる値に∞を認める場合は、これは単関数だから∫(1_Z∞)dμ=μ(Z)・∞は定義ということになるが、
そのやり方で∫(1_Z・|f|)dμ≦∫(1_Z・∞)dμ つまり積分の単調性を、一般的に示す証明の中で
>>384の議論も一緒にやったことになるんじゃないかな。
・しかし単関数の定義には∞値を認めないのが普通の流儀と思う。
それだと∫(1_Z∞)dμ=0は単関数近似で示すしかないから結局>>384と同じ。
・あるいは∫(1_Z∞)dμ = ∞・∫1_Zdμ を使ったことにするなら、
積分の線形性∫(cf)dμ=c∫fdμ を（0×∞の場合を含めて）証明する中で>>384をやったことになる。
結局、（0×∞=0を規約して）関数値やスカラー値に∞を認めた上で積分の単調性や線形性が証明済
という状態を仮定してよいなら、>>392でもいいことになる。が、>>384が間違いというわけでもない。
要するに「f=0 a.e. ⇒ ∫|f|dμ=0」の証明が単関数の場合に戻ってするしかないのは、
これが線形性や単調性と同レベルの“積分の基本性質”なんだということだろう。
0394１３２人目の素数さん
2009/03/24(火) 07:29:35いや、ふと思いついただけｗ
一般の証明なら本で読んだことあったけど。
0395１３２人目の素数さん
2009/03/28(土) 12:52:03ありがとうございます。結局,0×∞=0と定義してある事を使うのですね。
0396１３２人目の素数さん
2009/03/28(土) 17:12:43>結局,0×∞=0と定義してある事を使うのですね。
たしかにその規約のもとで>>392の式は最終的には成立しているが、
大多数のルベーグ積分の教科書では
>スカラー値に∞を認めた上で積分の単調性や線形性が証明済という状態
じゃないから、>>383の「証明」に>>392を使うというのはへたすると循環論法になるよ。
すなおに>>384の定理を証明して使うほうがpureでしょ。
0397１３２人目の素数さん
2009/03/28(土) 17:52:36数学を、理屈じゃなく勘で当てればいいパズルゲームだとしか思ってないですから。
0398１３２人目の素数さん
2009/03/29(日) 02:10:23384を読み返してみました。
386でひとつ分からないのですが
「1_Z(x) = 0 ⇒ (f・1_Z)(x) = 0」
となるのは何故ですか?
0399１３２人目の素数さん
2009/03/29(日) 08:45:26(f・1_Z)(x) = f(x)・1_Z(x)だから1_Z(x)=0なら全体も0.
0400１３２人目の素数さん
2009/03/29(日) 08:50:37もしかしてそこが最大の'ひっかかり'だったのかな?
0401１３２人目の素数さん
2009/03/29(日) 09:14:59∞を値として認めない流儀だってあるんだし。
∞×0=0というのは、 ただそう約束したと言うよりも、
ルベーグ積分における(関数値の)∞はすべて関数列の極限値として現れるから
>>172にあるように(有限値)×0の極限として0にするってこと。
f_n(x)=n on Zの場合に∫_Z f_n(x)dμ=0になることは問題なくわかっているんなら
∫_Z lim[n→∞]f_n(x)dμ = lim[n→∞]∫_Z f_n(x)dμ = 0
でなければならないから、∞値を認めるんなら∞×0=∞にするしかない。
∞値を認めない流儀の場合は、
>>384の定理により零集合上での関数値は積分値に影響しないことから
「lim[n→∞]f_n(x)=f(x)と書くにあたりf(x)が定義されない点ではf(x)=0とする」
などとやる。
（これだとZ上でf_n(x)が振動したりして極限値自体がない場合まで含められて都合がいい。）
0402１３２人目の素数さん
2009/03/29(日) 15:53:58答えられる人が誰もいなかったんでこちらで聞き直します。
K=[0,1]/QとするとKはtotally disconnected
∫|χ_K|dm=1よりχ_K∈L1
ここでv≦χ_Kなるlower semicontinuous functionを考えると
任意の開集合はtotally disconnectedでないため
実際はv≦0がいえます。
よって任意の上のようなvとu≧fなるupper～に対して
∫u-v≧1がいえます。
χ_KはVitali-Caratheororyの定理の仮定を満たしている(χ_K∈L1,f:real valued)
のに,なぜ下からlower semicontinuous functionで近似できないのでしょうか?
だれか説明できる方おねがいします。。。
0403１３２人目の素数さん
2009/03/29(日) 16:16:16> 答えられる人が誰もいなかったんで
こういうことは言わないほうが良いと思うよ。
それと、スレ変えて質問しなおすなら、向こうに取り下げると書いておこう。
0404１３２人目の素数さん
2009/03/29(日) 20:30:18ええと, 多分Baire関数とかに関係した話のような気がするけど,
fってのが突然出てきてて
>χ_KはVitali-Caratheororyの定理の仮定を満たしている(χ_K∈L1,f:real valued)
というのがちょっとよくわからないので,
Vitali-Caratheororyの定理とやらの主張を正確に書くか, 参考にした文献を教えてくれまいか.
（一様可積分性に関するVitaliの収束定理というのは知ってるが
「Vitali-Caratheororyの定理」というのは何のことか自信がない）
0405１３２人目の素数さん
2009/03/29(日) 21:44:59というかそのままの方がありがたい
0406１３２人目の素数さん
2009/03/29(日) 21:49:210407１３２人目の素数さん
2009/03/30(月) 01:39:19RudinのReal and Complex 2.25に乗ってる定理です。
ちなみに上の反例(?)も同書同章の演習問題からのものです。(6)
0408１３２人目の素数さん
2009/03/30(月) 09:30:540409１３２人目の素数さん
2009/03/30(月) 10:19:04積分値の意味でいくらでも近似できるって話なんだろう。
下から下半連続関数で近似できなくても不思議はないんじゃないか？
実際、Kを内側から測度の意味で近似する閉集合はとれるが、開集合はとれない。
0410１３２人目の素数さん
2009/03/30(月) 16:08:420411１３２人目の素数さん
2009/04/01(水) 17:50:41フーリエ変換の一般化ですか？
0412１３２人目の素数さん
2009/04/01(水) 18:09:36何と何を畳み込むって？
0413１３２人目の素数さん
2009/04/03(金) 09:29:550414１３２人目の素数さん
2009/04/03(金) 13:00:57(Ω,Σ,μ)を有限測度空間とし,f,f_n:Ω→[-∞,∞]は可測関数でもしf_n→f ae.で|f_n|≦1なら∫f_n→∫_fか?
という問題で
f_n:=sinx (-2nπ≦x≦2nπの時),0(そのほかの時)と定義したら∫fは存在しないので
結論∫f_n→∫fは偽なのでこの命題は偽だと思ったのですが真が正解みたいなのです。なんで
f_n:=sinx (-2nπ≦x≦2nπの時),0(そのほかの時)は反例にならないんですか?
0415１３２人目の素数さん
2009/04/03(金) 13:54:50ルベーグ測度による測度空間は有限測度空間ではない。
0416１３２人目の素数さん
2009/04/03(金) 15:54:12あとはルベグの終息定理そのまま。
測度を有限に限らなきゃたとえばf_n(x)=1/nとか簡単な反例がいくらでもある。
0417１３２人目の素数さん
2009/04/03(金) 20:23:55（|f_n|≦1だけでは∫f_nすら有限とは限らなくなるから,）
「∫f_n＜∞のとき」くらいを追加しておかないとトリビアルで面白くないな.
もちろんそうしたとしても>>414の例が反例になるわけだが.
>>415の「ルベーグ測度による測度空間は」という言い方だとやや誤解を招くかもしれない.
（たとえばL^1[0,1]もルベーグ測度による測度空間だから.）
「Ω=R全体（要するに非有界区間）でμをルベーグ測度とした場合は」ということね.
>>416の例 f_n(x)=1/n は意図がよく分からんかった.
Ω=R全体で測度がルベーグなら, 定数はすべて可積分でないから, 最初に書いたトリビアルなケース.
だからわざわざ1/nにしなくても
と思ったが, それなのに∫fの方は存在するようにしたということか.
>>414の設定で有限測度空間の仮定をはずし, ∫f_n<∞かつ∫f<∞でなおかつ∫f_n→∫fでない例を作れ,
とかにすると演習問題として面白いかも.
0418１３２人目の素数さん
2009/04/03(金) 20:38:36>f_n:=sinx (-2nπ≦x≦2nπの時),0(そのほかの時)と定義したら∫fは存在しないので
たしかに∫f は実数値としては存在しないが, 「∞に積分確定」だ.
そして「単調収束定理」は, 積分値が∞になる場合までこめて成り立つ.
>>414のf_nは単調増加だから, lim_{n→∞}∫f_nが∞に発散することと∫f=∞であることが確かに一致している.
（ルベーグ積分で∫f=∞の場合を「確定」として扱うのはこのため）
0419１３２人目の素数さん
2009/04/03(金) 20:41:41sin xだったら「積分不確定」だね.
失礼
0420１３２人目の素数さん
2009/04/04(土) 11:25:05> ああなるほど, 1_Z(x)=0であるxにおいて, f(x)=∞である場合に, ∞×0=0の規約が必要だなあ
> もしかしてそこが最大の'ひっかかり'だったのかな?
はい。そうです。
> 401
> もし>>400だったのなら最初にそういうべきだけど。でないとレスが的外れになる。
：
> （これだとZ上でf_n(x)が振動したりして極限値自体がない場合まで含められて都合がいい。）
どうもありがとうございます。これで見通しよくなりました。
0421１３２人目の素数さん
2009/04/05(日) 07:50:270422１３２人目の素数さん
2009/04/05(日) 08:13:19d次元単位球の体積。ググれば出る。
0423１３２人目の素数さん
2009/04/05(日) 09:50:30π^d' / Γ(d'+1)ですかね。近似値は何になるのですか?
0424１３２人目の素数さん
2009/04/05(日) 11:18:28d' = d/2 ならそれで正しい。
近似値の意味がわからんが、πもΓも厳密な値がわかってるんだから、
適当な精度で計算すれば近似値になるでしょ。
0425１３２人目の素数さん
2009/04/05(日) 11:36:58定数m(B)/diam(B)^dに名前は付いているんですか?
0426１３２人目の素数さん
2009/04/05(日) 11:38:23「d次元球の体積」でなんか不満？
0427１３２人目の素数さん
2009/04/05(日) 12:43:07えっ? これ体積なんすか? m(B)/diam(B)^dはR^d内の任意の開球Bで定数になるといってあるのだから
これが体積なら大きい球も小さい球も体積同じになってしまうんじゃ...
0428１３２人目の素数さん
2009/04/05(日) 13:02:16d次元単位球だな。
diam(B) で割って正規化してんだから大きい球でも小さい球でも同じになるのは当たり前。
0429１３２人目の素数さん
2009/04/05(日) 14:27:40オレの大学では習わないんだが…
0430１３２人目の素数さん
2009/04/05(日) 15:22:30習う・習わないは高校まででおしまいだよ。
うちではその講義は用意されているけど、それを取らない人でも
解析系を専門にするつもりがあるなら自習してるはず。
0431１３２人目の素数さん
2009/04/05(日) 16:32:57大人っぽい意見に感じました。
そうですね大学ですもんね…
0432１３２人目の素数さん
2009/04/05(日) 16:36:250433１３２人目の素数さん
2009/04/05(日) 16:42:34まぁ、でも先生と2ちゃんを活用して自習していこうと思います。
0434１３２人目の素数さん
2009/04/05(日) 16:44:580435１３２人目の素数さん
2009/04/06(月) 02:39:18収束定理そのままですね。納得です。
0436１３２人目の素数さん
2009/04/06(月) 10:57:27F(x)をCantor関数(伊藤清三p43)としμ((a,b])=F(b)-F(a)とするとこのμはルベーグ測度mに関して絶対連続でない事が示せません。
E∈B(R)に対してm(E)=0ならμ(E)=0
どのようにして示せますか?
0437１３２人目の素数さん
2009/04/06(月) 11:47:20うちの教育学部数学科は2年で必修になってる。
ただし授業に出ても、おれのような落ちこぼれは
理解できないまま卒業へと。。。
そういえば、むかし東大の経済学部では、
学部1年で測度論を習得するのが必須だったそうです。
でも最近の東大生は馬鹿なので、文系はおろか、
理系でもルベーグ積分わからないまま卒業するそうです。
0438１３２人目の素数さん
2009/04/06(月) 13:58:53あるEが存在して、m(E)=0かつμ(E)＞0
を示すんじゃないの
0439１３２人目の素数さん
2009/04/06(月) 16:59:58東大でも三年前期だぞ。
0440１３２人目の素数さん
2009/04/06(月) 18:01:460441１３２人目の素数さん
2009/04/06(月) 18:02:11講義内容がいきなり測度論～ルベーグ積分だった。
教員の名は忘れたが、そのときのノートが今も残ってる。
教科書は全クラス共通で小針の「確率統計入門」だったが、
自分のクラスでは教員が勝手にやったのだろう。
理学部が学科に分かれてなくて、１年生は語学の選択でクラス分けされていたが、
フランス語は１クラスのみで、そのクラスは数学志望が多かったからかも。
教科書にない話なので、溝畑買って自習したがけっきょくあまりわからなかった。
わかった１年っていたのかなあ。
まあおかげで３年の実解析で再度やったときは多少よくわかった。
そちらでは直積測度からグラフの下の測度として積分を定義する方式だったりしたが。
0442１３２人目の素数さん
2009/04/06(月) 20:15:430443１３２人目の素数さん
2009/04/06(月) 22:41:41測度論やったってフーリエ変換や法則収束がすぐわかるわけでもなし
0444１３２人目の素数さん
2009/04/07(火) 04:03:11> 絶対連続でないのだから
> あるEが存在して、m(E)=0かつμ(E)＞0
> を示すんじゃないの
そうでした。それはどうやって。。
どんなEを採ればいいんですか?
0445１３２人目の素数さん
2009/04/07(火) 05:04:39と言うより、東大など進振りあるところは、
大抵の科目は無いところよりは遅い
昔は兄弟や早稲田は進振りが無かったので、
進度が早かったと聞いている
0446１３２人目の素数さん
2009/04/08(水) 03:46:38一体何が面白いの？
0447１３２人目の素数さん
2009/04/08(水) 03:54:56いくつかの概念の見方が多少変わるかもしれないが
それを楽しむもよし、嫌悪するもよし、ご随意になさるが宜しかろう。
0448１３２人目の素数さん
2009/04/08(水) 04:31:57カントール関数扱ってるんだからm(E)=0ったらカントール集合をとるっきゃないでしょ
とか言うと今度は「μ(E)>0はどうやって示せますでしょうか」とか言うんだろうな..
>>446
集合の大きさを測るという行為の奥深さが面白い
ボレル集合のめくるめく豊富さとか、その想像を絶する複雑さとか、
簡単だが思いもよらないアイデアでそのすべてに測度が付与できてしまうところとか、
それでも非可測な集合が残ってしまうところとか、
等測包、等測核、零集合の不思議さとか
0449１３２人目の素数さん
2009/04/08(水) 13:11:470450１３２人目の素数さん
2009/04/08(水) 14:00:17なるほど。
参考にして勉強してみるよ
0451446
2009/04/08(水) 14:02:010452１３２人目の素数さん
2009/04/08(水) 15:35:220453１３２人目の素数さん
2009/04/10(金) 02:28:46と習ったんですがこれは単射の定義そのものではsimpleと単射の違いって何すか?
0454１３２人目の素数さん
2009/04/10(金) 02:46:28fは連続でf(t_1)=f(t_2)⇒t_1=t_2ならfはsimple
でした。
0455１３２人目の素数さん
2009/04/10(金) 02:46:30>injection《数学》 // injective // injective mapping // monomorphism《数学》
だし「simple」は無いな
0456１３２人目の素数さん
2009/04/10(金) 04:43:21それ、simpleが掛かる語は写像ではないんじゃねーの？
その写像が連続単射であるとき、○○は単純であるという
って書いてあると思うんだ。
0457１３２人目の素数さん
2009/04/10(金) 08:56:340458１３２人目の素数さん
2009/04/10(金) 12:27:07すなわち、y=f(x)で0=f(0)であるとき、ｆが単射写像であるための必要十分条件がf'(0)=/=０ ということで、
そのことは f(x)=0 の解である x=0 が一個しか現れないということ
0459１３２人目の素数さん
2009/04/10(金) 15:30:53修飾する先が違う。
0460１３２人目の素数さん
2009/04/10(金) 21:21:400461１３２人目の素数さん
2009/04/10(金) 21:31:16零点に関する話だと主張している人が居ますよ？
0462１３２人目の素数さん
2009/04/10(金) 21:48:080463１３２人目の素数さん
2009/04/13(月) 12:42:14μ(E)>0はどうやって示せますでしょうか?
0464１３２人目の素数さん
2009/04/13(月) 12:47:16>>>453
> それ、simpleが掛かる語は写像ではないんじゃねーの？
> その写像が連続単射であるとき、○○は単純であるという
> って書いてあると思うんだ。
A continuous curve γ:[a,b]→R^d is said to be simple if γ(t_1)≠γ(t_2) whenever t_1≠t_2.
と書いてあるのですが「写像fは[a,b]でsimple⇔fは[a,b]で連続&単射 」という解釈でいいんですよね。
0465１３２人目の素数さん
2009/04/13(月) 12:56:51伊藤清三p43にμ(E)=1って書いてあるじゃん
0466１３２人目の素数さん
2009/04/13(月) 13:14:02curve Gamma は[a,b]でsimple⇔fは[a,b]で連続&単射
0467１３２人目の素数さん
2009/04/13(月) 14:50:570468１３２人目の素数さん
2009/04/13(月) 18:14:35> 「写像fは[a,b]でsimple⇔fは[a,b]で連続&単射 」という解釈でいいんですよね。
絶対わざとだとおもうけど、simpleが掛かる語はcurveであってfunctionではない。
「連続曲線γが単純」というのは「γが写像として単射」であるときに言うと書いてあるだけ。
曲線γの連続性はγが写像として連続であることによって定められるので、
単純曲線の定義条件を必要十分にしたければ
「[a,b]上の連続曲線γが単純」⇔「γは[a,b]上定義される写像であって、写像として単射」
としなければならない。そしてそもそも、「写像γが単純」という表現をすることは
この定義のもとでは許されてないし、普通そんな表現をする奴も居ない。
0469１３２人目の素数さん
2009/04/13(月) 18:15:56単純曲線の定義条件を必要十分にしたければ
「[a,b]上の連続曲線γが単純」⇔「γは[a,b]上定義される連続写像であって、写像として単射」
としなければならない。
0470１３２人目の素数さん
2009/04/13(月) 18:18:51数学では入れ物だけは同じだが、その入れ物に入る構造が異なるといった対象が
いくらでもでてくる。だから、そこにある言明がどういうクラスやカテゴリに関するもの
であるのか、ということに無頓着では数学は出来ない。
つーか、数学以外でも困るだろ、それじゃ。
0471１３２人目の素数さん
2009/04/14(火) 01:13:39詳細なご説明感謝いたします。
0472１３２人目の素数さん
2009/04/14(火) 03:32:09J. Yeh
読んだ人いますか？
0473１３２人目の素数さん
2009/04/16(木) 01:49:02おれも読んでない(・ω・;)
0474１３２人目の素数さん
2009/04/16(木) 02:15:46勉強しています。むずいけど頑張る！
0475１３２人目の素数さん
2009/04/16(木) 02:19:590476１３２人目の素数さん
2009/04/29(水) 20:24:47http://www.essex.ac.uk/maths/staff/fremlin/mt.htm
fremlin先生の本、TeXのソースごと公開されてるんですね。
Volume 3をtexにかけると、ちょっとエラーでたけど。
0477１３２人目の素数さん
2009/05/08(金) 14:47:15|Ｅ|e ;ルベーグ外測度
とします。
a,b∈Ｒとしたとき
|(a,b)|e＝|[a,b]|e＝b-a
が成り立つ。
という命題が解けません。考え方を教えてください・・・
0478１３２人目の素数さん
2009/05/08(金) 15:34:04ルベーグ外測度が開区間による被覆で定義されている場合
|[a,b]|e≦b-a は容易。
|[a,b]|e≧b-a にはハイネ-ボレルの定理を使う。
他の場合は、可算集合は外測度が 0 になることを利用し、上の証明を少し修正すればよい。
0479１３２人目の素数さん
2009/05/08(金) 15:34:32[a,b]はコンパクトだから、被覆は有限個で済む。
(a,b)の方は、[s,t]⊂(a,b)なる任意のs,tについて考え、これで近似する。
0480１３２人目の素数さん
2009/05/08(金) 15:40:19命題って解くものなんだっけか？
なんだか自分の日本語に自信がなくなってきたよﾄﾎﾎ
0481１３２人目の素数さん
2009/05/08(金) 20:18:34真偽が分からんという意味だよな。聞き方からして既にDQNな所が凄い。ユニーク過ぐる。
0482１３２人目の素数さん
2009/05/08(金) 21:13:19なんだここにもあった
マルチ乙
0483１３２人目の素数さん
2009/05/18(月) 18:39:380484１３２人目の素数さん
2009/05/18(月) 18:43:14もっと一般にf_n→fa.eならばf=ga.eなる可側函数の存在が言えます。
0485１３２人目の素数さん
2009/05/18(月) 18:45:52即レス、ありがとうございました。
0486１３２人目の素数さん
2009/05/18(月) 21:08:09f_nが収束する集合は加速でその上で収束関数は
加速函数となる、が言えます。
0487１３２人目の素数さん
2009/05/18(月) 21:12:250488１３２人目の素数さん
2009/05/18(月) 22:21:17ありがとうございます。
参考にさせて頂きます。
0489１３２人目の素数さん
2009/05/23(土) 14:33:31たいていの本は完備化しないで話進めてるよね。
測度を完備化しないほうがいいこと(もしくはできない測度）てあるのか？
0490１３２人目の素数さん
2009/05/23(土) 15:11:44嘘こくな
0491１３２人目の素数さん
2009/05/23(土) 15:13:330492１３２人目の素数さん
2009/05/26(火) 07:11:32ボレル集合の価値というか位置づけがいまいちよくわかりません
可測集合にたいしてはルベーグ外測度で正確に測度を測れているので、
可測集合に対して測度の理論を深めていくべきだと感じたのですが、なぜがボレル集合
という概念が出てきて、ボレル集合に対して議論が進んでいるようなのですが、
どうボレル集合を知識体系の中に
位置づけていいのかわかりません。誰か助けてください
（ボレル集合は可測集合であることは分かっています）
長文ですみません。
0493１３２人目の素数さん
2009/05/26(火) 08:23:18その流れで出てくるボレルシグマ加法族
＝開集合を含む最小のシグマ加法族
開集合は関数の連続性など位相的性質の導入に必要
とりあえずそういう位置づけで納得してもらえるでしょうか？
0494４９２
2009/05/26(火) 18:23:43レスありがとうございます。
ボレルシグマ加法族は、位相的性質をもつ測度空間のモデルを作る
フィールド（Xの部分集合族）ということなのですね
0495１３２人目の素数さん
2009/05/27(水) 11:11:08はい
解析やってたら
積分してから微分したいでしょうから
位相的性質ほしいでしょ？
もう一つの位置づけの可能性
492 でいう「 R^n の測度」がもし一般のシグマ加法的測度の意味でなく
狭い意味のルベーグ測度（単位n次元立方体の測度が1）を指すならば
単位立方体を全て含む最小のシグマ加法族はボレル集合族なので
「『常識的な長さ』を測度として定義できる最小のシグマ加法族」として
ボレル集合族を位置づけてもよいでしょう
0496１３２人目の素数さん
2009/05/27(水) 13:40:42ルベーグ可測だがボレル可測でない集合が作れる。
選択公理を認めない場合、ルベーグ可測集合全体＝ボレル可測集合全体
になる。
0497１３２人目の素数さん
2009/05/27(水) 17:18:340498４９２
2009/05/27(水) 17:38:50>>496
いろいろ教えてくださりありがとうございます。
おかげで頭の中の知識が整理されました。
みなさんのようになれるようこれからルベーグの勉強をがんばっていきたいと
思います。本当にありがとう。
0499１３２人目の素数さん
2009/05/28(木) 20:41:00出鱈目。
0500１３２人目の素数さん
2009/05/30(土) 09:08:400501１３２人目の素数さん
2009/05/30(土) 09:48:550502猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/05/30(土) 09:58:190503１３２人目の素数さん
2009/05/31(日) 22:26:21例えば、φを可積分関数、ｆを連続関数としたとき、
∫φ(ｘ－ｙ）ｆ（ｙ）ｄｙ＝-∫φ(ｚ)ｆ（ｘ－ｚ）ｄｚ
は成り立ちますか？
0504１３２人目の素数さん
2009/05/31(日) 22:43:410505１３２人目の素数さん
2009/06/02(火) 19:28:04ルベーグ積分が理解できなければ彼女なんて出来ない。
0506猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/02(火) 19:38:29独立事象だと思いますね、
まさか背反じゃないんでしょうが・・・
0507１３２人目の素数さん
2009/06/03(水) 10:00:44ジョルダン外容量（C（A）とする）：Aを被覆するのに使われた一辺εの基本正方形の面積の総和
のうち最も小さい値をCε（A）とすれば、
C（A）＝inf{Cε（A）; ε>0}
ルベーグ外測度（ｍ（A）とする）：V（Ij）:基本図形Ijのｎ次元体積 、とし
ｍ（A）＝inf{之（Ij） Ij:基本図形 、でその加算個のIｊでAを被覆する}
と定義しますよね。このときルベーグ外測度のほうでは、ただAを被覆すればいいだけだから
ジョルダンの「基本正方形の面積の総和のうち最も小さい値をCε（A）とする」
に相当する部分がないように思えるのですが、どうかんがえればいいのでしょうか？
長文申し訳ございません
0508１３２人目の素数さん
2009/06/03(水) 11:11:19＞ｍ（A）＝inf{之｡｡。
と書いてあるから
＞総和のうち最も小さい値
を取っているけど、疑問点はどこでしょう
0509１３２人目の素数さん
2009/06/03(水) 19:26:57之（Ij）は Ij:基本図形 、でその加算個のIｊでAを被覆したときにもっとも
小さいものとする、そしてinfをとらないと、ジョルダンの定義より少し甘いような
気がするんですが…
ちなにみ Ij:基本図形 とはｎ次元左半開区間（の直積）のことです
0510１３２人目の素数さん
2009/06/03(水) 19:36:00に相当する部分がないように思えるのですが
infとってんだから、別に無くてもいいんじゃないの？
0511１３２人目の素数さん
2009/06/03(水) 19:39:25｛１，２，３，４｝の最小値より｛２，３｝の最小値のほうが小さいと？
0512１３２人目の素数さん
2009/06/03(水) 19:42:15Cε（A）：Aを被覆するのに使われた一辺εの基本正方形の面積の総和（最小でなくても）
でもよくないですか？
0513１３２人目の素数さん
2009/06/03(水) 19:50:06証明しろ
0514１３２人目の素数さん
2009/06/03(水) 19:50:590515１３２人目の素数さん
2009/06/03(水) 20:25:12何を動かしたときのinfなのかまったく無視して適当なこと言ってんじゃねーぞゴミカス
0516508
2009/06/03(水) 20:40:35やっと気にしていることがわかりました
C(A)のほうは
まずεを固定してその中で最小を求め
さらにεをかえてもっと最小に向かう（通常ε→０で実現）
ルベーグは
εを決めず大小取り混ぜて覆う中から最小を求める
なのでルベーグのほうが選択肢が多く（大きさを揃えなくて良い）
ルベーグのほうがむしろ小さいです
C(A)はinfを２度取っていて小さいように見えるかもしれないけど
覆う素材に制限を加えているからむしろ小さくなりにくいです
0517１３２人目の素数さん
2009/06/03(水) 20:57:38丁寧な解説ありがとうございます。
その通りです、それで悩んでいました。
やっとわかりました。
ありがとうごさいました。
0518１３２人目の素数さん
2009/07/01(水) 11:18:51集合列{A_n}があるとき、下極限と上極限が一致するならば
その集合をこの集合列の極限と定義しますが
2重集合列｛A_{mn}｝にたいしてはその極限というものは定義できるのでしょうか？
もし定義できるなら、その記述のある文献を教えてください。
0519１３２人目の素数さん
2009/07/01(水) 11:57:29２重添え字も１列に並べられるから
{A_n} の場合に帰着させる
常識であって特段の文献を参照しない
論文で断らなくても文句は言われない
0520１３２人目の素数さん
2009/07/02(木) 00:31:40自分も多分そのように定義するのだろうとおもいつつ
上極限、下極限がNからN×Nへの全単射のとり方によらない事を
証明するのが億劫だったんですけどやってみます
ありがとうございました。
0521１３２人目の素数さん
2009/07/02(木) 01:05:26そもそも証明する必要がないだろ、トリビアルだ
証明も背理法使えばすぐだし。
0522１３２人目の素数さん
2009/07/04(土) 04:10:04元全体が下極限なんだから、ほとんど自明じゃないの？
背理法使うのでさえ大袈裟に見える。
0523１３２人目の素数さん
2009/07/04(土) 10:37:50自明な命題ではないので証明は必要です。
0524１３２人目の素数さん
2009/07/07(火) 18:54:41自分には符号付測度論より、超関数論の方がスッキリしていて良いと思うのですが
符号付き測度論に拘るのは何故でしょうか？
0525１３２人目の素数さん
2009/08/07(金) 16:08:40dδ/dmなんてそもそも定義できない。
0526１３２人目の素数さん
2009/08/19(水) 21:23:06と書くと可測集合の範囲が案外狭いように思えてしまう
0527１３２人目の素数さん
2009/08/19(水) 21:49:460528１３２人目の素数さん
2009/08/25(火) 22:45:560529１３２人目の素数さん
2009/08/26(水) 01:04:550530１３２人目の素数さん
2009/08/26(水) 05:56:48Besicovitch set
0531１３２人目の素数さん
2009/08/26(水) 08:52:300532１３２人目の素数さん
2009/08/26(水) 09:46:400533１３２人目の素数さん
2009/08/26(水) 18:00:000534１３２人目の素数さん
2009/08/27(木) 00:24:190535１３２人目の素数さん
2009/08/27(木) 03:24:36可測集合には違いない
0536１３２人目の素数さん
2009/08/27(木) 03:26:33ボレル集合はFσとゼロ集合の和で表される
0537１３２人目の素数さん
2009/08/27(木) 10:16:560538１３２人目の素数さん
2009/08/28(金) 14:30:53それなら、ゼロ集合が可測集合となるような測度を導入すれば良いだけの話
ただ、どの程度意味があるのかは知らんが
0539１３２人目の素数さん
2009/08/28(金) 14:36:110540１３２人目の素数さん
2009/08/28(金) 15:30:010541１３２人目の素数さん
2009/08/28(金) 16:22:38>ゼロ集合が可測集合となるような測度を導入すれば良い
新しい測度を導入しなくても可測。
0542１３２人目の素数さん
2009/08/28(金) 16:30:10非可測集合の定義は「可測でない集合」なんだから可測集合と非可測集合の中間なんてない
……と思ってたんだが違うの？
0543１３２人目の素数さん
2009/08/28(金) 16:41:400544１３２人目の素数さん
2009/08/28(金) 16:45:510545１３２人目の素数さん
2009/08/28(金) 16:58:24ハウスドルフ測度がある意味それじゃん
0546１３２人目の素数さん
2009/08/28(金) 17:04:14ハウスドルフでも荒過ぎる
0547１３２人目の素数さん
2009/08/28(金) 18:05:310548１３２人目の素数さん
2009/08/29(土) 02:05:59>>542
零集合の定義は普通「測度0の可測集合の部分集合」では？
なので零集合は可測とは限らない。
だから完備化が意味を持つ。
0549１３２人目の素数さん
2009/08/29(土) 06:27:10(R^1,F,μ)は完備測度空間。この直積を考えて測度空間(R^2,F×F,μ×μ)を
得るが、これは完備でない。
実際、N⊂Rをルベーグ零集合、M⊂Rをルベーグ非可測集合とするとき、
M×N⊂R×NでR×N∈F×Fかつμ×μ(R×N)＝0となるので、M×Nの測度も
0だろうと思いがちだが、そもそもM×N∈F×Fでは無いので、この測度空間に
おいてはM×Fの測度は定義されない。
0550１３２人目の素数さん
2009/08/29(土) 06:31:29この場合、A∩Bは可測集合かどうか分からない。
今、Aは可測集合で測度は0、Bは非可測集合とする。このとき、A∩Bは
Aの部分集合だから、A∩Bもまた測度は0だろうと思いがちだが、そもそも
A∩Bが可測集合でないと測度は定義されない。
>>549の例では、A＝R×N、B＝M×Rに相当する。
0551１３２人目の素数さん
2009/08/29(土) 13:41:57完備の定義は任意の零集合の部分集合が可測
0552１３２人目の素数さん
2009/09/04(金) 17:27:180553１３２人目の素数さん
2009/10/05(月) 16:49:120554１３２人目の素数さん
2009/10/09(金) 11:01:55二次元ハルナック集合をH=∩_n=0^∞H_nとして、
H_nのジョルダンの意味での外測度C(H_n)≧(1/4)(1+(1/2)^n)^2
となっていますが、これが等号じゃなくて不等号である理由はなんでしょう？
0555１３２人目の素数さん
2009/10/09(金) 15:59:380556１３２人目の素数さん
2009/10/09(金) 16:18:51これ間違ってます？
0557１３２人目の素数さん
2009/10/09(金) 16:29:31できるなら合ってる、できないなら間違ってる、それだけのことだし。
しかしジョルダン可測でないことを言いたいだけなら等号だと言う必要はないし、
もし何が何でも等号じゃなきゃダメなんだと思うのならばそれは病気だ。
0558１３２人目の素数さん
2009/10/09(金) 16:46:00n番目の面積は(1/4)(1+(1/2)^n)^2になるわけで、
なぜジョルダン外測度で不等号になるのかがわかりません・・・
0559１３２人目の素数さん
2009/10/09(金) 17:12:20もし何が何でも等号じゃなきゃダメなんだと思うのならばそれは病気だ。
0560１３２人目の素数さん
2009/10/09(金) 17:15:27面積とジョルダン外測度は別のものだということは分ってて言ってるのか？
0561１３２人目の素数さん
2009/10/09(金) 17:46:070562１３２人目の素数さん
2009/10/10(土) 12:09:49面積って何だ？ R^2のルベーグ測度？
0563１３２人目の素数さん
2009/10/10(土) 20:25:150564１３２人目の素数さん
2009/10/10(土) 21:00:340565１３２人目の素数さん
2009/10/10(土) 21:16:530566１３２人目の素数さん
2009/10/11(日) 04:08:380567１３２人目の素数さん
2010/01/08(金) 22:36:01しかもマスターしたところで何の役にも立たない。
証明は追えるんだが、右から左に抜けていく。
0568１３２人目の素数さん
2010/01/08(金) 22:43:020569猫は珍獣 ◇ghclfYsc82
2010/01/08(金) 22:56:430570１３２人目の素数さん
2010/01/08(金) 23:25:420571猫は珍獣 ◇ghclfYsc82
2010/01/08(金) 23:29:070572１３２人目の素数さん
2010/01/09(土) 09:05:540573１３２人目の素数さん
2010/01/09(土) 09:50:520574１３２人目の素数さん
2010/01/10(日) 09:50:59具体的にどの辺の定理とかが難しいと思われているのよ
0575１３２人目の素数さん
2010/01/11(月) 06:37:09有理点q1, q2,...をε/2, ε/2^2,...の半開区間で覆って和集合Q(ε)→0
と外測度を導いています。ここまではいいのですが次に内測度を求めるときに
無理数は可算個ではないので外測度はQ(ε)^cは区間全部を覆うので値は1。また
Iの測度は明らかに1なのでQの内測度=|I|-Q(ε)^c=1-1=0
よって外測度=内測度=0 と導いています。そこで疑問なのですが
無理数が可算個ではないならば何故外測度はQ(ε)^cは区間全部を覆うのでしょうか？
0576１３２人目の素数さん
2010/01/11(月) 06:56:39有理点の集合の外測度０とわかった時点で
測度の正値性から内測度０と決まるので
後半の無理数の集合に関する議論はそもそも無意味
非可算だから外測度１というのも嘘
ルベーグ測度０の非可算集合の例として
教科書の最初のほうにカントール集合が載っている
0577猫は淫獣 ◆ghclfYsc82
2010/01/17(日) 21:11:20★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
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小沢先生、頑張って下さい。私は最後まで味方になります。
猫
0578１３２人目の素数さん
2010/03/01(月) 03:59:130579通りすがりのアホ
2010/03/19(金) 12:26:57したけどそれも挫折。
結局、測度論から積分論へと突入するやり方で理解した覚えがある。
点集合および位相の議論 の難しさ ＜ 可測関数の議論 の難しさ
という凡人にとっては当たり前のことに気がついた次第。
（というか、可測関数の議論を、点集合および位相の議論に帰着させるという
やり方が普通のやり方だということ）
非可測集合（の存在）は、選択公理が当たり前に見えてくると違和感がなくなってきた。
0580猫の嵐 ◆ghclfYsc82
2010/03/19(金) 20:31:30猫
0581１３２人目の素数さん
2010/03/19(金) 22:05:28測度の構成は可成り簡単になるよ。
0582１３２人目の素数さん
2010/03/20(土) 08:02:03R の内点を有しないコンパクト集合 X で、
ルベーグ測度正なる物が存在する。
0583１３２人目の素数さん
2010/03/20(土) 11:41:40[0,1]-∪(q_n-ε/2^n,q_n+ε/2^n)
とかかな。
0584通りすがりのアホ
2010/03/20(土) 13:11:25斉藤正彦さんの本に記述があったのかな。
測度論ができると次は（積分と）確率ということで
釜江著 超準的手法にもとづく確率解析入門
なんかもそうなのでしょうか（私は読んでいないので確信は持てません）。
でも、私はこれ（＝超準解析による測度論の構築）に関して他人に
この勉強を持って勧められるほどの自信がありません。私には、これは
解りにくかったのです。
逆に、超準解析の基本がすんなり理解できる人にはお勧めかもしれません。
0585１３２人目の素数さん
2010/03/21(日) 02:05:17全部習うんだろうな、と思う。
0586１３２人目の素数さん
2010/03/21(日) 02:23:45>釜江著 超準的手法にもとづく確率解析入門
>
>なんかもそうなのでしょうか（私は読んでいないので確信は持てません）。
ですね。まあ、Loeb 測度の構成自体は斉藤さんの本にも載ってますけど。
はたして「わかりやすい」かどうかは疑問ですね。超準的な世界と標準的な
世界の両方にまたがった構成ってのはなかなか「わかった」感じがしないのですよ。
まあ、それは（ラフな言い方になるけど）「全ての標準元を含む有限集合が存在する」
などという定理の「わからなさ」と根っこが同じような気がしますけどね。
0587１３２人目の素数さん
2010/03/21(日) 05:39:48ルベーグ積分を定義するやり方なら測度論を使わないと言えるのかもしれない
0588１３２人目の素数さん
2010/03/23(火) 01:11:14完全加法関数は測度と同等
0589１３２人目の素数さん
2010/03/23(火) 12:53:500590１３２人目の素数さん
2010/03/23(火) 12:58:57有界線形汎関数
∫:C_0(R)→Rが定義する
双対元μ∈M(R)をルベーグ測度として定義することができる。
0591１３２人目の素数さん
2010/03/23(火) 14:00:49長さや面積の一般化として測度をまず考え
面積（測度）としての積分を考える
…
という順序がいちばんステキに思う
測度を後回しにしたい理由が見えない
0592１３２人目の素数さん
2010/03/23(火) 14:43:420593592
2010/03/23(火) 16:55:470594１３２人目の素数さん
2010/03/23(火) 17:26:210595１３２人目の素数さん
2010/03/23(火) 17:40:270596１３２人目の素数さん
2010/03/28(日) 01:40:350597１３２人目の素数さん
2010/04/05(月) 02:02:45それとも、測度の定義がまずからですか？
0598１３２人目の素数さん
2010/04/05(月) 07:03:10何もまずくない
0599通りすがりのアホ
2010/04/06(火) 12:51:15・非可測集合の例は、構成的なものではない
の２つが（まずはぼんやりでもいいから）わかるようになればいいのでは？
次に、可算選択公理、従属選択公理（ＤＣ）、選択公理の関連が少し
見えてくると実関数論の陰の部分が感じられるはずです。
近藤基吉著 実函数論 (近代数学講座) 朝倉書店
バナッハ・タルスキーの逆理（の証明）を知ると、測度論と選択公理の関係が
よりわかってきます（くるはずです）。
0600１３２人目の素数さん
2010/04/06(火) 22:57:450601通りすがりのアホ
2010/04/07(水) 07:38:25なにが”悪い”のかとかいう尺度で考えると間違った方向へ導かれるような。
田中尚夫著 選択公理と数学―発生と論争、そして確立への道
ぐらいを読んで見ると、２０世紀初頭の数学者達の混乱、現代数学にとって
どれだけ重要な位置を占めるか、などが読み取れて面白いよ。
0602１３２人目の素数さん
2010/04/07(水) 13:25:280603１３２人目の素数さん
2010/04/09(金) 21:23:330604１３２人目の素数さん
2010/04/10(土) 00:13:54先生／
選択公理君は不良なんだよ。
退学処分にしてください！
0605１３２人目の素数さん
2010/04/10(土) 01:04:010606１３２人目の素数さん
2010/04/10(土) 19:51:500607熊猫 ◆ghclfYsc82
2010/04/10(土) 21:03:40もうスグに金が無くなるのや
そやし誰か助けてェー
猫
0608１３２人目の素数さん
2010/04/10(土) 23:44:090609１３２人目の素数さん
2010/04/11(日) 03:06:560610１３２人目の素数さん
2010/04/11(日) 09:33:23可測な範囲で裁断しないと大きくなって化けて出るぞ～
あ
もともと非可測集合か
0611１３２人目の素数さん
2010/04/11(日) 12:52:050612１３２人目の素数さん
2010/04/11(日) 13:04:07電車で無断でお触りしたくなるくらい好きです。
0613１３２人目の素数さん
2010/04/11(日) 14:37:430614１３２人目の素数さん
2010/04/11(日) 18:18:400615通りすがりのアホ
2010/04/12(月) 17:53:29見えなくなるので、それはいいことではない。
「選択公理を認めると、非可測集合の存在が証明できる」
（ただし、その 非可測集合は、非構成的なものである）
ぐらい（の理解）にとどめ、測度論・積分論の理解に努める。
それがある程度到達できたら、公理的集合論に興味が湧いた段階で
”選択公理”周辺まで脚をのばせばいいかと。
0616１３２人目の素数さん
2010/04/12(月) 22:43:38測度論の冒頭でつまづいてます。
「Fが集合体であり単調クラスであるならばσ集合体である」の証明がわかりません。
A_1,A_2,...∈Fとしたとき、
B_n=∪_{i=1}^n A_i
とおけば、Fが集合体であることによりB_i∈Fであり、{B_i}は単調増加となる。したがって、
と続くのですが、
{A_i}は無限個の可能性もあるのに、全てのnに対してB_n∈Fであることが保証される理由がわかりません。
よろしくお願いします。
0617１３２人目の素数さん
2010/04/12(月) 22:52:26ｎを固定するごとに、B_n∈F
だから。
0618616
2010/04/13(火) 12:04:40その理屈だと、自然数の全体Nは、nを固定する毎に有限数だから、有限ってことになりませんか？
0619１３２人目の素数さん
2010/04/13(火) 12:09:25N＝{1,2,3,…,n}∪{n＋1,n＋2,n＋3,…}
と2つの集合に分解できて、前者は有限集合(要素数はn)。
でも後者は無限集合。
0620１３２人目の素数さん
2010/04/13(火) 12:18:46「可能性」とか曖昧なことを言わずに、
実際に無限個のAiが必要なBnの例を挙げてくれ
0621１３２人目の素数さん
2010/04/13(火) 12:22:400622616
2010/04/13(火) 12:56:33いや、単調クラスの定義上、「A_1,A_2,...∈Fとしたとき」なのだから、{A_i}は無限個の可能性もあるわけですよね？
>>619
「B_1,B_2,...,B_N∈F」を満たすことを確認するためには、
B_n=∩_{i=1}^n A_i ∈F
をn=1からNまで確かめればいい。
同様に、
「A_1,A_2,...∈F」という仮定を満たすことを確認するためには、
B_∞=∩_{i=1}^∞ A_i ∈F
を確かめなければならないのではありませんか？
これは、Fが集合体という定義からは出てこないように思うのですが。
0623616
2010/04/13(火) 13:07:54元のテキストが間違っているので、ついつられちゃいました。
ちなみに『測度・積分・確率』梅垣etcを参照しています。
0624１３２人目の素数さん
2010/04/13(火) 13:18:310625１３２人目の素数さん
2010/04/13(火) 17:06:31＞いや、単調クラスの定義上、「A_1,A_2,...∈Fとしたとき」なのだから、
＞{A_i}は無限個の可能性もあるわけですよね？
それは当たり前だ。で？何が疑問なの？
それぞれのBnは有限個のAi(A1,A2,…,An)から作られるのだから、
集合体の定義からBn∈Fが出る。
nを固定するごとに
N＝{1,2,3,…,n}∪{n＋1,n＋2,n＋3,…}
と2つの集合に分解できて、Bnは前者の集合に属する
自然数を添え字とするAi(要するにA1,A2,…,An) だけで
作られるから、集合体の定義からBn∈Fは明らか。
もし、後者の無限集合に属する自然数を添え字とするAiで
Bnが作られていたら、Bnは無限個の集合の和と差で
構成されることになり、「集合体」という仮定だけでは
Bn∈Fは出ない。が、今はそういう状況にはなってない。
＞「A_1,A_2,...∈F」という仮定を満たすことを確認するためには、
＞B_∞=∩_{i=1}^∞ A_i ∈F
＞を確かめなければならないのではありませんか？
意味不明。「A_1,A_2,...∈F」は最初から仮定として与えられているのだから、
確認もクソもない。最初から「A_1,A_2,...∈F」が成り立っている。
0626１３２人目の素数さん
2010/04/13(火) 17:14:10「任意の自然数nに対してBn∈Fである」
ことを示せば納得できるか？
0627１３２人目の素数さん
2010/04/13(火) 20:12:26Bn∈F
を証明してやるよ
って言っても納得できないか？
0628１３２人目の素数さん
2010/04/13(火) 21:43:180629616
2010/04/13(火) 21:53:41＞＞B_∞=∩_{i=1}^∞ A_i ∈F
＞＞を確かめなければならないのではありませんか？
＞意味不明。「A_1,A_2,...∈F」は最初から仮定として与えられているのだから、
＞確認もクソもない。最初から「A_1,A_2,...∈F」が成り立っている。
すみません、正しくは、
「B_1,B_2,...∈F」を満たすことを確認するためには、
でした。
うまく言えないんですが、
帰納法と言われればそれまでなんですが、
帰納法が使えるんなら、なんで集合体をσ集合体に拡張しなければならないのか。
nで言えることは可算無限大でも言える。
ならば、今やってる面倒な拡張はなんなのか・・・
もう少し疑問点が整理できたらまた書き込みます。
0630１３２人目の素数さん
2010/04/13(火) 22:44:580631１３２人目の素数さん
2010/04/14(水) 09:26:23＞帰納法が使えるんなら、なんで集合体をσ集合体に拡張しなければならないのか。
実際、「Fは集合体である」という仮定だけで「任意の自然数nに対してBn∈F」すなわち
「任意の自然数nに対して∪[i＝1～n]Ai∈F」は出るぞ。
＞ならば、今やってる面倒な拡張はなんなのか・・・
集合体という仮定だけでは「∪[i＝1～∞]Ai∈F」が出ない。
＞すみません、正しくは、「B_1,B_2,...∈F」を満たすことを確認するためには、でした。
だったら、それも意味不明。「B_1,B_2,...∈F」を確認するのに
∪[i＝1～∞]A_i∈F を確認する必要は無いし、また、仮にこれが
確認できても、そこから「B_1,B_2,...∈F」は出て来ない。
「任意の自然数nに対して∪[i＝1～n]Ai∈F」が成り立つことと
「∪[i＝1～∞]Ai∈F」が成り立つことは別物。
前者が成り立つからと言って無条件に後者が成り立つとは限らないし、また、
後者が成り立つからと言って無条件に前者が成り立つとは限らない。
どうも君は、「(前者)⇒(後者)」あるいは「(後者)⇒(前者)」が
成り立つと勘違いしているようだ。
0632１３２人目の素数さん
2010/04/14(水) 13:11:46lim_{ n →∞} 1/n = 0 ではある。
この辺の微妙さ、危険さは色々演習とか自作の問題なんかで
感得する必要があるねぇ
0633通りすがりのアホ
2010/04/14(水) 14:43:33に関する”感覚”を習得する必要があると思った。具体的には
それらを実際に構成すること、構成したものが収束する先をイメージできること
などなど。
0634616
2010/04/15(木) 16:04:46全く納得できていないので、もう一度質問させてください。
日にちが空いてしまったのと、以前の質問内容を何度も訂正しているので、改めて書き直します。
つまずいている証明は、
「FがΩ上の集合体であり単調クラスであるならばσ集合体である」の証明です。
テキストに載っている証明は
A_1,A_2,...∈Fとしたとき、B_n=∪_{i=1}^n A_i とおけば、
Fが集合体であることによってB_1,B_2,...∈Fであり、
さらに{B_n}は単調増加であることから、lim B_n=∪^∞ A_n∈F
証明終
なのですが、集合体の定義よりB_1,B_2,...∈Fが出てくる理由がわかりません。
↓続き
0635616
2010/04/15(木) 16:11:45疑問なのは、そもそも集合体だけでなくてσ集合体を定義することになった理由として、
ある集合Ω上の体に対して
C_1,C_2,...C_n∈F⇒∪_{i=1}^n C_i∈F が成り立っても
C_1,C_2,...∈F⇒∪_{i=1}^∞ C_i∈F が成り立つとは限らない
だからσ集合体を考えたはずなのに、
上の証明では如何なるnに対してもB_n=∪_{i=1}^n A_i∈Fである（これは納得します）ことから、
「集合体の定義より」としてB_∞=∪_{i=1}^∞ A_i∈Fを帰結しています。
これはσ集合体であることの証明としてはおかしいと思う、というのが質問でした。
私が間違っているでしょうか。
0636１３２人目の素数さん
2010/04/15(木) 16:41:38＞「集合体の定義より」
単調クラスだから、だろ。
0637616
2010/04/15(木) 18:08:30＞上の証明では如何なるnに対してもB_n=∪_{i=1}^n A_i∈Fである（これは納得します）ことから、
＞「集合体の定義より」としてB_∞=∪_{i=1}^∞ A_i∈Fを帰結しています。
は正しくは
上の証明では、如何なるnに対しても集合体の定義よりB_n=∪_{i=1}^n A_i∈Fである（これは納得します）ことから、
最後に単調クラスの定義よりB_∞=∪_{i=1}^∞ A_i∈Fを帰結しています。
でした。
集合体の定義からB_1,B_2,...∈Fを導くところがどうしてもしっくりきません。
B_1,B_2,...,B_n∈Fならわかるのですが。
0638１３２人目の素数さん
2010/04/15(木) 22:28:46数学的帰納法を使えばいい。それで「任意のmに対してBm∈F」が言える。
0639616
2010/04/15(木) 22:45:44それだと元の疑問に戻ってしまうのですが・・・
帰納法を使っていいのであれば、
集合体の定義
＞C_1,C_2,...C_n∈F⇒∪_{i=1}^n C_i∈F
から
σ集合体の定義
＞C_1,C_2,...∈F⇒∪_{i=1}^∞ C_i∈F
が帰納法により成り立ってしまうように思えるのですが・・・
これは、ある命題P(・)に対して、如何なるnに対してもP(n)が成り立つことと、limP(n)が成り立つこととの混同、ということでしょうか？
なんか数学に対して自信無くなってきました。
0640１３２人目の素数さん
2010/04/15(木) 22:59:28そもそも、「命題」という概念を理解しているのか？
0641１３２人目の素数さん
2010/04/15(木) 23:06:49＞σ集合体の定義
＞C_1,C_2,...∈F⇒∪_{i=1}^∞ C_i∈F
＞が帰納法により成り立ってしまうように思えるのですが・・・
実際に帰納法を使って証明を書いてごらん。
0642１３２人目の素数さん
2010/04/15(木) 23:11:36遺伝的有限集合の全体
0643１３２人目の素数さん
2010/04/15(木) 23:17:11任意のn∈Nに対してP(n)が成り立っても、P(∞)が成り立つとは限らない。
0645１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 03:50:490646１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 04:01:41>集合体の定義からB_1,B_2,...∈Fを導くところがどうしてもしっくりきません。
>B_1,B_2,...,B_n∈Fならわかるのですが。
上記の n は何？
もし任意の n について B_1,B_2,...,B_n∈F なることがわかっているならば、
確かに B_1,B_2,...∈F となるね。
0647616
2010/04/16(金) 10:41:18∀nB_n∈Fが言えてるだけではだめで、
B_∞∈Fが言えていなければならないのではないのでしょうか。
これが間違っているとしたら、どうしてσ集合体などというものを導入したのかわかりません。
0648１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 11:26:54ルベーグ積分の教科書では B_1,B_2,...∈F は ∀nB_n∈F と全く同じ意味に使う
だから君は間違っているので君は
＞どうしてσ集合体などというものを導入したのかわかりません。
という状態のはずだが
この状態でσ集合体を導入する理由がなぜ君の中で消える（わからない）の？
0649１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 11:41:57>B_1,B_2,...∈Fを言わなければならないということは、
>∀nB_n∈Fが言えてるだけではだめで、
∀nB_n∈F と B_1,B_2,...∈F は同じこと。
なんで同じじゃないと思うのか説明してくれ。
0650616
2010/04/16(金) 12:03:19B_1,B_2,...∈Fは「可算無限個全てのn」
だから、前者にはB_∞は入らないけど、後者にはB_∞が入る。
その二つに違いが無いとしたら、
集合体（C_1,C_2,...C_n∈F⇒∪_{i=1}^n C_i∈F）と
σ集合体（C_1,C_2,...∈F⇒∪_{i=1}^∞ C_i∈F）の違いがわからない、
というのが僕の疑問です。
0651１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 12:10:06これが根本的な誤解
「全てのn」は「全ての自然数」の略記で
自然数には「∞」なる記号は入っていない
そう思い直して数学書を読んでみれば
「∞」が自然数に入っているとはどこにも使ってないことに気づくはず
0652616
2010/04/16(金) 12:22:01集合体の定義を
∀n（C_1,C_2,...,C_n∈F⇒∪_{i=1}^n C_i∈F）
σ集合体の定義を
∀n（C_1,C_2,...,C_n∈F)⇒∪_{i=1}^∞ C_i∈F
このように書き直しても大丈夫ですか？
集合体の定義では「C_1,C_2,...,C_n」、
σ集合体の定義では「C_1,C_2,...」
というふうに書かれていたので、
まるでその二つ自体に違いがあるかのようにとっていました。
つまりこれは、僕が悪いのではなく、数学界全体の記法が悪い。
0653１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 12:43:17そんなことは無い。お前が悪い。
お前みたいな勘違いは初めてみた。
＞∀n B_1,B_2,...,B_n∈Fは「どんな大きなnでも」
＞B_1,B_2,...∈Fは「可算無限個全てのn」
＞だから、前者にはB_∞は入らないけど、後者にはB_∞が入る。
後者の解釈はアリエナイ。
数列a_nを次のように定める。
a_1＝1
a_(n＋1)＝2a_n (n＝1,2,3,…)
という表現があったとき、「(n＝1,2,3,…)」という記号列を
「任意の自然数」とは読まずに「任意の自然数及び∞」と
読むのと全く同等の解釈。
0654１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 12:49:460655１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 12:56:05>集合体の定義では「C_1,C_2,...,C_n」、
>σ集合体の定義では「C_1,C_2,...」
>というふうに書かれていたので、
>まるでその二つ自体に違いがあるかのようにとっていました。
二つ自体に違いはある。
「C_1,C_2,...,C_n」は任意に n を固定して有限列 C_1,C_2,...,C_n を考える。
「C_1,C_2,...」は有限列でなく無限列。
0656616
2010/04/16(金) 13:37:17＞「C_1,C_2,...」は有限列でなく無限列。
この違いが分からないです。
前者は、任意にnを固定するのであれば、nはどんな自然数でもとりうるわけで、結局（有限列も含むけれど）無限列も含むように思える。
一方後者は、「C_1,C_2,...」が本当に無限列であれば、どうしてC_∞を含まないのか？
>>632のおっしゃるような例で、
集合{1/n| n=1,2,...}に0が含まれないというのは、任意にnを固定して考えているからでしょう。
n=1,2,...が本当に無限列であれば、0は含まれるはずです。
みなさんというか、数学界全体が理解していないように思えてきました。
0657１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 13:56:250658１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 13:58:52他のスレも荒らしてるようだが。
0659616
2010/04/16(金) 14:07:56{1/n|n=1,2,...}には0は含まれないがlim 1/n=0と習ったことを
なんとなく信じ込んでいるだけじゃないでしょうか。
自分が習ったことと違うことを目にすると、
あほばっか基礎をやり直せと一蹴するのでしょうか。
私にはみなさんが無限というものを理解していないように思えます。
とりあえず、>>656をよろしくお願いします。
0660１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 14:15:420661１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 14:16:060662１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 14:19:170663１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 14:26:44自分の無能を棚に上げて、よくこんな言いがかりをつけられるな。
0664やんやん ◆yanyan72E.
2010/04/16(金) 14:27:32その理解というか公理系で無矛盾なものを作れたら凄いと思いますよ。
>>616さんの頭の中では
{1/n|n=1,2,…}∩{-1/n|n=1,2,…}＝{0}≠φ
なんですよね。
これによってデデキント切断の概念を考えると、
実数の切断によって実数の集合を2つに分けたはずが
2つに分かれてないという事態が発生します。
ということで、>>616さんが考えられている「実数」は
切断ができない我々が数学で使っている実数とは違うものです。
この「実数」でどこまで解析論を作ることができるか
チャレンジされてみたらいかがでしょうか？
0665１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 14:36:53>任意にnを固定して考えているからでしょう。
この一文だけからも、>>656 がバカ者であることがわかる。
滑稽極まりないｗ
測度論なんて、背伸びのしすぎだなｗｗｗｗｗｗ
0666616
2010/04/16(金) 14:41:49σなんちゃらへの拡張というのは、
集合{1/n|n=1,2,...}のなかにちゃんと0が含まれるように、という拡張だと思っていたのですが、
どうやら全然違うみたい。。。
0667616
2010/04/16(金) 14:43:07どうバカであるのか教えてほしいから書き込んでいるのに
バカバカといわれても困ります。
0668616
2010/04/16(金) 14:52:00教科書に書いてあったことを鵜呑みにしているから、無矛盾な実数系を手に入れられているだけであって、
その歴史を盾にバカバカと暴言を放たれると萎えますなぁ。
昔の人に{1/n|n=1,2,...},n∈Nの中に0が含まれるかどうか尋ねたら、半分くらいの人がYESって言ったんじゃないでしょうか。
0669１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 14:56:300670１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 14:58:14「理解していない数学界のみなさん」にいちいち質問する、その態度がバカ。
自分のほうがより良く数学を理解しているならば、その「みなさん」など当てにせずに、自力でやったらいい。
0671１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 15:02:20集合の定義から、x∈{1/n｜n∈N}が成り立つのは
∃m∈N s.t x＝1/m
が成り立つときに限られる。もし0∈{1/n|n∈N}だとすると、
あるm∈Nが存在して0＝1/mが成り立つことになるが、両辺に
mをかければ0*m＝1すなわち0＝1となって矛盾する。
よって、0は含まれない。
0672１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 15:10:11＞一方後者は、「C_1,C_2,...」が本当に無限列であれば、どうしてC_∞を含まないのか？
「C_1,C_2,...」という記号列は写像
C：N → P(R)
のこと(P(R)はRのベキ集合)。この写像の定義域に∞は入ってないから、
C_∞と書いても意味が無く、当然、C_∞は含まれない。
また、「C_1,C_2,...,C_n」という記号列は写像
C：{1,2,…,n} → P(R)
のこと。
0673616
2010/04/16(金) 15:11:14ほら、結局、1/n=0を成り立たせる具体的なnは存在しません、という証明になるでしょう？
＞「C_1,C_2,...,C_n」は任意に n を固定して有限列 C_1,C_2,...,C_n を考える。
＞「C_1,C_2,...」は有限列でなく無限列。
つまり、その証明はこの二つのうちの前者なわけです。
ところが、{1/n|n=1,2,...}という数列は後者なのです。
これはどなたかがおっしゃったように無限列なわけで、
だとすれば0が含まれるかどうかは自明では無い。
0674616
2010/04/16(金) 15:14:04C:N→P(R)の定義域に∞が入っていないとは、どういうことでしょうか？
0675１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 15:18:27「Nという集合に∞は含まれない」ということ。
0676１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 15:30:21＞つまり、その証明はこの二つのうちの前者なわけです。
＞ところが、{1/n|n=1,2,...}という数列は後者なのです。
「数列」とは写像のことであって、その写像の定義域が
有限集合のときに「有限列」、無限集合のときに「無限列」と呼ぶのだ。
無限集合だからと言って「∞」なる元が含まれるとは限らない。
特に、Nには「∞」は含まれない。
よって、、{1/n|n∈N} という記号列が前者だろうが後者だろうが、
どちらにしても0は含まれず、その証明はどちらにしても671と同じ。
0677１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 15:37:24∞が含まれる集合なら、1/∞=0 ですか？
0678１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 15:50:54あきれた。そういうバカげた質問が出るということは、
代数の初歩も知らないってことだ。
測度論なんて勉強してる場合じゃないでしょ。
先に群・環・体を勉強すべき。
あと、集合論の基礎も勉強し直すことだな。
君の場合は整列集合と順序数もやるべき。
＞1/∞=0 ですか？
「∞」は数ではないので、割り算は定義されてない。
必要に応じて好きな定義を与えることは可能だから、何とでも言える。
「1/犬＝0ですか？」と聞かれても答えようがないのと同じだ。
0679616
2010/04/16(金) 16:10:37Nの全体には∞は含まれないと言って平然としているあなたがたは
世界は神が作ったと言って平然としている人たちと同じだ
せいぜい社会が生み出した善良な市民というところだ
各nに対してC_1,C_2,...C_n∈F⇒∪_{i=1}^n C_i∈Fという集合体が
C_1,C_2,...∈F⇒∪_{i=1}^∞ C_i∈Fというσ集合体に拡張された本当の理由は何でしょう？
もったいぶらずに話してくれませんか。
C_1,C_2,...,C_nという表記も、C_1,C_2,...という表記も、
両方とも、{C_n},n∈Nを表現しているわけですよね？
0681１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 16:15:060682１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 16:20:40＞Nの全体には∞は含まれないと言って平然としているあなたがたは
おいおい、勘弁してくれよ。君、ボロボロじゃないか。
数学において、自然数とはペアノの公理系を満たすモデルだと定義されている。
通常のZF集合論では、実際にペアノの公理系を満たす集合が定義できる。
そして、その集合に「∞」なる元は含まれてない。だから、Nに∞という元は
含まれてない。これは ちゃんと証明されていることだ。
あるいは、君が独自に定義した、数学で使われる自然数とは全く別の"自然数"について
話をしているのなら、それは、君が勝手に自分独自のエッセイを展開していることに
なるから、君はもはや「数学を勉強している」ことにすらならない。
＞各nに対してC_1,C_2,...C_n∈F⇒∪_{i=1}^n C_i∈Fという集合体が
＞C_1,C_2,...∈F⇒∪_{i=1}^∞ C_i∈Fというσ集合体に拡張された本当の理由は何でしょう？
＞もったいぶらずに話してくれませんか。
ルベーグ積分を定義するため。
「集合体の定義を満たすがσ集合体の定義を満たさない」例が存在するから、
拡張には意味がある。
0683１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 17:16:31M＝N－{x∈N｜xは有限でない} と置けばいい
∞∈Mは成り立たないし、かと言ってMは有限集合でもない
0684１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 18:56:490685616
2010/04/16(金) 20:03:09それよりNにはぜーんぶの自然数が入っているのに無限大は入っていないと言われて奇妙な感じがしませんか？
∞∈Nではないとなると、
∀n∈N C_1,C_2,...C_n
と
C_1,C_2,...
との違いがわからなくなる。
上にはC_∞は入らないけど、下にはC_∞が入る、
とそのようにこれまで読んできましたが、、、
違うということになりますよね？
どのように読んだらいいのでしょうか？
0686１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 20:13:53しませんよ
あなたがこれまで抱いてきたイメージが間違ってただけです
＞∞∈Nではないとなると、
＞∀n∈N C_1,C_2,...C_n
＞と
＞C_1,C_2,...
＞との違いがわからなくなる。
例えば単位円（境界を含まない）は可算無限個の正方形の和集合として表せるけど
有限個の和集合ではどんな n に対しても n 個じゃ無理だよね
0687１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 20:19:15∞∈Nだと言い張るなら、そのNを使って
M＝N－{x∈N｜xは有限でない} と置けばいい
∞∈Mは成り立たないし、かと言ってMは有限集合でもない
0688616
2010/04/16(金) 20:29:45＞有限個の和集合ではどんな n に対しても n 個じゃ無理だよね
てことはやっぱり、C_1,C_2,...は可算無限個でC_1,C_2,...,C_nはあくまで有限個なの？
0689１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 20:31:48ねえねえ、∞∈Nだと言い張るのなら、
M＝N－{x∈N｜xは有限でない}
と置いてごらん。Mは任意の自然数nを含み、特にMは
無限集合であるが、しかし∞∈Mは成り立たない。
0690１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 20:43:08> ∀n∈N C_1,C_2,...C_n
> と
> C_1,C_2,...
> との違いがわからなくなる。
>
> 上にはC_∞は入らないけど、下にはC_∞が入る、
どちらにも C_∞ なんてものは現れない
0691616
2010/04/16(金) 20:57:54うるさいなぁ。そもそもMが無限集合だってどうやって証明すんだって話をしてるんだよ。
任意のnは有限なのによ？
0692１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 21:13:58Mが有限集合ならば、ある自然数mが存在して
M＝{1,2,3,…,m}と表せることになる。一方で、
Mは任意の自然数nを含むのだから、特にn＝m＋1と
置いて、m＋1∈Mとなる。しかし、M＝{1,2,3,…,m}だったから
矛盾する。よってMは有限集合ではない。
0693１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 21:15:280694１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 21:19:10意味不明。1つ1つの元の「大きさ」は問題ではない。
たとえば、{1/n｜n∈N}という集合において、各元は
0以上1以下だから有限の大きさを持つ。一方で、
この集合は無限集合。
∞∈Nだろうが そうでなかろうが、{1/n｜n∈N}という集合は
無限集合。各元は0以上1以下で有限の大きさなのに。
0695616
2010/04/16(金) 21:26:30それは学校の洗脳の内容だろう？
nはいくらでも大きくできる、という意味での無限だ。可能無限ね。
でもよく考えてごらんよ、いくら大きくしたって各nは有限なんだぜ？
だから賢い僕は、
C_1,C_2,...,C_n
は可能無限という意味でしか無限を含んでいないのに対して、
C_1,C_2,...
はそのずっと先のさきっちょの実無限を含んでいる、
という意味だと思ったんだ。
0696616
2010/04/16(金) 21:28:00大きさの話をしてるんじゃない。番号としてのnの話をしてる。
「任意の」番号nは有限なのに、なんで無限になるの？
0697１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 21:32:580698１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 21:35:15＞それは学校の洗脳の内容だろう？
「有限集合」「無限集合」という用語の定義から導かれる。
洗脳でも何でもない。
集合Aが有限集合であるとは、ある自然数mが存在して、Aと{1,2,…,m}との
間に全単射が存在するときを言う。集合Aが無限集合であるとは、
そのような自然数mが存在しないときを言う。
これが「有限集合」「無限集合」の定義。この定義に基づいて、
Mは無限集合であることが示される(>>692)。
あるいは、君の言う「有限集合」「無限集合」が、上の定義とは全く別の、
君が独自に定義した"有限集合" "無限集合"のことを指しているのなら、
君はまず その独自の定義をここに書くべき。そして、そのあとで
「Mは有限集合である」とか「Mは無限集合である」とか「どっちなのか分からん」
とか主張すべき。
0699１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 21:49:47＞「任意の」番号nは有限なのに、なんで無限になるの？
有限集合・無限集合という用語の定義から。
なお、ここで言う有限集合・無限集合とは、>>698の意味。
0700616
2010/04/16(金) 21:49:50定義や定義からの証明を繰り返すばかりだから、
洗脳、と言ったんですよ。
N全体と{1,2,...,m},m∈Nには全単射は存在しない。
これを無限と呼べばNは無限だ。
でも有限が限り無く増えていくだけで、各nは有限。
仮にこのような「限りが無い」ものを無限とする定義を認めたとしよう。
Nは限りが無いけれどそれをぜーんぶまとめた集合だ。
にもかかわらずみなさん
{1/n|n∈N}には0は含まれないという。
いくら増やしてもきりが無いものをぜーんぶ増やしきったとして、
それをまとめてNと呼んでいるのに、0が含まれないということは、
増やしきって無いということだろう。
0701１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 21:56:030702１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 22:00:00＞だからその定義についておかしいんじゃないかと言っているのに
そこで言う「おかしいんじゃないか」が
「直観にそぐわない」
という意味なら、それはただの生理的な理由であって、
つまりは好みの問題に過ぎない。また、
「論理的に矛盾している」
という意味なら、全然矛盾してない。
＞定義や定義からの証明を繰り返すばかりだから、
＞洗脳、と言ったんですよ。
自分独自の数学をやりたいなら、勝手にやればいい。
だが、君が無限集合をどう定義し直しても、
・∞∈Mは成り立たない。
・Mと{1,2,...,m}(m∈N)の間に全単射は存在しない。
という事実は消えない。
0703616
2010/04/16(金) 22:15:36ここでは「直観にそぐわない」と言う意味です。
ですが、話を元に戻すと、
集合体（C_1,C_2,...C_n∈F⇒∪_{i=1}^n C_i∈F）
が各nについての話で、
σ集合体（C_1,C_2,...∈F⇒∪_{i=1}^∞ C_i∈F）
も各nについての話だとすると、
一体何が拡張されたのでしょうか？
0704616
2010/04/16(金) 22:16:410705１３２人目の素数さん
2010/04/16(金) 22:42:23そういうこと。
[集合体だがσ集合体でない例]
[a,b)の形をした区間を「半開区間」と呼ぶことにする。
また、有限個の半開区間の和集合を「区間塊」と呼ぶことにする。
X＝[0,1)とおき、F＝{A⊂X｜Aは区間塊}とおくと、FはX上の
集合体になるが、σ集合体にはならない。
このくらいなら本にも載ってるはずだがな(普通は)。
0706616
2010/04/17(土) 00:31:250707１３２人目の素数さん
2010/04/17(土) 01:48:040708１３２人目の素数さん
2010/04/17(土) 06:36:080709１３２人目の素数さん
2010/04/17(土) 09:22:160710１３２人目の素数さん
2010/04/17(土) 13:23:11気づかせて下さってありがとうございました」 ぐらい言えないもんかね？
0711１３２人目の素数さん
2010/04/17(土) 13:34:550712１３２人目の素数さん
2010/04/17(土) 14:53:040713１３２人目の素数さん
2010/04/17(土) 15:39:400714１３２人目の素数さん
2010/04/17(土) 15:41:43勉強したからそうじゃないと言えるものの。
0715１３２人目の素数さん
2010/04/17(土) 15:50:00余計なことを考え始めると混乱するのかな
0716１３２人目の素数さん
2010/04/17(土) 16:56:56真面目に哲学の無限論を勉強したなら
∞なんていう要素は無いことは自明だと思う
聞きかじりとイメージだけで話をするからこうなる
0717１３２人目の素数さん
2010/04/17(土) 17:01:550718１３２人目の素数さん
2010/04/17(土) 17:17:28一次分数変換を扱うと、「複素数さんは∞を含めた扱いを欲してる」ことがわかる。
（一次分数変換の族を考えればわかる。）
まあ、もう少し説明すると一次分数変換ってのは関数じゃなくて有理式で表される射
だということなんだが、超幾何関数の話をするのにいちいち圏だとか射だとか話すより、
複素数に∞を付加したリーマン球面で話せば充分足りる。
一方、自然数は、特に数列の添え字付けに使った議論をしてるときには、
「自然数君は∞を含めて欲しくない」ことがわかる。
もう少し詳しく言うと、自然数に∞が入っているのなら、実数列 (a_n) n∈N を定義する際には
a_1, a_2,... だけでなく、 a_∞ も定義する必要があることになる。だから、(a_n) n∈N を、「ｎが
偶数のときに１、奇数のときに-1 という数列を作ったとして、さらに a_∞を定義しなければ数列が
確定しない。どんな風に定義してもいいが、どんな風に定義しても、数列を扱う際の（解析学に
おける）大きな動機である極限の話とは無関係になってしまう。
数学的対象ってのは声を上げることができないから好き勝手に扱っていいわけじゃない。
声にならない声を拾い上げて適切な扱いをすると、向こうも優しくしてくれる。そういうものだ。
0719１３２人目の素数さん
2010/04/17(土) 17:22:320720１３２人目の素数さん
2010/04/17(土) 18:13:04整数に無限大を追加してもいいよ。できないなんてことはない。
それがどれくらい便利かは不明。
0721１３２人目の素数さん
2010/04/17(土) 19:44:52自然数には∞は無いけど、
順序数さんは自然数の先にωを加えてさらにその先にω＋1、ω＋２、……と進んでいくけどね
ただ基数じゃなくて順序数だということは分かってないといけないけど
0722１３２人目の素数さん
2010/04/17(土) 20:16:19∞∈Cだってイタイし
0723１３２人目の素数さん
2010/04/17(土) 20:20:370724１３２人目の素数さん
2010/04/17(土) 21:04:10「自然数を全部集めた集合をNと置いたとき、∞∈Nでなければおかしい」
という立場を仮定しよう。
このとき、M＝N－{x∈N｜xは有限でない}とおけば、Mには任意の自然数が含まれるから、
Mもまた「自然数を全部集めた集合」の一種であり、しかしながら∞∈Mは成り立たない。
つまり、上の立場を仮定すると、上の立場と相反する集合が作れてしまうわけで、
・上の立場こそがおかしい
・集合論がおかしい
のどちらかになる。そして、616が上の立場を突き通す限りは、616の中では
「集合論がおかしい」ということになるので、616は測度論以前に集合論から
根本的に作り直さなければならず、>>706のように易々と「解決した」なんぞ
アリエナイのである。
0725１３２人目の素数さん
2010/04/17(土) 22:24:38証明してよ
というか∞が含まれないから
Mに含まれない自然数があるとか言われたらどう答えるのか
0726１３２人目の素数さん
2010/04/17(土) 22:59:23＞Mに含まれない自然数があるとか言われたらどう答えるのか
Mに含まれない自然数nがあると仮定する。このとき、次が成り立つ。
・nは有限値である (当たり前)
・n∈Nである (Nは自然数を全部集めた集合だから、当たり前)
一方で、M＝N－{x∈N｜xは有限でない}だったから、Mの定義から
n∈Mが成り立つ。これは、nがMに含まれないことに矛盾する。
よって、Mに含まれない自然数は存在しない。
すなわち、Mには任意の自然数が含まれる。
0727１３２人目の素数さん
2010/04/17(土) 23:05:490728１３２人目の素数さん
2010/04/17(土) 23:07:220729１３２人目の素数さん
2010/04/18(日) 00:28:180730１３２人目の素数さん
2010/04/18(日) 01:33:200731１３２人目の素数さん
2010/04/18(日) 02:00:58これだからわかったつもりの定義厨は困る
0732１３２人目の素数さん
2010/04/18(日) 02:03:000733１３２人目の素数さん
2010/04/18(日) 02:07:50この場面においては、∞という記号の定義は重要でない。なぜなら、
「自然数ではない」という条件を満たす任意の定義に対して
>>724,>>726の議論(あるいは、それとほぼ同等の議論)が使えるから。
0734１３２人目の素数さん
2010/04/18(日) 09:27:22これを示さないといけないんじゃないの？
これが当たり前なら∞∈Nでないことも当たり前だと思うんだが
0735釣られマジレス
2010/04/18(日) 10:14:090736１３２人目の素数さん
2010/04/18(日) 11:19:55自然数nに関する命題P(n)を次のように定める。
P(n)：「nは有限値である」
このとき、次が成り立つ。
(i) P(1)は真である。
(ii) 任意の自然数mについて、「P(m) ⇒ P(m＋1)」が成り立つ。
実際、(i)は明らかに成り立っている。あとは(ii)を言えばよい。
自然数mを任意に取る。
P(m)が偽の場合：
「P(m) ⇒ P(m＋1)」は真である(仮定が偽の命題はいつでも真だから)。
P(m)が真の場合：
mは有限値ということだから、m＋1は明らかに有限値となり、
よってP(m＋1)は真となる。つまり、この場合も
「P(m) ⇒ P(m＋1)」は真である。
以上より、(i)(ii)が成り立つと分かったので、数学的帰納法より、
任意の自然数nに対してP(n)は真である。つまり、任意の自然数nに
対してnは有限値である。
＞これが当たり前なら∞∈Nでないことも当たり前だと思うんだが
そう思うのが普通の感覚だが、616の感性においては当たり前じゃないんだよｗ
だから上で揉めてるわけで。
0737１３２人目の素数さん
2010/04/19(月) 01:11:190738１３２人目の素数さん
2010/04/20(火) 17:11:21Σ_n=0,∞ とか∪_n=0,∞の定義もわかってない予感。
中身を考えずに文面通りに丸呑みしてきた結果だろう。
こういう奴はどんなに勉強してもざるで水掬ってるようなもんだよ。
0739１３２人目の素数さん
2010/04/20(火) 17:14:26Σ_[n=1,∞]a_n=a_1+a_2+...+a_∞とか当たり前のように書いてる
やつはたまにいる ｗ
0740１３２人目の素数さん
2010/04/20(火) 17:21:26∞が含まれていないと誰もが当たり前に思っていることが教育のすごさだろう
丸呑み具合はどっちも似たようなもの
0741１３２人目の素数さん
2010/04/20(火) 17:29:580742１３２人目の素数さん
2010/04/20(火) 19:42:54すなわち「順序数」としてのnを見ているのだろう。
「1,2,3,…」という順序数の系列を考える。
最初は、矢印(ポインタ)が1を指しているとする。
今、この矢印を動かして、1の後続の順序数を指すようにする
(今の場合は2を指すようにする)。これを繰り返して、
矢印をどんどん移動させていく。このとき、感覚的には
(1)矢印が全ての有限順序数を指し終わったら、矢印はω(最小の超限順序数)を指している。
ということになる。
「すべての自然数を集めた集合をNとしたとき、自動的に∞∈Nが成り立つ」
という文章は、このことを言っていると解釈すると
若干は筋が通るようになる(どのみち∞∈Nという主張は間違っているが)。
0743１３２人目の素数さん
2010/04/20(火) 19:56:41「矢印が順序数αを指し終わる」という文章を「α＜↑」で
定義するとよい(矢印が指している順序数を「↑」で表すことにする)。
このとき、「矢印が全ての有限順序数を指し終わる」とは
・任意の有限順序数nに対してn＜↑
ということだから、自動的にω≦↑でなければならない。
(まあ、このままだとω＝↑とは限らないな、うん)。
0744１３２人目の素数さん
2010/04/20(火) 20:00:32単に馬鹿なだけだろ
0745１３２人目の素数さん
2010/04/21(水) 01:17:28刷り込む原因の一つではありそうだな。
0746１３２人目の素数さん
2010/04/21(水) 01:42:130747１３２人目の素数さん
2010/04/21(水) 03:32:12アホか
∞が含まれていないのはNの定義から出てくる
Nには自然数以外含まれない
だから∞どころか1/2も含まれないし√2も含まれない
犬もネコも人間も含まれないしドラエモンも含まれない。
こういうことを全部丸覚えしてるわけないだろ
0748１３２人目の素数さん
2010/04/21(水) 07:07:550749やんやん ◆yanyan72E.
2010/04/21(水) 07:27:010750１３２人目の素数さん
2010/04/21(水) 07:52:210751１３２人目の素数さん
2010/04/21(水) 09:22:470752１３２人目の素数さん
2010/04/21(水) 11:18:49「自分で考えてる」と威張っている数学者が
一番洗脳されていることがよくわかるな
0753１３２人目の素数さん
2010/04/21(水) 11:19:300754１３２人目の素数さん
2010/04/21(水) 11:39:030755１３２人目の素数さん
2010/04/21(水) 12:10:25616が乗っ取るつもりでしかけたのならみごとに成功
まじで測度を勉強したかったのならば
みんなの渾身の助言に対して
自分の盲点を反省することなく反射的に反応した結果
0756１３２人目の素数さん
2010/04/21(水) 12:14:35だから釣りではないな
0757１３２人目の素数さん
2010/04/21(水) 12:16:40この際、ペアノの公理なんて関係ない。
0758１３２人目の素数さん
2010/04/21(水) 12:27:09低能はほんと哀れだな。
大体なんで測度論のスレで自然数について語り始めてんだよ。
それ関係のスレでやれや。アホが。
素直にユニオンの定義もわかりませんあうあうあー逝ってろゴミ。
0759１３２人目の素数さん
2010/04/21(水) 12:55:12なんていうのは取り決めじゃん。
童心に返って、リンゴが１個、２個、、、、が自然数だとして、
これに∞が含まれるか否か説明できないんじゃない？
ペアノの公理系が自然数と決めたのなら、
それは自然数が無限を含まないと決めた、ということでしょ
0760１３２人目の素数さん
2010/04/21(水) 12:56:57己が覚えてきた定義の上に物事を考えるのであって
だからこそ知識の共有が成り立つのだし、
逆に定義の部分をほじくり返されると発狂してしまう。
0761１３２人目の素数さん
2010/04/21(水) 12:56:58「自然数でない」という性質を満たせば
どのように∞を定義してもいい(>>733)。
>>751
お前は何を言ってるんだ。それだと「∞」という記号も自然数だと
定義されるから、616の主張とは関係ない。616が言ってるのは
「∞は自然数でない」
「自然数を全部集めた集合をNと置いたとき、∞∈Nでなければおかしい」
ということ。つまり、自然数を全部集めた集合をNとすると、
Nには"自然数でない何か"が いつの間にか紛れ込むと言っているわけ。
0762１３２人目の素数さん
2010/04/21(水) 13:02:18＞ペアノの公理系が自然数と決めたのなら、
＞それは自然数が無限を含まないと決めた、ということでしょ
616自身が
「∞は自然数ではない」
と言っているから、616の主張を検討する上では、
「∞」という記号は"自然数でない何か"として
扱えばそれでいい。
0763１３２人目の素数さん
2010/04/21(水) 14:01:26>童心に返って、リンゴが１個、２個、、、、が自然数だとして、
>これに∞が含まれるか否か説明できないんじゃない？
アホか
N = {自然数の全体} と定義したんだから N には自然数しか含まれない。
これが何故理解出来ないのか。
頭のネジがゆるんでるというかはずれてるなｗ
0764１３２人目の素数さん
2010/04/21(水) 14:05:48念のために聞く。
S = {区間 [0, 1] に含まれる有理数の全体} としよう。
S に∞が含まれないのはわかるよな？
0765１３２人目の素数さん
2010/04/21(水) 14:49:36そうだよ自然数しか含まれない。
その自然数に∞が含まれるか否か議論してるんだろ？
考えてみれば、ニュートンやライプニッツは実無限∞を使って微積してたわけで、
それをコーシーやなんやらが可無限の考え方に書きなおしたわけでしょ
やっぱりそういう歴史の恩恵を受けて、
今自信をもって自然数には無限大は含まれないと言えるんじゃないかな
0766１３２人目の素数さん
2010/04/21(水) 15:33:47>そうだよ自然数しか含まれない。
>その自然数に∞が含まれるか否か議論してるんだろ？
そんな議論はしていない。
自然数は常に有限な数。
疲れるなｗ
0767１３２人目の素数さん
2010/04/21(水) 16:14:38＞その自然数に∞が含まれるか否か議論してるんだろ？
発端となった616が「∞は自然数ではない」と言っている。そのかわり、
「自然数を全部集めた集合をNとすると、∞∈Nでなければおかしい」
と言っている。要するに
「∞は自然数ではないが、集合の方には含まれる」
という変な主張をしているわけだ。
で、この主張を認めると、この主張と食い違う集合が作れてしまうので、
616はこの主張を取り下げるか、あるいは集合論を作り直すかしなければ
ならない(>>724)。
0768１３２人目の素数さん
2010/04/21(水) 17:14:16って気違いだろ。
0769１３２人目の素数さん
2010/04/21(水) 21:21:460770１３２人目の素数さん
2010/04/21(水) 21:51:57\sum_{n=0}^N a_n
と書いたら、これは
a_1 + a_2 + .... + a_N
を意味するから、「これと同じく」考えると
\sum_{n=0}^\infty a_n
は
a_1 + a_2 + .... + a_∞
を意味するのだと誤解させる可能性を持った表記だと言いたかった。
0771１３２人目の素数さん
2010/04/21(水) 22:04:31=limΣ(-i+2ij/n)(cos(arcsin(-1+2(j+1)/n))-cos(arcsin(-1+2j/n)))
=Σlim(-i+2ij/n)(cos(arcsin(-1+2(j+1)/n))-cos(arcsin(-1+2j/n)))
=Σ(-i)(cos(arcsin(-1))-cos(arcsin(-1)))
=0
0772771
2010/04/21(水) 22:12:190773１３２人目の素数さん
2010/04/22(木) 00:58:33そのように考えることが正当だとでも言うのか？
アホやな
0774１３２人目の素数さん
2010/04/22(木) 02:07:560775１３２人目の素数さん
2010/04/22(木) 02:31:38がわからない馬鹿が測度論の勉強してるんだから笑えるね。
0776１３２人目の素数さん
2010/04/22(木) 08:23:30いいたいことはわかるよ。
ただ、それは実無限と可能無限の話じゃないよねってだけ。
0777１３２人目の素数さん
2010/04/22(木) 11:54:34単に自然数を「全部」集めたら無限大も入るだろう、と言っているだけに見える
0778１３２人目の素数さん
2010/04/22(木) 12:20:45そうじゃなきゃ>>616が死ぬ」ってんなら、含めてあげればいいじゃん。
そんかわり>>616には、教科書を読むときは
N := {自然数} - ∞、かつ、[∀n∈N⇒n<∞]であるものとし、
さらにΣ_[k=1,∞]a_k や∪_[k=1,∞]A_kと書いてあるところは全部
Σ_[k:自然数,かつ,k<∞]a_k や∪_[k:自然数,かつ,k<∞]A_kあるいは
Σ_[k∈N]a_k や∪_[k∈N]A_kと書いてあるものとして読み替えるように
させればいい。
0779１３２人目の素数さん
2010/04/22(木) 12:52:550780１３２人目の素数さん
2010/04/22(木) 12:59:010781１３２人目の素数さん
2010/04/22(木) 13:11:320782１３２人目の素数さん
2010/04/22(木) 13:15:10>>616が不勉強であることは明らかだが
問題が本質とは程遠いということはない
>>765の言うとおり、数百年前までは曖昧だった話なわけで、ニュートンやライプニッツより劣ると思われる我々が自信を以って「無限大はすべての自然数に含まれない」と言えるのは、その後の数学者たちの貢献のおかげだろう。
0783１３２人目の素数さん
2010/04/22(木) 13:28:13その後の数学の発展を担ってきた先人達に対して失礼ですらある。
0784１３２人目の素数さん
2010/04/22(木) 13:34:26そういう歴史を考えれば、「そんなの当たり前だ」という方もなんだか気恥ずかしい
0785１３２人目の素数さん
2010/04/22(木) 22:50:09＞616は「∞は自然数ではない」なんて言って無いんじゃない？
＞単に自然数を「全部」集めたら無限大も入るだろう、と言っているだけに見える
残念ながら、「∞は自然数でない」と言っている。
691 ：616 ：2010/04/16(金) 20:57:54
>>689
うるさいなぁ。そもそもMが無限集合だってどうやって証明すんだって話をしてるんだよ。
任意のnは有限なのによ？
696 ：616 ：2010/04/16(金) 21:28:00
>>694
大きさの話をしてるんじゃない。番号としてのnの話をしてる。
「任意の」番号nは有限なのに、なんで無限になるの？
このように、自然数は必ず有限だと言っている。すなわち、
616の頭の中では、無限大は(自動的に)自然数でないことになる。
0786１３２人目の素数さん
2010/04/22(木) 23:07:51「有限」の定義って何だと思って話をしてる？
0787１３２人目の素数さん
2010/04/22(木) 23:31:56誤解ってことは、a_0 + a_1 + a_2 + .... + a_∞ってのは、
(a_0 + a_1 + a_2 + ....) + (a_∞) つまり a_∞ + lim_[n→∞]∑_[k=0]^n a_k
という意味かな？
これだと∞という記号が二種類の意味で使われていて紛らわしいから
a_∞と書く代わりにa_[-1]と書くことにして、
(a_[-1]) + (a_0 + a_1 + a_2 + ....) = a_[-1] + lim_[n→∞]∑_[k=0]^n a_k
= a_[-1] + ∑_[n=0]^∞ a_n
と書いてやるほうがしっくりくるよね。
まあ、ただの脱線だけど。
0788１３２人目の素数さん
2010/04/22(木) 23:47:13それは重要ではない。「有限」「無限」という用語について
・有限ならば、無限ではない
・無限ならば、有限ではない
・自然数は必ず有限である
・∞は無限である
という関係が成り立つなら、どんな定義を与えてもよい。
そのとき「∞は自然数ではない」が成り立つ。
そして、616のレスを自然に解釈するならば、616は
上の4つの関係が成り立つように「有限」「無限」という用語を
使っていることが推測されるので、やっぱり616は
「∞は自然数ではない」と言っていることになる。
0789１３２人目の素数さん
2010/04/22(木) 23:54:090790１３２人目の素数さん
2010/04/23(金) 00:33:47今の数学科は馬鹿ばかりというのがよくわかるわｗ
0791１３２人目の素数さん
2010/04/23(金) 02:48:100792１３２人目の素数さん
2010/04/23(金) 06:47:410793１３２人目の素数さん
2010/04/23(金) 06:48:390794１３２人目の素数さん
2010/04/23(金) 06:49:250796１３２人目の素数さん
2010/04/23(金) 12:47:20>>785
0797796
2010/04/23(金) 13:39:20>>795
＞「自然数が有限ではない」なんて言って無いぞ
うん、言ってない。それどころか、「自然数は必ず有限だ」と
言っている(>>785)わけだから、やっぱり788でいいわけだ。
0798１３２人目の素数さん
2010/04/23(金) 16:31:48それは必ずしも∞∈Nの否定を意味しないってことを、>>616はずっと言ってるわけじゃん。
個々の自然数は有限でも、それをぜーんぶ集めたとしたら、
無限個あるだろうから、∞∈Nだろうと。
その気持ちはわかる。
そもそも自然数全部の集合Nなんていう考え方自体が非常に現代的。
0799１３２人目の素数さん
2010/04/23(金) 16:35:240800１３２人目の素数さん
2010/04/23(金) 16:40:330801１３２人目の素数さん
2010/04/23(金) 16:47:280802１３２人目の素数さん
2010/04/23(金) 16:50:45＞いや>>616は「自然数は必ず有限」と言っているけど、
ということは、616は「∞は自然数ではない」と言っていることになる(>>788)。
これを踏まえた上で、もう一度616の主張を検討する。まず、616は
「自然数を全部集めた集合をNとしたとき、∞∈Nでなければおかしい」
と言っているわけだ。しかし、この主張を認めると、
M＝N－{x∈N｜xは自然数ではない}
と置けば、Mもまた「自然数を全部集めた集合」の一種であり、
しかも∞∈Mが成り立たない。つまり、616の主張を認めると、
616の主張と相反する集合が作れてしまう。
よって、616は、上の主張を撤回するか、集合論を作り直すかしなければならない。
0803１３２人目の素数さん
2010/04/23(金) 17:05:31616の馬鹿さ加減をあげつらったところでそんなもん誰の目から見ても当たり前。
いい加減にしろよ。
0804１３２人目の素数さん
2010/04/23(金) 17:40:57＞＞いや>>616は「自然数は必ず有限」と言っているけど、
＞ということは、616は「∞は自然数ではない」と言っていることになる(>>788)。
この論理展開自体を616は疑問視しているんだと思うよ。
616の主張は要するに>>799だろ
0805１３２人目の素数さん
2010/04/23(金) 17:44:29よし俺が無益な論争に決着をつけてやろう。
>>616は不勉強だがしかし、コーシー以降の数学的成果を享受していることを忘れるなという警句ととることもできる
以上。
0806１３２人目の素数さん
2010/04/23(金) 17:45:430807１３２人目の素数さん
2010/04/23(金) 18:05:35その論理展開に間違いは無い。>>788をよく読みたまえ。
＞616の主張は要するに>>799だろ
799を検討するには、「要素数」「無限個」という用語を
詳しく定義しなければならない。しかし、
・「全ての自然数が含まれる集合」の要素数は無限個である
という関係を満たすならば、どのように「要素数」「無限個」
という用語を定義してもよい。このとき、>>802の集合Mは
「全ての自然数が含まれる集合」となり、Mの要素数は無限個
ということになる。しかし∞∈Mは成り立たないから、結局、
799の主張と食い違う集合が作れることになり、616は(以下略
0808１３２人目の素数さん
2010/04/23(金) 19:17:370809１３２人目の素数さん
2010/04/23(金) 20:35:16そうやって、いくつかの用語を非標準的な使い方で使わないと、
もはや616の主張を正当化できないってことだね。
でも、ヒネクレた用語の使い方をすれば、字面の上では
何とでも言えるようになっちゃうから、今度は説得力が
ゼロになって意味が無いね。
それと、↓のレスを見てみよう。これは616が書いたもの。
＞「任意の」番号nは有限なのに、なんで無限になるの？ (>>696より)
もし「∞は有限だ」と思っていたのなら、こんなレスしないよな。
というか、「∞は有限だ」なんてヒネクレた用語の使い方は、
たぶん616本人が一番嫌がるだろうｗ
616は有限と無限の違いを しきりに気にしてたんだから。
0810１３２人目の素数さん
2010/04/23(金) 23:40:22＞もはや616の主張を正当化できないってことだね。
当たり前やん
何を今更
自然数の集合 N に ∞ も含まれるって時点で当然でしょ
0811１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 00:00:58＞自然数の集合 N に ∞ も含まれるって時点で当然でしょ
「非標準的な解釈をしないと616の主張は正当化できない」
ということを理解できないのが616。あと、799と804も。
0812１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 00:02:110813１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 00:15:120814１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 00:18:390815１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 01:01:530816１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 01:31:070817１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 02:44:36いや、そんな「成熟した」見方ではなく、プレースホルダにそのまま代入しちゃうような
形式的な理解で a_∞ というものがあるかのように早飲み込みしちゃうということ。
数学ってのは、あれこれ考えたことを形式化して自動ツールにしちゃうような側面が
あるけれど、
\sum_{n=0}^∞ a_n
が、昔の数学者の「気持ち」を反映した一種の記号のabuse であることを見抜けず、
\sum_{n=0}^N a_n
と「全く同じく」解釈して良いのだと「なんとなく」思い込んでしまうようなことが、
精神の未熟な中高生には起こりうる。
そもそも中高生は実数の構成だの自然数の構成だのということは習っていないので、
ぼんやりとした頭の奴は有限和と無限和の違いに悩まず、なんとなく理解してしまう。
まあ実際、自分は高校生のときに、無限回微分可能な関数は常に解析関数だと信じて疑わなかった。
「証拠はないけど、そうであるとしか考えられない」とでも思ってたんだろうなぁ
0818１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 03:15:49実際には「任意有限回連続的微分可能函数」なんだもんな。
0819１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 07:29:250820１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 07:49:27とか連続関数の可算個の和は連続になるだろう、とか普通に信じてた訳だし。
もちろん彼らが今の大学生よりアホだった訳では決してない。
中高生が誤解するのは、大学生よりもボンヤリしているからとか
いうわけでもないよ。単に大学生は習って知っているからだ。
ただ昔の人も∞∈Nとか言う人は少なかったと思うけど。。
0821１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 08:12:53高校だって∞は数じゃなく極限を表す便宜的な記号と教えるだろ？
∞ ∈ N と思うのは知識の有無の問題じゃなく頭のネジがはずれてるだけ。
0822１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 08:54:33だったら、無限大の自然数の存在も信じてたんじゃないの？
0823１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 11:08:51ここ300年くらいの話だよ∞はNに含まれないって浸透してきたのは
おまえら>>616のレスをよく読め
∞が便宜的な記号とわかった上で、
>>616様は、σ-代数への拡張が実際に∞とりきった場合への拡張なのかと勘違いされている。
確かにそう言われてみれば、∞が極限を表す便宜的な記号であれば
任意のn∈Nに対してa_n
と
a_∞
って同じ意味だよな
あれ、σ代数への拡張ってなんだっけｗ
0824１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 11:11:310825１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 11:26:070826１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 11:39:39>だったら、無限大の自然数の存在も信じてたんじゃないの？
仮に無限大の自然数が存在しても、Nは有限な自然数の集まりだから∞∈Nとはならない。
何度同じことを言ったら分かるのやら。
0827１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 13:17:36ニュートンも含めてその他の学者は、無限小とか無限大などという
実在は無いと思ってたんだが
だから当時、他の数学者に相当突っ込まれてるでしょ
>>823だとまるでユークリッドやらアル・フワリズミやらフィボナッチやらデカルトやらの時代には
∞という自然数がごく自然に認められてたみたいだ
0828１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 13:26:40∞が便宜的な記号だと分かってるなら、∞∈Nなんて
言わないはずだよな。やっぱり616は矛盾してるな。あと、
＞確かにそう言われてみれば、∞が極限を表す便宜的な記号であれば
＞任意のn∈Nに対してa_n
＞と
＞a_∞
＞って同じ意味だよな
「任意のn∈Nに対してa_n」という文が「a_∞」と同じ意味なのであれば、
たとえばa_n＝1/n, a_∞＝0と置くと
(1) 任意のn∈Nに対してa_n は0より大きい
(2) a_∞ は0より大きい
という文章が同じ意味になるはずだが、a_∞はちょうど0だから、
(2)はそもそも間違ってる。あと、(2)は"a_∞"という1つの項についての
言明であるのに対して、(1)は複数個の項についての言明。
どこがどう同じなのか全く分からない。やっぱり616は矛盾してるな。
0829１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 13:39:11なんだ、お前もσ代数を分かってないバカだったのか
0830１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 13:44:270831１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 13:50:40その辺は微妙で、微分するときの割り算の気味悪さ（誰もが悩むあれです）から、
無限小というのは丁度虚数単位のようなもので、実在はしないがそれがあると
考えると便利なモノである
というような言い方をしている。ハミルトンが数の組で複素数のモデルを提示したり、
ガウスが二次元平面を利用した幾何的な解釈を広める前の話でもあり、
数学的実在とは何か
という事に対する認識が現在の我々とズレているのだけど、要するにライプニッツとしては
無限小という概念に強い実在性を認めてはいなかったようだ。あえてライプニッツの立場を
標語的に言い表すならば「無限小はvirtualな実在である」という感じかな。
0832１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 13:58:20∞が便宜的な記号だと分かってたなら、そういう便宜に
頼らない「厳密な表現」を予め理解していたということ
だったら、∞なんて便宜に固執せずに、最初から
厳密な表現の方で解釈していればよかっただけの話
便宜に固執して集合体とσ集合体の違いが
分からなくなるってのは本末転倒
＞おまえら>>616のレスをよく読め
616のレスをよく読むと、どうもコイツは「厳密な表現」の方さえ
理解してなかったと思わざるを得ないｗ
0833１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 14:06:31だったらやっぱり∞が自然数に含まれなきゃならないんじゃない？
これに対する適切なレスすら無い
0834１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 14:13:54全ての自然数を集めた集合をNと置く。もし∞∈Nならば、
M＝N－{x∈N｜xは有限でない}
と置けば、Mもまた全ての自然数を集めた集合だが、∞∈Mは
成り立たない。
はい、おしまい。
0835１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 14:15:53でもさって何だよｗ
616は、∞が便宜的な記号だと分かってたんだろ？
だったら、そういう便宜に固執しないで、最初から
厳密な表現の方で解釈していればよかっただけの話だろ？
便宜に固執して集合体とσ集合体の違いが
分からなくなるってのは本末転倒だろ？
なあ、そうだろ？
0836１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 14:17:10おあとがよろしいようで
0837１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 14:18:44おいこらｗ
∞という記号は便宜的な記号なんだろ？
だったら、∞という記号は自然数ですら無いはずだよな？
0838１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 14:57:37この無限個全部をNと書く。
やっぱり∞という「数」がNに入ってなきゃ矛盾する気がしてきた
0839１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 15:01:08∞∈Nでないなら、Nが無限個のものを全部集めているという定義に矛盾。
従ってNなどという集合は存在しない。
QED
0840１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 15:03:18そのようにして作った集合Nに対して
M＝N－{x∈N｜xは有限でない}
と置けば、Mもまた全ての自然数を含む(「各々は有限のもの」が全てMに含まれる)。
ところが∞∈Mは成り立たない。
はい、おしまい。
0841１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 15:30:39キチガイにまともに相手するだけ時間の無駄
0842１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 15:37:57なぜ集合の元の「個数」がその集合に
含まれなければならないんだ？
「{1,3,7,8} という自然数の集合の元の個数は4個ある。
だったら 4∈{1,3,7,8} でないといけない」
と同じぐらい馬鹿げた主張をしているように思うが？
0843１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 15:44:08かっけーっすね
0844１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 15:48:55これなら、Nに∞は含まれないことが分かるぞ
というか、「集合N」のイメージがそもそもこんな感じだぞ
ttp://www.csync.net/service/file/view.cgi?id=1272091515
0845１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 15:50:520846１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 15:51:150847１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 15:55:250848１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 15:59:30ウッカリ「∞は便宜的な記号」とか言っちゃったもんだから、
>>835や>>837に反論できなくなった
んで、今度はsageながら>>838で自演
"∞という「数」" なんて言い直してるｗｗｗ
便宜的な記号じゃなかったのかよｗｗｗ
0849１３２人目の素数さん
2010/04/24(土) 16:37:020850１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 02:09:39リーマン予想が解けたとときます
0851１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 02:20:570852１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 02:25:200853１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 07:36:40座布団１枚没収！
0854１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 07:39:29いやあこのままスレ乗っ取って終わってくれてもいいのでは？
数学板だけしか通用しない奇祭として
いったい何の縁起で何を祭っているのか板外の人に研究してほしい気すら
0855１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 09:03:48リーマン予想が解けたとときます
そんな話が永遠に続きます
0856１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 09:05:17ヌーブラヤッホーとときます
どちらもひもがありません
0857１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 09:33:080858１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 09:47:30無限大は複数あるのに、記号∞だけで表してるから、おかしくなっちゃうんだ。
0859１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 09:49:431,2,...と数えていって自然数は無限個あるんだろ？
ならその∞も自然数の中に含まれているだろ
これにどうやって反論すんのさ
0860１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 10:01:360861１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 10:14:470862１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 10:24:350863１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 10:28:25個数で表現出来ないときに使うのが濃度だよ。
0864１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 10:32:440865１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 10:34:280866１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 10:56:23ちゃんちゃらおかしいわ
0867１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 11:04:38だったらそれらに代わる新しく有用な概念を
提出して頂けますか
0868１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 11:29:37何か違うかい？
後者が∞だったら前者も∞なんだよ。
∞を扱うからって無理に違うと思いこもうとするから、連続体仮説なんておかしなもんがでてくるんだ
俺はクロネッカーの生まれ変わりだから。
0869１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 11:37:41>>後者が∞だったら前者も∞なんだよ。
この言い方はペアノさんのパクリなのでは？
0870１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 13:11:160871１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 13:13:33∞-1, ∞, ∞+1 の三つは同じ数なの？
0872１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 14:31:39絵を描いてやったぞ
これなら、Nに∞は含まれないことが分かるぞ
というか、「集合N」のイメージがそもそもこんな感じだぞ
(p)ttp://www.csync.net/service/file/view.cgi?id=1272091515
0873１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 14:41:36∞が一種類しかないなら、余計に>>872の絵が使えてしまうぞ
お前は自分で自分の首を絞めていることになるぞ
0874１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 15:25:47＞∞を扱うからって無理に違うと思いこもうとするから、連続体仮説なんておかしなもんがでてくるんだ
関係ないよ。連続体仮説は「∞」という記号を持ち出さずに記述できるから。
連続体仮説：
N⊂A⊂Rなる任意の集合Aに対して、AとNの間に全単射が存在するか、
あるいはAとRの間に全単射が存在する。
↑これが連続体仮説だ。お前の言い方で連続体仮説を廃止しようとしたら、
「全単射なんて考えるから、連続体仮説なんておかしなもんがでてくるんだ」
と言わなければならない。つまり、全単射の使用を禁止しなければならない。
でも、全単射という概念は写像がありさえすればハッキリと定義できるから、
結局、写像という概念を禁止しなければならなくなる。
お前の集合論では、写像が使えない。自動的に関数も使えない。解析学全滅。
0875１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 15:34:43よくそこまできれいな絵を…
0876１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 15:42:470877１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 16:01:470878１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 16:07:400879１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 19:25:340880１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 19:54:391周目の自然数が普通の有限な自然数で、
2周目の1が無限大だぞ
>>872の絵で、
最初の円は 1周目の自然数全部＆2周目の1 で、
次の円は 1周目の自然数全部 だぞ
そんで、最初の円から 2周目の1 を取り除いた集合がNだぞ
そうすると、
最初の円は N∪{2周目の1} で、
次の円は N だぞ
「次の円」に2周目の1(＝∞)は入ってないから、Nに∞は入らないんだぞ
でもNには全ての有限な自然数(1周目の自然数)が入ってるんだぞ
0881１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 20:00:18>∞＝2周目の1 だぞ
じゃ、3周目や4周目の1に対応する∞もあるのですか？
0882１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 20:00:520883１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 20:13:13あるぞ、それが順序数だぞ
2周目の1 は、最小の超限順序数ωなんだぞ
今まで∞とか書いてたが、それはωのことなんだぞ
3周目の1は ω＋ω だぞ
4周目の1は ω＋ω＋ω だぞ
ていうかそんくらい知っとけって話だぞ
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 (日本語wiki)
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number (英語wiki)
ちなみに、英語版のwikiには、ω^ωの図解として
872みたいな円状の絵が載ってるぞ
0884１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 20:42:290885１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 20:53:57> ω^ωの図解として
なんか、騙されてる気がするのは俺だけ？
0886１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 21:30:31渦巻きの中心点が ω^ω だぞ
これだとω^ω以降の順序数を書く場所がないから
若干微妙な図だがな
どのみち、∞∈Nが成り立たないことの説明は>>872で終わりだぞ
0887１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 22:03:38渦巻きの中心点は ω^ω^ω^ω^ω^ω^ω^ω^ω^ω・・・・ジャマイカ？
0888１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 22:51:37中心点はω^ωだぞ
再帰的な計算だから計算ミスしやすいぞ
ttp://www.csync.net/service/file/view.cgi?id=1272202967
1周の時点でω
(1＋1/2)周の時点でω*2
(1＋1/2＋1/4)周の時点でω*3
：
2周の時点でω*ω＝ω^2
(2＋1/4)周の時点でω^2＋ω
(2＋1/4＋1/8)周の時点でω^2＋ω*2
(2＋1/4＋1/8＋1/16)周の時点でω^2＋ω*3
：
(2＋1/2)周の時点でω^2＋ω*ω＝(ω^2)*2
(2＋1/2＋1/8)周の時点で(ω^2)*2＋ω
(2＋1/2＋1/8＋1/16)周の時点で(ω^2)*2＋ω*2
：
(2＋1/2＋1/4)周の時点で(ω^2)*2＋ω*ω＝(ω^2)*3
：
3周の時点で(ω^2)*ω＝ω^3
：
n周の時点でω^n
中心点はω^ω
0889１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 23:10:12この熱気
0890１３２人目の素数さん
2010/04/25(日) 23:12:070891１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 09:01:53つまり、整数の∞は無限種類あるってことかな？
0892１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 09:23:150893１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 13:08:13整数じゃなくて順序数
順序数に負の数は定義されない
いい加減に順序数勉強しとけよバカ野郎
測度論なんてやってる場合じゃねーだろ
0894１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 13:10:19>整数じゃなくて順序数
>順序数に負の数は定義されない
自然数に負の数を追加して整数に拡張してたようにすれば、負の数を含む順序数？ってのも可能でないのかな？
0895１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 13:15:32ω－1が順序数にならない
0896１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 13:16:170897１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 13:18:11同じことをやれば良いじゃん。
0898１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 13:20:56そういう拡張はできねーんだよバカ野郎
既存の順序数の定義から、α＜ωを満たす順序数αは
常に有限順序数であることが知られている
(αは普通の自然数になるってこと)
ω－1を順序数として追加するなら、ω－1＜ωだから、
ω－1は普通の自然数となる
このとき(ω－1)＋1＝ωも普通の自然数となって
ωが超現順序数であることに矛盾する
いい加減に順序数勉強しとけよバカ野
何度も言わせんな
0899１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 13:27:07その方法だと推移律が満たされなくて同値関係にならないんだよ
お前 1＋ω≠ω＋1 も知らないだろ？
0900１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 13:30:23> 1＋ω≠ω＋1
絶対うそだ！
0901１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 13:33:540902１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 13:36:59基数って、インチキっぽいよね。
0903１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 13:37:27そこで直感を持ち出して厳密な数学と混同するから
お前はバカなんだよ
「イチにムゲンを足しても、ムゲンにイチを足しても、両方ともムゲンだから同じはずだ」
とか思ってるんだろ？
順序数ってのは数学的に厳密に定義された対象。
その定義に従って計算すると1＋ω≠ω＋1なんだよ
だいたい、順序数の定義も知らないようなヤツがどうして「ウソだ」なんて言えるの？
直感と厳密な数学を混同するな
0904１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 13:38:560905１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 13:40:04ハウスドルフでない位相空間をインチキっぽいと言ってるようなもんだな
「近傍のくせに、異なる2点を近傍で分離できない！こんなの全然近傍じゃない！」ってなｗ
直感と厳密な数学を混同するなバカ野郎
0906１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 13:43:55真理と馬鹿げた数学を混同するな阿呆野郎
0907１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 13:49:10お前個人のくだらない直感と「真理」を混同するなバカ野郎
0908１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 14:03:56「僕の直感に合わない数学はバカげている」
「僕の直感に合わない数学は問題があるから修正すべき」
「僕の直感こそが真理」
↑こういうことだろ？ものすごいトンデモ臭ｗｗｗ
神にでもなったつもりか？
数学的に矛盾してたら確かに問題アリだけどね、
一個人の単なる直感に矛盾してても何の問題もないんだよ
0909１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 15:35:38＞1＋ω≠ω＋1だぜ
＞順序数勉強しとけよ馬鹿野郎
って奴
真理を探究したいんじゃなくて、数学というゲーム内で遊びたいだけ
定義に適っているかいないかにしか興味が無い
その定義が世界の何を表現しているか本当に表現しているか考えたことも無い
0910１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 15:40:18a世界の何も表現していない
bオマエには無縁の世界を表現している
cオマエには表現している世界がわからない
さあどれでしょう？
0911１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 17:14:59げらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげら
げらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげら
げらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげら
げらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげら
0912１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 17:56:370913１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 21:31:450914１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 22:42:50もう言えてるんだから、おしまいだな
0915１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 23:14:02＞真理を探究したいんじゃなくて、数学というゲーム内で遊びたいだけ
数学とは、宇宙の真理を探求する学問ではなく、任意に設定した
公理系に基づいて、そこから何が言えるのか探求するゲーム。
だから、ゲームやってればそれでいい。
設定した公理系が「真理」とやらを表現しているのかは調べない。
それは数学の仕事ではない。そもそも、ホントウの「真理」とは
何なのか見つけようがないから、原理的に調べられない。
＞その定義が世界の何を表現しているか本当に表現しているか考えたことも無い
お前に言わせれば、今のところ、
お前の直感に合わない記述は全て「真理では無い単なるゲーム」であって、
お前の直感に合う記述のみが「真理である」ということになっている。
もう分かるな？
「僕の直感こそが正しい」
「僕の直感に合わない数学は意味がない。単なるゲームである」
「僕の直感こそが真理」
↑こういうことだ。お前、神にでもなったつもりか？
0916１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 23:16:10>∞∈Nが成り立たないことは
>もう言えてるんだから、おしまいだな
かってに、結論を偽造するなよ。
0917１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 23:16:450918１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 23:22:03でも、∞∈Nが成り立たないことは
もう納得したんだろ？
0919１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 23:25:20616 から数えて 300 スレを突破
0920１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 23:30:190921１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 23:39:31>数学とは、宇宙の真理を探求する学問ではなく、任意に設定した
>公理系に基づいて、そこから何が言えるのか探求するゲーム。
それはない。
豊富な内容をもつ公理系は限られている。
例えば、代数系だと、群、環、体とリー代数などの限られた非結合代数くらい。
0922１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 23:44:35それは揚げ足取りだな。豊富か否かは関係ない。
内容が豊富なら、そこから何が言えるのか更に探求する。
内容が薄かったら、大して言えることが無いから、そのように結論づける。
どっちにしても
「任意に設定した公理系に基づいて、そこから何が言えるのか探求する」
という行為に変わりはない。
0923１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 23:53:30>「任意に設定した公理系に基づいて、そこから何が言えるのか探求する」
片っ端から公理系を作って何が言えるか調べるなんてことは
まともな数学者はやってないんだよ。
そんなのは非生産的。
通常、公理系は問題解決の必要に迫られて作られる。
0924１３２人目の素数さん
2010/04/26(月) 23:57:12>豊富な内容をもつ公理系は限られている。
単に、君の想像力が貧困なだけかと。
0925１３２人目の素数さん
2010/04/27(火) 00:25:12どうも意味が伝わってないようだな。
"任意に設定した公理系に基づいて"とは、
「各々の数学者が、自分の好みに応じて好きな公理系を選んで」
くらいの意味合いだ。「任意にε＞0を取る」という文章を
「何でもいいから好きにε＞0を取る」と表現するようなノリだ。
0926１３２人目の素数さん
2010/04/27(火) 00:36:36だね． どんな公理系を用意したら豊富で意味のある実例を沢山
含む理論になるかを考えるところが「研究者の数学」であって、
公理系をその通りに運用してみるのは「学生向けの演習問題」だな．
0927１３２人目の素数さん
2010/04/27(火) 01:06:26ランダムに公理系を作ってそれから豊富な結果が出ることはまずない。
0928１３２人目の素数さん
2010/04/27(火) 01:14:47>「各々の数学者が、自分の好みに応じて好きな公理系を選んで」
ちょっと違うがまあいいや
説明するの面倒くさい。
0929１３２人目の素数さん
2010/04/27(火) 12:45:01いまの数学ってのは、片手で余る程度の公理系を調べて、
分かった振りをしてるだけだろ。
0930１３２人目の素数さん
2010/04/27(火) 13:50:06数学は完成していて発展の余地は無いと思ってるのはドキュン学生だけ
つまり、まともな数学者は分かったふりなどしていない。
0931１３２人目の素数さん
2010/04/27(火) 13:58:39自分で分かっていないと思っていることは
違うと思うけどなあ
0932１３２人目の素数さん
2010/04/27(火) 14:14:47どっちみち>>929はピントがずれてるんでまともに答えようがない。
0933１３２人目の素数さん
2010/04/27(火) 14:18:38公理を自由に設定してそこから何が得られるかを調べるてるとか思ってるとしたら見当違い。
0934１３２人目の素数さん
2010/04/27(火) 14:23:16現代数学の研究をやめる動機にはならんと思うが
0935１３２人目の素数さん
2010/04/27(火) 17:29:20そういう風にしか見えんのだろうな。
一流数学者ヒルベルトも同じ勘違いしてたんだし。
0936１３２人目の素数さん
2010/04/27(火) 18:07:440937１３２人目の素数さん
2010/04/27(火) 18:44:19>一流数学者ヒルベルトも同じ勘違いしてたんだし。
公理主義を強調するために数学は公理に基づくゲームのようなものと言ったのかもしれないが
実際には勘違いしてないだろ。
0938１３２人目の素数さん
2010/04/27(火) 18:58:44それを解明したいというものだろ。
その解明のために必要となったときに新しい概念なり公理を考えだすわけで、
先に思いつきで公理を考え出すわけじゃない。
例えばガロアは代数方程式の可解性の判定条件を求めているうちに
必要に迫られて群の概念を導入したわけで、
先に群をなんとなく思いつきで考え出したわけじゃない。
つまり、彼の場合、群は問題解決の手段。
0939１３２人目の素数さん
2010/04/27(火) 19:08:36「公理系を設定して、そこから何が言えるのか調べる」
という行為に変わりはないな。
0940１３２人目の素数さん
2010/04/27(火) 19:29:09馬鹿かオマエは
いや
馬鹿馬鹿しいなオマエは
おまえが馬鹿であることに変わりはないな。
0941１３２人目の素数さん
2010/04/27(火) 19:31:56>「公理系を設定して、そこから何が言えるのか調べる」
微妙に違う。
結果に対する予想が先にある。
公理の設定なりその結果の証明はその予想が正しいことを確認するためにする。
0942１３２人目の素数さん
2010/04/27(火) 19:36:160943１３２人目の素数さん
2010/04/27(火) 19:43:31＞公理の設定なりその結果の証明はその予想が正しいことを確認するためにする。
それも「何が言えるのか調べる」という行為に変わりはないな。
0944１３２人目の素数さん
2010/04/27(火) 19:48:01違うだろ
0945１３２人目の素数さん
2010/04/27(火) 19:57:50予想が正しいことを確認する行為は、言い換えれば
『「予想は正しい」ことがちゃんと言えるのかを調べる行為』であり、
それは「何が言えるのか調べる」行為の一種。
0946１３２人目の素数さん
2010/04/27(火) 20:00:30すれたいから脱線しすぎ
頭いいんだが悪いんだか電波集団になってるぞ
0947１３２人目の素数さん
2010/04/27(火) 20:26:580948１３２人目の素数さん
2010/04/27(火) 21:00:50スレタイと遠く離れたまま
この内容でここまでスレを伸ばす意志の集まりに
曰く言いがたい独特の何かを感じる
0949１３２人目の素数さん
2010/04/27(火) 21:39:200950１３２人目の素数さん
2010/04/27(火) 21:57:06え？ゆとりが関係するの？それは想像してなかた
0951１３２人目の素数さん
2010/04/28(水) 00:28:341 = 0
0952１３２人目の素数さん
2010/04/28(水) 00:33:13> 1 = 0
違うな。０は自然数じゃない。
1 = ∞
0953１３２人目の素数さん
2010/04/28(水) 01:10:18げらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげら
げらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげらげら
笑うだけ
0954１３２人目の素数さん
2010/04/28(水) 01:57:190955１３２人目の素数さん
2010/04/28(水) 02:27:300956１３２人目の素数さん
2010/04/28(水) 03:04:160957１３２人目の素数さん
2010/04/28(水) 03:11:000958１３２人目の素数さん
2010/04/28(水) 03:11:53ここはルベーグ積分と測度論に関するスレッドです。関係のない書き込みは控えてください。
0959１３２人目の素数さん
2010/04/28(水) 06:47:260960616
2010/04/28(水) 06:50:050961１３２人目の素数さん
2010/04/28(水) 07:09:46稠密なやつと
そうでないやつ
0962１３２人目の素数さん
2010/04/28(水) 09:11:360963１３２人目の素数さん
2010/04/28(水) 12:13:20ルベーグ積分とかけて
日本野球界とときます
メジャーがすべてです
0964１３２人目の素数さん
2010/04/28(水) 12:46:540965１３２人目の素数さん
2010/04/28(水) 12:47:430966１３２人目の素数さん
2010/04/28(水) 13:01:04メジャーが全てで間違いとも言えない
0967１３２人目の素数さん
2010/04/28(水) 14:29:340968１３２人目の素数さん
2010/04/28(水) 16:21:410969１３２人目の素数さん
2010/04/28(水) 16:35:230970１３２人目の素数さん
2010/04/28(水) 16:38:130972１３２人目の素数さん
2010/04/28(水) 18:33:00測度と積分のスレッド
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1272383144/
0973１３２人目の素数さん
2010/04/28(水) 18:49:09続けて読め
0974１３２人目の素数さん
2010/04/28(水) 19:49:16そうかそういうことか
でもルベーグとも無限とも関係ないぞ
0975１３２人目の素数さん
2010/04/28(水) 19:54:28なぜだ
0976１３２人目の素数さん
2010/04/28(水) 19:54:590977１３２人目の素数さん
2010/04/28(水) 19:56:400978１３２人目の素数さん
2010/04/28(水) 21:30:210979１３２人目の素数さん
2010/04/28(水) 22:29:54整数列を３の倍数で真ん中を抜いていったら
0980１３２人目の素数さん
2010/04/28(水) 23:49:250981１３２人目の素数さん
2010/04/29(木) 00:04:290982１３２人目の素数さん
2010/04/29(木) 00:47:15「∞（無限）ってなに？」って感じのスレでも立ててそこで話してくれな
0983１３２人目の素数さん
2010/04/29(木) 07:13:560984１３２人目の素数さん
2010/04/29(木) 07:16:52このスレは６１６が執拗に聞き返したから異様に伸びたのが珍しい
0985１３２人目の素数さん
2010/04/29(木) 07:17:150986１３２人目の素数さん
2010/04/29(木) 08:31:080987１３２人目の素数さん
2010/04/29(木) 10:38:220988１３２人目の素数さん
2010/04/29(木) 10:47:050989１３２人目の素数さん
2010/04/29(木) 11:23:18基地外の真似をすれば基地外になれるかもしれないと
思っているバカ
0990１３２人目の素数さん
2010/04/29(木) 11:31:340991１３２人目の素数さん
2010/04/29(木) 11:48:55972 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2010/04/28(水) 18:33:00
次スレ？
測度と積分のスレッド
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1272383144/
0992１３２人目の素数さん
2010/04/29(木) 11:50:150993１３２人目の素数さん
2010/04/29(木) 12:16:420994１３２人目の素数さん
2010/04/29(木) 12:24:590996１３２人目の素数さん
2010/04/29(木) 12:59:340997１３２人目の素数さん
2010/04/29(木) 13:01:32こら糞キチガイハゲ！！！
俺の許可得ないで勝手にあげるなよ中年豚が！！
まだチンポ洗ってねえだろ、くせえんだよてめえは！！！
0998１３２人目の素数さん
2010/04/29(木) 13:15:420999１３２人目の素数さん
2010/04/29(木) 13:24:271000１３２人目の素数さん
2010/04/29(木) 13:27:021001１００１
Over 1000Threadもう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。