>>558
g(x) = ∫_{s=0 to x} a(x,s) ds
の微分を定義に従って導いてみれば

g(x+h) - g(x)
= ∫_{s=0 to x+h } a(x+h,s) ds - ∫_{s=0 to x} a(x,s) ds
= ∫_{s=0 to x+h } a(x+h,s) ds - ∫_{s=0 to x } a(x+h,s) ds
+∫_{s=0 to x } a(x+h,s) ds - ∫_{s=0 to x } a(x,s) ds
= ∫_{s=x to x+h } a(x+h,s) ds + ∫_{s=0 to x } {a(x+h,s)-a(x,s)} ds

g'(x) = a(x,s) + ∫_{s=0 to x } {(∂/∂x)a(x,s)} ds
Y'(x)の場合はa(x,s)にあたる部分が0になっているだけ。