>>422氏
a^2-aから（自身は含めない）、
「a+3までの間に3つ整数がある」　を
「a+1までの間に1つ整数がある」　と置き換えると捉えやすくなると思うよ。
（こちらでも自身は含めない）

図を描いて検討すると
aが整数の場合、
a-1≦a^2-a<a

aが非整数のとき、ある整数mが存在して
m<a<m+1 かつ m≦a^2-a<m+1
(このときa^2-a とaの大小は直接問題にならない）

下はさらに、前の式を、0<α<1というαを使って、a=m+αと書き換え、
これを後ろの式に代入すると解けるっぽいが、まだ終わってない。