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【log】高校生のための数学の質問ｽﾚPART191【log】

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0001１３２人目の素数さん2008/08/07(木) 18:17:23
>>2-4あたりも読めよ 
(･∀･)やった!あと1問! 
･･････!!? 
(ﾟДﾟ)ﾎﾟｶｰﾝ 
(ﾟДﾟ)ﾊｧ?ﾅﾆｺﾉﾓﾝﾀﾞｲ? 
ヽ(`Д´)ﾉｳﾜｧｧﾝ!!ﾜｶﾝﾅｲﾖｫ!!! 

･･･てな時に､頼りになるかもしれない質問ｽﾚｯﾄﾞだお(ﾟﾛﾟ) 

前スレ 
【log】高校生のための数学の質問ｽﾚPART190【log】 
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1217429967/

数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例 
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/ ;
0153１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 01:56:11
>>152
すべて2や3や5を含んだら最大公約数が1という条件に反しちゃうね
それを引かなきゃならんけど面倒だから頼む
0154１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 02:19:38
>>151,153
すまん、問題をちゃんと読めてなかった。

そーすっと、因数2で考えるとどれか一つが2＾3、別の1つが2＾0 が確定するわけだね。
あとの一つが2＾3 のとき、 2＾2または2＾1のとき、2＾0の時、で場合わけ。
2^3が2つある場合…2＾0がどれかの3通り
2＾0が2つある場合…2＾3がどれかの3通り
その他…2＾3がどれか3通り*2＾0がどれか2通り*残りのべき2とおり=12通り
合計21通り

3については 3+3+3*2*1=18通り
5については、5＾1 が2個・5＾0が1個か、その逆かだけだから6通り

で、21*18*6 通り、かな。




0155１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 02:22:01
>>154 足し算ができなくなってるよ もちつけ＞自分
2について18通り、3について12とおり、5について6通りでそれの積。
0156１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 02:23:41
>>152
スパっと解けるんかなあ?
とりあえずアホみたいな方針だけど(a,b,c)のうち1がいくつあるかで場合わけ

(i) 1を1つだけ含む場合
a=1とする
(b,c)の組合せは, 素因数2について(b,c)=(2^3,2^0),…,(2^3,2^3)の4通り×2=8通り
3, 5についても同様にして, 8*6*4
このうちb=1, c=1になる場合を引いて8*6*4-2(a=1のケース)
b=1, c=1になる場合があるから, (8*6*4-2)*3

(ii) 1を2つ含む場合(残り1つは2^3・3^2・5)
(a,b,c)のうち2つが1になる組合せは3通り

(iii) 1を含まない場合
2^3, 3^2, 5をa, b, cに振り分けるので3!=6通り

以上より, (8*6*4-2)*3+3+6=579通り?
0157１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 02:29:09
156だけど、まだダブルカウントがあるわ^^; いまから訂正
0158１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 02:34:04
(7*5*3-2)*3+3+6か..

>>154
それだとGCD=1に反する場合が混ざる希ガス
0159１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 03:25:08
直円すいの底面と側面に球が内接している。
直円すいの側面と球とが接する部分は円である。
この円の半径を求めよ。
という問題なのですがこれは平面に軸を入れて切った場合接している部分を真横に線をひいたものが直径になるということでしょうか？
いまいちよく表現できません。
教えてください。
0160１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 03:28:10
そうだねぇ
0161１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 05:15:43
>>159
考えていることはあってる。
が、日本語の方を頑張れ。
01621stVirtue ◆.NHnubyYck 2008/08/09(土) 08:50:55
Reply:>>134-136 Write in the official language of the United States of America.
0163１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 11:05:20
[5]√x （5乗根ルートx）
の導関数はどのようにして求めたら良いのでしょうか。
0164１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 11:07:45
>>163
微分するだけと違うのか？
5乗根ルートっておかしくないか？ルートって根だろ？
x^(1/5)
0165１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 11:11:02
積分の問題です。

曲線y=x^2-2xとx軸およびx=3で囲まれた図形の面積を求めよ、という問題です。
まずy=x^2-2xがx軸に交わる点は(0,0)と(2,0)なので
図形の面積は
S=∫〔2,3〕(x^2-2x)dx
を計算すれば出ると思うのですが、自分が計算した結果は4/3でしたが、答えは8/3だったのです。
計算過程を何回見直しても間違ったところは見られないので、おそらく考え方が間違っている
のかと思います。
しかし自分ではわかりませんので教えてくれませんか？
よろしくお願いします。
0166１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 11:24:26
>>164
おかしくない
0167１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 11:26:50
>>165

考え方や式は正しいから
計算が間違っているか付録の解答が間違っているかのどちらかだ。
0168１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 11:43:22
>>167
回答ありがとうございます。
考え方や式は合っているのですね。関数電卓を使って確認したところ4/3と出ましたので
付属の解答が間違っているということでしょうね。
ありがとうございました。
0169１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 11:48:50
>>165
おそらく
曲線y=x^2-2xとx軸およびx=3で囲まれた図形
というのはこの3つの曲線および直線すべてに囲まれるということじゃなく
少なくとも2つによって囲まれた図形と著者は解釈しているのだろう
その場合、x軸とy=x^2-2xによって囲まれた図形の面積も考えなければならない
このとき面積は4/3+4/3=8/3となって解答に適う
0170１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 12:07:27
>>169
なるほど･･･、そう考えれば8/3という答えになりますね。
てっきりy=x^2-2xとx軸とx=3全てに囲まれている図形の面積だと勘違いしていました。

僕の解釈だと問題文は
「曲線y=x^2-2xとx軸かつx=3で囲まれた図形の面積を求めよ。」
となっていないといけないということですね。わかりました、ありがとうございます。
0171１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 12:13:30
>>170

普通、数学で「及び」といったら「かつ」のことを指す。
つまり「及び」と「かつ」はしばしば同じ意味を持つ。
0172１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 12:17:20
>>171
ということはこれは問題が悪い、ということでしょうか。
0173１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 12:20:32
>>172
いや、普通、その問題文でその解答のような意味。
0174１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 12:27:35
>>173
よくわかりませんが問題の意図をくみ取れなかった僕の理解力不足でしょうか。
とにかく次からは同じような問題が出たらそのように解釈します。
長々と申し訳ありませんでした。
0175１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 12:27:36
>>172

貴方が誤解を招いたことからしても
この場合は
「曲線y=x^2-2xとx軸かつx=3で囲まれた図形」
という表現は
「曲線y=x^2-2x、x軸及びx=3の中の2つ以上で囲まれた図形」
と「2つ以上」という表現を入れなければ
問題文が曖昧になって誤解を招き易くなる。
0176１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 12:28:14
袋の中に 赤玉が５個、青玉が３個、白玉が２個の計１０個が入っている。この袋の中から３個同時に取り出すとき、次の問いに答えよ

少なくとも１個は赤玉が取り出される確率

すみません、11／12になるらしいんですが、どうしても 4／5になってしまいます
0177１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 12:31:43
>>176
この場合（１－1個も赤玉が取り出せない確率）を求めればいい。
1個も赤玉が取り出せない確率は1/12なので
1-1/12=11/12　となる。
0178１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 12:40:50
>>177
赤が取り出せない確率は、（青・青・青）、（青・白・白）（青・白・白）の確率という事ですよね？ それが1／12にならないんです・・・
0179１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 12:43:12
>>178
横からだが、その場合わけは今回は不要。
要するに｢赤以外」が5個あるんだから、10個から3個引いて
全部その「赤以外」ならいいわけだ。

つまり C[5,3] / C[10,3] でおけ。

0180１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 12:55:17
>>179
なるほど！ありがとうございました。
0181１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 13:51:03
袋の中に金玉が２個、
0182１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 14:04:21
そうか相乗平均で最大値って求めるれですか？
0183１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 14:05:28
何の最大値だよ
0184１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 14:14:26
袋の中に数字１，２，３が１つずつ書かれた赤球が1個ずつ、
数字１，２，３，４，５が１つずつ書かれた白球が1個ずつ合計8個入っている。
この袋から同時に3個の玉を取り出すとき、3個の玉の数字の積が３の倍数と
なる確率を求めよ。

お願いします。
0185１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 14:15:08
>>182
日本語でおｋ
0186１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 14:18:38
a=2,b=3のときa+bの最小値を教えて下さい。
0187１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 14:19:25
>>186
ﾜﾛﾀ
0188１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 14:19:32
>>184
どれか1個が3の倍数（この場合3だけ）なら積が3の倍数。
余事象を考えて、
3個とって1個も3が出なければ3の倍数にならない

つまり求める確率は
1-P（8個から3個とると、それが全部（特定の2個以外の）6個の中から）
0189１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 14:36:20
点Pが円 x^2 + y^2 = 9上を動くとき、点A(1, 2)とPを結ぶ線分APを 2 : 1 に
内分する点Qの軌跡を求めよ。

とりあえず

　　“点Qは 円 (x - 1/3)^2 + (y - 2/3)^2 = 4 …… ① 上にある”

ということはわかりました。参考書には、「最後に、その奇跡が表す図形が条件を満たすか
確認する」とあるので

　　“逆に、円①上の任意の点は条件を満たす”

ことを証明したいのですが、どうすればよいのでしょうか？
ごにょごにょ代入して調べるしかないのでしょうか？よろしくです。
0190１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 14:38:48
>>186
6だよ
0191１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 14:41:35
「計算を逆に辿れば十分性もわかる」ですむレベル
0192１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 14:41:39
>>188
解けました！
どうもありがとうございました。
0193１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 14:43:54
>>191
まじ？それで減点されないなら大丈夫か。。。ありがとね
0194１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 15:07:51
>>193
てか，答案の書き方にもよるが，
普通は必要十分が当たり前な内容．
十分性の確認なんて必要ないはず．
0195１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 15:08:48
なんでわざわざ,とか.使ってんの？
きめえええｗｗｗｗｗｗ
0196１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 15:11:02
>>195
喧嘩売ってんのか？
0197１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 15:11:54
こんな暑い日にわざわざケンカすんなよ
猿じゃねえんだから
0198１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 15:14:33
句読点使おうがカンマ･ピリオド使おうが個人の勝手だが
>>194はちょっと・・・
0199１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 15:14:33
日猿同士仲良くしとけよ
ケンカすんなら五輪でも見とけ
0200１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 15:15:25
てか，
0201１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 15:41:24
√(3)って実数ですか？
0202１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 15:57:01
はい。
0203１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 17:19:39
ここで解答してる人カッコヨス。
0204１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 17:36:41
>>202
よかったな
ほめられてるぞ
0205１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 17:50:41
c/(a+b)=a/(b+c)=b/(c+a)=k　であるときｋの値を求めよ。

お願いします。
0206１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 18:05:19
a half
0207１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 18:10:47
>>205 =kまで親切に書いてあるじゃん。

c=ak+bk
a=bk+ck
b=ck+ak
辺々足してa+b+c = 2k(a+b+c)
ここでk=0だとするとゴニョゴニョだから…（中略）で、
なぜか英語の>>206に。
0208１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 18:12:21
ちょっと格好つけてみたかったんだ
夏だからね
0209１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 18:16:30
俺の住んでる国は真冬です
0210１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 18:18:21
f(x)=x^2(x＞0)の最小値を教えて
0211１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 18:22:03
ありません
02122102008/08/09(土) 18:24:16
でも下にトツのグラフですよ？本当にありませんか？
0213１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 18:26:00
>>212
x=0 のとき最小値をとりそうだけど
x=0 が定義域内にないのでありません
0214１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 18:28:17
>>205

a、b、cが実数かどうかは書かれていないから
c=ak+bk
a=bk+ck
b=ck+ak
から
a、b、cを消去してkの3次方程式を求めそれを解くのが正しい。
貴方が複素数を習ったかどうかは知らないが。
0215１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 18:31:05
バネ定数って何ですか？？？
0216１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 18:31:24
x+y=√10,xy=√2のとき、y/x^2+x/y^2の値はいくらか

という問題で

対称式として解くわけですが、対称式に気付かずx^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)
を使って解いたら、間違えてしまいました。
対称式の公式でしか解けない問題の見極めが分かりません。

どうしたら良いでしょうか？
0217１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 18:32:37
アホばっかでﾜﾛﾀ
k=-1もあるじゃん
0218１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 18:32:44
>>215

物理板へ。
フックの法則と関係がある。
0219１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 18:32:52
バネ定数ってなに？
0220１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 18:35:45
全ての実数cに対してac=bcならばa=b　ただしa,bは実数
この命題は真ですか？
0221１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 18:36:58
>>220
偽
判例は　c=0
0222１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 18:36:58
>>220
偽
0223１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 18:37:40
結婚しろ
0224１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 18:40:38
>>217 正解。

>>207 検討しなきゃいけなかったのはｋじゃなくて、a+b+c=0って解が
ありうるかどうか、だったよ。


0225１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 18:41:02
>>216
そのやり方も対称式での解き方なんじゃないか？

どういう風に解いても答えは同じ。
02262202008/08/09(土) 18:42:35
でもac=bcが成立するようなa,b(例えばa=1,b=2,c=0)は、
他のcに対して成立しないので不適ではないですか？
「全ての実数cに対してac=bc」なのでa=b=0に限られるのではないでしょうか？
02272202008/08/09(土) 18:44:17
a=bに限られるのではないでしょうか？
0228１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 18:44:45
>>224

そうだったな。
脳ミソの中だけで考えたから間違えてしまった。
0229１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 18:55:44
>>220

c≠0として考えればそれで良い。
0230１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 19:12:47
>>229
全ての実数cに対してって書いてあるのに
>c≠0として考えれば‥
って何考えてんねん
0231１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 19:17:59
>>230
一つ反例をあげれば命題は偽になる、ってことだろ
そのくらい察せよ
0232１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 19:20:39
>>230

単なる冗談だ。
0233１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 19:22:27
>>231

単なる冗談だ。
0234１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 19:25:32
あほ回答者は黙れ
0235１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 19:28:05
>>229 もなんか変だな。元の命題で直接的に「反例」ってのは変だし、
　偽であることを言いたいわけでもない。
・対偶「 a≠b ならばある実数cにおいてac≠bc」を考える、
　任意のc≠0に対してａ≠bの両辺をｃ倍すればａｃ≠bc よりこの命題は真、
　したがって対偶の元命題も真

・与えられた命題
　⇔すべての実数ｃについて(a-b)c=0 が成立する
ここで(a-b)c=0 ⇔ a=b または c=0
ｃ≠0の時を含めて成立するためには a=b

のどっちかで、ちゃんと厳密に言えてると思う。やや大げさではあるにせよ。
0236１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 19:44:37
>>220

>>229なんだけどさ、よく考えたらa、bが実数であるとき
すべての実数ｃについて(a-b)c=0 が成立する⇒a=b
は真であることがが示せちゃうね。
確かにすべての実数ｃについて(a-b)c=0 が成立すると仮定して良い。
この命題が偽であったら即ちa≠bであったらa-b≠0だからc≠0であるとき(a-b)c≠0。
よって或るｃについて(a-b)c=0 が成立しないことになり仮定に反し矛盾が生じる。
従って与えられた命題は真である。
0237１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 19:56:23
全ての実数cに対して、ac=bcならばa=b
全ての実数cに対してac=bcならば、a=b

の二通りに解釈できるってことでFA？
0238１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 20:02:34
>>237

そう解釈出来る。
前者の場合はa=1、b=2、c=0のときが反例になる。
後者は直接証明可能。
だから問題文がやはり曖昧に表現されている。
0239１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 20:56:01
関数 y=1+cos(θ)+sin^2(θ) の最大値と最小値を求めよ。
また、そのときのθの値を求めよ。ただし、0≦θ＜2πとする。

お願いします。

考えたこと
y=1+cos(θ)+sin^2(θ)
y=1+cos(θ)+1-cos^2(θ)
y=-cos^2(θ)+cos(θ)+2
0240１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 20:58:23
>>239
y = 2 + cosθ - cos^2 θ と変形し x = cos θ とした
f(x) = 2 + x - x^2 の最大・最小を -1≦ x ≦ 1 で考える。
0241１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 20:58:34
>>239
あとは平方完成するだけ。
-1≦cosθ≦1な
02422392008/08/09(土) 21:08:23
できました！
>>240さん、>>241さん
どうもありがとうございました。
0243１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 21:19:44
0≦θ＜2πのとき -1≦cosθ≦1 となるのはなぜですか？
-1＜cosθ≦1 ではないのですか？
0244１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 21:22:17
単位円を考えると、θは一周するだろ。
θ=πのときはcosθ=-1だ
0245１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 21:23:18
0≦θ＜πならば-1＜cosθ≦1
0246１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 21:26:58
>>244-245
そうですね。
なんか勘違いしてました。
どうもすみません。
0247１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 21:48:32
>>216です

>>225
しかし、分子だけを計算して→
x+y=√10、xy=√2

y^3+x^3
→(x+y)(x^2-xy+y^2)
→√10{(x+y)^2-xy}
→√10(10-√2)
→10√10-√20
ここで分母の(xy)^2を２にして

5√10-√5
となりました。

しかし答えは5√10-3√5で、どうにも分かりません。

どなたか解説お願いします。
0248１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 21:50:01
> →(x+y)(x^2-xy+y^2)
> →√10{(x+y)^2-xy}
ここが
0249１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 22:06:42
165です、たびたびすいません。また積分の問題です。

1/2　<∫〔0,1〕{1/(1+√x)}dx　<π/4 であることを証明せよ、ただし0≦x≦1　とする。
という証明問題ですが、答えを見ると定積分の大小関係を用いよ、と書いています。
ということはまず
∫〔0,1〕1/2dx　<∫〔0,1〕{1/(1+√x)}dx　<∫〔0,1〕π/4dx
に直して区間〔0,1〕での 1/2,1/(1+√x),π/4　の大小関係を見るのだと思いますが
〔0,1〕では常に　1/2≦1/(1+√x)　が成り立つので∫〔0,1〕1/2dx　<∫〔0,1〕{1/(1+√x)}dx　が成り立ちますが、
1/(1+√x)≦π/4　は常に成り立たないのでわからないと思います。

何を言っているのかわからないかもしれませんがお願いします。
0250１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 22:13:19
>>249
1/2 < 1/(1+√x) < 1/(1+x^2)
を0から1まで積分
0251１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 22:19:18
>>248

すいません、本当に分からなくて、どう正せば良いのか教えていただけませんか？
0252１３２人目の素数さん2008/08/09(土) 22:29:30
>>216
x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy
つーか、この因数分解の公式を先に覚えるのがちとマズイ
x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)から導いていれば上のようなミスはしないはず
(その意味で単なるケアレスミスではない)

x, yを入れ替えても元と同じ式なら対称式。(2文字についての)対称式なら和と積の
四則で求まる
「対称式の公式でしか解けない」わけではない(連立方程式を解く手もあるで)
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