>>100
三角形の垂心・重心・外心が同一直線上にある、というのを証明済みとして
使ってよいとすれば、以下のような証明ができそう。
（ただし、鋭角三角形の場合しか考えてない）

（まず、いったんDのことを忘れる。その上で…）
△ABCの重心Gと外心Oを取ると、3点H,G,Oは一直線上に並ぶ。
直線OMは辺BCの垂直二等分線であるからOMとAHは並行であり、
△AHGと△OMGは相似。重心の性質からAG:GM=2:1であり、
OMの長さはAHの長さの1/2になる。

次に、AとOを結び、それがAと反対側で円と交わる点をD’とする。
D',O,Aは一直線上にありOはD'Aの中点、
AHとOMが平行で長さの比が2:1であるから、
△D'OMと△D'AHは相似比2:1の相似形となり、D',M,Hは一直線上に並ぶ。
これは、問題文中のDとD'が同一の点であることを意味する。

したがって、ADの中点が外心Oとなるから、ADは円の直径である。