>>593 数C使ってよければ、ｚを固定して考えれば、
(x-a)(y-a)=z は 直角双曲線xy=z (中学生流にいえば、比例定数zの
反比例のグラフ）をx軸方向・y軸方向とも+aだけ移動したグラフ。

このグラフと、原点中心の半径√2の円が共通部分を持つようなzの最大値を
考える。ｚの絶対値が大きくなればなるほど、グラフは2つの漸近線
x=a、y=a およびその交点（a,a) から離れる。z>0で考えればグラフは
第1象限側と第3象限側にある。

したがって図形的に、点（-√2、-√2）で、考えている領域の外周の円に
接するときがｚの最大値であると分かる。このときのｚの値は
(-√2-a)^2 = (√2+a)^2 。

……では直感に頼りすぎ、かなぁ。昔の過去問（分数関数や平面領域が
数Iだったころ）だったら、あるいは穴埋めならこれで十分だと思うんだが。