>>402
まずＡ∪Ｂ＝Ｖ1∪Ｖ2　（Ｖ1,Ｖ2は互いに素な開集合(*)）と仮定
（連結の定義より、示すべきはＶ1＝ΦもしくはＶ2＝Φ）
Ａ1＝（Ａ∩Ｖ１）とＡ2＝（Ａ∩Ｖ2）はＡ＝Ａ1∪Ａ2であり、仮定より互いに素であり
Ａの開集合(*)。したがってＡは連結なので、Ａ1＝ΦもしくはＡ2＝Φ
Ｂについても同様。
ここでＡ1＝Φの場合を考える。
このときＢ1＝Ｖ1なので、もしＢ2＝Φであれば、Ｂ＝Ｖ1となる
しかしＡ∩Ｂ＝Ａ∩Ｖ1≠ΦからＡとＶ1は共通部分を持つことに、Ａ1＝Φという仮定に反する。
したがってＢ2≠Φであり、Ｂの連結性からＢ1＝Φである。
したがってＶ1＝Φである。
Ａ2＝Φの場合は同様にしてＶ2＝Φとなる。

（*）単に開集合と書いたが、すべて相対位相に関して開集合という意味。