>>298 略解
f(x)=x*sin(2π/x) (x≧3)とおくと
f'(x)=(-2π/x)*cos(2π/x)+sin(2π/x)
= t*cos((2π/x)-α)
ただし、t=sqrt(x+4π^2)/x,
cosα=(-2π/x)/t, sinα=1/t

(-2π/x, 1)と(cos(2π/x), sin(2π/x))の内積＞０のとき、
f'(x)＞０となりf(x)は単調増加となる。
2π/x, αは、それぞれ第1、第2象限の角だから、
β=α-π/2 (tanβ=2π/x)とおくと、
2π/x - β > 0のとき内積＞０となる。
tan((2π/x) - β)>0 （tanxは、開集合(-π/2,π/2)からRへの全単射。同値性に注意）
すなわち
{tan(2π/x)-(2π/x)}/{1+tan(2π/x)}tanβ}>0、分母>0より
tan(2π/x)-(2π/x)>0が内積＞０の条件。
0≦θ<π/2としてg(θ)=tanθ-θとおく。
g'(θ)=(1-cos^2θ)/cos^2θ≧0（等号は、θ=0のときのみ）
g(0)=0よりg(θ)≧0
0<θ<π/2のときg(θ)>0
ゆえにg(2π/x)>0
つまり、
tan(2π/x)-(2π/x)>0