有理数体Ｑに√3を付加した環Ｑ[√3]をＱ上のベクトル空間とみなしたときの次元ｄｉｍQＱ[√3](拡大次数Ｑ[√3]：Ｑ)を求めなさい。(ただし、√3が無理数であることは利用してよい)
という問題なんですが、以下の解答で合ってますか？
Ｑ[√3]の任意の元はa*1+b*√3と書けるから{1,√3}はＱ[√3]を生成する
k1*1+k2*√3＝0とする(k1,k2∈Ｑ)
k2≠0とすると√3＝−(k1/k2)となり、k1,k2∈Ｑより√3が無理数であることに矛盾
∴k2＝0よりk1＝0
∴{1,√3}は一次独立
∴{1,√3}はＱ[√3]の基底である
∴ｄｉｍQＱ[√3]＝2