>>571
t>0, (w, x, y, z) = (t, t, t, t) とすると、
w * x = y * z を満たすから、以下の式が成り立たねばならぬ。

( f(t)^2 + f(t)^2 ) / ( f(t^2) + f(t^2) ) = (t^2 + t^2) / (t^2 + t^2),
2*f(t)^2 / 2*f(t^2) = 1,
f(t)^2 = f(t^2).

t=1とすると、
f(1)^2 = f(1),
問題の条件より、f(1)>0 であるから、
f(1)=1 でなければならない。

t>0, (w, x, y, z) = (1, t, sqrt(t), sqrt(t)) とすると、

( f(1)^2 + f(t)^2 ) / ( f(sqrt(t)^2) + f(sqrt(t)^2) ) = (1^2 + t^2) / (sqrt(t)^2 + sqrt(t)^2),
( 1 + f(t)^2 ) / 2*f(t) = (1 + t^2)/ 2*t,
t*(1 + f(t)^2) = (1 + t^2)*f(t),
t*f(t)^2 - (1 + t^2)*f(t) + t = 0,
( t*f(t)-1 ) * ( f(t) - t ) = 0,
f(t) = t or 1/t.

f(t)=t が問題のfに関する条件を満たすことは明らか。

f(t) = 1/t については、
( (f(w))^2 + (f(x))^2 ) / ( f(y^2) + f(z^2) ) = (1/w^2 + 1/x^2) / (1/y^2 + 1/z^2)
=
(w^2 + x^2)/(w^2*x^2) / (y^2 + z^2)/(y^2*z^2) = (w^2 + x^2)/(y^2 + z^2) * (y^2*z^2)/(w^2*x^2)
=(w^2 + x^2)/(y^2 + z^2) * 1 = (w^2 + x^2)/(y^2 + z^2).
よって、
f(t)=1/t も問題のfに関する条件を満たす。以上より、f(t)=t or 1/t が解。