すいません、なんかごちゃごちゃしてるみたいなんで、最初から自分の考えをまとめたいと思います。

解きたい問題
『√n+√(n+1)が有理数となる自然数nは存在しない。』

☆背理法で解く
√n+√(n+1)が有理数となる時、√n+√(n+1)=r―①とおける。(ｒは正の有理数)
このとき、1/r=1/{√n+√(n+1)]=√(n+1)-√n―②

(①+②)/2より、
√(n+1)=1/2(r+1/r)
(①-②)/2より、
√n=1/2(r-1/r)

つまり、√n+√(n+1)が有理数となる時、√n、√(n+1)はともに有理数であることが示された。
しかし、√n,√(n+1)がともに有理数であることはないので、矛盾。よって、√n+√(n+1)は無理数である。

★補題
√n,√(n+1)がともに有理数を持つことはない。

√n,√(n+1)がともに有理数となるとすると、n=p^2,n+1=(p+q)^2なる自然数p,qが存在する。（p,qは自然数)
しかし、n+1-n=1=(p+q)^2-p^2
　　　　　　　　　　=q(2p+q)
2p+q>1であるので、このような自然数p,qの組は存在しない。よって√n,√(n+1)がともに有理数となることはないことが示された。

長くなりましたが、どうでしょうか？