M := {A∈M_3(R) | A・tA= E_3} とおく。　（M_3はMの下に添字として3がついてるの意でE_3も同様、tAはAの転置行列）
M_3(R)をベクトル空間として自然にR^9と同一視する。このとき次の問に答えよ。

(a) F : M_3(R) → M_3(R) を
F(X) = X・tX - E_3　（tXはXの転置行列）
で与える。このときFの像は対象行列になることを示せ

(b) S_3(R)を3次対称行列全体とする。S_3(R)はM_3(R)の線形部分空間であることを示し,
その次元を求めよ。

(c) X,H∈M_n(R) を固定したとき、
lim [t→0] {( F(X+tH) -F(X) )/ t} 　（このtHは通常のt倍という意味）
を求めよ

(d) F: M_3(R) → S_3(R) と考えたとき、dF : TM_3(R) → TS_3(R) の E_3∈M における階数を求めよ。

(e) MはE_3の近傍で可微分多様体の構造を持つことを示せ

(f) Mは可微分多様体であることを証明せよ


この問題は、(f)だけを以前このスレで質問してヒントを貰ったのですが、
結局わからなかったので誘導の部分も含めて全部晒します。
お願いします…